Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 500, № 1, стр. 53-56

Задача об устойчивости течения Пуазейля в трубе является тестовой для исследования докритического перехода. В отсутствие ограничений симметрии течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе Ω = {r = (r, φ, x): $0 \leqslant r < R,~0 \leqslant \varphi < 2\pi $, |x| < ∞} описывается здесь уравнениями Навье–Стокса

где ${\mathbf{v}} = [{v},w,u]$ – скорость, ${\mathbf{\omega }} = \nabla \times {\mathbf{v}}$, ${{\Pi }} = \frac{p}{\rho } + \frac{{{{{\mathbf{v}}}^{2}}}}{2},$ p – давление, Δ – векторный лапласиан, ν и ρ – постоянные кинематическая вязкость и плотность.

Уравнения (1) дополняются начальными условиями для скорости. В качестве граничных условий используются периодичность в осевом и азимутальном направлениях и условие прилипания на стенке

Здесь X – параметр математической модели.

Для переменной Π, которую можно трактовать как множитель Лагранжа для условия несжимаемости, не требуется задания граничных условий. Расчеты проводятся при условии постоянства расхода жидкости

Пространственная дискретизация краевой задачи включает тригонометрическую аппроксимацию методом Галёркина по переменным $x,~\varphi $:

и чебышевскую псевдоспектральную аппроксимацию c узлами коллокации $~{{r}_{j}} = R{\text{cos}}\left( {\frac{{\pi j}}{{2Q}}} \right)$, j = 0, 1, ..., Q, по r.

Заметим, что коэффициенты уравнений (1) пропорциональны 1/r и 1/r². Наличие особенностей на оси трубы не связано с физикой течения, является следствием использования цилиндрических координат, и требует подходящей регуляризации для сохранения спектральной точности. С этой целью здесь используются интерполяционные полиномы для ${{{\mathbf{v}}}_{{nm}}}(r,t)$ приближенно следующие асимптотике аналитических функций при $r \to 0$ [1, теорема 1]. В итоге обеспечивается несингулярность уравнений Навье–Стокса и их дивергенции.

Численное моделирование на основе рассмотренной математической модели адекватно описывает (см. [2]) как перемежаемые, так и установившиеся турбулентные режимы течений при числах Рейнольдса $1950 \leqslant {\text{Re}} \leqslant 4000$, Re $ = \frac{{2RU}}{\nu }$. Расчеты проводятся на больших промежутках времени, с высоким пространственным разрешением, и очень трудоемки. При этом рассчитанная динамика хаотична и сложна для расшифровки сценариев перехода к турбулентности.

Между тем, математическая модель имеет богатую группу симметрии O (2)_φ × SO(2)_x (индексы ${{\varphi }},~x$ отвечают азимутальному вращению и сдвигу вдоль оси трубы), которая потенциально может быть использована как для упрощения самой математической модели, так и при построении более простых, чем уравнения Навье–Стокса, физических моделей ламинарно-турбулентного перехода. Здесь мы анализируем результаты и возможности использования двух популярных случаев симметрии, ограничивающих динамику зеркальной (отражение относительно $\varphi = 0$)

и вращательной (π-периодичность) симметриями.

Чтобы выяснить, существуют ли долгоживущие статистически стационарные решения уравнений Навье–Стокса с ограниченной динамикой и какова их связь с переходными и турбулентными течениями, при Re = 2000, 2350 и 4000 проведены расчеты трех видов – без ограничений симметрии, с зеркальной и вращательной симметриями. Указанным Re отвечают (см. [3]) различные стадии перехода к турбулентности. В предыдущей работе [1] кратко рассмотрен лишь случай зеркальной симметрии (3) при Re = 4000.

Все расчеты проведены по алгоритму [1]; в трубе длиной $X = 120\pi R$; с $(Q + 1) \times (2N + 1) \times (2M + 1)$ = = 33 × 81 × 2401 спектральными модами по $r,\varphi ,x;$ на больших промежутках времени $T\, \approx \,3\, \times \,{{10}^{4}}R{\text{/}}U$; с использованием графического ускорителя Tesla K80.

Рисунок 1 может рассматриваться как карта рассчитанных режимов течений. Каждой темной точке на плоскости $({{C}_{f}},{\text{Re}}$), где C_f – коэффициент сопротивления, соответствует статистически стационарная стадия одного из численных решений настоящей работы. Экспериментальные черно-белые точки из [4, 5] служат, скорее, не для количественного сопоставления с расчетами, а для указания примерных границ области ламинарно-турбулентного перехода.

Оказалось, что при Re = 4000 (однородный вдоль трубы турбулентный режим) значения ${{C}_{f}}$ практически совпадают для решений уравнений Навье–Стокса без ограничений симметрии, с зеркальной и вращательной симметриями. Напротив, в области деления турбулентных клубов (puffs) и образования цепочек дочерних клубов (Re = 2350) значения коэффициента сопротивления существенно различаются для решений различной симметрии. И, наконец, при Re = 2000 (область изолированных клубов, окруженных ламинарным течением) значения C_f снова совпадают у решений общего вида и решений с зеркальной симметрией. Решений с вращательной симметрией при Re = 2000 рассчитать не удалось.

Уточним, что при Re = 2000 нами рассматривался режим с единственным турбулентным клубом на длине периодичности X. Для контроля, мы показываем также рассчитанные при Re = 1800 и 1900 режимы, которые совпадают с течением Пуазейля и отвечают ламинарному закону сопротивления ${{C}_{f}} = 16{\text{/Re}}$. Такие режимы удовлетворяют, конечно, условиям симметрии (3) и (4).

На рис. 2 сопоставляются профили среднеквадратичных пульсаций продольной и радиальной компонент скорости, рассчитанные при Re = = 4000 без ограничений симметрии, с зеркальной симметрией и с вращательной симметрией. Несмотря на совпадение значений C_f, мы видим, что использование в расчетах соотношений симметрии (3), (4) является довольно рискованным решением: некоторые характеристики течения не могут быть правильно вычислены, в то время как другие лишь слабо чувствительны к ограничениям симметрии. То же верно и в области ядра турбулентных клубов при Re = 2000 и 2350.

Аналогичная картина наблюдается для распределений среднеквадратичных пульсаций азимутальной компоненты скорости (рис. 3) и продольной компоненты завихренности (рис. 4), полученных в расчетах с различными предположениями о симметрии течения.

Отметим в этом контексте, что, если начальное поле скорости удовлетворяет условиям симметрии, то эти условия воспроизводятся в произвольный момент времени даже при использовании универсального компьютерного кода. Дело в том, что половина мод Фурье в (2) равна нулю как для условий (3), так и для условий (4), а ошибки округления перестают играть дестабилизирующую роль: результат умножения ненулевого значения переменной на машинный ноль (при вычислении квадратичных нелинейных членов) интерпретируется компьютером как машинный ноль. В результате мы можем даже не подозревать, что вычисляем симметричные решения вместо решений общего вида.

В работе показано, что численные решения уравнений Навье–Стокса с ограничениями симметрии (3), (4) могут существовать в области переходных чисел Рейнольдса, но не всегда корректно описывают гидродинамические характеристики течений. Последнее может привести к ошибкам при интерпретации результатов таких расчетов; при расшифровке механизмов ламинарно-турбулентного перехода; при построении (см., например, [7–9]) упрощенных физических моделей, основанных на соотношениях симметрии.