Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 501, № 1, стр. 29-32

Аналитическое исследование устойчивости свободно взаимодействующих на трансзвуковых скоростях вязких и невязких течений проведено на “трехпалубной модели” [1] для пограничного слоя с профилем продольной скорости, линейно зависящим от поперечной координаты: ${{u}_{0}} = y$ (обзор выполненных работ см., например, [2]). При выборе такого вида профиля невозмущенной скорости уравнения, описывающие развитие возмущений, получаются уникальными по своей относительной простоте – сводятся к уравнению Эйри, что позволяет провести аналитическое исследование в достаточно законченном виде.

На практике при течении вязкого газа даже у плоской поверхности реализуются профили скорости более общего, чем простой линейный, вида. Известный пример автомодельного пограничного слоя на полубесконечной плоской пластине нулевой толщины (задача Блазиуса) [3], хорошо подтверждаемый экспериментально, дает зависимость профиля скорости в нем от комбинации обеих пространственных координат: не слишком близко к началу пластины, – ${{u}_{0}} = \frac{y}{{\sqrt x }}$ (ось $x$ направлена вдоль поверхности пластины). Градиент давления в реальном течении также может не быть тривиально постоянным.

В этой связи представляет интерес рассмотрение поведения малых возмущений в случае профиля скорости другого, отличного от линейного, вида. Следуя путем классических исследований свободного вязко-невязкого взаимодействия [2, 4] и полагая зависимость ${{u}_{0}}$ только от $y$, можно, задавая возмущения гармоническими по независимым переменным ($t$, $x$), свести задачу к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения (подобно тому, как для линейного профиля было получено уравнение Эйри). Хотя общность и этих результатов существенно ограничена, они освещают некоторые свойства и особенности развития возмущений исследуемых течений и позволяют избежать абсолютизации полученных для линейного профиля результатов.

Наиболее простым вариантом, кроме линейного, в интересующем нас исследовании может служить квадратичный вид профиля скорости ${{u}_{0}}$ = y² (в этом случае уравнения несжимаемого пограничного слоя удовлетворяются, если положить ${{{v}}_{0}} = 0$ и ${{p}_{0}} = x$). Заметим здесь, что, исследуя поведение возмущений при выборе конкретного вида профиля скорости, следует иметь в виду трение потока об обтекаемую поверхность, определяемое как ${{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right|}_{{y = 0}}}$. Легко видеть, что при ${{u}_{0}} = {{y}^{2}}$ трение на поверхности есть тождественный ноль, касательная к графику скорости ${{u}_{0}} = {{y}^{2}}$ на обтекаемой поверхности вертикальна. Примеры течения в пограничном слое с нулевым трением на границе течения известны – поток при степенном законе убывания скорости во внешнем невязком течении [3], струя с прямолинейной осью [5]. Нулевое трение на границе течения является особенностью, главное в которой – возможность отрыва пограничного слоя в точках нулевого трения. Оригинальные соображения о качественном характере течения в окрестности точки отрыва пограничного слоя высказаны Ландау [6].

В случае профиля скорости более общего, квадратичного, вида ${{u}_{0}} = {{y}^{2}} + y$ трение на обтекаемой поверхности (y = 0) уже отлично от нуля. Случай такого типа, ${{u}_{0}} = \frac{{{{y}^{2}}}}{2} + By$, был исследован при сверхзвуковом свободном вязко-невязком взаимодействии для различных величин параметра $B$ [4]. Решение уравнения в случае квадратичного профиля продольной скорости пограничного слоя приведено также в работе Stewartson [7], в связи с изучением отрыва потока. В этой работе уравнение имело 4-й порядок, решение выписывалось в виде ряда по степеням поперечной координаты, ни уравнение, ни полученное решение не ставилось в соответствие с известными типами уравнений или специальных функций.

Исследование устойчивости течений с такого рода профилем невозмущенной скорости не проводилось.

Ниже будет рассмотрен случай квадратичного профиля:

(при $B = 0$ имеем изученный ранее случай линейного профиля [8]).

Для моделирования течения во всей исследуемой области свободного вязко-невязкого взаимодействия используем трехпалубную модель в ее трансзвуковой модификации [8]. В соответствии с выбранной моделью вблизи обтекаемой поверхности течение описывается уравнениями нестационарного несжимаемого пограничного слоя

Вдали от поверхности тела течение – невязкое, в рассматриваемой задаче – трансзвуковое, его приближенно можно считать безвихревым и для его описания использовать линейное уравнение Линя–Рейсснера–Цяня (ЛРЦ) [9] для потенциала скорости $\phi \left( {t,x,y} \right)$:

Внешнее невязкое течение и пограничный слой в трехпалубной модели разделяет некоторое переходное течение. Вывод уравнений, моделирующих это течение и их интегрирование в связи с соответствующими граничными условиями, проведены ранее [8]. Приведем здесь только следующие из общего анализа соответствующие условия сращивания:

где $A\left( {t,x} \right)$ – функция мгновенного смещения линий тока переходного течения.

Примем условие ограниченности решения на выходе из исследуемой области: ${{\phi }_{{{{y}_{1}}}}} \to 0$ при ${{y}_{1}} \to \infty $.

Составляющие скорости течения на поверхности тела удовлетворяют обычным граничным условиям прилипания и непротекания:

Пусть возмущения в начальный момент времени отсутствуют:

и нет возмущений, приходящих на поверхность с набегающим потоком

Представив параметры возмущенного течения в виде рядов по степеням амплитуды возмущений $\delta $:

и подставив их в систему (1), имеем в первом приближении по $\delta $:

Из начальных и граничных условий (4)–(7) получим

Для гармонических по $x$ и по $t$ возмущений можно свести систему (8) к одному уравнению, исключая неизвестные амплитуды и их производные из последнего уравнения при помощи первых двух. Получим

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, неоднородное и с переменными коэффициентами. При $B = 0$ вместо (10) имеем полученное ранее для линейного профиля уравнение Эйри для $\frac{{d\hat {u}}}{{dy}}$:

Выражения и в первых, и во вторых скобках уравнения (10) сходны с уравнением Эйри (первое –для ${{\tilde {u}}_{y}}$, второе –для $\tilde {u}$), но коэффициенты в них пропорциональны не y, а многочлену $О({{y}^{2}})$.

Точное решение уравнения (11) и его подробное обсуждение приведено в [8]. Имея целью исследовать более сложный, не имеющий пока исследованного точного решения, случай квадратичного профиля по аналогии с линейным случаем, рассмотрим приближенное решение уравнения (10). Будем считать коэффициенты в этом уравнении постоянными величинами (допущение, применявшееся и ранее при исследовании задач гидродинамической устойчивости [10]): $\omega + ik\upsilon \equiv \Theta $ = = const. Решениями такого уравнения являются две экспоненциальные функции и тривиальное решение (постоянная)

Для выполнения условия ограниченности полученного решения с ростом аргумента положим ${{C}_{1}} = 0$. Сравнение решения (12) с известным точным решением (11), выражаемым через функции Эйри

показывает, что (12) сохранило качественно сходное с точным решением (функция $Ai$) поведение – сильное затухание при $\Theta > 0$, колебательный характер при $\Theta < 0$, отброшенное решение сходно с функцией Bi. Решение (12) не удовлетворяет условию $\tilde {u}(0) = 0$, но в данном случае важно поведение решения при $y \ne 0$.

Для квадратичного профиля общим решением однородного уравнения (10) при постоянных коэффициентах будет сумма трех экспоненциальных функций

в этом решении $\Theta = \omega + ik\left( {B\frac{{{{\upsilon }^{2}}}}{2} + \upsilon } \right)$. Для ограниченности решения при $y \to \infty $ вновь положим ${{C}_{1}} = 0$. При $B > 0$, $B\upsilon + 1 > 0$ по той же причине (неограниченный рост при $y \to \infty $) необходимо положить и ${{C}_{3}} = 0$ (при $B < 0$, $B\upsilon + 1 > 0$ таких оснований нет и в задаче появляются возмущения неисследованного типа).

Сравнение решений (12) и (14) после выполненного отбора показывает, что определяемый ими рост (затухание) возмущений происходит качественно сходно, количественное отличие лишь в величине волнового числа: $k$ для линейного против $k\left( {B\upsilon + 1} \right)$ для нелинейного случая, возмущение с частотой ω для линейного случая отвечает возмущению той же частоты, но с волновым числом, большим в $B\upsilon + 1$ раз, для квадратичного профиля.

В уравнении (10) уже видна существенная роль градиента давления – из-за него уравнение становится неоднородным, причем знак неоднородности зависит от вида профиля невозмущенной скорости – знака $B$. Эта неоднородность определяет еще одно решение, если известна ${{\varphi }_{j}}\left( y \right)$ – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения [11]:

где ${{f}_{j}}$ – коэффициенты в (10) при $j$-й производной искомой функции, W – определитель Вронского, ${{W}_{j}}$ получается из него заменой $j$-го столбца на (0, 0, $ - Bik\tilde {p}$).

В рассматриваемом здесь случае ${{\varphi }_{j}}\left( y \right)$ есть экспоненциальные функции

где ${{f}_{j}}$ – постоянные величины (${{f}_{1}} = \Theta \left( {B\upsilon + 1} \right)$, ${{f}_{1}} = - B$, ${{f}_{1}} = B\upsilon + 1$).

Полученное решение (15) не ограничено при $y \to \infty $ и потому не соответствует постановке задачи в условиях (1)–(7). Таким образом, в случае профиля невозмущенной скорости вида u₀ = = $B\frac{{{{y}^{2}}}}{2} + y$ проведение исследования устойчивости течения, аналогично линейному случаю невозможно – ограниченного решения стационарного обтекания уединенной плоской полупластины при таком профиле невозмущенной скорости не существует.