Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 496, № 1, стр. 19-23

В течение более полувека в физике плазмы остается открытым вопрос о структуре магнитопаузы – стационарного переходного слоя между двумя областями по-разному замагниченной плазмы, который с необходимостью содержит ток, текущий вдоль плоскости раздела этих областей. В лабораторной и особенно космической плазме, являющейся слабо столкновительной, толщина слоя много меньше длины свободного пробега и достигает гирорадиуса токонесущих частиц, а расчет профиля тока невозможен в магнитодинамическом приближении и требует согласованного учета кинетики частиц различных компонент плазмы. Сказанное подтверждают спутниковые наблюдения магнитопауз планет, гелиопаузы и магнитопауз, расположенных на границах магнитных облаков в солнечном ветре; см., например, [1–9].

До последнего времени анализ общей картины наблюдаемых явлений отсутствовал, поскольку производился преимущественно узко специализированными численными или приближенными аналитическими методами (ссылки на них можно найти в [7, 9, 10]). Трудности представляют как выявленные непростые профили плотности тока, например, немонотонные и обладающие двумя-тремя горбами или несколькими разными масштабами, так и измеряемые существенно анизотропные и немаксвелловские функции распределения электронов и ионов, которые могут иметь сравнимое энергосодержание. Попытки точного аналитического описания токовых слоев также приводят к весьма частным моделям, приведенным, например, в обзоре [10] или в работах [11, 12], включая модель авторов [13], которая, как и большинство других моделей, предполагает максвелловское распределение частиц по энергиям.

Бесстолкновительная плазма с высокой плотностью энергии неравновесна и демонстрирует существенные отклонения от максвелловского распределения частиц, обычно связанные со степенными хвостами их энергетического спектра. Подобные спектры хорошо представляются каппа-распределением [6, 14, 15] и часто наблюдаются в космической плазме, например, в солнечном ветре. Поэтому требуется теория переходных токовых слоев с каппа-распределением частиц в магнитопаузах планет или других намагниченных объектов, обдуваемых солнечным (звездным) ветром.

Мы предлагаем новую модель, допускающую каппа-распределения и позволяющую аналитически рассчитать все параметры стационарного слоя, включая неоднородную анизотропию частиц различных компонент плазмы, неоднородность их плотности тока и соответствующего магнитного поля, профили плотности и эффективной температуры частиц и т.п. Ограниченный объем сообщения исключает возможность представить модель в общем виде, и ниже сформулирован упрощенный вариант, включающий основные элементы и демонстрирующий типичные свойства слоев.

В рамках одномерного описания магнитопаузы без потока частиц через нее и без учета турбулентности будем считать, что физические величины зависят от координаты $x$ и у векторного потенциала $A(x)$ есть одна ненулевая проекция ${{A}_{z}}(x)$, т.е. токи текут вдоль оси $z$, а магнитное поле параллельно оси $y$. В рассматриваемых электронейтральных слоях, в отсутствии электрического поля и столкновений, при движении частиц сохраняются их инварианты – величина полного импульса, ${{m}_{\alpha }}{v}$, и проекция обобщенного импульса на ось $z$, ${{P}_{z}} = {{m}_{\alpha }}{{{v}}_{z}} + {{e}_{\alpha }}{{A}_{z}}{\text{/}}c$, где ${{e}_{\alpha }}$ и ${{m}_{\alpha }}$ – электрический заряд и масса частицы компоненты (сорта) α, c – скорость света в вакууме. Поэтому, как известно [10], функции распределения электронов и ионов, ${{f}_{\alpha }}({v},{{P}_{z}}{\text{/}}{{m}_{\alpha }})$ при $\alpha = e,i$ соответственно, зависящие только от этих инвариантов, являются точными решениями стационарного кинетического уравнения Власова.

В простом варианте возьмем эти функции в виде, включающем ступенчатое обрезание на “магнитном” барьере и пространственное смещение отдельных фракций s с противотоками для каждой компоненты α посредством введения постоянных ${{A}_{{\alpha s}}}$:

Здесь ${{\tilde {A}}_{{\alpha s}}}(x) = {{A}_{z}}(x) - {{A}_{{\alpha s}}}$; ${{N}_{{\alpha s}}} = {\text{const}}$ – концентрации токонесущих фракций частиц ($s = 1,\;2$) вдали от магнитопаузы, при ${{A}_{z}} \to \pm \infty $; их энергетические распределения там характеризуют функции ${{F}_{{\alpha s}}}({v})$, нормированные на 1; ионы считаем однозарядными; $e$ – элементарный заряд; $H(\xi )$ – функция Хевисайда, равная 1 при $\xi > 0$ и равная 0 при $\xi < 0$. Последние, бестоковые фракции ${{n}_{{\alpha 0}}}(x)$ в выражениях (1), (2) присутствуют только внутри магнитопаузы и призваны обеспечить электронейтральность слоев согласно соотношению для локальных концентраций частиц

причем ниже для простоты их распределения ${{F}_{{\alpha 0}}}({v})$ предполагаются холодными.

