Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 497, № 1, стр. 21-26

ВВЕДЕНИЕ

Принято считать, что параметры теории упругости (модули упругости, коэффициент Пуассона) как гармонические линейные величины не должны быть связаны с ангармонизмом – с отклонением силы межатомного взаимодействия от линейной зависимости при смещении атома из равновесного положения. Тем не менее в последнее время наблюдается заметный интерес к взаимосвязи упругих свойств и параметра Грюнайзена [1–7] – меры ангармонизма.

Параметр Грюнайзена γ, характеризующий нелинейность силы межатомного взаимодействия и ангармонизм колебаний решетки, входит в уравнение состояния твердого тела. Основным соотношением для экспериментального определения γ является уравнение (закон, формула) Грюнайзена

где β – коэффициент объемного теплового расширения, V – молярный объем , B – изотермический модуль объемного сжатия, C_V – молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Помимо этого уравнения, на наш взгляд, заслуживают внимания формулы Леонтьева [3]

и Беломестных–Теслевой [1]

Здесь B_A – адиабатический модуль объемного сжатия, ρ – плотность, ${{{v}}_{к}}$ – средняя квадратичная скорость волн деформации, квадрат которой является инвариантом суммы квадратов скоростей распространения продольной (${{{v}}_{{\text{L}}}}$) и поперечной (${{{v}}_{{\text{S}}}}$) упругих волн

μ – коэффициент Пуассона, который иногда называют коэффициентом поперечной деформации. Формулы Леонтьева (2) и Беломестных–Теслевой (3) привлекательны тем, что в отличие от уравнения Грюнайзена (1) позволяют рассчитывать γ по более доступным экспериментальным данным. Установлено, что они находятся в удовлетворительном согласии с уравнением Грюнайзена [1–4] (см., например, рис. 1).

Вместе с тем обращает внимание то обстоятельство, что в формулах (2) и (3) в левых частях равенств находится мера ангармонизма γ, а в правые части входят на первый взгляд только гармонические характеристики (ρ, B_A, ${v}_{к}^{2}$) и μ. Тем самым наблюдается как бы противоречие.

В настоящем сообщении развито представление о том, что правые части равенств (2) и (3) зависят от ангармонизма через зависимость отношения квадратов скоростей звука $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ от параметра Грюнайзена γ и указанное противоречие на самом деле является кажущимся противоречием.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ ОТ ПАРАМЕТРА ГРЮНАЙЗЕНА

При изучении формул (2) и (3) обнаруживается тот факт, что их правые части являются функциями отношения квадратов скоростей распространения продольной и поперечной акустических волн $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$. Так, например, в уравнении Леонтьева (2) за счет величины ${v}_{к}^{2}$ правая часть равенства оказывается функцией указанного отношения ${{\left( {\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{}}}}} \right)}^{2}}$ (см. соотношение (4))

Далее, в правой части уравнения Беломестных–Теслевой (3) коэффициент Пуассона μ, согласно известной формуле теории упругости [8], также является функцией отношения квадратов скоростей звука $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$:

Отмеченное наблюдение в отношении рассматриваемых формул наводит на мысль о том, что их правые части, возможно, зависят от ангармонизма за счет отношения квадратов скоростей продольной и поперечной акустических волн $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$. В самом деле, наши исследования ряда стеклообразных твердых тел и кристаллов показали [9]: если между параметром Грюнайзена γ и квадратами скоростей ${v}_{{\text{L}}}^{2}$ и ${v}_{{\text{S}}}^{2}$ в отдельности фактически нет определенной взаимосвязи, то их отношение $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ оказывается линейной функцией параметра Грюнайзена γ – меры ангармонизма. В качестве примера на рис. 2 демонстрируется линейная корреляция между отношением $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ и γ для натриево-алюмосиликатных стекол (табл. 1, [10]).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ ЗАВИСИМОСТИ $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ ОТ γ

На рис. 2 приводится линейная корреляция между величинами $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ и γ, полученная эмпирически на основе экспериментальных данных. Представляет интерес установление взаимосвязи этих величин с помощью существующих теоретических уравнений в данной области.

Формулу для зависимости отношения квадратов скоростей звука $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ от параметра Грюнайзена γ можно вывести из приведенных выше соотношений, а именно из уравнения Беломестных–Теслевой (3) и формулы теории упругости (5), которую разрешим относительно $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ и запишем в виде [8]

Выразив из уравнения Беломестных–Теслевой (3) коэффициент Пуассона μ через γ и подставив его в формулу теории упругости (6), приходим к следующей зависимости отношения $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ от γ

Этот результат можно получить также из формулы Беломестных для акустического параметра Грюнайзена (соотношение (1) в работе [1]).

Теоретическая зависимость (7) находится в согласии с экспериментальными данными для стекол – прямая на графике в координатах уравнения (7) проходит через начало координат с тангенсом угла наклона, равным единице (рис. 3).

