1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 503, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 503, № 1, стр. 17-22

КООРДИНАТЫ ВОЛНОВОГО АТТРАКТОРА В ТРАПЕЦИЕВИДНОМ ВОДНОМ БАСCЕЙНЕ СО СТРАТИФИКАЦИЕЙ

А. Г. Петров 1, *

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: petrovipmech@gmail.com

Поступила в редакцию 22.10.2021
После доработки 13.12.2021
Принята к публикации 16.12.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматриваются волны в непрерывно стратифицированной жидкости, возбуждаемые в трапециевидном бассейне. Энергия волн распространяется по прямым линиям – лучам, образующим фиксированный угол с вертикалью θ. На основе лучевой модели методом отражений аналитически находятся координаты волнового аттрактора, который возникает в процессе отражений от стенок бассейна. Результаты сравниваются с лабораторными и численными экспериментами. Исследована сходимость к аттрактору. На основе аналитических выражений определены необходимые и достаточные условия для существования волнового аттрактора с одним отражением от каждой стороны.

Ключевые слова: внутренние волны, волновой аттрактор, трапециевидный бассейн

Градиент плотности в жидкости в основном определяется ее температурой и растворенными солями. Несжимаемая жидкость находится в устойчивом статическом равновесии с плотностью, линейно растущей в направлении силы тяжести. Регулярные возмущения этого статического равновесия с некоторой частотой ω приводят к внутренним гравитационным волнам, энергия которых распространяется по прямым линиям – лучам, образующим фиксированный угол с вертикалью θ = = $\arccos (\omega {\text{/}}N)$, где $N$ – частота Брента–Вяйсяля. При отражении от стенки направление луча меняется так, что его угол с вертикалью θ меняет знак, а абсолютная величина угла $\theta $ сохраняется. Таким образом, для простейшего исследования внутренних волн можно использовать лучевую модель. Существуют лабораторные и численные эксперименты, в которых волновой луч отражается от стенок бассейна, имеющего форму трапеции [1, 2]. В таком бассейне луч, последовательно отражаясь от стенок, принимает предельную устойчивую форму параллелограмма – волновой аттрактор [1–5]. Было показано, что идеальная форма аттрактора наблюдается лишь при тщательно подобранных параметрах эксперимента и малой амплитуде воздействия [3—5]. При увеличении амплитуды возникает турбулентность, однако фильтрация по частоте внешнего воздействия показала, что теоретический аттрактор по лучевой теории является областью накачки кинетической энергии в систему [4, 5] и изучение лучевой аккумуляции волновой энергии является актуальным. Диагонали трапеции являются предельным случаем существования аттрактора, на которых аттрактор вырождается в линию. В дальнейших работах [6] при изучении аттракторов $(1,1)$ использовались аналитические выражения для границ диапазона их существования, которые были найдены исходя из диапазона углов между диагоналями трапеции.

Данное исследование посвящено аналитическому выводу координат вершин аттрактора при заданных сторонах трапеции и угла $\theta $, условиям сходимости, а также вывода необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять длины сторон трапеции, в которой образуются волновые аттракторы с одним отражением от каждой стороны.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим бассейн в форме трапеции $ABCD$. Сторона $AD$ направлена по вертикали, стороны $AB$ и $DC$ по горизонтали, их длины $AD = a$, AB = b1, DC = b2. В декартовых осях $X,Y$ вершины трапеции задаются координатами (рис. 1а)

(1)
$A(0,a),\quad B({{b}_{1}},a),\quad C({{b}_{2}},0),\quad D(0,0).$

Без ограничения общности можно считать, что ${{b}_{1}} < {{b}_{2}}$, так как если ${{b}_{1}} > {{b}_{2}}$, то, сделав переобозначение ${{b}_{1}} \to {{b}_{2}}$ и ${{b}_{2}} \to {{b}_{1}}$, придем к тому же неравенству.

Рис. 1.

Координаты аттрактора.

Траектория луча с вершинами ${{M}_{0}},{\kern 1pt} {{M}_{1}},{\kern 1pt} {{M}_{2}},{\kern 1pt} {{M}_{3}}$, M4, лежащих на сторонах трапеции (рис. 2 ), состоит из четырех отрезков. Каждый отрезок траектории наклонен к вертикали под одним и тем же углом $\theta $. Координаты начальной точки луча заданы ${{M}_{0}}({{x}_{1}},a)$.

Рис. 2.

Траектория луча и схема решения.

