Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 78-81

ВЕРОЯТНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ОПЕРАТОРА ЭВОЛЮЦИИ eitH, ГДЕ $H = \tfrac{{{{{( - 1)}}^{m}}}}{{(2m)!}}\tfrac{{{{d}^{{2m}}}}}{{d{{x}^{{2m}}}}}$

М. В. Платонова 12*, С. В. Цыкин 1**

1 Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Санкт-Петербург, Россия

2 Санкт-Петербургский государственный университет
Санкт-Петербург, Россия

* E-mail: mariyaplat@rambler.ru
** E-mail: sergei.tcykin@gmail.com

Поступила в редакцию 17.12.2019
После доработки 17.12.2019
Принята к публикации 26.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе предложены два типа вероятностной аппроксимации в смысле сильной операторной сходимости оператора eitH, где $H = \tfrac{{{{{( - 1)}}^{m}}}}{{(2m)!}}\tfrac{{{{d}^{{2m}}}}}{{d{{x}^{{2m}}}}}$. Аппроксимирующие операторы в первом случае имеют вид математических ожиданий функционалов от пуассоновского точечного поля, а во втором случае – математических ожиданий функционалов от сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным моментом порядка 2m + 2.

Ключевые слова: уравнение Шрёдингера, пуассоновские случайные меры, предельные теоремы

DOI: 10.31857/S2686954320020198

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности ($\sigma \in {\mathbf{R}}$)

(1)
$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \frac{{{{\sigma }^{2}}}}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}},\quad u(0,x) = \varphi (x),$
причем начальная функция φ предполагается непрерывной и ограниченной. Известно, что для решения задачи (1) справедливо вероятностное представление
(2)
$u(t,x) = {\mathbf{E}}\varphi (x + \sigma w(t)),$
где $w(t)$ – стандартный винеровский процесс.

Если в уравнении (1) вещественное число σ заменить на комплексное число $\sigma = {{e}^{{i\pi {\text{/}}4}}}$, то уравнение теплопроводности (1) перейдет в уравнение Шрёдингера (см. [8, с. 331]). Представление (2) в этом случае теряет смысл, так как в этом случае мы должны будем подставлять комплексную величину $x + \sigma w(t)$ в функцию вещественного аргумента. Формально решение задачи Коши для уравнения Шрёдингера может быть записано с использованием интеграла (обычно его называют континуальным или функциональным интегралом) по так называемой мере Фейнмана. Мера Фейнмана является комплексно-значной конечно-аддитивной функцией множества, определенной на алгебре цилиндрических множеств, и не может быть продолжена до меры на соответствующей $\sigma $-алгебре (см. [1]).

В работах [24] был предложен уже чисто вероятностный метод построения аппроксимации решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера средними значениями функционалов от стохастических процессов. Были построены два типа аппроксимации решения задачи Коши. В первом случае решение аппроксимировалось средними значениями функционалов от пуассоновского точечного поля, а во втором случае – средними значениями функционалов от нормированных сумм независимых случайных величин с общим симметричным распределением и конечным четвертым моментом.

Целью данной работы является построение вероятностной аппроксимации решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера высокого порядка

(3)
$i\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}}}{{(2m)!}}\frac{{{{\partial }^{{2m}}}u}}{{\partial {{x}^{{2m}}}}},\quad u(0,x) = \varphi (x),$
где m – произвольное натуральное число. Так же как в [3] будет построено два типа аппроксимации решения задачи Коши средними значениями функционалов от стохастических процессов. Первый из них в качестве стохастического процесса использует интеграл по пуассоновскому точечному полю, а второй – нормированные суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным моментом порядка 2m + 2. Отметим еще, что в работах [57] были построены аппроксимации решения задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера, содержащего в правой части дробную производную порядка $\alpha \in \bigcup\limits_{m = 2}^\infty \,(m - 1,m)$.

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ СРЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ ПУАССОНОВСКОГО ТОЧЕЧНОГО ПОЛЯ

Пусть $\nu $ – пуассоновская случайная мера на $(0,\infty ) \times (0,\infty )$ с интенсивностью ${\mathbf{E}}\nu (dt,dx)$ = dtμ(dx), где мера $\mu $ имеет вид

$d\mu (x) = \tfrac{{dx}}{{{{x}^{{1 + 2m}}}}}.$

Для ε > 0 определим сложный пуассоновский процесс ${{\xi }_{\varepsilon }}(t)$, полагая

${{\xi }_{\varepsilon }}(t) = \iint\limits_{[0,t] \times [\varepsilon ,e\varepsilon ]} {x\nu (ds,dx)},$
где e – основание натурального логарифма.

Через $\hat {\varphi }(p)$ будем обозначать прямое преобразование Фурье функции φ:

$\hat {\varphi }(p) = \int\limits_{ - \infty }^\infty \,\varphi (x){{e}^{{ipx}}}dx.$

Представим начальную функцию φ в виде суммы 

$\varphi (x) = {{P}_{ + }}\varphi (x) + {{P}_{ - }}\varphi (x) = {{\varphi }_{ + }}(x) + {{\varphi }_{ - }}(x),$
где P+, P – проекторы Рисса, определяемые на ${{L}_{2}}({\mathbf{R}}) \cap {{L}_{1}}({\mathbf{R}})$ как

(4)
$\begin{gathered} {{P}_{ + }}\varphi (x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^0 \,{{e}^{{ - ipx}}}\hat {\varphi }(p)dp, \\ {{P}_{ - }}\varphi (x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^\infty \,{{e}^{{ - ipx}}}\hat {\varphi }(p)dp. \\ \end{gathered} $

Отметим, что функция φ+ аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость, а функция φ аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость.

Положим $\sigma = {{e}^{{\frac{{\pi i}}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2m}}} \right)}}}.$ Так выбранное комплексное число σ принадлежит верхней полуплоскости C+, ${\text{Re}}\sigma > 0$ и удовлетворяет соотношению ${{(i\sigma )}^{{2m}}} = - i$.

При фиксированном ε > 0 определим полугруппу операторов $P_{\varepsilon }^{t}$, которая действует на $\varphi \in {{L}_{2}}({\mathbf{R}})$ как

$\begin{gathered} P_{\varepsilon }^{t}\varphi (x) = {\mathbf{E}}[({{\varphi }_{ - }} * {{h}_{\varepsilon }})(x - \sigma {{\xi }_{\varepsilon }}(t)) + \\ \, + ({{\varphi }_{ + }} * {{h}_{\varepsilon }})(x + \sigma {{\xi }_{\varepsilon }}(t))]\,, \\ \end{gathered} $
где функция ${{h}_{\varepsilon }}(x)$ определяется своим преобразованием Фурье

$\begin{gathered} {{{\hat {h}}}_{\varepsilon }}(p) = exp\left( { - t\int\limits_\varepsilon ^{e\varepsilon } \,\left( {i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x + \frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x)}}^{2}}}}{2}} \right. + \ldots } \right. + \\ \left. {\mathop + \limits_{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}^{} \;\left. {\frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x)}}^{{2m - 1}}}}}{{(2m - 1)!}}} \right)d\mu (x)} \right) \times \\ \times exp\left( { - t\int\limits_\varepsilon ^{e\varepsilon } \,\frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x)}}^{{2m + 1}}}}}{{(2m + 1)!}}d\mu (x)} \right). \\ \end{gathered} $

Отметим, что функция ${{\hat {h}}_{\varepsilon }}(p) \in {{L}_{q}}({\mathbf{R}})$ при всех $1 \leqslant q \leqslant \infty $, так как ${\text{Re}}{{(i\sigma )}^{{2m + 1}}} > 0$.

Теорема 1. 1. Оператор $P_{\varepsilon }^{t}$ является псевдодифференциальным оператором с символом

${{r}_{{\varepsilon ,t}}}(p) = exp\left( { - \tfrac{{it{{p}^{{2m}}}}}{{(2m)!}}} \right)H(t,\varepsilon ,p),$
где

$\begin{gathered} H(t,\varepsilon ,p) = exp\left( {t\int\limits_\varepsilon ^{e\varepsilon } \left( {{{e}^{{i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x}}} - 1 - i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x{{ - }_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \right.} \right. \\ \left. {\,\left. { - \frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x)}}^{2}}}}{2} - \ldots - \frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x)}}^{{2m}}}}}{{(2m)!}} - \frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma x)}}^{{2m + 1}}}}}{{(2m + 1)!}}} \right)d\mu (x)} \right). \\ \end{gathered} $

2. Для любых $t,\varepsilon ,p$ справедливо неравенство ${\text{|}}H(t,\varepsilon ,p){\text{|}} \leqslant 1.$

Через $W_{2}^{k}({\mathbf{R}})$ обозначим пространство Соболева функций, определенных на R и имеющих квадратично суммируемые обобщенные производные до порядка k включительно (см. [9, с. 146]). Стандартная норма в пространстве $W_{2}^{k}({\mathbf{R}})$ определяется формулой

$\left\| \psi \right\|_{k}^{2} = \sum\limits_{l = 0}^k \,\int\limits_{\mathbf{R}} \,{\text{|}}{{\psi }^{{(l)}}}(x){{{\text{|}}}^{2}}dx.$

Нам удобно использовать в пространстве $W_{2}^{k}({\mathbf{R}})$ другую норму, эквивалентную стандартной (см. [9, с. 190]):

$\left\| \psi \right\|_{{W_{2}^{k}({\mathbf{R}})}}^{2} = \int\limits_{\mathbf{R}} \,(1\; + \;{\text{|}}p{{{\text{|}}}^{{2k}}}){\text{|}}\hat {\psi }(p){{{\text{|}}}^{2}}dp.$

Через P t обозначим полугруппу P t = = $exp\left( {\tfrac{{it{{{( - 1)}}^{{m + 1}}}}}{{(2m)!}}\tfrac{{{{d}^{{2m}}}}}{{d{{x}^{{2m}}}}}} \right).$ По определению полугруппа P t переводит начальную функцию φ в решение задачи Коши (3) (см., например, [8, с. 331; 10]).

Теорема 2. Существует число C > 0 такое, что для любой функции $\varphi \in W_{2}^{{2m + 2}}({\mathbf{R}})$ и всех $t \geqslant 0$ справедливо неравенство

${{\left\| {{{P}^{t}}\varphi - P_{\varepsilon }^{t}\varphi } \right\|}_{{{{L}_{2}}({\mathbf{R}})}}} \leqslant Ct{{\varepsilon }^{2}}{{\left\| \varphi \right\|}_{{W_{2}^{{2m + 2}}({\mathbf{R}})}}}.$

Следствие 1. Для любой функции $\varphi \in {{L}_{2}}({\mathbf{R}})$ справедливо

${\text{||}}P_{\varepsilon }^{t}\varphi - {{P}^{t}}\varphi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}({\mathbf{R}})}}}\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}0.$

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ СРЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть $\{ {{\xi }_{j}}\} _{{j = 1}}^{\infty }$ – последовательность независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин. Обозначим через $\mathcal{P}$ распределение случайной величины ξ1. Предположим, что случайная величина ξ1 имеет конечный момент порядка 2m + 2 и ${\mathbf{E}}\xi _{1}^{{2m}} = 1.$

Пусть $\eta (t)$, $t \in [0,\infty )$, – независимый от последовательности $\{ {{\xi }_{j}}\} $ пуассоновский процесс с интенсивностью единица. Обозначим ${{\kappa }_{1}} = {\mathbf{E}}\xi _{1}^{1}$, ${{\kappa }_{2}}$ = = E$\xi _{1}^{2}$, …, ${{\kappa }_{{2m + 2}}}$ = E$\xi _{1}^{{2m + 2}}$. Для каждого натурального $n$ определим случайный процесс ${{\zeta }_{n}}(t),$ $t \in [0,T]$, где

${{\zeta }_{n}}(t) = \tfrac{1}{{{{n}^{{1/2m}}}}}\sum\limits_{j = 1}^{\eta (nt)} \,{{\xi }_{j}}.$

Для каждого натурального n определим полугруппу операторов $P_{n}^{t}$, полагая для $\varphi \in {{L}_{2}}({\mathbf{R}})$

$\begin{gathered} P_{n}^{t}\varphi (x) = {\mathbf{E}}[({{\varphi }_{ - }} * R_{n}^{t})(x - \sigma {{\zeta }_{n}}(t)) + \\ \, + ({{\varphi }_{ + }} * R_{n}^{t})(x + \sigma {{\zeta }_{n}}(t))]\,, \\ \end{gathered} $
где, как и выше, функции ${{\varphi }_{ \pm }}$ определены формулой (4), a $\sigma = {{e}^{{\frac{{\pi i}}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2m}}} \right)}}}$. Функция $R_{n}^{t}(x)$ определяется своим преобразованием Фурье

$\begin{gathered} \hat {R}_{n}^{t}(p) = exp\left( { - ti{\text{|}}p{\text{|}}\sigma n_{{}}^{{1\, - \,\frac{1}{{2m}}}}{{\kappa }_{1}} - \frac{{t{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma )}}^{2}}n_{{}}^{{1\, - \,\frac{2}{{2m}}}}{{\kappa }_{2}}}}{{2!}} - \ldots } \right. \\ \left. { \ldots \, - \frac{{t{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma )}}^{{2m\, - \,1}}}n_{{}}^{{1\, - \,\frac{{2m\, - \,1}}{{2m}}}}{{\kappa }_{{2m - 1}}}}}{{(2m - 1)!}}} \right) \times \\ \times \,\,exp\left( { - \frac{{t{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma )}}^{{2m + 1}}}n_{{}}^{{1 - \frac{{2m + 1}}{m}}}{{\kappa }_{{2m + 1}}}}}{{(2m + 1)!}}} \right). \\ \end{gathered} $

Теорема 3. 1. Оператор $P_{n}^{t}$ является псевдодифференциальным оператором с символом rn, t(p) = = $exp\left( { - \tfrac{{it{{p}^{{2m}}}}}{{(2m)!}}} \right){{H}_{n}}(t,p),$ где

$\begin{gathered} {{H}_{n}}(t,p) = exp\left( {nt\int\limits_0^\infty {\left( {{{e}^{{\frac{{i|p|\sigma y}}{{{{n}^{{1/2m}}}}}}}} - 1 - \frac{{i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma y}}{{{{n}^{{1/2m}}}}} - \ldots } \right.} } \right. \\ \left. {\left. {\mathop { \ldots \,\, - }\limits_{_{{_{{_{{}}}}}}}^{^{{}}} \;\frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma y)}}^{{2m}}}}}{{(2m)!n}} - \frac{{{{{(i{\text{|}}p{\text{|}}\sigma y)}}^{{2m + 1}}}}}{{(2m + 1)!{{n}^{{(2m + 1)/2m}}}}}} \right)d\mathcal{P}(y)} \right). \\ \end{gathered} $

2. Для любых $n,t,p$ справедливо неравенство ${\text{|}}{{H}_{n}}(t,p){\text{|}} \leqslant 1.$

Теорема 4. Существует число С > 0 такое, что для любой функции $\varphi \in W_{2}^{{2m + 2}}({\mathbf{R}})$ и всех $t \geqslant 0$ справедливо неравенство

${\text{||}}{{P}^{t}}\varphi - P_{n}^{t}\varphi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}({\mathbf{R}})}}} \leqslant \frac{{Ct}}{{{{n}^{{1/m}}}}}{{\left\| \varphi \right\|}_{{W_{2}^{{2m + 2}}({\mathbf{R}})}}}.$

Следствие 2. Для любой функции $\varphi \in {{L}_{2}}({\mathbf{R}})$ справедливо

${\text{||}}P_{n}^{t}\varphi - {{P}^{t}}\varphi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}({\mathbf{R}})}}}\xrightarrow[{n \to \infty }]{}0.$

Список литературы

  1. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в функциональных пространствах. М.: Наука, 1983.

  2. Ибрагимов И.А., Смородина Н.В., Фаддеев М.М. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2011. Т. 396. С. 111–143.

  3. Ибрагимов И.А., Смородина Н.В., Фаддеев М.М. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2016. Т. 454. С. 158–175.

  4. Ибрагимов И.А., Смородина Н.В., Фаддеев М.М. // Функц. анализ и его прил. 2018. Т. 52. 2. С. 25–39.

  5. Платонова М.В., Цыкин С.В. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2017. Т. 466. С. 257–272.

  6. Платонова М.В., Цыкин С.В. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2018. Т. 474. С. 199–212.

  7. Платонова М.В., Цыкин С.В. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2019. Т. 486. С. 254–264.

  8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1977.

  9. Фаддеев Д.К., Вулих Б.З., Уральцева Н.Н. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1981.

  10. Kim J.M., Arnold A., Yao X. // Monatshefte für Mathematik. 2012. V. 168. 2. P. 253–266.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления