Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 57-60

1. Эволюционные уравнения математической физики, и в частности гидродинамики, можно истолковывать как законы эволюции некоторых систем. Математическое описание системы включает в себя некоторое множество, называемое фазовым пространством, элементы которого отождествляются с состояниями системы, и закон эволюции, который показывает, как состояние меняется со временем.

При изучении динамики систем особый интерес представляет их предельное поведение, когда время стремится к бесконечности. На практике часто встречаются системы со следующим свойством: “на бесконечности” их динамика сосредотачивается на небольшой части фазового пространства, называемой глобальным аттрактором. Каким бы ни было начальное состояние системы, со временем оно “забывается”, и состояние системы неограниченно приближается к глобальному аттрактору. В случае таких систем естественно изучать динамику вблизи глобальных аттракторов, поскольку иные состояния заведомо “преходящи”. Это причина того, что изучение существования и свойств глобальных аттракторов актуально для математических проблем современного естествознания и, в частности, для гидродинамики.

Для доказательства существования аттракторов уравнений в частных производных М.И. Вишиком и В.В. Чепыжовым и независимо Дж. Селлом [1, 2] был предложен подход, основанный на рассмотрении траекторных пространств и траекторных аттракторов. Основная идея этого подхода состоит в том, чтобы рассматривать траекторное пространство – некоторое множество ${{\mathcal{H}}^{ + }}$, содержащееся в пространстве функций времени со значениями в банаховом пространстве и состоящее из решений рассматриваемой системы. На этом множестве рассматривается полугруппа трансляций ${{\{ T(t)\} }_{{t \geqslant 0}}}$, действующих по правилу $T(t)g(s)$ = g(s + t). Ясно, что полугруппа трансляций может действовать на траекторном пространстве ${{\mathcal{H}}^{ + }}$, если оно трансляционно инвариантно, т.е. $T(t){{\mathcal{H}}^{ + }} \subset {{\mathcal{H}}^{ + }}$ при $t \geqslant 0$. В таком случае к полугруппе $\{ T(t)\} $ можно применять аналоги методов теории динамических систем. С помощью такого подхода удалось изучить аттракторы трехмерной системы Навье–Стокса (см. [3]). Однако в некоторых задачах гидродинамики условие трансляционной инвариантности пространства траекторий оказалось ограничительным. В связи с этим появилась необходимость развития теории аттракторов траекторных пространств для случая трансляционной неинвариантности пространства траекторий, что и удалось сделать в [4] для автономного случая, в [5] для случая равномерных аттракторов. В настоящей работе рассматривается автономная модель движения нелинейно-вязкой жидкости и для нее, на основе трансляционно неинвариантных траекторных пространств, устанавливается существование минимального траекторного и глобального аттракторов.

2. Вначале опишем основные понятия аттракторов неинвариантных траекторных пространств (более подробно см. [6, 7]). Рассмотрим два банаховых пространства E, E₀, будем предполагать, что E рефлексивно и непрерывно вложено в E₀.

Пространство $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ состоит из непрерывных функций, определенных на ${{\mathbb{R}}_{ + }} = [0, + \infty )$ и принимающих значения в пространстве E₀. Данное пространство является метрическим. Метрика в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ обозначается символом

Пространство ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ состоит из функций $u,$ определенных почти всюду на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ и принимающих значения в $E,$ для которых найдется число $\alpha (u)$ такое, что ${{\left\| u \right\|}_{E}} \leqslant \alpha (u)$ при почти всех $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}.$ Данное ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ является полным и нормированным. Норма в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ определяется равенством

Рассмотрим непустое семейство функций ${{\mathcal{H}}^{ + }} \subset C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }}$; E). Множество ${{\mathcal{H}}^{ + }}$ будем называть пространством траекторий, а его элементы – траекториями.

Определение 1. Множество $\mathcal{A} \subset E$ называется  глобальным аттрактором (в E₀) пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }},$ если оно удовлетворяет следующим условиям:

(i) множество $\mathcal{A}$ компактно в ${{E}_{0}}$ и ограниченно в $E;$

(ii) для всякого ограниченного в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ множества $B \subset {{\mathcal{H}}^{ + }}$ выполняется условие притягивания

(iii) множество $\mathcal{A}$ является наименьшим по включению, удовлетворяющим условиям (i) и (ii).

Определение 2. Множество $\mathcal{U}$ ⊂ $C({{\mathbb{R}}_{ + }}$ ; E₀) ∩ ∩ ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }}$; E) называется минимальным траекторным аттрактором (пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(i) множество $\mathcal{U}$ компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ и ограничено в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E);$

(ii) имеет место равенство $T(t)\mathcal{U} = \mathcal{U}$ для всех $t \geqslant 0;$

(iii) множество $\mathcal{U}$ является притягивающим, т.е. для любого множества $B \subset {{\mathcal{H}}^{ + }},$ ограниченного в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ выполняется условие

(iiii) множество U является наименьшим по включению множеством, удовлетворяющим условиям (i)–(iii).

Определение 3. Множество P ⊂ ⊂ $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }}$; E) называется поглощающим для ${{\mathcal{H}}^{ + }},$ если для каждого множества $B \subset {{\mathcal{H}}^{ + }},$ ограниченного в норме ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ найдется ${{t}_{B}} \geqslant 0,$ такое, что $T(t)B \subset P$ при $t \geqslant {{t}_{B}}.$

Теорема 1 (см. [6]). Пусть существует компактное в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ и ограниченное в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ поглощающее множество P для пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$ Тогда существует минимальный траекторный аттрактор $\mathcal{U}$ пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$

Теорема 2 (см. [6]). Пусть существует минимальный траекторный аттрактор $\mathcal{U}$ пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$ Тогда существует глобальный аттрактор (в ${{E}_{0}}$) $\mathcal{A}$ пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }},$ и справедливо равенство

3. Перейдем к описанию начально-краевой задачи для рассматриваемой модели движения нелинейно-вязкой жидкости.

Пусть Ω – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{n}},$ n = 2, 3, с липшицевой границей $\partial \Omega $, T > 0 – заданное число, ${{Q}_{T}}: = \Omega \times [0,T].$ Система уравнений с начальными и краевыми условиями, описывающая движение рассматриваемой жидкости, имеет вид

Здесь ${v}(t,x) = ({{{v}}_{1}}(t,x), \ldots ,{{{v}}_{n}}(t,x))$ и $p(t,x)$ – вектор-функция скорости и функция давления среды соответственно, $f(t,x)$ – плотность внешних сил. Заданная непрерывно дифференцируемая скалярная функция $\psi ,$ определенная на интервале $[0,\infty ),$ характеризует вязкость жидкости. Следуя [8], предполагаются следующие ограничения на функцию $\psi $:

Далее, в системе (1)

есть тензор скоростей деформаций, а ${{I}_{2}}(v)$ определяется равенством $I_{2}^{2}(v) = \varepsilon (v)$: $\varepsilon (v) = \sum\limits_{i,j = 1}^n {\varepsilon _{{ij}}^{2}(v)} .$ Здесь для произвольных квадратных матриц A = = $({{a}_{{ij}}})$ и $B = ({{b}_{{ij}}})$ используется символ A : B = = $\sum\limits_{i,j = 1}^n {{{a}_{{ij}}}{{b}_{{ij}}}} ,$ и символ ${\text{Div}}C,$ обозначающий дивергенцию тензора C = $({{c}_{{ij}}}(t,x)),$ т.е. вектор

DivC = $\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {\tfrac{{\partial {{c}_{{1j}}}(t,x)}}{{\partial {{x}_{j}}}}} , \ldots ,\sum\limits_{j = 1}^n {\tfrac{{\partial {{c}_{{nj}}}(t,x)}}{{\partial {{x}_{j}}}}} } \right).$

Разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи (1), (2) с условием (3) на функцию $\psi $ в двумерном случае установлена В.Г. Литвиновым (см. [8]). В трехмерном случае локальная разрешимость этой задачи в сильном смысле установлена П.Е. Соболевским [9]. Разрешимость в слабом смысле некоторого обобщения этой модели в двумерном и трехмерном случае была установлена в [10].

Через $C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}}$ будем обозначать пространство вектор-функций на $\Omega $ со значениями в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ класса ${{C}^{\infty }}$ с компактным носителем, содержащимся в $\Omega .$ Пусть $\mathcal{V} = \{ {v}{\text{:}}\,\,{v} \in C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}},{\text{div}}{v} = 0\} $ – подмножество соленоидальных вектор-функций; H – замыкание $\mathcal{V}$ по норме пространства ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{n}};$ $V$ – замыкание $\mathcal{V}$ по норме пространства $W_{2}^{1}{{(\Omega )}^{n}}.$ Через $V{\text{*}}$ обозначим сопряжение к $V$ пространство.

Введем пространство, в котором рассматривается проблема существования слабых решений задачи (1), (2):

Через $\left\langle {f,\varphi } \right\rangle $ будем обозначать действие функционала $f \in X{\text{*}}$ на элемент $\varphi \in X.$

Определение 4. Пусть ${{v}^{0}} \in H,$ $f \in {{L}_{2}}(0,T$; V*). Слабым решением задачи (1), (2) на отрезке [0, T] называется функция $v \in {{W}_{{2,1}}},$ удовлетворяющая соотношению

при всех $\varphi \in V,$ п.в. $t \in [0,T]\,,$ и начальному условию $v{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{v}^{0}}.$

Поскольку в работе рассматриваются аттракторы для автономной модели движения нелинейно-вязкой жидкости, то в дальнейшем будем предполагать, что правая часть системы (1) не зависит от переменной t и $f \in V{\text{*}}.$

Для введения пространства траекторий системы нелинейно-вязкой жидкости будем использовать следующую конкретизацию банаховых пространств E и ${{E}_{0}},$ а именно E = H и ${{E}_{0}} = V{\text{*}}.$ В качестве пространства траекторий рассмотрим множество ${{\mathcal{H}}^{ + }}$, состоящее из функций $v$, которые

(i) принадлежат классу $v \in L_{2}^{{{\text{loc}}}}({{R}_{ + }},V) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }}$, H);

(ii) удовлетворяют интегральному тождеству (4) для всех $\varphi \in V$ и для почти всех значений $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }};$

(iii) удовлетворяют оценке

Теорема 3. Определенное выше пространство траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$ непусто и вложено в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};V{\text{*}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }}$; H).

Теорема 4. Пусть $f \in V{\text{*}}.$ Тогда существует компактное в $C({{R}_{ + }};V{\text{*}})$ и ограниченное в ${{L}_{\infty }}({{R}_{ + }};H)$ поглощающее множество $P \subset C({{R}_{ + }};V{\text{*}}) \cap {{L}_{\infty }}({{R}_{ + }}$; H) для пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }},$ состоящее из функций ${v},$ которые при всех $t \geqslant 0$ удовлетворяют неравенству

Из теоремы 1 и теоремы 4 следует

Теорема 5. Пусть $f \in V{\text{*}}.$ Тогда существует минимальный траекторный аттрактор $\mathcal{U}$ пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$

А из теоремы 2 и 5 следует

Теорема 6. Пусть $f \in V{\text{*}}.$ Тогда существует глобальный аттрактор A пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$ и выполняется соотношение $\mathcal{A} = \mathcal{U}(t),$ $t \geqslant 0,$ где $\mathcal{U}(t)$ – сечение минимального траекторного аттрактора пространства ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$