Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 497, № 1, стр. 40-43

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование проводилось с помощью численного решения нестационарных уравнений Навье–Стокса в двумерной постановке. Это обусловлено тем, что в данной работе рассматривалась вторая мода возмущений, являющаяся наиболее неустойчивой при больших сверхзвуковых скоростях потока и имеющая двумерный характер поведения [3]. Основные расчетные исследования проведены для модели совершенного газа. Все величины входят в консервативную запись уравнений в безразмерном виде. При обезразмеривании уравнений Навье–Стокса декартовы координаты отнесены к характерному линейному размеру, время – к характерному времени, компоненты вектора скорости – к модулю вектора скорости набегающего потока, давление – к удвоенному скоростному напору набегающего потока, остальные газодинамические переменные – к их значениям в набегающем потоке. При таком обезразмеривании в уравнениях Навье–Стокса появляются основные параметры подобия: показатель адиабаты, число Маха набегающего потока, число Рейнольдса, число Прандтля. Обезразмеренные таким образом уравнения Навье–Стокса использовались при численном интегрировании. Интегрирование уравнений Навье–Стокса выполнялось с помощью интегро-интерполяционного метода (метода конечного объема). Его применение к уравнениям Навье–Стокса позволяет получить разностные аналоги законов сохранения. Для монотонной разностной схемы вычисление потоков в полуцелых узлах осуществлялось на основе решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. При аппроксимации конвективной составляющей векторов потоков в полуцелых узлах использована схема WENO третьего порядка точности. При аппроксимации диффузионной составляющей векторов потоков на грани элементарной ячейки применяется разностная схема типа центральных разностей второго порядка точности. В результате разностной аппроксимации уравнений Навье–Стокса и соответствующих граничных условий на некоторой сетке интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводилось к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для решения нелинейных сеточных уравнений использовался модифицированный метод Ньютона–Рафсона. Численный метод реализован на многопроцессорной супер-ЭВМ кластерного типа [4].

Задача восприимчивости решалась в два этапа. Сначала методом установления рассчитывалось стационарное поле течения. Затем на входной и верхней границах расчетной области ставились нестационарные граничные условия, моделирующие акустическую волну с заданной частотой и компонентами волнового вектора, и далее решалась нестационарная задача. Вычисления производились до тех пор, пока не установится гармоническое по времени поле возмущения.

Расчетная сетка для всех случаев имела размерность 6050 × 603 узлов и разбивалась на 96 блоков, каждый из которых обрабатывался на одном ядре многопроцессорной супер-ЭВМ. На поверхности пластины ставились условия прилипания для скорости и изотермическое условие для температуры с температурным фактором t_w = 0.3, что соответствует холодной стенке. На правой выходной границе ставилось условие экстраполяции зависимых переменных.

Первым этапом решалась задача невозмущенного обтекания пластины с числом Маха набегающего потока M_∞ = 6, температурой T_∞ = 80 K, числом Рейнольдса Re_L,∞ = 3 × 10⁷, рассчитанным по длине пластины. На входной границе ставились условия Дирихле, на верхней границе ставились условия экстраполяции зависимых переменных. В результате методом установления по времени получалось стационарное поле течения с ударной волной при углах атаки набегающего потока AoA = –5^○ и AoA = 0^○ или с веером волн разрежения при AoA = 5^○.

Вторым этапом на полученное стационарное поле накладывались возмущения в виде монохроматической акустической волны [5]. Рассматривались отдельно случаи быстрой и медленной акустических волн. В данной работе выбрана амплитуда акустических возмущений ε = 10^–7 для обеспечения линейности процесса восприимчивости. Для каждого режима частота акустических волн выбиралась так, чтобы область неустойчивости находилась в пределах расчетной области и полученное усиление было одинаково (N-фактор, примерно, был равен одному и тому же числу [3]). Безразмерные частоты (частота нормирована на отношение скорости набегающего потока к характерному линейному размеру) и углы падения акустических волн для каждого угла атаки представлены в табл. 1.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В анализе полученных результатов в основном использовались поля возмущений скорости, давления и температуры, которые представляют собой разность полей с акустическими возмущениями в набегающем потоке и стационарных полей без возмущений. В случае AoA = –5^○ и быстрой акустической волны в набегающем потоке фазовая скорость возмущений сходится к фазовой скорости моды F (по терминологии [6]) от передней кромки до x = 0.03. Это наглядно демонстрируется полем возмущений давления вблизи передней кромки: при x ≃ 0.03 исчезают “перемычки”, соединяющие ячеистые структуры в пограничном слое с полосчатыми структурами, идущими от ударной волны (рис. 1). Затем мода F накачивает моду S (по терминологии [6]) и, начиная с x = 0.15, доминирует мода S (рис. 2). В случае AoA = –5^○ и медленной акустической волны фазовая скорость быстро сходится к фазовой скорости моды S. Затем наблюдаются осцилляции, которые исчезают вблизи x = 0.15. В случае AoA = 0^○ поведение фазовых скоростей схоже с режимом AoA = –5^○, но мода S начинает доминировать значительно ниже по потоку – вблизи x = 0.3. На рис. 3 представлено поле возмущений давления вблизи передней кромки для угла атаки AoA = 5^○, когда на процесс восприимчивости оказывает влияние веер волн разрежения. При AoA = 5^○ поведение фазовых скоростей также аналогично предыдущим режимам, а мода S доминирует, начиная с x = 0.6.

Рис. 1.

Поле возмущений давления для AoA = –5^○ и быстрой акустической волны вблизи передней кромки пластины.

Рис. 2.

Фазовые скорости возмущений, генерируемых быстрой (1) и медленной (2) акустическими волнами для AoA = –5^○.

Рис. 3.

Поле возмущений давления для AoA = 5^○ и быстрой акустической волны вблизи передней кромки пластины.

Эти результаты позволяют сделать вывод о том, что мода F (мода S) возбуждается быстрой (медленной) акустической волной в малой окрестности передней кромки пластины. Далее вниз по потоку происходит межмодовый обмен, в результате чего до конца расчетной области наблюдается доминирование неустойчивой моды S.

Распределения возмущений давления вдоль поверхности пластины демонстрируют развитие возмущений в поле течения. Можно видеть, что при увеличении угла атаки область неустойчивости значительно сдвигается вниз по потоку (рис. 4).

Рис. 4.

Распределение абсолютной величины возмущения давления вдоль поверхности пластины для AoA = –5^○ (1), AoA = 0^○ (2), AoA = 5^○ (3) для случая медленной акустической волны.