Возникает, естественно, вопрос, как согласовать соотношение (7) с эмпирической линейной корреляцией, наблюдаемой между величинами $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ и γ (рис. 2). Оказывается, из формулы (7) можно получить линейную зависимость $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ от γ при условии 2γ $ \ll $ 9

Для рассмотренных стекол, у которых γ ≈ 1.2–1.5 (табл. 1), данное условие более или менее приемлемо. Для ряда других твердых тел оно выполняется с натяжкой. Этот вопрос требует дальнейшего исследования.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. С точки зрения интерпретации полученных результатов на микроскопическом уровне представляет интерес модель случайно упакованных атомов в виде сфер, взаимодействующих друг с другом в месте контакта двумя взаимно перпендикулярными силами: нормальной к плоскости контакта f_n = k_nx_n и тангенциальной (силой трения) f_t = k_tx_t [11, 12]. В рамках данной модели Берлина–Ротенбурга–Басэрста (БРБ) коэффициент Пуассона μ определяется отношением тангенциальной k_t и нормальной k_n жесткостей межатомной связи λ = $\frac{{{{k}_{t}}}}{{{{k}_{n}}}}$ [11, 12]

Из соотношений (6) и (9) следует, что отношение квадратов скоростей звука (${v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}{\text{/}}{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}$) определяется микроскопическим параметром λ:

В свою очередь, как видно из равенств (3) и (9), параметр λ однозначно связан с ангармонизмом (γ)

Центральным силам (k_n $ \gg $ k_t, λ ≈ 0) соответствуют следующие значения коэффициента Пуассона и параметра Грюнайзена:

В случае другого предельного значения λ (k_n $ \ll $ k_t, λ ≈ ∞) имеем

Последний результат указывает на отсутствие ангармонизма (γ = 0): свойства тела являются гармоническими. В соответствии с определением μ [8] отрицательный коэффициент Пуассона означает поперечное расширении тела при его одноосном растяжении, что, вообще говоря, противоречит здравому смыслу. Однако необходимо признать, что появились публикации, подтверждающие существование изотропных тел с отрицательным коэффициентом поперечной деформации μ < 0 [11–13].

2. В формуле Леонтьева (2) произведение ρ${v}_{k}^{2}$, обладающее характерными признаками упругих модулей, названо эффективным модулем упругости [4, 14]:

Из соотношений теории упругости для кубических кристаллов (см., например, [3])

видно, что при выполнении условия Коши С₁₂ = С₄₄, когда между однородно деформированными областями кубической решетки действуют центральные силы, эффективный модуль упругости K = ρ${v}_{k}^{2}$ совпадает с модулем объемного сжатия K = В. Во всех других случаях он отличен от В. Здесь С₁₁, С₁₂ и С₄₄ – упругие постоянные второго порядка.

С точки зрения формулы Леонтьева (2) параметр Грюнайзена определяется отношением модуля объемного сжатия и эффективного модуля упругости

При выполнении условия Коши B = K параметр Грюнайзена равен γ = 1.5 и твердое тело находится в поле центральных сил, а при B ≠ K наблюдается отклонение от этого поля (от значения γ = 1.5).

Из соотношений Леонтьева (2) и Беломестных–Теслевой (3) видно, что отношение $\left( {\frac{B}{K}} \right)$ оказывается однозначной функцией коэффициента Пуассона μ, как и в случаях отношения других упругих модулей [8],

На основе данных табл. 1 легко убедиться, что это выражение находится в хорошем согласии с экспериментальными данными [4, 14]. Можно убедиться также, что упругие модули в отдельности представляют собой гармонические характеристики твердых тел, а их отношения оказываются однозначными функциями параметра Грюнайзена – меры ангармонизма.

3. Пинеда (Pineda) [6] теоретически исследовал изменения упругих свойств металлических стекол при их структурных изменениях. Он исходит из следующих трех основных предположений: 1) потенциал межатомного взаимодействия состоит из гармонической и ангармонической частей, 2) распределение расстояний между ближайшими атомами является гауссовым, 3) упругие свойства определяются первой координационной сферой (непосредственным окружением атомов).

Теория Пинеды в целом качественно правильно отражает изменение упругих характеристик в металлических стеклах, в частности, удовлетворительно объясняет эксперименты по структурной релаксации и по всестороннему сжатию этих систем.

Мы использовали данную теорию для проверки зависимости отношения упругих модулей $\left( {\frac{B}{K}} \right)$ и, следовательно, коэффициента Пуассона μ (см. [8]) от параметра ангармоничности потенциала γ₁. Из теории следует, что такая зависимость существует. В самом деле, в соответствии с формулами упругие модули B и Gпропорциональны гармоническому коэффициенту a – параметру межатомного потенциала, а их отношение $\left( {\frac{B}{K}} \right)$ практически не зависит от а и определяется главным образом параметром ангармоничности γ₁ = $\frac{{b{{r}_{0}}}}{a}$, который пропорционален параметру Грюнайзена γ = $\frac{{b{{r}_{0}}}}{{6a}}$ [4]. Это означает зависимость коэффициента Пуассона μ от параметра Грюнайзена γ – меры ангармонизма. Известно, что величина μ является однозначной функцией отношения упругих модулей $\left( {\frac{B}{K}} \right)$ [8]. Здесь b – ангармонический коэффициент, r₀ – равновесное межатомное расстояние.

Таким образом, в рамках теории Пинеды получает определенное обоснование уравнение Беломестных–Теслевой (3), устанавливающее взаимосвязь коэффициента Пуассона и параметра Грюнайзена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Квадраты скоростей продольной и поперечной акустических волн ${v}_{{\text{L}}}^{2}$ и ${v}_{{\text{S}}}^{2}$ в отдельности фактически не связаны с ангармонизмом, а их отношение $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ оказывается линейной функцией параметра Грюнайзена γ, т.е. является ангармонической характеристикой твердых тел. Установлено, что величина $\frac{{{v}_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}}}{{{v}_{{\text{S}}}^{{\text{2}}}}}$ определяется отношением тангенциальной и нормальной жесткостей межатомной связи λ = $\frac{{{{k}_{t}}}}{{{{k}_{n}}}}$, которое, в свою очередь, является однозначной функцией параметра Грюнайзена γ. В формулах Беломестных–Теслевой (3) и Леонтьева (2) нет противоречия, касающегося взаимосвязи гармонических и ангармонических величин. В рамках теории Пинеды получает определенное обоснование однозначная взаимосвязь коэффициента Пуассона и параметра Грюнайзена.