Решаются следующие задачи:

1. Определить координаты точек траектории луча ${{M}_{1}},{\kern 1pt} {{M}_{2}},{\kern 1pt} {{M}_{3}},{\kern 1pt} {{M}_{4}}$.

2. Определить координаты аттрактора: траектории луча у которого начальная точка ${{M}_{0}}$ совпадает с конечной ${{M}_{4}}$ (рис. 1 а).

3. Исследовать устойчивость аттрактора, т.е. найти такие длины сторон трапеции $ABCD$, при которых при небольшом отклонении начальной точки от точки ${{M}_{0}}$ аттрактора, после каждых последующих отражениях от стенок трапеции луч приближался к предельной траектории аттрактора.

2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты сформулируем в виде теорем.

Теорема 1. Координаты вершин аттрактора ${{M}_{0}}(x,a),{\kern 1pt} {{M}_{1}}(0,y),{\kern 1pt} {{M}_{2}}(z,0),{\kern 1pt} {{M}_{3}}(b,u)$ в трапециевидном бассейне со сторонами $a,{{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{1}} < {{b}_{2}}$ определяются формулами

(2)
$\begin{gathered} x = \frac{{a{\text{tg}}\theta ({{b}_{2}} - a{\text{tg}}\theta )}}{{{{b}_{2}} - {{b}_{1}}}},\quad y = a\frac{{{{b}_{1}} - a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{1}} - {{b}_{2}}}}, \\ z = a{\text{tg}}\theta \frac{{{{b}_{1}} - a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{1}} - {{b}_{2}}}}, \\ u = a\frac{{ - {{b}_{2}} + a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{1}} - {{b}_{2}}}},\quad b = a{\text{tg}}\theta . \\ \end{gathered} $

Условия $0 < x < {{b}_{1}},0 < y < a,0 < z < {{b}_{2}}$, 0 < u < a накладывают ограничения на стороны трапеции $a,{{b}_{1}},{{b}_{2}}$ и tgθ.

Теорема 2. Для того чтобы существовал аттрактор в трапеции $ABCD$, изображенной на рис. 1 а, луч которого отражается от каждой стороны трапеции по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее соотношение:

$\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \,{\text{|}}d{\text{|}} < \tau < 2,} \\ {d = \frac{{2{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}} - 1,\quad \tau = \frac{{2a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{2}}}}.} \end{array}$

Теорема 3. При последовательном отражении луча от стенок бассейна на верхней стороне образуется последовательность точек ${{M}_{0}}({{x}_{1}},a)$, M4(x2, a), M8(x3, a), ..., где ${{x}_{n}}$ – геометрическая прогрессия:

(3)
$\begin{gathered} {{x}_{n}} = x + ({{x}_{1}} - x){{q}^{{n - 1}}}, \\ q = \frac{{{\text{tg}}\theta - {\text{tg}}\alpha }}{{{\text{tg}}\theta + {\text{tg}}\alpha }},\quad {\text{tg}}\alpha = \frac{{{{b}_{2}} - {{b}_{1}}}}{a}. \\ \end{gathered} $

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ

Построим трапецию $AB{\kern 1pt} 'C{\kern 1pt} 'D$, симметричную исходной трапеции $ABCD$ относительно оси Y и трапецию , которая получается поворотом трапеции $ABCD$ на 180° относительно начала координат D (симметрия относительно центра $D$) (см. рис. 1 ). Пусть луч в точках отражения от сторон исходной трапеции имеет координаты

(4)
${{M}_{0}}({{x}_{1}},a),\,{{M}_{1}}(0,{{y}_{1}}),\,{{M}_{2}}({{z}_{1}},0),\,{{M}_{3}}(b,{{u}_{1}}),\,{{M}_{4}}({{x}_{2}},a).$

При этом отрезок луча на исходной трапеции ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ перейдет в отрезок ${{M}_{1}}M_{2}^{'}$ на зеркально отраженной трапеции $AB{\kern 1pt} 'C{\kern 1pt} 'D$. Следующий отрезок луча ${{M}_{2}}{{M}_{3}}$ перейдет в отрезок $M_{2}^{'}M_{3}^{'}$ на симметричной относительно центра D трапеции и последний отрезок луча ${{M}_{3}}{{M}_{4}}$ перейдет в $M_{3}^{'}M_{4}^{'}$ – продолжение отрезка $M_{2}^{'}M_{3}^{'}$. Все отрезки ${{M}_{0}}{{M}_{1}}M_{2}^{'}M_{3}^{'}M_{4}^{'}$ образуют прямую линию, наклоненную к вертикали под углом $\theta $. Выпишем координаты точек луча этой прямой, состоящей из отраженных точек (4):

$\begin{gathered} {{M}_{0}}({{x}_{1}},a),\quad {{M}_{1}}(0,{{y}_{1}}),\quad M_{2}^{'}( - {{z}_{1}},0), \\ M_{3}^{'}( - b, - {{u}_{1}}),\quad M_{4}^{'}({{x}_{2}} - 2b, - a) \\ \end{gathered} $
и условие принадлежности этих точек одной прямой:

(5)
${\text{tg}}\theta = \frac{{{{x}_{1}}}}{{a - {{y}_{1}}}} = \frac{{{{x}_{1}} + {{z}_{1}}}}{a} = \frac{{{{x}_{1}} + b}}{{a + {{u}_{1}}}} = \frac{{{{x}_{1}} - {{x}_{2}} + 2b}}{{2a}}.$

Добавим к этой системе уравнений соотношение для $b$

(6)
$\frac{{{{b}_{2}} - b}}{{{{u}_{1}}}} = \frac{{{{b}_{2}} - {{b}_{1}}}}{a}.$

Разрешая систему уравнений (5), (6) относительно ${{y}_{1}},{{z}_{1}},{{u}_{1}},{{x}_{2}},b$, получим

(7)
$\begin{gathered} {{y}_{1}} = a - \frac{{{{x}_{1}}}}{{{\text{tg}}\theta }},\quad {{z}_{1}} = a{\text{tg}}\theta - {{x}_{1}}, \\ {{u}_{1}} = a\frac{{{{b}_{2}} + {{x}_{1}} - a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{2}} - {{b}_{1}} + a{\text{tg}}\theta }}, \\ {{x}_{2}} = 2a{\text{tg}}\theta \frac{{{{b}_{2}} + {{x}_{1}} - a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{2}} - {{b}_{1}} + a{\text{tg}}\theta }}, \\ b = \frac{{a(2{{b}_{2}} - {{b}_{1}}){\text{tg}}\theta - ({{b}_{2}} - {{b}_{1}}){{x}_{1}}}}{{{{b}_{2}} - {{b}_{1}} + a{\text{tg}}\theta }}. \\ \end{gathered} $

Отсюда из условия ${{x}_{1}} = {{x}_{2}} = x$ и, полагая y = y1, $z = {{z}_{1}},u = {{u}_{1}}$, получим координаты точек аттрактора (2). Теорема 1 доказана.

Теорема 3 доказывается с помощью равенства

$\frac{{{{x}_{2}} - x}}{{{{x}_{1}} - x}} = \frac{{{\text{tg}}\theta - {\text{tg}}\alpha }}{{{\text{tg}}\theta + {\text{tg}}\alpha }},$
которое получается подстановкой в левую часть формулы (7) для ${{x}_{2}}$ и формулы (2) для x.

Из теоремы 2 вытекает

Следствие. Если луч в трапециевидной области распространяется против часовой стрелки, при ${{b}_{2}} > {{b}_{1}},{\text{tg}}\theta > {\text{tg}}\alpha $, то луч фокусируется в аттрактор. Если при тех же условиях распространяется против часовой стрелки, то происходит разфокусировка.

Иными словами, при ${{b}_{2}} > {{b}_{1}},{\text{tg}}\theta > {\text{tg}}\alpha $ аттрактор, образованный распространением луча против часовой стрелки, устойчив, а в противном случае неустойчив.

Примеры. В работе [7] приведена фотография наблюдаемого в лабораторном эксперименте волнового аттрактора. Вершины трапециевидного бассейна имеют координаты (рис. 3 a )

$A(0,7),\;B(9,7),\;C(12.5,0),\;D(0,0).$

Отсюда находим стороны трапеции: a = 7, ${{b}_{1}} = 9,{{b}_{2}} = 12.5$. Можно оценить tgθ = 1.5.

Рис. 3.

Волновые аттракторы: а – наблюдаемый в лабораторном эксперименте [8], б – рассчитанный по формулам (1).

Подставляя эти значения в формулы (2), находим

$x = 6,\quad y = 3,\quad z = 4.5,\quad u = 4,\quad b = 10.5.$

Вершины аттрактора имеют координаты M0(x, 7), ${{M}_{1}}(0,y),{{M}_{2}}(z,0),{{M}_{3}}(b,u)$. Подставляя найденные значения (3), получим

${{M}_{0}}(6,7),\;{{M}_{1}}(0,3),\;{{M}_{2}}(4.5,0),\;{{M}_{3}}(10.5,4).$

Эти точки образуют волновой аттрактор, изображенный на рис. 3 б. Форма аттрактора, полученного теоретически и изображенного на рис. 3 б, согласуется с наблюдаемым в эксперименте (рис. 3 а).

Рис. 4.

Волновые аттракторы: а – наблюдаемый в лабораторном эксперименте; б – полученный с помощью численного моделирования [4]; в – рассчитанный по формулам (1).

На рис. 4 а и 4б изображены фотографии наблюдаемого в лабораторном эксперименте волнового аттрактора и результат численного моделирования соответствующих уравнений гидродинамики соответственно [4]. Стороны трапеции имеют значения: $a = 300,{{b}_{1}} = 280,{{b}_{2}} = 450$. Можно оценить tg$\theta = 1.3$. По формулам (2), находим

$\begin{gathered} x = 138,\quad y = 194,\quad z = 252, \\ \;u = 106,\quad b = 390. \\ \end{gathered} $

По этим координатам строится аттрактор, воспроизведенный на рис. 4 в. Он также совпадает с наблюдаемым в эксперименте.

4. КООРДИНАТЫ АТТРАКТОРА НА $(d,\tau )$-ПЛОСКОСТИ

Приведем исследование аттракторов на $(d,\tau )$-плоскости, введенной в [1]. Заметим, что равенство углов луча относительно вертикали сохраняется при растяжении плоскости относительно горизонтальной оси или относительно вертикальной оси. Поэтому преобразование

(8)
$\bar {x} = \frac{{2x}}{{{{b}_{2}}}} - 1,\quad \bar {y} = \frac{{y\tau }}{{a{\kern 1pt} }},$
переводит вершины трапеции A(0, a), B(b1, a), $C({{b}_{2}},0),D(0,0a)$ на плоскости $x,y$ в вершины трапеции $\bar {A}( - 1,\tau ),{\kern 1pt} \,\bar {B}(1,\tau ),{\kern 1pt} \,\bar {C}(d,0),{\kern 1pt} \,\bar {D}( - 1,0)$ на плоскости $\bar {x},\bar {y}$. Координаты вершин аттрактора M0(x, a), ${{M}_{1}}(0,y),\,\,{{M}_{2}}(z,0),\,\,{{M}_{3}}(b,u)$ в исходной трапеции $ABCD$ преобразуются в вершины ${{\bar {M}}_{0}}(\bar {x},\tau )$, ${{\bar {M}}_{1}}( - 1,\bar {y})$, ${{\bar {M}}_{2}}(\bar {z},0),{{\bar {M}}_{3}}(\bar {b},\bar {u})$ на преобразованной трапеции $\bar {A},{\kern 1pt} \bar {B},{\kern 1pt} \bar {C},{\kern 1pt} \bar {D}$. Формулам координат аттрактора (2) соответствуют координаты преобразованного аттрактора

(9)
$\begin{gathered} \bar {x} = \frac{{( - 2 + \tau )\tau }}{{ - 1 + d}} - 1,\quad \bar {y} = \frac{{(1 + d - \tau )\tau }}{{ - 1 + d}}, \\ \bar {z} = \frac{{(1 + d - \tau )\tau }}{{ - 1 + d}} - 1, \\ \bar {u} = \frac{{( - 2 + \tau )\tau }}{{ - 1 + d}},\quad \bar {b} = \tau - 1. \\ \end{gathered} $

При этом преобразовании (8) угол $\theta $ переходит в угол 45°, а параметры d и $\tau $ выражаются через стороны исходной трапеции и угол $\theta $ следующим образом:

(10)
$d = \frac{{2{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}} - 1,\quad \tau = \frac{{2a{\text{tg}}\theta }}{{{{b}_{2}}}}.$

Без ограничения общности можно считать, что $0 < {{b}_{1}} < {{b}_{2}}$. В противном случае $0 < {{b}_{2}} < {{b}_{1}}$ можно переобозначить ${{b}_{1}} \to {{b}_{2}}$ и ${{b}_{2}} \to {{b}_{1}}$.

Поскольку $0 < {{b}_{1}} < {{b}_{2}}$, то параметр d меняется на интервале $d \in ( - 1,1)$. В предельных случаях $d = - 1$ и d = 1 трапеция вырождается соответственно в треугольник и прямоугольник.

Авторы работ [1, 2] называют эти координаты координатами на $\left( {d,\tau } \right)$ плоскости. Удобство введения $\left( {d,\tau } \right)$ плоскости состоит в том, что координаты преобразованного аттрактора (9) зависят только от двух параметров $d,\tau $. Они должны удовлетворять неравенствам

(11)
$\begin{gathered} - 1 < \bar {x} < d,\quad 0 < \bar {y} < \tau , \\ - 1 < \bar {z} < 1,\quad 0 < \bar {u} < \tau . \\ \end{gathered} $

Подставляя сюда формулы (9), получим неравенства для параметров $d,\tau $, откуда можно получить ограничения на них, сформулированные в теореме 2. Таким образом, теорема 2 доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен метод отражения, который иллюстрируется на рис. 2 . При последовательных отражениях трапеции от вертикальной и горизонтальной сторон луч аттрактора преобразуется в прямую линию. Условия нахождения точек отражения аттрактора на прямой приводят к линейной системе для определения координат аттрактора.

Преимуществом такого подхода по сравнению с рассмотренными в [8, 9] является возможность его применения в более общем случае аттракторов (n, m) с n отражениями от горизонтальной границы и m отражениями от боковой границы.

Оценку для теоретической ширины $\lambda $ волнового луча, полученную в [10], можно привести к виду $\frac{\lambda }{{{{L}_{a}}}}\sim {\text{R}}{{{\text{e}}}^{{ - 1{\text{/}}3}}}{{\left( {\frac{s}{{{{L}_{a}}}} + \frac{1}{{{{\gamma }^{3}} - 1}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}},$ где La – периметр аттрактора, s – координата на периметре аттрактора, $\gamma = \frac{1}{q}$ связан со знаменателем прогрессии q в (3), определяющим скорость сходимости луча к предельной форме, ${\text{Re}} = \frac{{{{L}_{a}}{{\omega }^{2}}}}{\nu }$ – число Рейнольдса.

Лабораторные эксперименты и прямое численное моделирование [3] подтвердили эту оценку для толщины волнового аттрактора.

Оказывается, что даже в турбулентных режимах волновые аттракторы являются областью основной накачки кинетической энергии в систему, это было подтверждено с помощью фильтрации течения около частоты внешнего воздействия [11].

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарит И.Н. Сибгатуллина за обсуждение результатов и академика РАН В.Ф. Журавлева за внимание к работе.

Список литературы

  1. Maas L.R.M., Benielli D., Sommeria J., Lam F.-P.A. // http://dx.doi.org/. 1997. Aug. V. 388. P. 557–561.https://doi.org/10.1038/41509Nature

  2. Sibgatullin I.N., Ermanyuk E.V. // http://dx.doi.org/ of Applied Mechanics and Technical Physics. 2019. V. 60. № 2. P. 284–302.https://doi.org/10.1134/s002189441902010xJournal

  3. Grisouard N., Staquet C., Pairaud I. // http://dx.doi.org/ of Fluid Mechanics. 2008. Oct. V. 614. P. 1.https://doi.org/10.1017/S002211200800325XJournal

  4. Brouzet Ch., Sibgatullin I., Scolan H. et al. // Journal of Fluid Mechanics. 2016. V. 793. P. 109–131.

  5. Brouzet Ch., Ermanyuk E., Joubaud S. et al. // EPL (Europhysics Letters). 2016. V. 113. № 4. P. 44001.

  6. Рязанов Д.А., Провидухина Д.А., Сибгатуллин И.Н., Ерманюк Д.Ф. // http://dx.doi.org/ жидкости и газа. 2021. № 3.

  7. Hazewinkel J., Grisouard N., Stuart B. Dalziel // https://doi.org/ Journal of Mechanics – B/Fluids. 2011. V. 30. P. 51–56.https://doi.org/10.1016European

  8. Gerkema, Theo and Zimmerman J.T.F. An introduction to internal waves. (2008).

  9. Lenci, Marco et al. Internal-wave billiards in trapezoids and similar tables. (2021).

  10. Thomas N., Stevenson T. Fluid Mechanics. 1972. V. 54. № 3. P. 495–506.

  11. Brouzet Ch., Sibgatullin I., Ermanyuk E., Joubaud S., Dauxois Th. Physical Review Fluids American Physical Society. 2017. V. 2. № 11. P. 114–803.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал