Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 504, № 1, стр. 32-35
УСЛОВИЯ РАЗДЕЛЕНИЯ ДЕВИАТОРНЫХ И ШАРОВЫХ СВОЙСТВ У ИЗОТРОПНЫХ ТЕНЗОРНО-НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
2 Институт проблем механики
им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия
3 Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия
* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 28.01.2022
После доработки 28.01.2022
Принята к публикации 25.03.2022
- EDN: KMWXBW
- DOI: 10.31857/S2686740022030075
Аннотация
Для изотропных упругих сплошных сред рассматривается класс тензорно нелинейных определяющих соотношений, связывающих напряжения с малыми деформациями и включающих три материальные функции от какой-либо тройки независимых инвариантов. Выводятся общие условия на эти материальные функции, при которых девиаторные и шаровые свойства тензор-функции, задающей оператор определяющих соотношений, не связаны друг с другом. Эти условия сужаются, если среда обладает скалярным потенциалом, а также если дополнительно потребовать тензорную линейность. В последнем случае приводятся возможные параметризации девиаторов напряжений и деформаций и их отображения в пятимерных векторных пространствах.
В теории определяющих соотношений механики сплошной среды часто используется класс тензорно нелинейных определяющих соотношений изотропных материалов [1–5]
(1)
${\mathbf{\sigma }} = {{A}_{0}}{\mathbf{I}} + {{A}_{1}}\varepsilon + {{A}_{2}}{{\varepsilon }^{2}},$(2)
${{I}_{{\varepsilon 1}}} = {\text{tr}}{\kern 1pt} {\mathbf{\varepsilon }},\quad {{I}_{{\varepsilon 2}}} = \sqrt {{\text{tr}}({{{\mathbf{\varepsilon }}}^{2}})} ,\quad {{I}_{{\varepsilon 3}}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}({{{\mathbf{\varepsilon }}}^{3}})}}.$Изотропные тензорно нелинейные функции (1) в силу теоремы Гамильтона–Кели представляют собой довольно общую тензорную связь и описывают многие известные экспериментальные явления, демонстрирующие несоосность силового и кинематического состояний в сплошной среде (как в деформируемых твердых телах, так и в неньютоновских жидкостях). В [6] такие явления названы ортогональными эффектами напряженно-деформированного состояния. Для удобства сохраним универсальность обозначений инвариантов (2) для любого симметричного тензора второго ранга: ${{I}_{{an}}} = \sqrt[n]{{{\text{tr}}({{{\mathbf{a}}}^{n}})}}$, $n = 1,2, \ldots $
Разложим тензоры σ и ε на девиаторы и шаровые части:
(3)
${\mathbf{\varepsilon }} = {\mathbf{e}} + \frac{1}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}{\mathbf{I}},\quad {\mathbf{\sigma }} = {\mathbf{s}} + \frac{1}{3}{{I}_{{\sigma 1}}}{\mathbf{I}};\quad {{I}_{{e1}}} = 0,\quad {{I}_{{s1}}} = 0$(4)
$I_{{e2}}^{2} = I_{{\varepsilon 2}}^{2} - \frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2},\quad I_{{e3}}^{3} = I_{{\varepsilon 3}}^{3} - {{I}_{{\varepsilon 1}}}I_{{\varepsilon 2}}^{2} + \frac{2}{9}I_{{\varepsilon 1}}^{3},$(5)
${{A}_{n}}({{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{\varepsilon 2}}},{{I}_{{\varepsilon 3}}}) = {{\tilde {A}}_{n}}({{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}),\quad n = 0,1,2.$Инвариант ${{I}_{{e2}}}$ в русскоязычной литературе часто называют интенсивностью тензора ε. Тензорную связь (1) можно представить в виде объединения равенств
(6)
${{I}_{{\sigma 1}}} = 3{{\tilde {A}}_{0}} + {{I}_{{\varepsilon 1}}}{{\tilde {A}}_{1}} + \left( {I_{{e2}}^{2} + \frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2}} \right){{\tilde {A}}_{2}},$(7)
${\mathbf{s}} = \left( {{{{\tilde {A}}}_{1}} + \frac{2}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}{{{\tilde {A}}}_{2}}} \right){\mathbf{e}} + {{\tilde {A}}_{2}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{2}} - \frac{1}{3}I_{{e2}}^{2}{\mathbf{I}}} \right),$НЕСВЯЗАННОСТЬ ДЕВИАТОРНЫХ И ШАРОВЫХ СВОЙСТВ
Исследуем вопрос о разделении (несвязанности) девиаторных и шаровых свойств функции (1), позволяющей разбивать шестимерные пространства деформаций и напряжений на прямые суммы пятимерного и одномерного пространств и исследовать свойства материала внутри каждого из них вне зависимости от другого. Математически вопрос сводится к нахождению общего вида материальных функций ${{\tilde {A}}_{0}}$, ${{\tilde {A}}_{1}}$ и ${{\tilde {A}}_{2}}$ (5) таких, что правая часть (6) не зависит от инвариантов ${{I}_{{e2}}}$ и ${{I}_{{e3}}}$, а правая часть (7) не зависит от ${{I}_{{\varepsilon 1}}}$:
(8)
$\frac{\partial }{{\partial {{I}_{{en}}}}}\left[ {3{{{\tilde {A}}}_{0}} + {{I}_{{\varepsilon 1}}}{{{\tilde {A}}}_{1}} + \left( {I_{{e2}}^{2} + \frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2}} \right){{{\tilde {A}}}_{2}}} \right] = 0,\quad n = 2,3,$(9)
${{D}_{1}}{\mathbf{e}} + {{D}_{2}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{2}} - \frac{1}{3}I_{{e2}}^{2}{\mathbf{I}}} \right) = 0,$(10)
${{D}_{1}} = \frac{\partial }{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}}\left( {{{{\tilde {A}}}_{1}} + \frac{2}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}{{{\tilde {A}}}_{2}}} \right),\quad {{D}_{2}} = \frac{{\partial {{{\tilde {A}}}_{2}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}}.$Обращение в нуль всех компонент тензора в левой части (9) эквивалентно равенству нулю его квадратичного инварианта. Осуществляя полную свертку выражения (9) самого с собой и учитывая нетрудно устанавливаемую [7] связь инвариантов $I_{{e4}}^{4} = I_{{e2}}^{4}{\text{/}}2$, имеющую место для любого девиатора, получим
(11)
$D_{1}^{2}I_{{e2}}^{2} + 2{{D}_{1}}{{D}_{2}}I_{{e3}}^{3} + \frac{1}{6}D_{2}^{2}I_{{e2}}^{4} = 0.$А) Случай ${{D}_{1}} \equiv 0$ и ${{D}_{2}} \equiv 0$. Равенство (11) превращается в тождество, в частности, если ${{D}_{1}} \equiv 0$ и ${{D}_{2}} \equiv 0$, т. е. обращается в нуль каждое из двух слагаемых в (9). Материальные функции ${{\tilde {A}}_{1}}({{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{e2}}}$, Ie3) и ${{\tilde {A}}_{2}}({{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}})$ тогда можно параметризовать с помощью двух функций от ${{I}_{{e2}}}$ и ${{I}_{{e3}}}$:
(12)
$\begin{gathered} {{{\tilde {A}}}_{1}} = 3{{Q}_{1}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}) - 2{{I}_{{\varepsilon 1}}}{{Q}_{2}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}), \\ {{{\tilde {A}}}_{2}} = 3{{Q}_{2}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}). \\ \end{gathered} $Подстановка (12) в (8) приводит к общему виду ${{\tilde {A}}_{0}}({{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}})$, включающему еще одну параметризующую функцию только от ${{I}_{{\varepsilon 1}}}$:
(13)
$\begin{gathered} {{{\tilde {A}}}_{0}} = {{Q}_{0}}({{I}_{{\varepsilon 1}}}) - {{I}_{{\varepsilon 1}}}{{Q}_{1}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}) + \\ + \left( {\frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2} - I_{{e2}}^{2}} \right){{Q}_{2}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}). \\ \end{gathered} $С учетом (12) и (13), определяющие соотношения (6) и (7) запишутся следующим образом:
(14)
${{I}_{{\sigma 1}}} = 3{{Q}_{0}},\quad {\mathbf{s}} = 3{{Q}_{1}}{\mathbf{e}} + 3{{Q}_{2}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{2}} - \frac{1}{3}I_{{e2}}^{2}{\mathbf{I}}} \right).$Видно, что, как и требовалось, девиаторные и шаровые свойства тензор-функции (1) оказываются разделенными.
Б) Оставшиеся случаи. Пусть теперь ${{D}_{2}} \ne 0$ тождественно. Тогда уравнение (11) эквивалентно квадратному уравнению относительно ${{D}_{1}}{\text{/}}{{D}_{2}}$ с четвертью дискриминанта, равной $I_{{e3}}^{6} - I_{{e2}}^{6}{\text{/}}6$. Заметим, что для любого девиатора ${\mathbf{e}}$ имеет место равенство
(15)
$I_{{e3}}^{6} - \frac{1}{6}I_{{e2}}^{6} = - \frac{1}{3}{{({{e}_{1}} - {{e}_{2}})}^{2}}{{({{e}_{2}} - {{e}_{3}})}^{2}}{{({{e}_{3}} - {{e}_{1}})}^{2}},$(16)
$\begin{gathered} {{(e_{1}^{3} + e_{2}^{3} + e_{3}^{3})}^{2}} - \frac{1}{6}{{(e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2})}^{3}} = \\ \, = - \frac{1}{3}{{({{e}_{1}} - {{e}_{2}})}^{2}}{{({{e}_{2}} - {{e}_{3}})}^{2}}{{({{e}_{3}} - {{e}_{1}})}^{2}}. \\ \end{gathered} $Справедливость (16) устанавливается простым техническим раскрытием скобок с использованием вспомогательного факта: $I_{{e3}}^{3} \equiv e_{1}^{3}\, + \,e_{2}^{3}\, + \,e_{3}^{3}$ = = $ - 3{{e}_{1}}{{e}_{2}}{{e}_{3}} \equiv - 3{\text{|}}e{\text{|}}$.
Таким образом, дискриминант уравнения (11) неположителен и обращается в нуль только на классе девиаторов e с двумя равными главными значениями, а следовательно, на классе тензоров деформаций ε с двумя равными главными деформациями. Данное сужение ограничивает общность задачи нахождения таких материальных функций ${{\tilde {A}}_{0}}$, ${{\tilde {A}}_{1}}$ и ${{\tilde {A}}_{2}}$, при которых разделение девиаторных и шаровых свойств (6) и (7) реализуется на всем множестве симметричных тензоров ε. Поэтому пункт Б) новых, помимо (12) и (13), классов функций ${{\tilde {A}}_{0}}$, ${{\tilde {A}}_{1}}$ и ${{\tilde {A}}_{2}}$ не дает.
СУЩЕСТВОВАНИЕ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Выясним, каким дополнительным связующим соотношениям должны удовлетворять параметризующие функции ${{Q}_{0}}$, ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{2}}$ в (12) и (13), если известно, что тензор-функция (1) обладает скалярным потенциалом $W$, т.е. ${\mathbf{\sigma }} = \partial W{\text{/}}\partial \varepsilon $. Положим, что W, как и ${{\tilde {A}}_{0}}$, ${{\tilde {A}}_{1}}$, ${{\tilde {A}}_{2}}$, зависит от тройки инвариантов $({{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}})$:
(17)
${\mathbf{\sigma }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}}\frac{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}}{{\partial \varepsilon }} + \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{e2}}}}}\frac{{\partial {{I}_{{e2}}}}}{{\partial \varepsilon }} + \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{e3}}}}}\frac{{\partial {{I}_{{e3}}}}}{{\partial \varepsilon }}.$С учетом того, что
(18)
$\frac{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}}{{\partial \varepsilon }} = {\mathbf{I}},\quad \frac{{\partial {{I}_{{\varepsilon 2}}}}}{{\partial \varepsilon }} = \frac{\varepsilon }{{{{I}_{{\varepsilon 2}}}}},\quad \frac{{\partial {{I}_{{\varepsilon 3}}}}}{{\partial \varepsilon }} = \frac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{{I_{{\varepsilon 3}}^{2}}},$(19)
$\frac{{\partial {{I}_{{e2}}}}}{{\partial \varepsilon }} = \frac{\partial }{{\partial \varepsilon }}\sqrt {I_{{\varepsilon 2}}^{2} - \frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2}} = \frac{1}{{{{I}_{{e2}}}}}\left( {\varepsilon - \frac{1}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}I} \right) = \frac{e}{{{{I}_{{e2}}}}},$(20)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{I}_{{e3}}}}}{{\partial \varepsilon }} = \frac{\partial }{{\partial \varepsilon }}3\sqrt {I_{{\varepsilon 3}}^{3} - {{I}_{{\varepsilon 1}}}I_{{\varepsilon 2}}^{2} + \frac{2}{9}I_{{\varepsilon 1}}^{3}} = \\ \, = \frac{1}{{I_{{e3}}^{2}}}\left[ {{{\varepsilon }^{2}} - \frac{2}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}\varepsilon + \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2} - I_{{\varepsilon 2}}^{2}} \right){\mathbf{I}}} \right]. \\ \end{gathered} $После подстановки (18)–(20) в (17) и сравнения с выражением (1) приравняем коэффициенты при тензорах I, ε и ε2. В результате преобразований получим
(21)
$\begin{gathered} \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}} = {{{\tilde {A}}}_{0}} + \frac{1}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}{{{\tilde {A}}}_{1}} + \frac{1}{3}\left( {I_{{e2}}^{2} + \frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2}} \right){{{\tilde {A}}}_{2}}, \\ \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{e2}}}}} = {{I}_{{e2}}}\left( {{{{\tilde {A}}}_{1}} + \frac{2}{3}{{I}_{{\varepsilon 1}}}{{{\tilde {A}}}_{2}}} \right),\quad \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{e3}}}}} = I_{{e3}}^{2}{{{\tilde {A}}}_{2}}. \\ \end{gathered} $Три равенства вторых смешанных производных от W, полученные на основании (21), приводят к трем условиям потенциальности на материальные функции ${{\tilde {A}}_{0}}$, ${{\tilde {A}}_{1}}$ и ${{\tilde {A}}_{2}}$. Подставим в (21) выражения (12) и (13):
(22)
$\begin{gathered} \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}} = {{Q}_{0}}({{I}_{{\varepsilon 1}}}),\quad \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{e2}}}}} = 3{{I}_{{e2}}}{{Q}_{1}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}), \\ \,\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{{e3}}}}} = 3I_{{e3}}^{2}{{Q}_{2}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}). \\ \end{gathered} $В терминах функций ${{Q}_{0}}$, ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{2}}$ нетривиальным остается лишь одно условие потенциальности:
(23)
$I_{{e3}}^{2}\frac{{\partial {{Q}_{2}}}}{{\partial {{I}_{{e2}}}}} = {{I}_{{e2}}}\frac{{\partial {{Q}_{1}}}}{{\partial {{I}_{{e3}}}}}.$Таким образом, для потенциальных тензор-функций (1) общим условием разделения девиаторных и шаровых свойств является представимость скалярного потенциала как суммы
ТЕНЗОРНАЯ ЛИНЕЙНОСТЬ, ИЛИ КВАЗИЛИНЕЙНОСТЬ
Существует два эквивалентных определения тензорной линейности (по терминологии [4] квазилинейности) функции (1). Одно из них связано с тождественным равенством нулю функции ${{A}_{2}}$, а следовательно, и ${{\tilde {A}}_{2}}$, другое – с тем, что угол между девиаторами s и e нулевой [8]. В терминах функций ${{Q}_{0}}$, ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{2}}$, параметризующих исходные соотношения (12) и (13), тензорная линейность означает, что ${{Q}_{2}} \equiv 0$, т.е.
(25)
$\begin{gathered} {{{\tilde {A}}}_{0}} = {{Q}_{0}}({{I}_{{\varepsilon 1}}}) - {{I}_{{\varepsilon 1}}}{{Q}_{1}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}), \\ \,{{{\tilde {A}}}_{1}} = 3{{Q}_{1}}({{I}_{{e2}}},{{I}_{{e3}}}),\quad {{{\tilde {A}}}_{2}} \equiv 0. \\ \end{gathered} $Если совместить требования тензорной линейности и потенциальности, то это в силу (23) приведет к независимости ${{Q}_{1}}$ от ${{I}_{{e3}}}$. Тогда определяющие соотношения (14) упростятся:
(26)
${{I}_{{\sigma 1}}} = 3{{Q}_{0}}\left( {{{I}_{{\varepsilon 1}}}} \right),\quad {\mathbf{s}} = 3{{Q}_{1}}({{I}_{{e2}}}){\mathbf{e}}.$Из (26), в частности, следует связь интенсивностей ${{I}_{{s2}}}$ и ${{I}_{{e2}}}$, называемая скалярным определяющим соотношением тензорно линейной среды:
Например, для изотропной физически линейной упругой среды с постоянными Ламе $\lambda $ и $\mu $ введенные ранее функции таковы:
(28)
$\begin{gathered} {{Q}_{0}} = \left( {\lambda + \frac{{2\mu }}{3}} \right){{I}_{{\varepsilon 1}}},\quad {{Q}_{1}} \equiv \frac{{2\mu }}{3}, \\ \,{{Q}_{2}} \equiv 0,\quad {{I}_{{s2}}} = 2\mu {{I}_{{e2}}}. \\ \end{gathered} $Это единственный физически линейный случай (т.е. по определению случай, допускающий принцип суперпозиции) среди всего класса нелинейных тензор-функций (1).
ПЯТИМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
Пропорциональность девиаторов s и e в (26) наряду с зависимостью ${{Q}_{1}}$ только от инварианта ${{I}_{{e2}}}$ дает возможность поставить в соответствие множествам девиаторов s и e в трехмерном пространстве пятимерные векторные пространства, элементами которых являются векторы напряжений S и деформаций E. Взаимообратная параметризация ${\mathbf{e}} \leftrightarrow {\mathbf{E}}$ покоординатно записывается следующим образом [3, 9, 10]:
(29)
$\begin{gathered} {{e}_{{11}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \left( { - {{E}_{1}}\sin \left( {\varphi - \frac{\pi }{6}} \right) \pm {{E}_{2}}\cos \left( {\varphi - \frac{\pi }{6}} \right)} \right), \\ {{e}_{{22}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \left( {{{E}_{1}}\sin \left( {\varphi + \frac{\pi }{6}} \right) \mp {{E}_{2}}\cos \left( {\varphi + \frac{\pi }{6}} \right)} \right), \\ {{e}_{{33}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \left( { - {{E}_{1}}\cos \varphi \mp {{E}_{2}}\sin \varphi } \right), \\ {{e}_{{12}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{{E}_{3}},\quad {{e}_{{23}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{{E}_{4}},\quad {{e}_{{31}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{{E}_{5}}; \\ \end{gathered} $(30)
$\begin{gathered} {{E}_{1}} = \sqrt 2 \left[ {{{e}_{{11}}}\cos \left( {\varphi + \frac{\pi }{6}} \right) + {{e}_{{22}}}\cos \left( {\varphi - \frac{\pi }{6}} \right)} \right], \\ {{E}_{2}} = \pm \sqrt 2 \left[ {{{e}_{{11}}}\sin \left( {\varphi + \frac{\pi }{6}} \right) + {{e}_{{22}}}\sin \left( {\varphi - \frac{\pi }{6}} \right)} \right], \\ {{E}_{3}} = \sqrt 2 {{e}_{{12}}},\quad {{E}_{4}} = \sqrt 2 {{e}_{{23}}},\quad {{E}_{5}} = \sqrt 2 {{e}_{{31}}}, \\ \end{gathered} $(31)
${{I}_{{e2}}} \equiv \sqrt {{\mathbf{e}}:{\mathbf{e}}} = \sqrt {{\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{E}}} \equiv E.$Аналогичная (29) и (30) взаимообратная параметризация, вообще говоря, с другим углом $\psi $ справедлива и для напряжений: ${\mathbf{s}} \leftrightarrow {\mathbf{S}}$. Если же для простоты выбрать $\psi = \varphi $, то тензорное (26) и скалярное (27) определяющие соотношения допускают запись в терминах пятимерных векторов:
Заметим, что зависимость (32) представляет собой общий вид изотропной нелинейной вектор-функции в пространстве любой размерности (в данном случае в пятимерном). Эта вектор-функция обладает скалярным потенциалом $w(E)$ таким, что
(33)
${\mathbf{S}} = \frac{{\partial w}}{{\partial {\mathbf{E}}}},\quad w = 3\int E{{Q}_{1}}(E){\kern 1pt} dE.$ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ
Работа поддержана Российским научным фондом (проект № 22–21–00077).
Список литературы
Аннин Б.Д. Формула Лагранжа – Сильвестра для тензорной функции, зависящей от двух тензоров // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133. № 4. С. 743–744.
Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2014. 320 с.
Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.
Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.
Георгиевский Д.В. Нелинейные тензор-функции двух аргументов и некоторые “ортогональные эффекты” напряженно-деформированного состояния // Известия РАН. МТТ. 2020. № 5. С. 21–26.
Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 2. С. 150–176.
Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Известия РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 29–33.
Зубчанинов В.Г. Общая математическая теория пластичности и постулаты макроскопической определимости и изотропии А.А. Ильюшина // Вестн. Моск. ун-та. Математ., Механ. 2018. № 5. С. 29–46.
Бровко Г.Л. Объективные тензоры и их отображения в классической механике сплошной среды // Известия РАН. МТТ. 2021. № 1. С. 83–105.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
Пн.-пт.: 10.00-19.00