Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 496, № 1, стр. 31-36

1. Мотивировка. Классическая задача о распространении акустических волн в полубесконечном цилиндре с прямым торцом и жесткими стенками решается при помощи метода Фурье, а простейшая форма волновода обеспечивает “идеальное” отражение приходящей из бесконечности волны: коэффициент отражения $R$ равен единице. Возмущение конца полуцилиндра – образование резонатора Гельмгольца – обычно не может изменить дифракционную картину кардинально, так как коэффициент отражения $R = {{e}^{{i\psi }}}$ не покидает единичную окружность на комплексной плоскости в силу закона сохранения энергии, однако при определенных, заведомо не всех, формах резонатора на изолированных частотах происходит захват волны. Иными словами, задача Неймана для оператора Гельмгольца приобретает решение, затухающее на бесконечности, а значит, и собственную частоту, причем окружающий ее узкий частотный диапазон характеризуется “странным” поведением коэффициентов рассеяния, которое ассоциируется с разнообразными аномалиями рассеяния – аномалии Вуда [1] и Вайнштейна [2], резонансы Фано [3] и пр. (см. обзорную статью [4]).

Поиск собственных частот, вкрапленных в непрерывный спектр и потому обладающих природной неустойчивостью, – занятие трудоемкое и требующее применения продвинутых методов, например, асимптотических. В настоящем сообщении изучается похожий вопрос, однако не связанный непосредственно со спектром: рассматриваются два полубесконечных цилиндра, соединенные тонкой перемычкой (рис. 1 ). На первый взгляд кажется, что ввиду предсказуемо плохой проводимости узкого акустического канала дифракционная картина мало отличается от описанной в предыдущем абзаце, за тем исключением, что модуль $\left| R \right|$ коэффициента отражения становится чуть меньше единицы из-за незначительного, но все-таки ненулевого коэффициента прохождения T. В самом деле, почти полное отражение волны – ситуация общего положения, но далее будет показано, что на частотах, близких к собственной частоте ${{\kappa }_{ * }}$ одномерной модели тонкого канала, может происходить обратное явление – почти полное прохождение волны (инвертированная аномалия Вайнштейна по терминологии [4]): большая часть энергии, приносимой волной с бесконечности в одной трубе, проникает через тонкую перемычку в другую трубу и уносится на бесконечность в ней, а амплитуда отраженной волны пропорциональна малому относительному диаметру узкого канала (ср. далее формулу (7)). Вместе с тем на самой частоте ${{\kappa }_{ * }}$ указанная аномалия отсутствует, и для ее образования требуется “точная настройка” формы резонирующего канала.

Для упрощения изложения задача дифракции решается в наиболее простой постановке, хотя предложенный подход допускает разнообразные обобщения, представляющие интерес в инженерной практике и годящиеся для создания волновых фильтров и демпферов. Так, соединение двух полубесконечных цилиндрических волноводов тонкими искривленными трубками в количестве N штук может обеспечить значительное прохождение волн из низкочастотного диапазона спектра только на заданном наперед наборе частот ${\text{\{ }}{{\kappa }_{1}},\; \ldots ,\;{{\kappa }_{N}}{\text{\} }}$. Еще одно важное обстоятельство: локализованные деформации трубок позволяют варьировать избранные частоты, т.е. изменять настройку фильтра.

Аномальное прохождение волн было описано, например, в статьях [5, 6] в случае падения плоской волны на толстую стенку с периодически расположенными узкими щелями и в [7] для одномерной модели неоднородного волновода с зауженным участком. Изученная далее задача о прохождении поршневой моды вдоль акустического волновода на рис. 1 разнится с изученными ранее во многих аспектах. Во-первых, рассмотрен пространственный волновод, для которого строение абсолютного большинства промежуточных и финальных формул отличается от плоского случая. Во-вторых, допускается существенно общая форма сечений волновода, не позволяющая применять использованные в предшествующих работах приемы сведения дифференциальной задачи к интегральным уравнениям или решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В-третьих, сечения широких двух рукавов волновода не обязаны быть одинаковыми, и тем самым получен критерий (6) возникновения обсуждаемой аномалии. Наконец, изменена и суть вопроса: вместо проверки, что “почти полное прохождение реализуется на какой-то частоте”, установлено, что параметры соединительного канала можно подобрать так, чтобы искомый эффект наблюдался на заданной наперед частоте. Наконец, разработанная процедура точной настройки формы канала – то новшество, которое отличает данное сообщение от всех предшествующих публикаций.

Результат получен при помощи асимптотических методов: на канале применяется процедура понижения размерности, а в зонах соединения – анализ сингулярно возмущенных задач (см. книги [8, 9] соответственно). Новый подход позволяет исследовать сочленения разнообразных (акустических, квантовых, упругих и т.д.) волноводов с различными предельными размерностями, причем не только для основных мод (поршневых в рассматриваемой ситуации). Незначительные ограничения на геометрию акустического волновода ${{\Pi }^{\varepsilon }}$ с жесткой стенкой $\partial {{\Pi }^{\varepsilon }}$ вводятся далее для упрощения изложения, и только в разд. 6 рукава волновода и канал становятся прямыми цилиндрами для полной конкретизации асимптотических формул.

2. Постановка задачи. Волновод состоит из двух рукавов-труб $\Omega _{ \pm }^{\varepsilon }$ и соединяющего их тонкого ($\varepsilon \ll 1$) канала ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ переменного сечения (рис. 1 ), которые заданы формулами

Здесь ε > 0 – малый параметр, ${{\omega }_{ \pm }}$ и $\theta $ – области на плоскости, ограниченные простыми замкнутыми гладкими контурами и содержащие начало декартовых координат $y \in {{\mathbb{R}}^{2}}$. Гладкая профильная функция H положительна на сегменте $\left[ { - L - {{\ell }_{0}},L + {{\ell }_{0}}} \right]$ и

Наконец, поверхности $\partial {{\Omega }_{ \pm }}$ содержат начало $\mathcal{O}$ декартовой системы координат $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ и совпадают с частями плоскости ${\text{\{ }}x{\text{:}}\;z = {{x}_{3}} = 0{\text{\} }}$ в окрестности точки $\mathcal{O}$. Все специфические черты волновода отражены на рис. 1 .

Гармонические во времени свободные колебания акустического поля с частотой $\kappa > 0$ описываются решениями задачи Неймана

где ${{u}^{\varepsilon }}$ – давление, ${{\Delta }_{x}}$ – оператор Лапласа и ${{\partial }_{n}}$ – производная вдоль внешней нормали n. Непрерывный спектр задачи (6) занимает полуось $\mathop {{{{\bar {\mathbb{R}}}}_{ + }}}\nolimits_{} = \left[ {0, + \infty } \right)$, а частота $\kappa $ берется из первого интервала $(0,{{\kappa }_{\dag }})$ постоянной кратности, т.е. ${{\kappa }_{\dag }}$ = = min κ_± и $\kappa _{ \pm }^{2}$ – первые положительные собственные числа задачи Неймана для оператора Лапласа ${{\Delta }_{y}}$ на сечениях ${{\omega }_{ \pm }}$. Таким образом, в цилиндрических частях (2) волновода (1) распространяются только поршневые моды ${{w}^{ \pm }}(x) = {{e}^{{ \pm i\kappa z}}}$.

Приходящая с бесконечности в рукаве $\Omega _{ - }^{\varepsilon }$ волна $c{{w}^{ + }}$ рассеивается в “резонаторе” $\{ x \in {{\Pi }^{\varepsilon }}$: $z \in ( - L_{ - }^{\varepsilon },L_{ + }^{\varepsilon })\} $, возвращаясь в рукав $\Omega _{ - }^{\varepsilon }$ с коэффициентом отражения ${{R}^{\varepsilon }}$ и проникая в рукав $\Omega _{ + }^{\varepsilon }$ с коэффициентом прохождения ${{T}^{\varepsilon }}$. Основная цель сообщения — показать, что подбор параметров канала (3), в частности, длин (4) может обеспечить соотношения

для коэффициентов рассеяния в дифракционном решении задачи (6). Здесь остаток ${{\tilde {u}}^{\varepsilon }}$ экспоненциально затухает на бесконечности, а ${{\chi }_{ \pm }}$ – гладкая срезающая функция, служащая для локализации волн в рукаве $\Omega _{ \pm }^{\varepsilon }$,

Подчеркнем, что закон сохранения энергии гарантирует равенство ${\text{|}}{{R}^{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}} + \,{\text{|}}{{T}^{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}} = 1$, а нормирующий множитель ${{\left( {2\kappa \left| {{{\omega }_{ \pm }}} \right|} \right)}^{{ - 1/2}}}$ в поршневых модах содержит площадь $\left| {{{\omega }_{ \pm }}} \right|$ сечения ${{\omega }_{ \pm }}$

3. Специальные решения предельных задач. Задача в изолированном рукаве

имеет два используемых далее решения: поле включающее приходящую и уходящую волны, и обобщенную функцию Грина

При этом остатки ${{\tilde {\zeta }}_{ \pm }}(x)$ и ${{\tilde {G}}_{ \pm }}(x)$ исчезают на бесконечности с экспоненциальной скоростью и справедливо равенство ${{\tilde {G}}_{ \pm }}(\mathcal{O}) = 0$, а ${{S}_{ \pm }}$ и ${{K}_{ \pm }}$, $G_{ \pm }^{0}$ – комплексные числа, зависящие от формы рукава ${{\Omega }_{ \pm }}$ и частоты $\kappa $, причем выполнены соотношения

Наконец, χ₀ – гладкая срезающая функция с малым носителем, равная единице в окрестности точки $\mathcal{O}$, а функция χ определена формулой (9) при L = 0.

Одномерная модель тонкого канала (3) выглядит следующим образом (см., например, книги [8; 9, гл. 15]):

Пусть параметры $L = L_{ \pm }^{0}$ и H в формулах (3)–(5) подобраны так, что

есть собственное число задачи (13), (14) и v$ \in {{C}^{\infty }}[ - L,L]$ – соответствующая собственная функция. Ясно, что

Уравнение (13) с неоднородными краевыми условиями

имеет решение в том и только в том случае, если

Последняя из нужных предельных задач возникает в результате растяжения координат

и формального перехода к ε = 0, которые переделывают область Π^ε в объединение ${{\Xi }_{ \pm }}$ полупространства $\mathbb{R}_{ - }^{3} = {\text{\{ }}\xi {\text{:}}\;{{\xi }_{3}} < 0{\text{\} }}$ (освободили обозначения от верхних индексов $^{{\varepsilon \pm }}$) и полуцилиндра ${{Q}_{ \pm }} = {{\theta }_{ \pm }} \times [0, + \infty )$, а задачу (6) – в задачу Неймана для уравнения Лапласа

Любое ограниченное решение задачи (20) – линейная комбинация ${{c}_{0}} + {{c}_{1}}{{W}_{ \pm }}(\xi )$ (см., например, обзор [10, §5]), в которой ${{W}_{ \pm }}$ – гармоническая в области ${{\Xi }_{ \pm }}$ функция с нулевыми данными Неймана на поверхности $\partial {{\Xi }_{ \pm }}$, полностью определенная своим поведением на бесконечности:

При этом ${{M}_{ \pm }} > 0$ – постоянная, зависящая только от формы сечения ${{\theta }_{ \pm }}$.

4. Асимптотика коэффициентов рассеяния. Поскольку по предположению ${{\kappa }^{2}}$ – собственное число задачи (13), (14), асимптотический анзац для решения (8) задачи (6) на канале Θ^ε выглядит так:

Здесь ${{{v}}^{0}} = {{a}^{0}}{\mathbf{v}}$ – собственная функция, ${{a}^{0}}$ и ${v}{\text{'}}$, ${v}{\text{''}}$ – число и функции, подлежащие определению, а многоточие заменяет младшие асимптотические члены, не существенные для предпринимаемого анализа. Кроме того, функция $\mathcal{V}$, имеющая нулевое среднее по сечению, возникает как результат применения процедуры понижения размерности [8, 9, гл. 15] к задаче (6), суженной на тонкий канал (3), но $\mathcal{V} = 0$ в случае прямого ($H = {\text{const}}$) канала и $\mathcal{V}({{\varepsilon }^{{ - 1}}}y,z) = 0$ при $\left| {z \mp L} \right| < {{\ell }_{0}}$ благодаря ограничению (5).

Вблизи зон присоединения канала ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ к рукавам $\Omega _{ \pm }^{\varepsilon }$ в силу краевых условий (14) имеем

При этом $\xi _{3}^{ \pm } = {{\varepsilon }^{{ - 1}}}(L \mp z)$ – растянутая координата, отличающаяся от $\xi _{3}^{{\varepsilon \pm }} = \xi _{3}^{ \pm } + L{\kern 1pt} '\, + \varepsilon L''$ (ср. формулы (9) и (19)). Следовательно, главный член внутреннего разложения

принимает вид

Вместе с тем внешние разложения в рукавах $\Omega _{ \pm }^{\varepsilon }$

остаются ограниченными при $\varepsilon \to + 0$, т.е. ввиду затухания функции (21) в полупространстве приходится положить $C_{ \pm }^{0} = 0$ в формуле (24). Следовательно, вблизи точек $\mathcal{O}_{ \pm }^{\varepsilon } = (0,0, \pm L_{ \pm }^{\varepsilon })$ выполнены разложения Наложим ограничения на вторые члены представлений (4) и в результате сравнения второй строки (26) с формулой (23) получим, что ${v}{\text{'}}( \pm L) = 0$, а значит, можно взять ${v}{\text{'}} = 0$ в анзаце (22) на тонком канале.

Внутри рукавов $\Omega _{ \pm }^{\varepsilon }$ сращивание внутреннего разложения из первой строки (26) с внешним разложением (25) при учете проистекающих от (8) условий излучения

показывает, что и

Согласно формулам (28) и (10), (11) находим:

Следовательно, присоединив к (30) множители при $1 = {{\varepsilon }^{0}}$ из формулы (22) и второй строки формулы (26), применим процедуру сращивания на указанном уровне и обнаружим связи

Слагаемое $\mathcal{V}$ из анзаца (22) не сказывается ни на уравнении (13), ни на краевых условиях (31) для функции ${v}{\text{''}}$, а значит, условие (18) ее существования принимает вид

Осталось как-то зафиксировать величину $L_{ \pm }^{{{\text{''}}}}$, найти коэффициент a⁰ из соотношения (32) и, подставив его в формулы (29), вычислить главные члены асимптотики коэффициентов рассеяния

5. Обеспечение почти полного прохождения. Для выполнения требований (7) нужно обратить в нуль выражение R⁰ из (29), т.е. соблюсти равенство

Подставив соотношения (34), (12) в равенство (32) и зафиксировав величины

получаем необходимое (и достаточное согласно приведенным асимптотическим конструкциям) условие почти полного прохождения поршневой моды

Числа ${{K}_{ \pm }},G_{ \pm }^{0} \in \mathbb{C}$ определены по заданным рукавам (1), но величины (4) и (16), относящиеся к соединительному каналу (3), по условию находятся в нашем распоряжении, и потому можно добиться выполнения условия (36) путем вариации профильной функции $H$ – длина $L_{ - }^{\varepsilon } + L_{ + }^{\varepsilon }$ канала ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ выбирается согласно формулам (15), (27) и (33).

6. Волновод, составленный из прямых цилиндров. Пусть ${{\Omega }_{ \pm }} = {{\omega }_{ \pm }} \times {{\mathbb{R}}_{ + }}$ и ${{\Theta }^{\varepsilon }} = \theta \times [ - {{L}^{\varepsilon }},{{L}^{\varepsilon }}]$. Решая предельные задачи из разд. 3, находим:

Условие (36) почти полного прохождения поршневой моды принимает вид

и выполняется исключительно при совпадении площадей сечений рукавов ${{\Omega }_{ \pm }}$.