Согласованное магнитное поле ${{B}_{y}} = - \frac{{d{{A}_{z}}}}{{dx}}$ определяется входящим в выражения (1), (2) вектор-потенциалом, который задается суммарной плотностью тока, j(x) = $\sum\limits_\alpha {{{e}_{\alpha }}} \int v {{f}_{\alpha }}(x,v){{d}^{3}}v$, посредством закона Ампера, имеющего вид уравнения Грэда–Шафранова [10],

где P_xx – газокинетическое давление:

Всякое решение уравнения (4) отвечает самосогласованному токовому слою, обеспечивающему баланс давлений магнитного поля и частиц $B_{y}^{2} + 8\pi {{P}_{{xx}}} = 8\pi {{P}_{0}} \equiv {\text{const}}$. Само уравнение (4) имеет вид уравнения движения материальной точки в потенциале, что позволяет классифицировать типы токовых конфигураций [10] подобно тому, как это делается в механике. Выберем постоянную P₀ всюду больше кинетического давления частиц ${{P}_{{xx}}}({{A}_{z}})$ (5), так чтобы при переходе через токовый слой направление магнитного поля не менялось (полагаем ${{B}_{y}} < 0$), а величина изменялась от одной константы к другой, что и соответствует случаю магнитопаузы.

Зависимость вектор-потенциала от координаты определяется из выражения

где ${{A}_{z}} = 0$ в условном центре слоя $x = 0$. Поскольку всюду ${{B}_{y}} < 0$, зависимость $x({{A}_{z}})$ является монотонной и обратимой, позволяя найти в параметрическом виде однозначное решение задачи о равновесной магнитопаузе. Для получения аналитического ответа необходимо только явно вычислить интеграл (5), что ранее делалось для максвелловского распределения частиц (см. [13] и указанную там литературу).

Для каппа-распределения [14] частиц с эффективными температурами ${{T}_{{\alpha s}}}$,

где $\kappa > 3{\text{/}}2$ и введены характерная скорость ${{{v}}_{{\alpha s}}}$ = = $\mathop {\left( {\frac{{2{{T}_{{\alpha s}}}}}{{{{m}_{\alpha }}}}} \right)}\nolimits^{1/2} $ и числовой фактор интеграл (5) берется и находятся плотности тока, концентрации частиц и давление:

Здесь использованы обозначение a_αs(x) = = $\frac{{[{{A}_{z}}(x) - {{A}_{{\alpha s}}}]e}}{{c{{m}_{\alpha }}{{{v}}_{{\alpha s}}}}}$ и гипергеометрическая функция $_{2}{{F}_{1}}\left( \ldots \right)$.

Укажем некоторые свойства магнитопауз в данной модели с обрезанными каппа-распределениями. Прежде всего отметим, что в центральной части токового слоя анизотропия самосогласованного распределения частиц по скоростям оказывается довольно сильной, с характерным отношением эффективных ортогональных полуосей порядка двойки. Профили типичных токовых слоев получаются асимметричными уже в простейшем случае двух компонент плазмы в отсутствие противотоковых фракций и даже в случае одной доминирующей компоненты, например, протонов в условиях пренебрежимо малого энергосодержания электронов. Последнее показано на рис. 1, где справа на бесконечности протоны имеют каппа-распределение по импульсам (7) с индексом κ = 3.

Вычисляя толщины слоев, сформированных частицами различных компонент,

легко убедиться, что масштаб магнитопаузы составляет порядка гирорадиуса токообразующих частиц ее энергонесущей фракции, r_αs0 = $\mathop {\left( {\frac{{{{T}_{{\alpha s}}}{{m}_{\alpha }}}}{{4\pi {{P}_{0}}}}} \right)}\nolimits^{1/2} c{\text{/}}e$. Так, в магнитопаузе Земли это обычно гирорадиус протонов, а в токовых слоях на границах магнитных облаков в солнечном ветре это может быть и гирорадиус электронов.

Если в магнитопаузе имеется более одной компоненты токонесущих частиц со сравнимым энергосодержанием и тем более с противотоками, то профили магнитного поля и плотности тока могут быть сложными, многомасштабными и немонотонными (с переосцилляциями), а толщина магнитопаузы может значительно превышать максимальный из характерных гирорадиусов токонесущих частиц. Рисунок 2 демонстрирует сказанное на примере трехмасштабной структуры магнитопаузы с электронной и двумя ионными фракциями, ток одной из которых смещен в пространстве, и все три сравнимы по энергосодержанию. Как видно, имеются значительные отличия профилей тока этих трех фракций для каппа-распределения и максвелловского распределения при одних и тех же концентрациях и эффективных температурах.

Другие расчеты токов и магнитного поля, проведенные на основе развитой аналитической модели для разных комбинаций компонент плазмы, в частности, типичных для магнитопауз планет, также показывают, что случаи рассматриваемого каппа-распределения и исследовавшегося ранее максвелловского распределения [13] для аналогичных параметров фракций отвечают заметно различающимся структурам, что важно для интерпретации наблюдений. Получающиеся профили варьируются в широких пределах при учете противотоков различных компонент, которые уменьшают скачок магнитного поля в магнитопаузе и увеличивают ее толщину.

Таким образом, уже в простом варианте предложенной модели со ступенчатым обрезанием изотропной функции распределения частиц по импульсам (каппа-распределения в настоящей работе) имеются широкие возможности комбинирования вкладов различных компонент плазмы в результирующие профили распределенного тока магнитопаузы, согласованно учитывающие различные энергосодержания, эффективные температуры и степени анизотропии этих компонент, так или иначе заданные или ограниченные наблюдениями. Обобщения данного варианта аналитической модели магнитопаузы на более общий случай с различным сглаженным обрезанием тех или иных изотропных функций распределения частиц многокомпонентной плазмы, в том числе релятивистской, с зависящим от энергии частиц пространственным сдвигом области сосредоточения противотоков различных компонент плазмы и с широм силовых линий магнитного поля, существенным для реализации бессиловых конфигураций магнитопаузы, будут сделаны в отдельных работах.