Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 503, № 1, стр. 23-27

ВОЛНОВОД И ОПЕРАТОРЫ

Пусть $G$ – область в ${{\mathbb{R}}^{3}}$, совпадающая вне большого шара с объединением конечного числа попарно непересекающихся полуцилиндров $\Pi _{ + }^{q}$ = = $\{ (y,z){\text{:}}\,\,y \in {{\Omega }^{q}},z \in {{\mathbb{R}}_{ + }}\} $, $q = 1, \ldots ,\mathcal{T}$; граница $\partial G$ гладкая. Рассматривается система дифференциальных уравнений

с краевыми условиями и начальными условиями

Здесь ${{\psi }^{1}}(x,t)$ и ${{\psi }^{2}}(x,t)$ – трехкомпонентные векторы, обозначающие электрическое и магнитное поля. При этом $\psi _{\tau }^{1}$ – касательная составляющая поля ψ¹ на $\partial G$, а ${{(\mu {{\psi }^{2}})}_{\nu }}$ – нормальная составляющая поля $\mu {{\psi }^{2}}$. Предполагается, что матрицы ε(⋅) и μ(⋅) размера 3 × 3 с элементами ε_{j, l}(⋅) ${{\mu }_{{j,l}}}( \cdot ) \in {{C}^{1}}(\overline G )$ являются положительно определенными, т.е. $\langle \varepsilon (x)\xi ,\xi \rangle \geqslant c\langle \xi ,\xi \rangle $ и $\langle \mu (x)\xi ,\xi \rangle \geqslant c\langle \xi ,\xi \rangle $ при всех $\xi \in {{\mathbb{C}}^{3}}$, где c – положительная постоянная, а $\langle \cdot , \cdot \rangle $ – скалярное произведение в ${{\mathbb{C}}^{3}}$. Кроме того, при некотором $\delta > 0$ в каждом цилиндрическом выходе $G \cap \Pi _{ + }^{q}$ выполняются условия стабилизации

здесь (y, z) – локальные координаты в $G \cap \Pi _{ + }^{q}$.

Для того чтобы связать с задачей (1)–(3) самосопряженный оператор, нам понадобятся разложения Вейля пространства L₂ на “соленоидальное” (“бездивергентное”) и “градиентное” подпространства (см., например, [2])

Здесь ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{3}},\varepsilon )$ и ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{3}},\mu )$ – гильбертовы пространства со скалярными произведениями $(\varepsilon \cdot , \cdot )$ и $(\mu \cdot , \cdot )$. “Градиентное” подпространство $\mathcal{G}(\tau )$ – замыкание в ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{3}},\varepsilon )$ линеала $\{ \nabla p{\text{:}}\,p \in C_{c}^{\infty }(G)\} $. Наконец, “градиентное” подпространство $\mathcal{G}(\nu )$ определяется равенством

В пространстве ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )$ := ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{3}},\varepsilon )$ × × ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{3}},\mu )$ с весом $\varpi : = {\text{diag}}(\varepsilon ,\mu )$ выделим подпространство $\mathcal{H}: = \mathcal{J}(\tau ,\varepsilon ) \times \mathcal{J}(\nu ,\mu )$. Оператор $M$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, заданный дифференциальным выражением

на области определения является самосопряженным и называется оператором Максвелла [2].

ТОЧЕЧНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТРЫ

Число k – собственное значение, если существует ненулевое решение $U \in \mathcal{D}(M)$ уравнения $MU = kU$. Собственные значения оператора M имеют конечную кратность и могут сгущаться разве лишь на бесконечности. Говорят, что число k принадлежит непрерывному спектру, если образ оператора $M - kI$ не замкнут в ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )$. При $k \ne 0$ это происходит в том и только в том случае, если существует решение $U = ({{u}^{1}},{{u}^{2}}) \notin {{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )$ задачи

причем $\left| {U(x)} \right| \leqslant C{{(\left| x \right| + 1)}^{N}}$, $N < \infty $; такое решение называется собственной функцией непрерывного спектра. Точка k = 0 является особенной и здесь не обсуждается; счетное число точек не дает вклада в абсолютно непрерывную часть оператора и потому условие $k \ne 0$ не мешает построению теории рассеяния. При всех k, за исключением изолированных “пороговых” значений, собственные функции непрерывного спектра являются ограниченными. Пороги расположены симметрично относительно нуля и накапливаются только на $\infty $. Если все сечения ${{\Omega }^{q}}$ цилиндрических выходов – односвязные области, то непрерывный спектр оператора $M$ – множество $( - \infty , - {{\tau }_{1}}] \cup [{{\tau }_{1}}, + \infty )$; здесь ${{\tau }_{1}} > 0$ – наименьший положительный порог. Если хотя бы одно из сечений ${{\Omega }^{q}}$ неодносвязно, непрерывный спектр заполняет всю вещественную ось. Обозначим через ${{\mathcal{E}}_{c}}(k)$ линейную оболочку собственных функций непрерывного спектра, отвечающих числу k; $\dim {{\mathcal{E}}_{c}}(k) < \infty $ при всех k. Если k не является собственным числом, то $\kappa (k): = \dim {{\mathcal{E}}_{c}}(k)$ называется кратностью непрерывного спектра в точке k. Если же k есть точка непрерывного спектра и собственное значение, то положим κ(k) := $\dim \left( {{{\mathcal{E}}_{c}}(k){\text{/}}{{\mathcal{E}}_{p}}(k)} \right)$, где ${{\mathcal{E}}_{c}}(k){\text{/}}{{\mathcal{E}}_{p}}(k)$ – фактор-пространство, ${{\mathcal{E}}_{p}}(k)$ – подпространство собственных функций, отвечающих числу k. Функция $k \mapsto \kappa (k)$ четная и кусочно постоянная с разрывами на порогах. Здесь и всюду далее предполагается, что число $k$ отлично от порогов и нуля.

По определению ${{\mathcal{H}}^{p}}$ – замыкание линейной оболочки собственных функций оператора M, а ${{\mathcal{H}}^{c}}$ – ортогональное дополнение в $\mathcal{H}$ к ${{\mathcal{H}}^{p}}$. Пусть, кроме того, $X \mapsto E(X)$ обозначает спектральную меру оператора M. По определению ${{\mathcal{H}}^{{ac}}}$ состоит из таких элементов $f \in {{\mathcal{H}}^{c}}$, что функция $k \mapsto (E( - \infty ,k)f$, f) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Пространства ${{\mathcal{H}}^{p}}$, ${{\mathcal{H}}^{c}}$ и ${{\mathcal{H}}^{{ac}}}$ являются подпространствами $\mathcal{H}$ и приводят оператор M.

ВОЛНЫ. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ

В каждом цилиндре ${{\Pi }^{q}} = {{\Omega }^{q}} \times \mathbb{R}$, $q = 1, \ldots ,\mathcal{T}$, рассмотрим задачу вида (7) с заменой ${{\varepsilon }_{{j,l}}}(y,z)$ и  ${{\mu }_{{j,l}}}(y,z)$ на $\varepsilon _{{j,l}}^{q}(y)$ и $\mu _{{j,l}}^{q}(y)$ из (4). Если искать решения     этой модельной задачи в виде (y, $z) \mapsto \exp (i\lambda z)\varphi (y)$ с вещественными $\lambda $, то оказывается, что на интервале $k \in (\tau {\kern 1pt} ',\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ между соседними порогами $\tau {\kern 1pt} ',\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ существует конечное число линейно независимых решений

где $y \in {{\Omega }^{q}}$, $z \in \mathbb{R}$, а $j = 1, \ldots ,{{\kappa }^{q}}$. При этом функции $k \mapsto N_{j}^{ \pm }(k),\lambda _{j}^{ \pm }(k),\varphi _{j}^{ \pm }( \cdot ,k)$ являются вещественно-аналитическими на интервале $k \in (\tau {\kern 1pt} ',\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ и $ \mp (\lambda _{j}^{ \pm }){\kern 1pt} '(k) > 0$. Поток энергии, переносимый волной $U_{j}^{ + }$ ($U_{j}^{ - }$) через сечение ${{\Omega }^{q}}$ в направлении оси z, отрицательный (положительный). Поэтому волна $U_{j}^{ + }$ ($U_{j}^{ - }$) называется приходящей из $ + \infty $ (уходящей в $ + \infty $). Число $N_{j}^{ \pm }(k)$ выбирается так, чтобы плотность потока энергии, переносимой каждой волной, была равна единице.

Вернемся к задаче (7) в области G. На интервале $(\tau {\kern 1pt} ',\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ между соседними порогами $\tau {\kern 1pt} '$ и $\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ существует базис в пространстве собственных функций непрерывного спектра ${{\mathcal{E}}_{c}}(k){\text{/}}{{\mathcal{E}}_{p}}(k)$, состоящий из вещественно-аналитических функций $k \mapsto Y_{j}^{ + }( \cdot ,k)$, $j = 1, \ldots ,\kappa $, с асимптотикой

при $\left| x \right| \to \infty $. Здесь $\alpha = \alpha (k) > 0$ – достаточно малое число, которое ограничивается скоростью стабилизации коэффициентов ($\alpha < \delta $ из (4)) и расстоянием от k до порога; на любом отрезке $[k{\kern 1pt} ',k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '] \subset (\tau {\kern 1pt} ',\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ число α можно выбрать не зависящим от k. Через $U_{j}^{ + }$ и $U_{j}^{ - }$ обозначены приходящие и уходящие волны, введенные в цилиндрах ${{\Pi }^{1}}, \ldots ,{{\Pi }^{\mathcal{T}}}$ и пронумерованные сквозным индексом $j = 1, \ldots ,\kappa $, $\kappa = {{\kappa }^{1}} + \ldots + {{\kappa }^{\mathcal{T}}}$. При этом считается, что каждая из этих волн дается выражением (8) в $\Pi _{ + }^{q}$ для некоторого q и равна нулю в $\Pi _{ + }^{r}$ при $r \ne q$. При переходе через порог набор волн и их нумерация меняются.

Матрица $S(k) = \left\| {{{S}_{{jl}}}(k)} \right\|$ является унитарной и называется матрицей рассеяния. Матрица-функция $k \mapsto S(k)$ определена на всем непрерывном спектре, за исключением порогов, и является вещественно-аналитической на каждом интервале между соседними порогами. Далее нам понадобится еще один базис в пространстве собственных функций непрерывного спектра ${{\mathcal{E}}_{c}}(k){\text{/}}{{\mathcal{E}}_{p}}(k)$, заданный формулами

СПЕКТРАЛЬНАЯ МЕРА И СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА M

Обозначим через ${{\rho }_{\alpha }}$ гладкую положительную функцию в G, в каждом цилиндрическом выходе совпадающую с ${{e}^{{\alpha |x|}}}$, где $\alpha $ – число из (9), не зависящее от k. Введем пространство L_{2, α}(G, ${{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )$ = = $\{ f:{{\rho }_{\alpha }}f \in {{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )\} $ и положим $\mathcal{H}(\alpha )$ := := $\mathcal{H} \cap {{L}_{{2,\alpha }}}(G,{{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )$.

Лемма 1. Пусть отрезок $[k{\kern 1pt} ',k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '] \subset {{\sigma }_{c}}(M)$ свободен от порогов и нуля, $[k{\kern 1pt} ',k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '] \supset X$ – произвольный интервал и $f,g \in \mathcal{H}(\alpha ) \cap {{\mathcal{H}}^{c}}$. Тогда

и мера $X \mapsto (E(X)f,g)$ абсолютно непрерывна.

Следствие 1. Пространства ${{\mathcal{H}}^{c}}$ и ${{\mathcal{H}}^{{ac}}}$ совпадают. Таким образом, абсолютно непрерывный спектр ${{\sigma }_{{ac}}}(M)$ совпадает с непрерывным спектром ${{\sigma }_{c}}(M)$, а сингулярно непрерывного спектра нет.

Пусть ${{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}, \ldots $ – последовательность положительных порогов, пронумерованных в порядке возрастания, тогда ${{\tau }_{{ - j}}}: = - {{\tau }_{j}}$ – отрицательные пороги; положим также ${{\tau }_{0}} = 0$. Пусть еще ${{\kappa }_{j}}$ – кратность непрерывного спектра на интервале $({{\tau }_{j}},{{\tau }_{{j + 1}}})$, а $\{ Y_{l}^{ + }( \cdot ,k)\} _{{l = 1}}^{{{{\kappa }_{j}}}}$ и $\{ Y_{l}^{ - }( \cdot ,k)\} _{{l = 1}}^{{{{\kappa }_{j}}}}$ – базисы собственных функций непрерывного спектра на $({{\tau }_{j}},{{\tau }_{{j + 1}}})$. Для $f \in \mathcal{H}(\alpha ) \cap {{\mathcal{H}}^{{ac}}}$ и $k \in ({{\tau }_{j}},{{\tau }_{{j + 1}}})$, $j \in \mathbb{Z}$, введем вектор-столбцы

Функции $k \mapsto ({{\Phi }^{ \pm }}f)(k)$ заданы на ${{\sigma }_{c}}(M)$, за исключением порогов. Из формул (10) вытекает, что $({{\Phi }^{ - }}f)(k) = {{S}^{t}}(k)({{\Phi }^{ + }}f)(k).$ Пусть $\mathfrak{h}$ – пространство, элементами которого являются функции $\mathbb{R} \mathrel\backepsilon k \mapsto g(k) \in {{\mathbb{C}}^{{\kappa (k)}}}$, со скалярным произведением

Для любых $f,g \in \mathcal{H}(\alpha ) \cap {{\mathcal{H}}^{{ac}}}$ справедлива формула ${{({{\Phi }^{ \pm }}f,{{\Phi }^{ \pm }}g)}_{\mathfrak{h}}} = (f,g{{)}_{\mathcal{H}}}.$ Поэтому отображения ${{\Phi }^{ \pm }}$ продолжаются по непрерывности на ${{\mathcal{H}}^{{ac}}}$. Так как функции $Y_{l}^{ \pm }$ ортогональны любой собственной функции, то ${{\Phi }^{ \pm }}$ определены на ${{\mathcal{H}}^{p}}$ и ${{\Phi }^{ \pm }}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{H}}^{p}}}}} = 0$.

Лемма 2. Справедливы соотношения $({{\Phi }^{ \pm }}){\kern 1pt} {\text{*}}{{\Phi }^{ \pm }}\, = \,{{P}^{{ac}}},$ ${{\Phi }^{ \pm }}({{\Phi }^{ \pm }}){\kern 1pt} * = I,$ ${{\Phi }^{ \pm }}M = k{{\Phi }^{ \pm }},$ где ${{P}^{{ac}}}$ – проектор на ${{\mathcal{H}}^{{ac}}}$.

ВОЛНОВОЙ ОПЕРАТОР. ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ

Пусть $G_{0}^{q} \subset G \cap \Pi _{ + }^{q}$ – область с гладкой границей, на достаточно большом расстоянии совпадающая с $G \cap \Pi _{ + }^{q}$. Положим ${{G}_{0}}: = {{ \cup }_{q}}G_{0}^{q}$. В области G₀ построим разложения Вейля вида (5) и определим соответствующее пространство ${{\mathcal{H}}_{0}}$. Через M₀ обозначим оператор в ${{\mathcal{H}}_{0}}$, заданный дифференциальным выражением $\mathcal{M}(x,{{D}_{x}})$ на области определения $\mathcal{D}({{M}_{0}})$, которая получается из (6) заменой $G$ на G₀, ниже M₀ играет роль невозмущенного оператора. Множества порогов, кратность непрерывного спектра и наборы приходящих и уходящих волн для волноводов $G$ и G₀ совпадают. Собственные функции непрерывного спектра в волноводе G₀ обозначим через $Y_{{0l}}^{ \pm }$, а соответствующие спектральные преобразования – через $\Phi _{0}^{ \pm }$.

Пусть $\chi $ – срезка в ${{G}_{0}}$, равная единице при ${\text{|}}x{\text{|}} \geqslant {{t}_{0}}$ и нулю при ${\text{|}}x{\text{|}} \leqslant {{t}_{0}} - 1$, где ${{t}_{0}}$ – достаточно большое положительное число. Оператор отождествления $\mathcal{X}:{{\mathcal{H}}_{0}} \to \mathcal{H}$ действует как композиция оператора умножения на χ, оператора продолжения нулем на G и проектирования из ${{L}_{2}}(G,{{\mathbb{C}}^{6}},\varpi )$ на $\mathcal{H}$. Волновые операторы ${{W}^{ \pm }}$ определяются соотношением ${{W}^{ \pm }}f: = \mathop {\lim }\limits_{t \to \pm \infty } {{e}^{{iMt}}}\mathcal{X}{{e}^{{ - i{{M}_{0}}t}}}f$ для $f \in {{\mathcal{H}}^{{ac}}}({{M}_{0}})$.

Теорема 1. Справедливы равенства ${{W}^{ \pm }}f$ = = $({{\Phi }^{ \mp }}){\text{*}}\Phi _{0}^{ \mp }f.$

Оператор рассеяния принимает вид

здесь учтены соотношения (Φ^–f)(k) = = ${{S}^{t}}(k)({{\Phi }^{ + }}f)(k)$ и ${{\Phi }^{ + }}({{\Phi }^{ + }}){\kern 1pt} * = I$. Из леммы 2 следует полнота волновых операторов и унитарность оператора рассеяния на ${{\mathcal{H}}^{{ac}}}({{M}_{0}})$.

Схема доказательства. Первым шагом является переход от переопределенной системы (1)–(3) к начально-краевой задаче для уравнения вида $i{{\partial }_{t}}\Psi (x,t) = \mathcal{A}(x,{{D}_{x}})\Psi (x,t)$ с эллиптическим оператором $\mathcal{A}(x,{{D}_{x}})$ (об эллиптическом расширении системы Максвелла см., например, [1, 2]). Для полученной задачи развивается схема построения теории рассеяния в волноводах, предложенная и обоснованная в [3] для уравнения шрёдингеровского типа. В частности, доказывается существование и полнота волновых операторов и эти операторы вычисляются в терминах собственных функций непрерывного спектра соответствующей стационарной задачи $\mathcal{A}(x,{{D}_{x}})\mathcal{U}(x) = k\mathcal{U}(x)$.

Второй шаг состоит в возвращении к исходной задаче (1)–(3); при этом устанавливаются специальные свойства расширенной задачи, связанные с ее происхождением от системы Максвелла. В частности, собственные функции непрерывного спектра расширенной задачи разбиваются на три группы: первая группа отвечает нерасширенной системе Максвелла (7), а две другие возникают в результате процедуры расширения и связаны с задачами Дирихле и Неймана для уравнений акустики [4]. Эти сведения позволяют установить существование и полноту волновых операторов для задачи (1)–(3) и выразить их через собственные функции непрерывного спектра задачи (7).

Комментарий к списку литературы. Математическая теория рассеяния для уравнений шрёдингеровского типа в волноводах обсуждалась в [3]. Обзор результатов для электромагнитных волноводов, описываемых стационарной системой Максвелла, приводится в [4]. Математическая теория рассеяния для нестационарной системы Максвелла во всем пространстве представлена в [5] и [6].