7. Комментарии. 1. Геометрия. Основную роль, разумеется, играет расстояние $L_{ + }^{\varepsilon } + L_{ - }^{\varepsilon }$ между рукавами, а его разбиение (4) введено лишь для удобства: если, например, $L_{ - }^{'} = 0$ и $L_{ + }^{'} = - {{M}_{ + }} - {{M}_{ - }}$ (ср. формулы (27)), то вывод сохраняется, но второй член ${v}{\text{'}}$ анзаца (22) перестает быть нулевым.

Границы областей ${{\Omega }_{ \pm }}$ и $\theta $ могут быть липшицевыми, в частности, кусочно-гладкими. При этом вместо дифференциальной постановки задачи нужно использовать интегральное тождество – обобщенную постановку задачи. Допускаются кусочно-гладкие профильные функции $H$, в частности, выбор параметров $L$, ${{L}_{ * }}$ и ${{H}_{ \pm }} > 0$ в случае кусочно-постоянного профиля

позволяет добиться почти полного прохождения волны в ситуации ${{\Omega }_{ \pm }} = {{\omega }_{ \pm }} \times {{\mathbb{R}}_{ + }}$, $\left| {{{\omega }_{ - }}} \right| \ne \left| {{{\omega }_{ + }}} \right|$ из разд. 6.

Предположение об уплощении поверхностей $\partial {{\Omega }_{ \pm }}$ в окрестности начала координат $\mathcal{O}$ тривиализует процедуру сращивания, но результат остается прежним и для изогнутых границ, а для конических точек $\mathcal{O} \in \partial {{\Omega }_{ \pm }}$ предложенный подход требует несущественных изменений (см. монографию [9, гл. 5]). Искривление оси канала ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ также не сказывается на предельном уравнении (13) (ср. публикации [11] и [9, гл. 15, 16]).

2. Полное прохождение. Проведенный асимптотичсекий анализ в принципе позволяет достичь даже полного прохождения (${{R}^{\varepsilon }} = 0$) поршневой моды, так как выбор величин $L_{ \pm }^{{''}}$ позволяет компенсировать возмущение мнимых частей выражений в (32), а вариация профиля H и как следствие величин ${{A}_{ \pm }}$ – возмущение вещественных частей. Вместе с тем необходимая процедура настройки усложняется значительно (см. статьи [11–13] для родственных задач) и вопрос оставлен открытым.

3. Отражение. Если κ² не является собственным числом задачи (13), (14), то внешние разложения (25) и (22) включают функции $u_{ - }^{0} = {{\zeta }_{ - }}$, $u_{ + }^{0} = 0$ и решение ${{{v}}^{0}}$ задачи (13), (17) с правыми частями ${{g}_{ - }} = {{\zeta }_{ - }}(\mathcal{O})$, ${{g}_{ + }} = 0$. Таким образом, ${{R}^{0}} = {{S}_{ - }}$ и ${{T}^{0}} = 0$ в представлениях (33) коэффициентов рассеяния, т.е. реализуется почти полное отражение поршневой моды.

Если нарушить “настройку” (35) длины канала Θ^ε, то также возникает существенное отражение волны. Например, для составного цилиндрического волновода из разд. 6 при дополнительном ограничении $\left| \omega \right| = \left| {{{\omega }_{ + }}} \right| = \left| {{{\omega }_{ - }}} \right|$ положим

Согласно соотношениям (29), (32) и (37) главные члены представлений (33) коэффициентов рассеяния принимают вид

Модуль ${\text{|}}{{T}^{0}}(t){\text{|}} = {{(1 + {{t}^{2}})}^{{ - 1}}}$ коэффициента прохождения монотонно убывает при возрастании малого отклонения $2{{\varepsilon }^{2}}t{{\left( {\kappa \left| \omega \right|} \right)}^{{ - 1}}}\left| \theta \right|$ от “правильно выбранной” длины канала. Пути $\mathbb{R} \ni t \mapsto {{R}^{0}}(t)$, ${{T}^{0}}(t) \in \mathbb{C}$ суть окружности с радиусом $\frac{1}{2}$ и центрами в точках $\frac{1}{2}$, $\frac{{{{{( - 1)}}^{{1 + m}}}}}{2}$ на вещественной оси.