Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 503, № 1, стр. 28-34

Зажигание, являющееся первым этапом горения, активно изучалось в ХХ в. на основе ряда математических теорий [1–12], но они позволяли лишь качественно оценивать параметры реального процесса зажигания, поэтому продолжались поиски новых математических решений [3–8]. В 1984 г. А.А. Филиппов [6], решая стационарное уравнение теплопроводности, при ряде допущений, получил критерий зажигания горючего газа горячим цилиндром (25), позволивший точно обрабатывать надежные экспериментальные данные. Однако он не был замечен, так как актуальная на то время теория зажигания [7] использовала критерий (28), полученный Зельдовичем [1, 2]. В 2015 г. Филиппов [8] вывел критерий (25) из уравнения теплопроводности, используя идею теории устойчивости – возникновение точки перегиба $\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}T}}{{\partial {{r}^{2}}}} = 0} \right)~$в профиле температуры горючего у горячей поверхности цилиндра в момент зажигания, а позднее [9] он получил критерий (25) из уравнения теплового баланса.

В этой статье, как и в работах [1, 2, 6, 8, 9], под зажиганием мы понимаем достижение предельного стационарного профиля температуры в горючем, после которого даже бесконечно малое повышение температуры поверхности горячего тела приводит к тепловому взрыву. В работе обобщены результаты предыдущих исследований [6, 8, 9], а также, впервые, представлено решение стационарного уравнения теплопроводности при противоположных, предельных граничных условиях – очень малом и очень большом потоках тепла от горячего тела к горючему. В результате получены критерии (25) и (28), и, как оказалось, Я.Б. Зельдович вывел критерий самовоспламенения, а А.А. Филиппов – критерий зажигания горючего накаленным цилиндром.

Для проверки обоих критериев зажигания были использованы надежные данные эксперимента, представленные С. Кумагаи [10]. Опыты проводились в трубе, по которой двигался поток сити-газа (в основе метан) температурой Т₀ = 298 К. Поперек трубы, горизонтально, проходил цилиндрический провод, по которому протекал электрический ток, нагревавший его. В работе измеряли температуру поверхности цилиндра (T_s) в момент зажигания горючего газа, в зависимости от диаметра цилиндра (d) и скорости потока газовой смеси (${v}$). Для объяснения результатов опытов [10] рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1), предполагая наличие теплового потока у поверхности цилиндра и отсутствие выгорания:

где Q, k, E – теплота, предэкспоненциальный множитель и энергия активации химической реакции; λ – теплопроводность горючего около горячего тела; r_s – радиус цилиндра. Сделаем общепринятую замену переменных [1, 2, 7, 11]:

где

есть характерный размер.

В новых переменных уравнение (1) и условия (2) примут вид

Сделаем замену переменных [7]:

В новых переменных, используя правило дифференцирования $~\frac{{\partial {v}}}{{\partial \eta {\text{\;}}}} = \frac{{d{v}}}{{d\xi }}\frac{{d\xi }}{{d\eta }}~$, система уравнений (5), (6) примет вид

Решение уравнения (8), согласно [7], имеет вид

где С – константа интегрирования, ch – гиперболический косинус. Прологарифмируем, а затем продифференцируем выражение (10):

Используя выражение thx = $\frac{{{\text{sh}}x}}{{{\text{ch}}x}}$, (12), а также учитывая выражение (9), при η = 0, найдем константу интегрирования:

Используя выражение (13) и формулу ch²x – ‒ sh²x = 1, выражение (12) для теплоотвода в холодную зону примет вид

Тепловыделение химической реакции H_sравно разнице теплоотвода (14) от зоны реакции и прихода в нее тепла (9) от горячего тела, а при P ≫ 1:

Получим тепловыделение химической реакции Н_s (15), в размерном виде [7], с учетом коэффициентов (2):

Вычислим то же самое тепловыделение химической реакции, полагая, что она проходит у поверхности цилиндра в зоне химической реакции шириной X:

В работах [8, 9] показано, что в момент зажигания профиль температуры в зоне реакции проходит точку перегиба, становясь практически прямым. То есть производные температуры по координате на разных границах зоны реакции приблизительно равны между собой и выражение (17) примет вид

Вычислим безразмерную ширину зоны химической реакции Х_s [4, 8]:

Используем выражение (10) и сделав замену переменных µ = C – ηchC, а также заметив, что exp ${v}$|_{η = 0} = 1, получим выражение (19) в новых переменных:

Первообразной от функции 1/ch²(μ) является thμ, и с учетом th(–∞) = –1, выражение (20) примет вид

Вставим значение C (13) и найдем

В размерном виде получим

а при P ≫ 1:

Средний теплоотвод от цилиндра в потоке газа [13, 14]:

где α = λNu/d – средний коэффициент теплопередачи, Nu – число Нуссельта, выводимое из эмпирической кривой от значения числа Рейнольдса (Re = ${v}$d/ε), где ε – динамическая вязкость при температуре T_f = (T_s + T₀)/2. Локальный коэффициент теплопередачи α_s(φ) = b(φ)α в конкретной точке поверхности цилиндра зависит от угла (φ), отсчитываемого от лобовой точки натекания потока, а в условиях эксперимента [10] достигает минимума в точке отрыва потока (φ ≈ 100°), где b(φ) ≈ 0.5 [13, 14]. На фотографиях, данных в работе [10], видно, что очаг зажигания возникает именно в этом месте. Таким образом, теплоотвод от цилиндра в месте зажигания определяется выражением

Тепловыделение химической реакции (18) в месте зажигания, используя выражения (21), (23) примет вид

Приравняем выражения для тепловыделения химической реакции (16) и (24) и, вставив в тождество значение $~\ell $ (4), получим критерий зажигания:

Критерий зажигания (25) вытекает из уравнения энергетического баланса (18), что не может быть волей случая – закон сохранения энергии “не играет в кости”. При возникновении в профиле температуры точки перегиба начинается перераспределение потока тепла от полного отвода в холодную зону к его бесконечно малому накоплению в зоне реакции. А так как тепловыделение химической реакции экспоненциально увеличивается c ростом температуры $\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \left( {\frac{{Qk}}{{c\rho }}} \right)\exp \left[ {\frac{{E(T - {{T}_{s}})}}{{RT_{s}^{2}}}} \right]$ [11], то также экспоненциально накапливается и тепло в зоне реакции, в то время как отвод тепла из нее растет от температуры слабо (линейно). В результате включается положительная температурная обратная связь, накапливаемое тепло не успевает отводиться – происходит тепловой взрыв. Критерий зажигания у поверхности цилиндра можно представить в виде

При выводе критерия (25) выражение [P(1 + + 4/P²)^0.5 – P/2] сократилось, т.е. он справедлив для любых Р, что верно только для Р ≫ 1, так как при P ≪ 1 действует критерий самовоспламенения, вытекающий из выражений (9), (14):

В плоской геометрии (r ≫ 1), при М ≪ 1, критерий (27) примет вид

Критерий (28) был получен Я.Б. Зельдовичем в статье [1], где он писал, что выражение для предельного потока тепла “будет правильным и при любом другом способе отвода тепла”. Это утверждение было принято научным сообществом, так как вывод условий (28) был верен. В результате выражение для предельного теплового потока на долгие годы легло в основание теории зажигания, которое в размерных координатах имеет вид [1, 7]:

Воспользуемся этим утверждением Зельдовича и получим “критерий зажигания” потока горючей смеси накаленным цилиндром, вставив в условие (29) формулу (23) для отвода потока тепла от зоны химической реакции:

Оказалось, условие (30) укладывает данные таблицы на разные кривые (рис. 1), в то время как критерий (25) собирает их на одну прямую (рис. 2). Метод проведения вычислений по обработке экспериментальных данных [10] по формулам (30) и (25) подробно изложен в работе [9] (по ошибке было написано зажигание пропано-воздушной газовой смеси, вместо сити-газа).

Для понимания этих фактов рассмотрим экспериментальные данные [10]. Используя рис. 2, при b(φ) ≈ 0.5 найдем энергию активации химической реакции (Е = 34 ккал/моль) и значение kQ ≈ ≈ 6 × 10⁷ кал см³ с^–1. Высчитаем значения $\ell $ (табл. 1), полагая теплопроводность горючей смеси равной теплопроводности воздуха 2 × 10^–4 кал/см_{сград при температуре 1300 К и ее рост на 5%, с повышением температуры на каждые 100^{градусов [15]. Найдем выражение Р (9) в размерных координатах, используя $\frac{{\partial {v}}}{{\partial \xi }}$ = $\frac{{dP}}{{dr}}\frac{{dr}}{{d\xi }}$ и формулы (3), (23):}}

Однако локальный поток тепла ${{P}_{\ell }}$ (22), (23) зависит от α_s(φ) = b(φ)α, где в месте зажигания b(φ) ≈ 0.5, т.е. ${{P}_{\ell }}$ ≈ P/2. Выражение для теплового потока в месте зажигания примет вид

Высчитаем значения ${{P}_{\ell }}$ и найдем Х ≈ $\ell $/${{P}_{\ell }}$ – ширину зоны химической реакции (22) и H_s/${{P}_{\ell }}$ ≈ ≈ 1/$P_{\ell }^{2}$ – отношение тепловыделения химической реакции к потоку тепла (15) (табл. 1). Видно, что при ${{P}_{\ell }}$ > 4 экспериментальные точки хорошо ложатся на одну прямую (рис. 2), при этом значение H_s/${{P}_{\ell }}$ и Х малы. При уменьшении Т_s значения ${{P}_{\ell }}$ падают, а значения H_s/${{P}_{\ell }}$ и Х быстро растут. Из табл. 1 и рис. 2 видно, что при минимальных значениях Т_s (${{P}_{\ell }}$ ≈ 4) точки эксперимента хуже ложатся на прямую линию – видимо, нужно учитывать тепловыделение химической реакции. При дальнейшем падении ${{P}_{\ell }}$, критерий (25) станет менее точным, а затем его нельзя применять, так как при ${{P}_{\ell }}$ ≪ 1 происходит самовоспламенение горючего – работает критерий (28). А именно: при ${{P}_{\ell }}$ ≪ 1 приход тепла от горячего тела к горючему ничтожен (горячая поверхность не греет горючее), а ширина зоны химической реакции Х ≫ r_s, т.е. первичный очаг огня возникает в объеме горючего.

Итак, при уменьшении ${{P}_{\ell }}$ от больших величин до нуля изменяется характер теплового взрыва от зажигания горючего в тонком слое у накаленной поверхности к его объемному самовоспламенению, вдали от накаленной поверхности. При этом условие зажигания (25) постепенно переходит в условие самовоспламенения (28).

Я.Б. Зельдович написал статью в 1939 г. [1], когда математический аппарат теории горения не был хорошо развит и поэтому условие (28) было, ошибочно, отнесено им к зажиганию, так как позднее стало известно [7, 11], что обнаруженный в работе [1] симметричный профиль температуры возникает при самовоспламенении горючего. Хотя и тогда было ясно, что в момент теплового взрыва градиент температуры у накаленной поверхности равен нулю [1] (28), т.е. она не может греть и зажигать его. Отметим, что графический метод, использованный в работе [1], не видел точку перегиба в профиле температуры горючего, поэтому критерий зажигания (26) не был обнаружен.

Критерий зажигания горючего вещества горячим шаром можно получить из стационарного уравнения теплопроводности в сферических координатах при возникновении в профиле температуры горючего точки перегиба [6, 8, 9]:

где α_s – локальный минимальный коэффициент теплопередачи от шара в месте зажигания и r_o – радиус шара. Вероятно, критерий зажигания для выпуклого тела будет таким же, что и для шара (32), где α_s – локальный коэффициент теплопередачи в месте, где теплопередача минимальна, r_o – радиус кривизны в месте зажигания.

Критерий зажигания (25), (26) А.А. Филиппова связывают все характерные данные горючей системы: температуры среды T₀ и зажигания T_s; размер (d) и геометрию горячего тела; условия теплоотвода (λ, Nu) и параметры химической реакции (Q, k, E) горючего в одно простое уравнение. Физический смысл критерия зажигания – нарушение стационарного теплового баланса в зоне химической реакции, при возникновении в ее температурном профиле точки перегиба, после чего тепловой взрыв становится неизбежен.

Условия (25), (26) получены при кондуктивном обмене тепла, поэтому они должны быть верны при зажигании конденсированного горючего. При зажигании горючего цилиндрической формы горячим потоком инертного газа стационарный режим невозможен из-за ограниченности объема горючего. Но при квазистационарном режиме прогрева горючего уравнение теплопроводности $\left( {\frac{{dT}}{{dt}}\sim 0} \right)$ примет вид (1) при граничных условиях, поменявших знак. А появление точки перегиба в профиле температуры горючего, вероятно, вызовет зажигание. В этом случае условия (25), (26) должны быть применимы. В работе [9] было обнаружено влияние материала накаленного тела и ингибиторов на T_s, т.е. условия (25), (26) можно использовать для изучения каталитических реакций и природы ингибирования при зажигании горючего.

Идея потери устойчивости используется в теории катастроф [15], где особые точки называются точками бифуркации. Поэтому условия зажигания (25), (26), являющиеся и условиями потери устойчивости, вероятно, можно использовать для моделирования лавинообразных природных и социальных процессов: газовый разряд, взрывное размножение вирусов, развитие пандемии, социальных конфликтов и экономических кризисов.

Авторы надеются, что аргументы, изложенные в этой статье и в работах [6, 8, 9], будут приняты и, по истечению восьмидесяти лет, возникнет единая точка зрения на “теорию зажигания накаленной поверхностью”.