Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 498, № 1, стр. 17-21

Активно растущий в последнее время интерес к полупроводниковым квантовым кольцам (тонким закольцованным квантовым нитям диаметром до нескольких десятков нм) связан в основном с двумя причинами [1–10]. Во-первых, это существование в кольцах незатухающего квантового тока (persistent currents) и связанных с ним явлений (управляемого эффекта Ааронова–Бома, дробного квантования магнитного потока и т.д.), что очень важно для задач наноэлектроники, квантового компьютинга и спинтроники [1, 2, 4–6]. Во-вторых, в простой геометрии квантовых колец точно решается задача многих тел, причем даже для взаимодействующих частиц [1, 2, 8–10]. Однако большое число работ в этих двух направлениях пока не затронуло вопроса о правилах отбора для энергетического спектра квантовых колец, которые, как оказалось, имеют нетривиальный характер. Две неэквивалентные гетерограницы, на которых необходимо сшивать волновые функции локализованных в кольце электронов, превращают такое кольцо в фильтр, “вырезающий” в спектре единственное электронное состояние с любыми требуемыми характеристиками.

Нетрудно понять, насколько это обстоятельство важно для квантовой электроники. Почему это свойство колец не было отмечено ранее? Дело в том, что чаще всего радиальный удерживающий потенциал кольца не рассматривают вовсе, постулируя, что и бесконечно тонкое кольцо удержит неограниченное число электронов ([1, 2, 10] и т.д.). Реже используют модельный потенциал кольцевой δ-ямы [12], а “реалистическими” считаются потенциалы с неограниченно растущей асимптотикой [1, 2, 7, 8], приводящие к полному конфайменту электронов.

Ситуация кардинально меняется, если моделировать радиальный удерживающий потенциал кольца ямой конечной глубины и размеров. Мы использовали простейший прямоугольный потенциал такого рода

где $\Delta {{E}_{c}}$ – скачок дна зоны проводимости на гетерогранице, r и φ – полярные координаты в 2D, R₁ и R₂ – соответственно внутренний и внешний радиусы кольца. Везде в дальнейшем используются естественные единицы длины ${{r}_{0}} \equiv \hbar {\text{/}}\sqrt {2m{\text{*}}\Delta {{E}_{c}}} $ (m* – эффективная масса матричного электрона) и энергии $\varepsilon = \frac{E}{{\left| {\Delta {{E}_{c}}} \right|}}$. Фактически r₀ – дебройлевская длина электрона на дне зоны проводимости матрицы с энергией, равной глубине потенциальной ямы кольца, $\varepsilon $ – энергия в “долях” от глубины ямы. Отметим, что кольцо предполагается настолько тонким (${{R}_{2}} - {{R}_{1}} \ll {{R}_{1}}$), что зонная структура в нем “не успела” сформироваться, так что оно не стало еще фрагментом соответствующего полупроводника. Электрон, даже когда он локализован на кольце, большую часть времени проводит в матрице, так что его эффективные свойства фактически не меняются¹¹.

В таких единицах наша модель описывается уравнением типа Шрёдингера (точнее, это пространственная часть уравнения Паули, соответствующая двум электронным компонентам 8-столбцового тетраспинора (k–p)-теории Кейна)

с граничными условиями

Здесь ${{\Delta }^{{(2)}}}$ – двухмерный лапласиан, В – индукция внешнего однородного магнитного поля, е – элементарный заряд, ε – энергия связи электрона в кольце, верхний индекс в фигурных скобках в правой части соответствует области матрицы (как обычно, энергия отсчитывается от дна зоны проводимости матрицы), нижний индекс – области внутри кольца, g* – эффективный фактор Ланде для матричного электрона, ${{\mu }_{B}}$ – магнетон Бора. Весь последний член в правой части – энергия взаимодействия спина электрона с магнитным полем; верхний знак соответствует направлению спина вдоль поля, нижний – соответственно против (основное состояние).

Видно, что здесь пока не учитываем спин-орбитальное взаимодействие. Это вполне можно сделать в духе [5], причем как в варианте Рашбы, так и Дрессельхауза. Однако ясно, что оно, значительно усложнив угловую часть и сам незатухающий ток, слабо затронет интересующие нас радиальные условия удержания электрона в кольце. Отметим, что для функции Грина в однородном магнитном поле целесообразно использовать интегральное представление, а не разложение по уровням Ландау [14, 15].

После разделения переменных и решения уравнения для угловой части (в отсутствие спин-орбитальных поправок это довольно просто), получаем уравнение для радиальной волновой функции

где l – орбитальное квантовое число электрона, Φ – магнитный поток через кольцо, ${{\Phi }_{0}} = 2\pi \hbar {\text{/}}e$ – его квант (напомним, что у нас в кольце не куперовская пара, а уединенный электрон). Решение этого уравнения с граничными условиями (2) где I, J, K – цилиндрические функции соответственно Инфельда, Бесселя и Макдональда, нормировочные постоянные А, В и D значения не имеют, а n – номер экстремума функции Бесселя, описывающего волновую функцию внутри кольца. При этом толщина кольца позволяет “вместить” окрестность только одного экстремума.

Кроме того, решение (5) должно удовлетворять трем дополнительным условиям: двум условиям непрерывности логарифмической производной на двух гетерограницах кольца

а также условию того, что экстремум функции Бесселя лежит внутри кольца

Как легко убедиться, условия (6)–(8) для двух наугад выбранных близких радиусов кольца ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ при фиксированном орбитальном моменте l обычно противоречивы. Они выполняются только при определенных значениях Φ, причем каждое соответствует единственному значению n и ${{\varepsilon }_{{nq}}}$. Другими словами, спектр тонкого квантового кольца, как правило, “пуст”; уединенный уровень появляется в нем лишь при строго определенных значениях магнитного поля и полностью этим полем определяется. Описанную ситуацию иллюстрирует рис. 1. Только в точках пересечения наклонных кривых (численные решения уравнений, соответствующих граничным условиям (6) и (7)) в кольце может локализоваться электрон со строго определенной энергией связи ${{\varepsilon }_{{nq}}}$. При этом ориентация его спина и орбитального момента $l\hbar $ относительно магнитного поля также однозначно определены. Крайне маловероятно “случайное попадание” в тонкое кольцо с теми же радиусами при том же значении магнитного поля электронного состояния с другими параметрами. Поэтому мы вообще не рассматриваем дырочные уровни: масса дырки обычно значительно отличается от массы электрона, что сразу сказывается на условиях (6)–(8). Важно, что в весьма распространенном приближении кольцевой δ‑ямы описанный эффект пропадает, так как две неэквивалентные гетерограницы стягиваются в одну. Соответственно, вместо двух условий (6), (7) мы получаем одно условие, определяющее “излом” (скачок производной) радиальной функции. По этой же причине подробно изученное в ряде обзоров (например, [1, 2]) бесконечно тонкое кольцо с неограниченным числом электронных состояний, скорее, на наш взгляд, математическая абстракция, чем практически реализуемая гетероструктура.

Обсудим теперь возможность лазерной генерации в среде, активными элементами которой являются ориентированные квантовые кольца. Во-первых, внешняя накачка излучающего уровня, очевидно, не требуется, так как инверсия населенности создается автоматически: излучательными будут переходы электронов из сплошного спектра у дна зоны проводимости матрицы на единственный стабильный уровень в кольце, а инверсия населенности возникает при отключении магнитного поля, когда единственный уровень в кольце исчезает. При этом электрон быстро возвращается на уровни зоны проводимости матрицы, ибо проводит именно там большую часть времени. Во-вторых, и это главное преимущество предложенной схемы – возможность дискретно менять частоту перехода простым изменением величины индукции внешнего поля.

Важным преимуществом является тот факт, что направление орбитального момента и спина электрона в кольце определяется осевой симметрией колец. Поскольку электрон в кольце – конечное состояние излучательного перехода, дифференциальное сечение этого процесса как функция угла рассеивания матричного электрона будет иметь резкий пик в направлении нормали к кольцу. Фактически рассеивание матричных электронов на кольцах будет происходить только вперед. В такой геометрии, во-первых, вероятность индуцированного перехода может превысить вероятность спонтанного, несмотря на известное соотношение Эйнштейна. Во-вторых, импульс излучаемых фотонов также будет естественным образом ориентирован нормально кольцу. Это должно значительно снизить потери в резонаторах. Само время жизни “возбужденного” состояния можно регулировать, меняя орбитальный момент уровня в кольце $l\hbar $ все тем же изменением магнитного поля. В (k–p)-теории считается, что электрон на дне зоны проводимости матрицы находится обычно в S-состоянии. Поэтому самым коротким излучаемый импульс будет при l = 1. Увеличивая его, мы, тем самым, повышаем степень запрета перехода и, соответственно, увеличиваем длительность импульса. Таким образом, возможностей повышения эффективности такого лазера, как и возможностей управления процессом и характеристиками излучения, здесь достаточно много.