Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 497, № 1, стр. 36-39

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА

Рассмотрим движение несжимаемого вязкого газа, несущего тяжелые частицы. Физическая плотность частиц ${{\rho }_{p}}$ намного превышает плотность газа $\rho $. Объемная концентрация дисперсной фазы Φ предполагается малой, чтобы можно было пренебречь столкновениями частиц между собой. Массовая концентрация $M = \frac{{{{\rho }_{p}}\Phi }}{\rho }$ может быть достаточно большой. Примем допущение, что основной силой, определяющей поведение частиц в турбулентном потоке и их обратное влияние на его характеристики, является сила аэродинамического сопротивления.

Для выполнения анализа влияния частиц различной инерционности привлечем двухпараметрическую k – ε модель турбулентности, модифицированную для двухфазного потока. Указанная модель содержит два основных уравнения переноса – турбулентной энергии и скорости ее диссипации.

Уравнение переноса энергии турбулентности газа в присутствии частиц в сжатой форме

Здесь $k = \frac{1}{2}\sum\limits_i {\overline {u_{i}^{{'2}}} } $ – энергия турбулентности газа ($u_{i}^{'}$ – i-я составляющая пульсационной скорости несущего газа); ${{U}_{j}}$ – j-я составляющая осредненной скорости газа; $\tau $ – время.

Члены, стоящие в левой части уравнения (1), описывают, соответственно, изменение во времени и конвективный перенос энергии турбулентности. Члены в правой части описывают соответственно диффузию $D$, генерацию турбулентности за счет градиентов осредненной скорости P, диссипацию энергии турбулентности вследствие вязкости $\varepsilon $ и эффект влияния частиц на энергию турбулентности ${{A}_{k}}$.

Уравнение переноса диссипации турбулентности газа в присутствии частиц с использованием общепринятых градиентных представлений в сжатой форме

Здесь $\varepsilon = \nu \sum\limits_j {\sum\limits_i {\overline {\frac{{\partial u_{i}^{'}}}{{\partial {{x}_{j}}}}\frac{{\partial u_{i}^{'}}}{{\partial {{x}_{j}}}}} } } $ – скорость диссипации турбулентности газа ($\nu $ – кинематическая вязкость несущего газа); ${{C}_{{\varepsilon 1}}}$, ${{C}_{{\varepsilon 2}}}$, ${{C}_{{\varepsilon 3}}}$ – постоянные.

Дополнительную (по сравнению с однофазным потоком) константу ${{C}_{{\varepsilon 3}}}$ положим в дальнейшем равной ${{C}_{{\varepsilon 2}}}$, что следует из требования невлияния на деструкцию диссипации турбулентности безынерционных частиц [14].

Члены, стоящие в левой части уравнения (2), описывают, соответственно, изменение во времени и конвективный перенос диссипации энергии турбулентности. Члены в правой части описывают, соответственно, диффузию диссипации энергии турбулентности ${{D}_{\varepsilon }}$, генерацию диссипации за счет энергии осредненного движения ${{С}_{{\varepsilon 1}}}\frac{\varepsilon }{k}P$, подавление диссипации вследствие вязкости ${{C}_{{\varepsilon 2}}}\frac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{k}$ и эффект влияния частиц на диссипацию турбулентности ${{С}_{{\varepsilon 3}}}\frac{\varepsilon }{k}{{A}_{k}}$.

Член уравнения ${{A}_{k}}$, отвечающий за влияние частиц на энергию турбулентности, должен учитывать все три основные физические механизмы и может быть представлен в следующем виде:

Здесь ${{P}_{{pS}}}$ – дополнительная генерация энергии турбулентности вследствие вовлечения предельно малоинерционных частиц в мелкомасштабное пульсационное движение; ${{P}_{{pL}}}$ – дополнительная генерация энергии турбулентности в следах за движущимися крупными частицами; ε_p – дополнительная диссипация турбулентности вследствие вовлечения относительно малоинерционных частиц в крупномасштабное пульсационное движение.

Далее будем рассматривать случай стационарного гидродинамически развитого течения, для которого левая часть уравнений (1) и (2) обращается в нуль. С целью получения простого аналитического решения, описывающего влияние частиц на энергию турбулентности, анализ проведем в так называемом бездиффузионном приближении (D = 0).

С учетом принятых допущений уравнение (1) приобретает вид

В отличие от уравнения для турбулентной энергии, в уравнении для диссипации (2) необходимо учитывать диффузионный перенос ${{D}_{\varepsilon }}$. Для случая стационарного гидродинамически развитого течения (без учета нестационарного и конвективного членов) с учетом (4), из (2) получаем

С целью получения аналитического решения диффузионный поток в (5) аппроксимируется алгебраическим соотношением [14]

где ${{C}_{\mu }} = 0.09$, l – интегральный пространственный масштаб турбулентности (длина пути смешения Прандтля–Никурадзе).

Приравнивая (5) и (6), получаем выражение для скорости диссипации турбулентной энергии

Полученное из уравнения для диссипации энергии турбулентности соотношение (7) выражает связь между диссипацией и “генерационным” членом P.

Член, отвечающий за генерацию энергии турбулентности в однофазном потоке из осредненного движения, обычно представляют как

где ${{U}_{x}}$ – продольная составляющая скорости газа; y – поперечная координата, направленная от стенки к оси трубы.

Подставим в (4) выражения для P и $\varepsilon $ из (8) и (7). Произведя несложные преобразования, получим выражение для турбулентной энергии несущего потока

Предположив, что воздействием дисперсной фазы на профиль осредненной скорости газа так же, как и на распределение длины смешения, при анализе влияния на интенсивность турбулентной энергии можно пренебречь, для равновесного приближения (P = ε) из (9) получаем

где ${{k}_{0}} = \frac{{{{l}^{2}}}}{{C_{\mu }^{{1/2}}}}{{\left( {\frac{{\partial {{U}_{x}}}}{{\partial y}}} \right)}^{2}}$ – турбулентная энергия однофазного потока.

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЧАСТИЦ РАЗЛИЧНОЙ ИНЕРЦИОННОСТИ НА ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Для расчета влияния частиц по уравнению (10) в случае пристеночной турбулентности можно воспользоваться выражениями для ${{P}_{{PS}}}$, ${{P}_{{PL}}}$ и ${{\varepsilon }_{p}}$, полученными ранее в [14, 11, 12] соответственно.

На рис. 1 показаны величины $\frac{{{{P}_{{pS}}}}}{P}$, $ - \frac{{{{\varepsilon }_{p}}}}{\varepsilon }$ и $\frac{{{{P}_{{pL}}}}}{P}$ в зависимости от инерционности частиц (числа Стокса в крупномасштабном пульсационном движении $St{{k}_{L}}$). Расчет указанных величин производился на основе данных [11, 12, 14] для массовой концентрации частиц M = 1. Вычисления выполнены при следующих параметрах однофазного потока: z = 0.2 (отношение тейлорова и лагранжева временных масштабов турбулентности), ${{k}_{0}} = 1.5$ м²/с², ${{T}_{L}} = 0.043$ с и $l = 0.007$ м.

На рис. 2 показано влияние инерционности частиц на отношение энергий турбулентности в двухфазном и однофазном потоке. Расчет энергии турбулентности двухфазного потока проводился с использованием соотношения (10) и рассчитанных ранее величин $\frac{{{{P}_{{pS}}}}}{P}$, $\frac{{{{\varepsilon }_{p}}}}{\varepsilon }$ и $\frac{{{{P}_{{pL}}}}}{P}$ (см. рис. 1).

Из приведенных данных видно, что с ростом инерционности частиц (числа Стокса) турбулизирующий эффект частиц вследствие их вклада в порождение турбулентности сменяется на ламинаризирующее влияние за счет дополнительной диссипации, а затем снова сменяется на турбулизирующий эффект вследствие генерации турбулентности в следах за крупными частицами.

Для большинства имеющихся на сегодняшний день экспериментальных данных по влиянию частиц на турбулентность газа диаметр каналов (труб) составляет десятки миллиметров, а скорости несущей фазы от нескольких до нескольких десятков метров в секунду. Для указанных условий предельно малоинерционные частицы имеют субмикрометровые размеры (наночастицы), относительно малоинерционные частицы – микрометровые размеры (микрочастицы), а крупные частицы – миллиметровые размеры (макрочастицы). Этим обстоятельством объясняется использование этих терминов в названии сообщения.

Таким образом, с использованием двухпараметрической модели турбулентности для двухфазного потока впервые получено соотношение, учитывающее все основные механизмы влияния частиц на турбулентность газа. Полученное выражение позволяет проводить анализ влияния частиц на энергию турбулентности несущей фазы в широком диапазоне изменения инерционности последних.