Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 502, № 1, стр. 50-54

В инженерных методиках расчета сжимаемого пограничного слоя при определении теплового потока в стенку ${{q}_{w}}$, для повышения точности определения коэффициента теплоотдачи α при обтекании сверхзвуковым потоком поверхностей сложной формы [1, 2], а также при исследовании процессов энергоразделения высокоскоростных газовых потоков [3, 4] в качестве определяющей температуры используется величина адиабатной температуры стенки T_aw0 [5]:

где T_w – температура стенки, γ, C_p, T_e, U_e, M – показатель адиабаты, изобарная теплоемкость, статическая температура, скорость и число Маха набегающего потока, $r = (T_{{aw0}}^{{}} - {{T}_{e}}){\text{/}}(T_{e}^{*} - {{T}_{e}})$ – коэффициент восстановления температуры, $T_{e}^{*}$ – температура торможения. Проблеме определения величин $T_{{aw0}}^{{}}$ и r посвящена обширная литература [1–4]. В общем случае их значения зависят от чисел Маха M, Прандтля Pr, Рейнольдса Re_x набегающего потока, формы обтекаемой поверхности, наличия транспирации газа на стенке (например, вдува), типа теплоносителя и т.д. При обтекании проницаемых поверхностей со вдувом в задаче появляются два дополнительных параметра – температура вдуваемого газа T_j и интенсивность вдува ${{j}_{w}} = {{(\rho v)}_{w}}{\text{/}}{{(\rho U)}_{e}}$ [6]. В качестве теплоносителей теплообменных аппаратов и рабочих тел энергоустановок могут быть использованы газы в широком диапазоне значений молекулярного числа Прандтля Pr [7, 8]. Малые (Pr < 0.2÷0.7) числа Прандтля могут быть реализованы в газовых смесях легкого и тяжелого газов [9], а большие (Pr > 1) – в перегретом водяном паре (Pr ≈ 3..4) и в смеси продуктов  сгорания топлива керосин–кислород [10, 11]. Проблема снижения температуры стенки T_w актуальна при исследовании методов улучшения теплозащиты высоконагруженных элементов энергоустановок [12].

В работе авторов [13] путем численного исследования турбулентного пограничного слоя на проницаемой пластине в сверхзвуковом потоке воздуха (Pr = 0.7) при однородном вдуве с заданной температурой охладителя получен результат, состоящий в том, что при некоторых значениях температуры вдуваемого газа ${{T}_{j}}$ на проницаемой стенке образуется область, в которой температура стенки ${{T}_{w}}$ становится ниже величины ${{T}_{j}}$. При этом температура проницаемой стенки ${{T}_{w}}$ проходит через минимум в данной области, и данный минимум с уменьшением температуры вдуваемого газа ${{T}_{j}}$ смещается дальше по потоку в сторону сечения критического вдува.

С целью исключить влияние турбулентности на течение в пограничном слое и подтвердить обнаруженный в [13] эффект, в [14] проведено численное исследование сжимаемого ламинарного пограничного слоя на проницаемой пластине с вдувом для малых и больших чисел Прандтля (Pr = 0.3 и 3.0). В [15] исследуемый диапазон чисел Прандтля был ограничен лишь малыми числами Прандтля Pr < 1.0, однако подробно исследовано влияние параметра интенсивности вдува ${{j}_{w}}$ и числа Маха M набегающего потока. Впервые введено определение критической температуры T_wcr – это температура вдуваемого газа, при которой минимум зависимости температуры стенки ${{T}_{w}}({{\operatorname{Re} }_{x}})$ совпадает с температурой адиабатной проницаемой стенки T_aw при критическом вдуве.

Полученная в [15] критериальная зависимость К позволяет обобщить полученные результаты простым алгебраическим выражением и для данных значений Pr, M и $T_{e}^{*}$ оценить диапазон температур вдуваемого газа, при котором возможно существование обнаруженного эффекта и определить значение T_wcr.

Целью настоящей работы является уточнение критериальной зависимости К, полученной в [15], учетом влияния температуры торможения набегающего потока $T_{e}^{*}$ и сравнительный анализ полученных результатов.

Постановка задачи принималась как в [14, 15]. Для расчета течения и теплообмена в сверхзвуковом ламинарном пограничном слое на плоской проницаемой пластине использована система уравнений неразрывности, движения и энергии [6]. Граничные условия принимались следующим образом:

На проницаемой стенке $y = 0$:

На внешней границе пограничного слоя y = = $\delta (x)$:

В начальном сечении (x = 0) пограничный слой задавался с ламинарным профилем скорости $\frac{u}{{{{U}_{e}}}}$ и температурой

Число Рейнольдса потери импульса составляло ${{\operatorname{Re} }_{\theta }} = \frac{{{{\rho }_{e}}{{U}_{e}}\theta }}{{{{\mu }_{e}}}} = 10$.

Теплофизические свойства среды $(\rho ,\mu ,\lambda ,{{C}_{p}})$ задавались в виде таблицы в зависимости от температуры и давления.

Расчеты проводились в той же постановке, что и в [14, 15]. Пластина обтекалась потоком газа с постоянными сверхзвуковой скоростью ${{U}_{e}}$ (соответствующей заданному числу Маха M) и температурой торможения $T_{e}^{*}$. Начальный участок пластины длиной, соответствующей числу Рейнольдса Re_x = = $\frac{{{{\rho }_{e}}{{U}_{e}}x}}{{{{\mu }_{e}}}}$ = 2 × 10⁴, полагался непроницаемым и адиабатным. Далее следовал проницаемый участок, на котором задавался вдув газа с постоянной интенсивностью вдува ${{j}_{w}}$.

Ниже представлены результаты расчетов числа Прандтля Pr = 0.3 при интенсивности вдува ${{j}_{w}}$ = = 0.0002 и числе Маха M = 3.0.

На рис. 1 приведено изменение температуры стенки ${{T}_{w}}$ по длине для ряда значений температуры вдуваемого газа ${{T}_{j}}$, которая варьировалась в диапазоне значений: от величины, равной температуре теплоизолированной (адиабатной) непроницаемой стенки ${{T}_{{aw0}}}$ (линии 1), до критической температуры вдуваемого газа T_wcr (линии 3), в зависимости от температуры торможения набегающего потока $T_{e}^{*}$. Линия 2 – ${{T}_{{\operatorname{int} }}}$, промежуточная температура вдуваемого газа ${{T}_{{wc}}}_{r} < {{T}_{{\operatorname{int} }}} < {{T}_{{aw0}}}$. Зависимости приведены для двух чисел Прандтля $\Pr = 0.7$ и $\Pr = 0.3$.

На рис. 2 представлены зависимости температуры стенки ${{T}_{w}}$ и безразмерного теплового потока в стенку ${{\bar {q}}_{w}}$ по длине пластины Re_x для ряда значений температуры вдуваемого газа ${{T}_{j}}$ для случая $\Pr = 0.3$, ${\text{M}} = 3.0$, ${{j}_{w}}$ = 0.0002, $T_{e}^{*} = 600$ K.

В [15] была предложена критериальная зависимость K(Pr) ~ Pr^-0.7 для нахождения критической температуры проницаемой стенки T_wcr при известных числах Маха, Прандтля и температурах торможения и термодинамической, и показано, что с точностью ±8% зависимость K(Pr) ≈ 1 в диапазоне чисел Маха М = 3..5, Pr = 0.1..1.0.

В данной работе эта зависимость уточнена с учетом влияния температуры торможения набегающего потока $T_{e}^{*}$. В табл. 1 приведены основные параметры расчета, которые показывают, что отношение величин $T_{e}^{*}$, T_e, T_aw0, T_wcr остается постоянным, не зависящим от температуры торможения потока. На рис. 3 отложена зависимость вида $\frac{{{{T}_{{wcr}}}--{{T}_{e}}}}{{T_{e}^{*} - {{T}_{e}}}}$ от числа Прандтля Pr. Уточненная формула для критериальной зависимости К выглядит так:

Проанализируем полученные результаты. Как видно из рис. 1, 2, при значениях температур вдуваемого газа T_j < T_aw0 на проницаемой стенке образуется область, в которой температура проницаемой стенки меньше температуры вдуваемого газа T_w < T_j, при этом величина T_w проходит через минимум в данной области, и данный минимум с уменьшением температуры вдуваемого газа T_j смещается дальше по потоку в сторону сечения критического вдува, пока не совпадет с ним (линии 3 ${{T}_{j}} = {{T}_{{wcr}}}$). При этом тепловой поток в стенку ${{\bar {q}}_{w}}$ меняет знак (рис. 2), а на стенке образуются два сечения, в которых выполняются условия адиабатности, и проницаемая стенка становится теплоизолированной (${{\bar {q}}_{w}}$ = 0, T_w = T_j = T_aw, где T_aw – адиабатная температура проницаемой стенки).

Данный эффект наблюдается при однородном вдуве газа в сверхзвуковой поток для всех чисел Pr < 1, для которых всегда температура адиабатной непроницаемой стенки T_aw0 ниже температуры торможения потока $T_{e}^{*}$. Чем ниже число Pr, тем сильнее наблюдаемый эффект и тем ниже критическая температура адиабатной проницаемой стенки T_wcr по отношению к T_aw0 и $T_{e}^{*}$ (см. табл. 1). Уменьшение числа Прандтля также сдвигает сечение критического вдува вниз по потоку в область более высоких чисел Рейнольдса Re_x.

Наличие двух сечений по длине проницаемой пластины, в которых выполняются условия адиабатности (${{\bar {q}}_{w}}$ = 0, T_w = T_j = T_aw), наблюдается только в диапазоне ${{T}_{{wcr}}} < {{T}_{j}} < T_{{aw0}}^{{}}$. При ${{T}_{j}} < {{T}_{{wcr}}}$ температура проницаемой стенки T_w монотонно убывает от значения адиабатной температуры непроницаемой стенки T_aw0 до температуры вдуваемого газа T_j в критическом сечении, при значениях ${{T}_{j}} > T_{{aw0}}^{{}}$ – возрастает.

При значении Pr = 1 данный эффект не наблюдается. При Pr > 1 (в этом случае ${{T}_{{aw0}}} > T_{e}^{*}$) наблюдается “перевернутый” эффект (см. [14]). Равенство температур T_w = T_j = T_aw (${{\bar {q}}_{w}}$ = 0) наблюдается в диапазоне температур вдуваемого газа выше температуры адиабатной непроницаемой стенки ${{T}_{j}} > {{T}_{{aw0}}}$. С повышением температуры вдуваемого газа T_j размер области, в которой ${{T}_{w}} > {{T}_{j}}$, так же, как и для случая Pr < 1, уменьшается и смещается ближе к сечению критического вдува, пока не совпадет с ним.

Вдув инородного легкого газа в сверхзвуковой поток тяжелого (например, гелия или водорода в поток аргона или ксенона), когда число Прандтля полученной вблизи стенки газовой смеси существенно меньше единицы Pr < 1 [7–9] и переменно по длине, рассмотрен в работе [16]. В этом случае снижение температуры стенки ${{T}_{w}}$ по сравнению с температурой вдуваемого газа ${{T}_{j}}$ как для ламинарного, так и, в меньшей степени, для турбулентного пограничного слоя еще сильнее, чем для случая однородного вдува газа с постоянным числом Прандтля.