Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 501, № 1, стр. 68-72

В вихревой теории ротора моделирование винтообразных вихревых следов, сходящих с кромок лопастей, важно, так как они определяют скорость, индуцируемую следом на лопасти, что позволяет правильно определить режим работы и производительность ротора [1]. Знание распределения скоростей вдоль лопасти необходимо для расчета аэроупругих характеристик, оценки эрозии и обледенения лопастей, допустимых сроков эксплуатации ветрогенераторов.

Создание вихревой теории ротора в начале ХХ в. было стимулировано развитием авиации, а сейчас ее развитие связано с применением возобновляемых источников энергии в гидро- и ветроэнергетике [2, 3]. В 1912 г. Жуковский [4] строит модель ротора на основе использования лопасти с постоянной циркуляцией (лопасть НЕЖ – название предложено Н.Е. Жуковским), генерирующей вихревую систему за ротором из концевых винтовых вихрей с конечным ядром, сходящих с концов каждой вращающейся лопатки, и одного прямолинейного центрального вихря с суммарной циркуляцией (рис. 1). Генерация энергии ротором прямо связана с торможением потока в плоскости ротора [1]. Отметим, что центральный вихрь в модели НЕЖ не влияет на торможение в силу отсутствия генерации им осевой компоненты скорости. Из-за сложности задачи по определению скоростей, индуцированных концевыми винтовыми вихрями, Николай Егорович не завершил ее решение. В [4] он пишет: “Основная идея присоединенных вихрей, положенная в основание этой статьи, позволила бы вести все вычисления, опираясь на истинные скорости относительного движения жидкости, но анализ этот вышел бы очень сложным”.

В дальнейшем оптимальная концепция ротора НЕЖ с постоянным распределением циркуляции вдоль лопасти была использована Кавадой в [5], но, в отличие от Жуковского, его решение для вихревой системы моделировалось с помощью бесконечно тонких – сингулярных концевых винтовых вихрей [6]. Скорость торможения вдоль лопасти в [5] бралась, отступая от сингулярности на малое расстояние, эквивалентное размеру ядра, а ее изменением при замене конечного распределения завихренности в ядре на сингулярное решение пренебрегалось. Преимущество сингулярного представления концевых винтовых вихрей Кавадой связано с законченной аналитической формой его решения, поэтому для роторов НЕЖ его продолжают использовать до сих пор [7–9]. Приближенность решения Кавады, связанная с использованием сингулярного решения вместо решения для вихрей с конечным ядром (см. различие на рис. 5 в [10]), привела к необходимости рассмотрения незавершенного решения Жуковского по моделированию винтового вихря с постоянным распределением циркуляции в конечном ядре [4]. В [11] такое решение было построено для ротора НЕЖ, но для упрощения предлагалось рассматривать конечное ядро только у одного концевого вихря, сходящего с рассматриваемой лопасти, а вклад вихрей от других лопастей из-за их удаленности считать приближенно, как в решении Кавады [5], только через их сингулярное представление. Такое предположение вполне оправдано для достаточно тихоходных роторов, с быстроходностью λ < 4 ($\lambda = \frac{{\Omega R}}{V}$, где Ω – угловая скорость, а R – радиус ротора, а V – скорость набегающего потока [12]). В этом случае вихревая система состоит из достаточно удаленных друг от друга винтовых витков, когда искажения при замене распределенной завихренности в ядре винтового вихря на эквивалентную сингулярность затухают раньше их взаимодействия со следующим витком. В данном исследовании впервые построено и исследовано поле скоростей, генерируемое системой концевых вихрей; определено влияние конечного размера для всех вихревых ядер следа и проведено сопоставление нового решения с сингулярным решением [5] и аппроксимацией [11].

В рассматриваемой задаче для N-лопастного ротора НЕЖ радиуса R оси вихревой системы следа из N полубесконечных концевых вихрей точно совпадают с винтовыми линиями радиуса a = R + σ, увеличенным на радиус σ вихревого ядра. Шаг винта L = 2πl соответствует полному витку винтовой линии (рис. 1). Относительная скорость замедления потока в следе $u_{z}^{ * }$ в плоскости ротора определяется формулой

где V – скорость набегающего потока, а скорость от полубесконечной вихревой системы за ротором определяется через половинное значение скорости U_z, индуцированной полной бесконечной вихревой системой [1, 3].

Для определения в (1) скорости U_z на лопасти вне вихревых ядер используем метод Дайсона [13], в соответствии с которым для одиночной винтовой вихревой трубки [14] было выполнено интегрирование по сечению ядра в объемном интеграле с помощью операторов сдвига. В результате задача о влиянии конечного ядра в объемном интеграле сводится к разложению на линейные интегралы и представляется в виде мультипольных разложений на оси вихревого ядра ${{U}_{z}} = {{u}_{z}} + {{{v}}_{z}}\; \ldots $. Главный член разложения индуцирует скорость u_z и состоит из цепочки монопольных особенностей с интенсивностью, равной циркуляции $\Gamma $ винтового вихря. Следующий вклад дает скорость ${{{v}}_{z}}$, индуцированная цепочкой диполей интенсивности d, зависящая только от распределения завихренности в ядре. В [14] для равномерного распределения завихренности найдено

В [15] установлено, что для определения поля скорости ${{U}_{z}}$, индуцированного объемным винтовым вихрем с равномерным распределением завихренности вне его ядра σ, достаточно использовать две компоненты: u_z с циркуляцией $\Gamma $ и ${{{v}}_{z}}$ с моментом d, определенным по (2).

Решения для представления следа за ротором вихревой системы из N винтовых вихрей в цилиндрических координатах (r, θ, z) или в винтовых переменных (r, χ = θ – z/l) получается суммированием поля скоростей для монопольных и дипольных нитей из [14], сдвинутых друг от друга равномерно на угол θ = 2π/N. Полученные соотношения удается упростить циклическим суммированием монопольной и логарифмической сингулярности (см. (16) и (17) в [9])

Аналогично, для суммирования дипольных сингулярностей удается найти сумму

$\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\frac{{{{e}^{{ \mp \xi + i({{2\pi n} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi n} N}} \right. \kern-0em} N})}}}}}{{{{{({{e}^{{ \mp \xi }}} - {{e}^{{i({{2\pi n} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi n} N}} \right. \kern-0em} N})}}})}}^{2}}}}} $ = $\frac{{{{N}^{2}}{{e}^{{ \pm \xi N}}}}}{{{{{(1 - {{e}^{{ \pm \xi N}}})}}^{2}}}}$

и с ее помощью записать индуцируемую скорость ${{{v}}_{z}}$ в виде

где ${{e}^{\xi }} = \frac{r}{a}\frac{{{{e}^{{\sqrt {1 + {{{\left( {{r \mathord{\left/ {\vphantom {r l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}^{2}}} }}}(1 + \sqrt {1 + {{{\left( {{a \mathord{\left/ {\vphantom {a l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}^{2}}} )}}{{{{e}^{{\sqrt {1 + {{{\left( {{R \mathord{\left/ {\vphantom {R l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}^{2}}} }}}(1 + \sqrt {1 + {{{\left( {{r \mathord{\left/ {\vphantom {r l}} \right. \kern-0em} l}} \right)}}^{2}}} )}}$; $A = \frac{{\sqrt[4]{{{{l}^{2}} + {{a}^{2}}}}}}{{\sqrt[4]{{{{l}^{2}} + {{r}^{2}}}}}}$; B = $\frac{l}{{24}}\left( {\frac{{9{{a}^{2}} + 2{{l}^{2}}}}{{{{{({{l}^{2}} + {{a}^{2}})}}^{{3/2}}}}} + \frac{{3{{r}^{2}} - 2{{l}^{2}}}}{{{{{({{l}^{2}} + {{r}^{2}})}}^{{3/2}}}}}} \right)$.

В (3) и (4) использованы двухуровневые обозначения $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \centerdot \\ \centerdot \end{array}} \right\}$ или “±”, где верхний символ соответствует значению r < a, а нижний: r ≥ a.

Расчет $u_{z}^{ * }$ с применением только уравнения (3) в определении U_z дает скорость в приближении Кавады [5] в форме сингулярной модели вихревой системы, уточненной в [8]. Расчет $u_{z}^{ * }$ по (3) с коррекцией поля скоростей (4) при N = 1 только для одного расчетного вихря соответствует полусингулярной аппроксимации [11], а точная сумма (3) и (4) дает искомое решение, учитывающее распределение завихренности в каждом ядре концевых вихрей. Все три аналитических решения: первые два – для приближенных моделей следа и третье, полученное в данном сообщении, для точной модели НЕЖ явно включают геометрические параметры вихревой системы. Это позволяет определить и проанализировать их влияние на изменения торможения потока и сравнить разные модели.

На рис. 2 показано сравнение трех описанных моделей следа при расчете осевой скорости торможения для трехлопастного ротора при значениях быстроходности 4 (l = 0.1875) и 8 (l = 0.0875), σ = 0.07, Γ = $\frac{{4\pi RV}}{3}$ для a = 1.07. Важно отметить, что концевая треть лопасти $\left( {\frac{r}{R} > 0.67} \right)$ производит более 50% от общей мощности турбины. В связи с этим предпринимаются многочисленные попытки для создания более точных моделей следа. Обычно уточнения за счет применения новых моделей составляют всего несколько процентов, а иногда только их долей, как это показано для ротора Беца–Гольдштейна в [9]. В данной работе для ротора НЕЖ получено большее различие для новой модели следа при использовании очевидного обобщения на конечный размер ядер у всех концевых вихрей (сплошные линии) по сравнению с существовавшими моделями при их полном либо частичном сингулярном представлении вихревой системы. Эти различия составляют 3 и 7% для быстроходностей ротора 4 и 8. Разница при росте быстроходности ротора связана с уменьшением расстояния между соседними витками концевых вихрей, показанная на фотографиях рис. 2. При более плотном расположении витков концевых вихрей становится существенным влияние других вихрей, сходящих с соседних лопастей, что требует использования предложенной здесь модели следа за ротором НЕЖ.

Таким образом, впервые получено аналитическое представление решения для определения поля скоростей, индуцированного системой винтовых вихрей за ротором НЕЖ с равномерным распределением завихренности в ядрах всех вихрей, предполагавшееся Н.Е. Жуковским в оригинальной модели ротора НЕЖ. С его помощью явно вычисляется и анализируется скорость торможения набегающего потока на лопастях при различных значениях параметров вихревых структур в следе: их числе, размере ядер и винтового шага. Для режимов работы роторов с быстроходностью 8, оптимальной при эксплуатации индустриальных ветрогенераторов, разница по сравнению с более простыми моделями следа достигает 7%, что превышает результаты последних подобных модернизаций следа за ротором Беца–Гольдштейна [9].

Данные результаты имеют значение для фундаментального понимания и описания поведения потоков с системой винтовых вихрей в роторной аэродинамике, в том числе для моделирования работы ветрогенераторов в экстремальных условиях. Например, при физическом или численном моделировании обледенения важно знать изменения скорости набегающего потока вдоль всей лопасти. Кроме того, новое решение представляет интерес в других областях гидродинамики, где возникают режимы с многовихревыми винтовыми структурами, например, в ядрах торнадо, в приосевых вихрях вихревых аппаратов, циклонных сепараторов, в камерах сгорания и др.