1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 502, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 502, № 1, стр. 19-23

СКАЛЯРНО-ВЕКТОРНАЯ И ФАЗОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНО-НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОЙ СРЕДЕ

В. П. Дзюба 1, *, член-корреспондент РАН Р. В. Ромашко 1, 2, **, академик РАН Ю. Н. Кульчин 1, 2, ***

1 Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук
Владивосток, Россия

2 Дальневосточный федеральный университет
Владивосток, Россия

* E-mail: vdzyuba@iacp.dvo.ru
** E-mail: romashko@iacp.dvo.ru
*** E-mail: kulchin@iacp.dvo.ru

Поступила в редакцию 29.11.2021
После доработки 29.11.2021
Принята к публикации 06.12.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе, используя предложенное авторами волновое уравнение для вектора колебательной скорости частиц и известное уравнение для акустического давления в неоднородной неподвижной среде, исследуется влияние параметров среды на векторно-фазовые свойства акустического поля. Впервые найдены аналитические выражения для фаз и модулей векторов комплексной интенсивности и плотности потока акустической энергии (вектора акустической интенсивности), колебательной скорости, давления, плотности энергии, которые связывают их с плотностью среды и скорость звука. Предлагаемый подход позволяет аналитически проанализировать влияние как неоднородностей плотности среды, так и неоднородности скорости звука в среде с их произвольными зависимостями от координат на параметры акустического поля. Это, в свою очередь, открывает перспективы решения обратной задачи по определению пространственного распределения плотности среды и скорости звука по измеренным значениям акустического давления и вектора колебательной скорости.

Ключевые слова: вектор колебательной скорости, вектор акустической интенсивности, неоднородная среда, фаза, волновые числа

Существует несколько подходов к теоретическому анализу векторно-фазовой и энергетической структуры акустического поля. Так, в рамках одного из них используется связь между акустическим давлением ${{P}_{a}}({\mathbf{r}},t)$ и вектором колебательной скорости частицы ${\mathbf{V}}~\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)$, в другом – связь уравнения неразрывности и уравнения состояния неоднородной среды, третий базируется на динамических уравнениях движения элементарных объемов или частиц неоднородной среды [1, 2, 5–9]. При этом, как правило, используются упрощенные модели окружающей среды или численные методы, что значительно снижает общность анализа, например, [8–14]. Неотъемлемой частью анализа также является уравнение переноса акустической энергии [3, 15]. Оно позволяет описать энергетическую структуру акустического поля, но не позволяет моделировать поля акустического давления и вектора колебательной скорости. Эффективность численных методов сильно зависит от модели среды и постановки задачи и требует больших вычислительных ресурсов [16–19]. В этой связи перспективным, на наш взгляд, является направление анализа, основанное на использовании двух волновых уравнений в неоднородной среде: уравнения для акустического давления и уравнения для вектора колебательной скорости частиц среды. Этот подход с использованием метода последовательных приближений позволяет решать задачу связи векторно-фазовых и энергетических характеристик акустического поля с плотностью среды и скоростью звука при их произвольной зависимостью от координат.

Волновое уравнение акустического давления в стационарной, неподвижной и неоднородной среде с источником поля с плотностью объемных сил ${\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)$ хорошо известно:

(1)
$\begin{gathered} \frac{1}{{{{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) - {{\nabla }^{2}}{{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) + \\ + \,\left[ {\nabla {{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) + {\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)} \right]\nabla {\text{ln}}~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right) = \nabla \,\cdot\,{\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{r}},t~} \right), \\ \end{gathered} $
где $~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ – плотность невозмущенной акустическим полем среды и $с\left( {\mathbf{r}} \right)$ – скорость звука в ней. Уравнение (1) выводится путем исключения вектора ${\mathbf{V}}~\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)$ из линеаризованных уравнений Эйлера, непрерывности и состояния среды. Если исключить акустическое давление из этих уравнений, то мы придем к уравнению для вектора колебательной скорости частиц акустического поля в неоднородной, стационарной и неподвижной среде с источником излучения:

$\begin{gathered} \frac{1}{{{{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{t}^{2}}}} - {{\nabla }^{2}}~{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) - \\ - \,\nabla {\text{ln}}[~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right){{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)]\nabla \,\cdot\,{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) - \nabla \times \nabla \times {\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \\ \end{gathered} $
(2)
$ = - \frac{1}{{~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right){{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}\frac{{\partial {\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)}}{{\partial t}}.$

Уравнение (2) в области вне источника преобразуется к виду

(3)
$\begin{gathered} \frac{1}{{{{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{t}^{2}}}} - {{\nabla }^{2}}~{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) - \\ - \,\nabla {\text{ln}}[~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right){{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)]\nabla \,\cdot\,{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) + \\ + \,\nabla \times \left[ {\nabla {\text{ln}}~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right] \times {\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Вихревой член в уравнении (3) ∇ × $[\nabla {\text{ln}}~{{\rho }_{0}}({\mathbf{r}})]~$ × × V(r, t) пропорционален градиенту логарифма невозмущенной плотности среды. Поэтому в области среды, где

$\left| {\frac{{\nabla {\text{ln}}~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{\nabla {\text{ln}}[~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right){{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)]}}} \right| \ll 1,$
вихревым членом можно пренебречь, а акустическое поле может рассматриваться как имеющее слабовихревой характер. Примером такой среды может быть океанические воды вдали от поверхности и дна океана, где локальный градиент скорости звука определяется не столько изменением плотности воды, сколько соленостью и температурой [12]. На границе раздела сред градиент относительной плотности среды может быть большим. В этих областях поле вектора скорости частицы и интенсивность звука могут уже иметь значительную вращательную (вихревую) составляющую.

Если четвертый член в уравнении (3) приравнять к нулю, то можно найти решения уравнения (1) и уравнения (3), которые, в свою очередь, позволяют найти аналитические выражения, связывающие фазы и модули вектора комплексной интенсивности и вектора скорости частиц, давления, плотности акустической энергии с плотностью среды и скоростью звука в ней. Для этого введем скалярную ψ$\left( {{\mathbf{r}},t} \right)~~$ и векторную ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ функции и представим через них акустическое давление ${{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)~$ и вектор колебательной скорости частицы $~{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)$ следующим образом:

${{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \sqrt {\frac{{{{Z}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{Z_{p}^{0}}}} \psi ({\mathbf{r}},t);\,\,{\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right) = \sqrt {\frac{{{{Z}_{{\mathbf{v}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{Z_{{\mathbf{v}}}^{0}}}} {\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right).$

Используя подстановки (4), перепишем уравнения (1) и (3) в следующем виде:

(5)
$\begin{gathered} \frac{1}{{{{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\psi \left( {{\mathbf{r}},t} \right) - {{\nabla }^{2}}\psi \left( {{\mathbf{r}},t} \right) + \\ + \left[ {\frac{{3\nabla {{Z}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)\nabla {{Z}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{4Z_{p}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)}} - \frac{{{{\nabla }^{2}}{{Z}_{p}}}}{{2{{Z}_{p}}}}} \right] = 0, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{1}{{{{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{t}^{2}}}} - {{\nabla }^{2}}{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) + \\ + \left[ {\frac{{3\nabla {{Z}_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)\nabla {{Z}_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{4Z_{{\mathbf{V}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)}} - \frac{{{{\nabla }^{2}}{{Z}_{{\mathbf{V}}}}}}{{2{{Z}_{{\mathbf{V}}}}}}} \right]{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0, \\ \end{gathered} $
где ${{Z}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right) = {{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)$, ${{Z}_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) = \frac{1}{{~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right){{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}$, а $Z_{{p~}}^{0}$ и $Z_{{\mathbf{V}}}^{0}$ – значения функций ${{Z}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и ${{Z}_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ в некоторой точке ${{{\mathbf{r}}}_{0}}.$ С помощью преобразования Фурье уравнений (5) и (6) получаем следующие уравнения для спектральных составлявших функций $\psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$ и ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$:
${{\nabla }^{2}}\psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) + k_{\psi }^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)\psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) = 0,$(7)
(8)
${{\nabla }^{2}}{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) + k_{{\mathbf{U}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right){\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) = 0,$
где

$k_{{\mathbf{U}}}^{2}({\mathbf{r}}) = \frac{{{{\omega }^{2}}}}{{{{c}^{2}}({\mathbf{r}})}} + \frac{5}{4}{{\left[ {\frac{{\nabla {{\rho }_{0}}({\mathbf{r}})}}{{~{{\rho }_{0}}({\mathbf{r}})}}} \right]}^{2}}$ + $\frac{{\nabla {{\rho }_{0}}({\mathbf{r}})\nabla c({\mathbf{r}})}}{{~{{\rho }_{0}}({\mathbf{r}})c({\mathbf{r}})}}$ + + $3{{\left[ {\frac{{\nabla c({\mathbf{r}})}}{{c({\mathbf{r}})}}} \right]}^{2}}$ – $\frac{{{{\nabla }^{2}}{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}} - 2\frac{{{{\nabla }^{2}}c\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{c\left( {\mathbf{r}} \right)}};$

$k_{\psi }^{2}\left( {\mathbf{r}} \right) = \frac{{{{\omega }^{2}}}}{{{{c}^{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)}} - \frac{3}{4}{{\left[ {\frac{{\nabla {{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{~{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}} \right]}^{2}} + \frac{{{{\nabla }^{2}}{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{2{{\rho }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}.$

Из выражений для $k_{{\mathbf{U}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и $k_{\psi }^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)$ видно, что реакция полей ${\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)~$ и ${{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ на градиент плотности среды и градиент скорости звука различна. Это приводит к образованию разности фаз акустического давления Φp(r, t) и колебательной скорости ΦV(r, t) при распространении акустической волны в неоднородной среде. Представим акустическое давление и вектор колебательной скорости как

${{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = {{P}_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)\exp i\left[ {\omega t - {{\Phi }_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right],$
${\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right) = {{{\mathbf{V}}}_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)\exp i\left[ {\omega t - {{\Phi }_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right].$

Тогда средний по времени вектор комплексной интенсивности акустического гармонического поля будет равен

(9)
$\begin{gathered} {\mathbf{J}}\left( {\mathbf{r}} \right) = {{P}_{a}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right){\mathbf{V}}{\text{*}}\left( {{\mathbf{r}},~\omega } \right) = \\ = {{{\mathbf{J}}}_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)\exp i\left[ {{{\Phi }_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right) - {{\Phi }_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где $~{\mathbf{V}}{\text{*}}\left( {{\mathbf{r}},~\omega } \right)$ – вектор, комплексно сопряженный ${\mathbf{V}}\left( {{\mathbf{r}},~\omega } \right)$. В среде без диссипации звуковой энергии ${{{\text{Ф}}}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и ${{{\text{Ф}}}_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ соответственно равны фазам ψ$\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$ и $~{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right).~$ Волновые числа $k_{{\mathbf{U}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и $k_{\psi }^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)$ можно полагать равными волновым числам волнам акустического давления ${{k}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и колебательной скорости ${{k}_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ при выполнении неравенств

$\left| {\frac{{{{\nabla }^{2}}{{\psi }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{{{\psi }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}} \right| \ll \left| {k_{\psi }^{2}\left( {\mathbf{r}} \right) - {{{\left[ {\nabla {{Ф}_{p}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right]}}^{2}}} \right|,$
$\left| {\frac{{{{\nabla }^{2}}{{{\mathbf{U}}}_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{{{{{\mathbf{U}}}_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)}}} \right| \ll \left| {k_{{\mathbf{U}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right) - {{{\left[ {\nabla {{\Phi }_{{\mathbf{V}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right]}}^{2}}} \right|.$

В такой среде, используя скалярную $G\left( {{\mathbf{r}} - {{r}_{1}}} \right)$ и тензорную ${{{\mathbf{G}}}_{{ij}}}$(${\mathbf{r}} - {{{\mathbf{r}}}_{1}})~$ функции Грина, решения уравнений (7) и (8) можно найти методом последовательных приближений. Представим их в виде

(10)
${{\nabla }^{2}}\psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) + k_{0}^{2}\psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) = k_{{1p}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)\psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right),$
(11)
$~{{\nabla }^{2}}{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) + k_{0}^{2}{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) = k_{{1{\mathbf{V}}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right){\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right),$
где ${{k}_{0}} = \frac{\omega }{{c\left( {{{{\mathbf{r}}}_{0}}} \right)}}$, $k_{{1p}}^{2} = k_{0}^{2} - k_{p}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)$, $k_{{1{\mathbf{V}}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right) = k_{0}^{2} - k_{{\mathbf{V}}}^{2}\left( {\mathbf{r}} \right)$.

Запишем эти уравнения в интегральном виде

(12)
$\begin{gathered} \psi \left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) = \\ = {{\psi }_{0}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) + \iiint\limits_\Omega {G\left( {{\mathbf{r}} - {{{\mathbf{r}}}_{1}}} \right)~k_{{1p}}^{2}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{1}}} \right)\psi \left( {{{{\mathbf{r}}}_{1}},\omega } \right)d{{{\mathbf{r}}}_{1}}}, \\ \end{gathered} $
(13)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{U}}}_{i}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) = \\ = {{{\mathbf{U}}}_{{0i}}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right) + \iiint\limits_\Omega {{{G}_{{ii}}}\left( {{\mathbf{r}} - {{{\mathbf{r}}}_{1}}} \right)~k_{{1{\mathbf{V}}}}^{2}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{1}}} \right){{{\mathbf{U}}}_{i}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)d{{{\mathbf{r}}}_{1}},} \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{U}}}_{i}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)~$ – i-я компонента вектора ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$; ${{\psi }_{0}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$ и ${{{\mathbf{U}}}_{{0i}}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$ – решения однородных уравнений (10) и (11). Выбирая ${{\psi }_{0}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$ и ${{{\mathbf{U}}}_{{0i}}}\left( {{\mathbf{r}},\omega } \right)$ в качестве нулевого приближения и подставляя их в уравнения (12) и (13) после интегрирования по области, занимаемой полем, получим первое приближение, учитывающее однократное рассеяние и переизлучение первичного поля в неоднородной среде. Используя это приближение вместо нулевого, можно получить второе приближение. Аналогичным образом могут быть получены более точные решения, учитывающие многократное рассеяние и переизлучение поля на неоднородностях среды.

В качестве примера рассмотрим задачу распространения плоской акустической волны вдоль оси ОХ. В приближении отсутствия бокового рассеяния задачу можно считать одномерной. Пусть волна проходит через точку x0. Выберем ψ0(x, ω) и U0x(x, ω) в виде плоских волн, также распространяющихся вдоль оси OX. Модули этих плоских волн положим равными модулям акустического давления P0(ω) и колебательной скорости V0(ω) в точке x0. Скалярная функция Грина G и компонента тензора Грина Gxx будут равны

G(x – x1) = Gxx(x – x1) = $\frac{1}{{2i{{k}_{0}}}}$exp[ik0|x – x1|].

С учетом этого в первом приближении находим

(14)
${{\psi }}\left( {x,{{\omega }}} \right) = {{P}_{0}}\left( {{\omega }} \right)\exp i{{k}_{0}}x + {{{{\psi }}}_{1}}\left( {x,{{\omega }}} \right) + {{{{\psi }}}_{2}}\left( {x,{{\omega }}} \right),{\text{\;}}$
где
${{\psi }_{1}}\left( {x,\omega } \right) = \mathop \smallint \limits_{{{x}_{0}}}^x {\text{\;}}k_{{1p}}^{2}\left( {{{x}_{1}}} \right)\frac{{{{P}_{0}}\left( \omega \right)}}{{2i{{k}_{0}}}}\exp (i{{k}_{0}}x)d{{x}_{1}};{\text{\;}}$
${{\psi }_{2}}\left( {x,\omega } \right) = \mathop \smallint \limits_x^\infty {\text{\;}}k_{{1p}}^{2}\left( {{{x}_{1}}} \right)\frac{{{{P}_{0}}\left( \omega \right)}}{{2i{{k}_{0}}}}\exp \left( { - i{{k}_{0}}x + 2i{{k}_{0}}{{x}_{1}}} \right)d{{x}_{1}},$
(15)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{U}}}_{x}}\left( {x,{{\omega }}} \right) = \\ = {{V}_{0}}\left( {{\omega }} \right)\exp (i{{k}_{0}}x) + {{{\mathbf{U}}}_{1}}\left( {x{\text{\;}},\omega } \right) + {{{\mathbf{U}}}_{2}}\left( {x{\text{\;}},\omega } \right), \\ \end{gathered} $
где

$~{{{\mathbf{U}}}_{1}}\left( {x{\text{\;}},{{\omega }}} \right) = \mathop \smallint \limits_{{{x}_{0}}}^x k_{{1V}}^{2}\left( {{{x}_{1}}} \right)\frac{{{{{\mathbf{V}}}_{0}}\left( \omega \right)}}{{2i{{k}_{0}}}}{\text{exp}}\left( {{\text{i}}{{k}_{0}}x} \right)d{{x}_{1}};$
${{{\mathbf{U}}}_{2}}\left( {x{\text{\;}},\omega } \right) = \mathop \smallint \limits_x^\infty k_{{1{\mathbf{V}}}}^{2}\left( {{{x}_{1}}{\text{\;}}} \right)\frac{{{{{\mathbf{V}}}_{0}}\left( \omega \right)}}{{2i{{k}_{0}}}}{\text{exp}}\left( { - i{{k}_{0}}x + 2i{{k}_{0}}{{x}_{1}}} \right)d{{x}_{1}}.$

Отсюда с учетом (14) и (15) найдем Jx(x, ω)-компоненту вектора комплексной интенсивности вдоль оси X:

(16)
$\begin{gathered} {{J}_{x}}(x,{{\omega }})\, = \,\sqrt {\frac{{{{Z}_{p}}(x){{Z}_{V}}(x)}}{{Z_{p}^{0}Z_{{\mathbf{V}}}^{0}}}} {\text{\;}}({{P}_{0}}(\omega )V_{0}^{{\text{*}}}(\omega )\, + \,{{P}_{0}}(\omega ){\mathbf{U}}_{1}^{{\text{*}}}(x,{{\omega }})\, + \\ + \,{{\psi }_{1}}(x,{{\omega }})V_{0}^{{\text{*}}}(\omega )\, + \,{{\psi }_{1}}(x,{{\omega }}){\mathbf{U}}_{1}^{{\text{*}}}(x,{{\omega }}) + \\ + \,{{\psi }_{1}}(x,{{\omega }}){\mathbf{U}}_{2}^{{\text{*}}}(x,{{\omega }})\, + \\ + \,{{\psi }_{2}}(x,{{\omega }})V_{0}^{{\text{*}}}(\omega )\, + \,{{\psi }_{2}}(x,{{\omega }}){\mathbf{U}}_{1}^{{\text{*}}}(x,{{\omega }}) + \\ + \,{{\psi }_{2}}(x,{{\omega }}){\mathbf{U}}_{2}^{{\text{*}}}(x,{{\omega }})). \\ \end{gathered} $

В выражении (16) первый член описывает комплексный вектор интенсивности первичного излучения, пятый член соответствует распространяющемуся вперед вторичному излучению, а девятый член соответствует рассеянному назад излучению. Остальные члены описывают взаимную энергию первичного и рассеянного излучения. Если регистрируемое акустическое излучение приходит только из области x1 < x , то Jx(x, ω) примет следующий вид:

${{J}_{x}}\left( {x,{{\omega }}} \right) = {{P}_{0}}\left( {{\omega }} \right){{V}_{0}}\left( {{\omega }} \right)\left[ {1 + \frac{i}{{2{{k}_{0}}}}\left( {{{{{\alpha }}}_{{\text{V}}}} - {{{{\alpha }}}_{p}}} \right) + \frac{{{{{{\alpha }}}_{{\text{V}}}}{{{{\alpha }}}_{p}}}}{{4k_{0}^{2}}}} \right]{\text{\;}},{\text{\;}}$
где ${{{{\alpha }}}_{p}} = \mathop \smallint \limits_{{{x}_{0}}}^x k_{{1p}}^{2}\left( {{{x}_{1}}} \right)d{{x}_{1}}$ и ${{{{\alpha }}}_{V}} = \mathop \smallint \limits_{{{x}_{0}}}^x k_{{1V}}^{2}\left( {{{x}_{1}}} \right)d{{x}_{1}}$. Отсюда модуль и фаза вектора интенсивности будут, соответственно, равны

$\begin{gathered} \left| {{{J}_{x}}(x,{{y}_{0}},{{z}_{0}},{{\omega }})} \right|\, = \, \\ = \frac{{c({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}){{P}_{0}}({{\omega }})\left| {{{V}_{0}}({{\omega }})} \right|}}{{4k_{0}^{2}c{\text{(}}x,{{y}_{0}},{{z}_{0}}{\text{)}}}}\sqrt {(4k_{0}^{2} + {{\alpha }}_{p}^{2})(4k_{0}^{2} + {{\alpha }}_{{\text{V}}}^{2})} , \\ \end{gathered} $
${\text{Ф(}}x{\text{)}} = {\text{arctg}}\frac{{2{{k}_{0}}\left( {{{{{\alpha }}}_{p}} - {{{{\alpha }}}_{V}}} \right)}}{{4k_{0}^{2} + {{{{\alpha }}}_{p}}{{{{\alpha }}}_{V}}}}.$

Тогда вектор интенсивности (вектор плотности потока акустической энергии) будет равен

$\begin{gathered} {{I}_{x}}(x,{{y}_{0}},{{z}_{0}},{{\omega }}) = \frac{1}{2}\operatorname{Re} {{J}_{x}}(x,{{y}_{0}},{{z}_{0}},{{\omega }}) = \\ = \frac{{c({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}){{P}_{0}}(\omega ){{V}_{0}}(\omega )}}{{2c(x,{{y}_{0}},{{z}_{0}})}}\left( {1 + \frac{{{{\alpha }_{p}}{{\alpha }_{{\text{V}}}}}}{{4k_{0}^{2}}}} \right), \\ \end{gathered} $
а средняя по времени плотность энергии поля

$\varepsilon (x,\omega ) = \frac{{P_{0}^{2}(\omega )}}{{{{\rho }_{0}}(x){{c}^{2}}(x)}}\left( {1 + \frac{{{{\alpha }_{p}}{{\alpha }_{V}}}}{{4k_{0}^{2}}}} \right).$

Следует отметить, что приведенный пример относится к средам, в которых градиент плотности среды меньше градиента скорости звука.

Таким образом, предлагаемый подход позволяет аналитически проанализировать влияние как неоднородностей плотности среды, так и неоднородности скорости звука в среде с их произвольными зависимостями от координат на параметры акустического поля. Это, в свою очередь, открывает перспективы решения обратной задачи по определению пространственного (вдоль направления распространения акустической волны) распределения плотности среды и скорости звука по измеренным с помощью векторно-фазовых акустических приемников [20] значениям акустического давления и вектора колебательной скорости. В качестве вывода также следует отметить, что в неоднородной среде завихренность полей вектора скорости частицы и вектора акустической интенсивности, а следовательно, и линий тока акустической энергии определяется градиентом плотности среды. Это необходимо учитывать при моделировании распространения акустической энергии в неоднородных средах, особенно в средах с жесткими границами.

Список литературы

  1. Gordienko V.A. Vector-phase methods in acoustics. Moscow: Fizmatlit; 2007. 480 p. ISBN978-5-92210864

  2. Fahy F. J. Sound Intensity. 2nd ed. L.: Elsevier, 1989.

  3. Dzyuba V.P. Scalar-vector methods of theoretical acoustics. Vladivostok: Dalnauka; 2006. 192 p. ISBN 5-8044-0559-4.

  4. Dall'Osto D.R. Using vector sensors to measure the complex acoustic intensity field // JASA. 2015. V. 138. P. 1767. https://doi.org/10.1121/1.4933587

  5. Morse P.N., Ingard K.U. Theoretical Acoustics. N.Y.: McGraw-Hill, 1968.

  6. Brekhovskikh L. Waves in Layered Media. Elsevier, 2012.

  7. Skelton E.A. Acoustics of anisotropic planar layered media // J. Sound and Vibration. 1992. V. 152. P. 157–174. https://doi.org/10.1016/0022-460X(92)90072-6

  8. Fichtner A. Review of viscoelastic waves and rays in layered media // Seismological Research Letters. 2021. V. 92. P. 3899–3900. https://doi.org/10.1785/0220210230

  9. Olny X., Boutin C. Acoustic wave propagation in double porosity media // JASA. 2003. V. 114. P. 73–89. https://doi.org/10.1121/1.1534607

  10. Hau J.N., Müller B. Acoustic wave propagation in a temporal evolving shear-layer for low-Mach number perturbations // Physics of Fluids. 2018. V. 30 (1). P. 016105. https://doi.org/10.1063/1.4999044

  11. Friedland L., Marcus G., Wurtele J.S., Michel P. Excitation and control of large amplitude standing ion acoustic waves // Phys. Plasmas. 2019. V. 26. P. 092109. https://doi.org/10.1063/1.5122300

  12. Kalkofen W., Rossi P., Bodo G., Massaglia S. Acoustic waves in a stratified atmosphere IV. Three-dimensional nonlinear hydrodynamics // Astronomy and astrophysics. 2010. V. 520. P. A100.1–A100.6. https://doi.org/10.1051/0004-6361/200912996

  13. Petersson N.A., Sjögreen B. High order accurate finite difference modeling of seismo-acoustic wave propagation in a moving atmosphere and a heterogeneous earth model coupled across a realistic topography // J. Sci. Comput. 2018. V. 74. P. 290–323. https://doi.org/10.1007/s10915-017-0434-7

  14. Ulmschneider P., Kalkofen W. Acoustic waves in the solar atmosphere. III. A theoretical tem- perature minimum // Astronomy and Astrophysics. 1977. V. 57. P. 199–209.

  15. Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media. N.Y.: Academic, 1978.

  16. Mishra S., Schwab Ch., Šukys J. Multi-level Monte Carlo finite volume methods for uncertainty quantification of acoustic wave propagation in random heterogeneous layered medium // J. Computational Physic. 2016. V. 31. № 2. P. 192–217. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2016.02.014

  17. Hamzehpour H., Asgari M., Sahimi M. Acoustic wave propagation in heterogeneous two-dimensional fractured porous media // Phys. Rev. E. 2016. V. 93. P. 063305. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.93.063305

  18. Hargreaves J.A., Lam Y.W. The wave-matching boundary integral equation – An energy approach to Galerkin BEM for acoustic wave propagation problems // Wave Motion. 2019. V. 87. P. 4–36. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2018.07.003

  19. Perras E., Zhang Chuanzeng. Analysis of acoustic wave propagation in composite laminates via aspectral element method // PAMM – Proc. Appl. Math. Mech. 2019. V. 19. art. e201900282. https://doi.org/10.1002/pamm.201900282

  20. Ромашко Р.В., Кульчин Ю.Н., Стороженко Д.В., Безрук М.Н., Дзюба В.П. Лазерная адаптивная векторно-фазовая гидроакустическая измерительная система // Квантовая электроника. 2021. Т. 51(3). С. 265–271.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал