Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 48-54
О КОНЕЧНОСТИ ЧИСЛА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ $\sqrt f $ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Академик РАН В. П. Платонов 1, 2, *, М. М. Петрунин 1, **
1 Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований
Российской академии наук
Москва, Россия
2 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: platonov@mi-ras.ru
** E-mail: petrushkin@yandex.ru
Поступила в редакцию 15.09.2020
После доработки 15.09.2020
Принята к публикации 21.09.2020
Аннотация
Получено полное описание кубических многочленов f над полями алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени 3 над $\mathbb{Q}$, для которых разложение $\sqrt f $ в непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb{K}((x))$ периодично. Доказана теорема конечности для кубических многочленов $f \in K[x]$ с периодическим разложением $\sqrt f $ для расширений $\mathbb{Q}$ степени, не превосходящей 6, и дано полное описание таких многочленов f над произвольным полем, соответствующих эллиптическим полям с точкой кручения порядка N ≥ 30.
Рассмотрим свободный от квадратов многочлен $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ степени 2g + 1 над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$. Предположим, что $f(x)$ не делится на x, а его младший коэффициент является полным квадратом. Тогда нормирование ${{\nu }_{x}}$, соответствующее линейному многочлену x, имеет два продолжения в поле $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$. Следовательно, существует вложение $\sqrt {f(x)} $ (и тем самым поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$) в поле формальных рядов Лорана $\mathbb{K}((x))$, что позволяет рассмотреть разложение этого элемента или любого другого элемента поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$ в непрерывную дробь (подробнее, см. [1]). Пусть $\mathcal{C}$ – гладкая компактификация гиперэллиптической кривой ${{y}^{2}} = f(x)$. Рассмотрим вложение точки $P = (0,\sqrt {f(0)} )$ в якобиан $\mathcal{C}$, переводящее P в класс $P - \infty $. В случае, когда класс $P - \infty $ имеет конечный порядок в якобиане, существуют элементы поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$, разложение которых в непрерывную дробь периодично. Эти разложения обладают интересными свойствами, которые описаны в работах [1–3].
Отметим, что некоторые элементы при указанных предположениях на пару $(\mathcal{C},P)$ заведомо периодичны: например, $\sqrt {f(x)} {\text{/}}{{x}^{g}}$ и $\sqrt {f(x)} {\text{/}}{{x}^{{g + 1}}}$. В свою очередь, сам элемент $\sqrt {f(x)} $ периодичен не всегда, что является существенным отличием от случая разложения в непрерывную дробь в $\mathbb{K}((1{\text{/}}x))$. В связи с этим в работе [3] была поставлена проблема описания всех многочленов $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ степени 2g + 1 для различных классов полей алгебраических чисел $\mathbb{K}$ с квазипериодическим разложением $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь (квазипериодичность $\sqrt f $ равносильна периодичности, см. [2]). Там же она была полностью решена для кубических многочленов над полем рациональных чисел с использованием теоремы об ограниченности кручения и рациональной параметризации пары эллиптическая кривая и точка кручения (см. [4]). В работе [5] аналогичный результат был получен для случая многочленов f степени 4, а в работе [6] был исследован случай алгебраических полей чисел в качестве поля констант, и было предложено обобщение метода работы [3]. Это позволило полностью решить проблему периодичности $\sqrt f $ для квадратичных числовых полей и кубических многочленов f, а именно, было получено полное описание периодических разложений пар, состоящих из квадратичного числового поля и периодического элемента $\sqrt f $, а также была доказана теорема конечности для таких многочленов f над расширениями степени 3 и 4 над $\mathbb{Q}$. В работе [7] без использования параметризаций было исследовано на периодичность разложение $\sqrt {f(x)} $ в предположениях, ограничивающих его период, что достигалось ограничением порядка точки кручения (что эквивалентно ограничению степени фундаментальной S-единицы) и поиском решений сложной системы уравнений, условие разрешимости которой эквивалентно периодичности $\sqrt {f(x)} $.
Пусть E – эллиптическая кривая над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$. По теореме Морделла–Вейля множество $\mathbb{K}$-точек на E образует конечно-порожденную абелеву группу $E(\mathbb{K})$. В частности, ее подгруппа кручения $E{{(\mathbb{K})}_{{{\text{tors}}}}}$ конечна. Мерель показал, что $\# E{{(\mathbb{K})}_{{{\text{tors}}}}} \leqslant B(d)$ для каждой эллиптической кривой E над полем $\mathbb{K}$ степени d над $\mathbb{Q}$. Однако оценка на B(d), которую можно получить из результата Парента (см. [8]), более чем велика для текущего состояния вычислительных инструментов, и при попытке обобщения теоремы об описании периодических $\sqrt f $ для кубических многочленов над $\mathbb{Q}$ на более общие поля алгебраических чисел $\mathbb{K}$ ее использование неэффективно. Полное описание порядков точек кручения известно только для расширений $\mathbb{Q}$ степени не выше 3 (см. [9, 10]).
В настоящем сообщении мы, опираясь на новые результаты других авторов и результаты работы [6], получаем полное решение проблемы периодичности $\sqrt f $ для кубических числовых полей. Благодаря оптимизации алгоритмов и компьютерных вычислений, мы доказываем теорему конечности кубических многочленов f с периодическим разложением $\sqrt f $ над полями алгебраических чисел степени, не превосходящей 6, а также даем полное описание таких многочленов f над произвольным полем, соответствующих эллиптическим полям с точкой кручения порядка $N \leqslant 30$.
Поскольку периодичность разложения $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь равносильна периодичности $\sqrt {{{f}^{\sigma }}(x)} $, где $\sigma \in {\text{Gal}}(\mathbb{K}{\text{/}}\mathbb{Q})$, а также периодичности $\sqrt {{{a}^{2}}f(bx)} $ для любых a, $b \in {{\mathbb{K}}^{ \times }}$, мы будем рассматривать многочлены с точностью до указанной эквивалентности.
Результаты работы мы сформулируем в виде следующих теорем.
Теорема 1. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$, отличных от вида $c{{x}^{3}} + 1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени d = 3 над $\mathbb{Q}$, имеющих периодическое разложение $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь над $\mathbb{K}$, – конечно, и определяется следующими представителями:
Эта теорема является следствием следующей более технической теоремы, дающей полное описание периодических $\sqrt f $, соответствующих эллиптической кривой с точкой кручения $(0,\sqrt {f(0)} )$ порядка, не превосходящего 30.
Теорема 2. Существует лишь конечное число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$ над произвольным полем $\mathbb{K}$ таких, что
1) точка $P = (0,\sqrt {f(0)} )$ соответствующей эллиптической кривой имеет порядок $5 \leqslant N \leqslant 30$,
2) разложение элемента $\sqrt {f(x)} \in \mathbb{K}((x))$ в непрерывную дробь периодично.
Более того, для каждого порядка кручения $N \leqslant 30$, $N \ne 6$ существует с точностью до эквивалентности один такой многочлен f, а для N = 6 такого многочлена не существует.
Степени расширения d полей констант $\mathbb{K}$ и длина периода $\Pi $ разложения в непрерывную дробь $\sqrt f $ для многочленов f из теоремы 2 приведены в табл. 1. Отметим, что квазипериод $\sqrt f $ во всех приведенных выше случаях оказывается равен половине периода.
Таблица 1.
N | Π | ${\text{deg}}\,\mathbb{K}$ |
---|---|---|
5 | 6 | 1 |
6 | – | – |
7 | 10 | 2 |
8 | 6 | 1 |
9 | 14 | 3 |
10 | 10 | 1 |
11 | 18 | 5 |
12 | 10 | 3 |
13 | 22 | 7 |
14 | 14 | 3 |
15 | 26 | 8 |
16 | 14 | 6 |
17 | 30 | 12 |
18 | 18 | 6 |
19 | 34 | 15 |
20 | 18 | 10 |
21 | 38 | 16 |
22 | 22 | 10 |
23 | 42 | 22 |
24 | 22 | 14 |
25 | 46 | 25 |
26 | 26 | 15 |
27 | 50 | 27 |
28 | 26 | 21 |
29 | 54 | 35 |
30 | 30 | 20 |
Теорема 2 позволяет сделать вывод о конечности числа периодических $\sqrt f \in \mathbb{K}[x]$ в случае, если $\mathbb{K}$ – поле алгебраических чисел степени не выше $6$.
Теорема 3. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$, отличных от вида $c{{x}^{3}} + 1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени $d \leqslant 6$ над $\mathbb{Q}$, имеющих периодическое разложение $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь над $\mathbb{K}$, – конечно.
Приведем схему доказательства теоремы 2, базирующуюся на схеме доказательства основных теорем работы [6]. Зафиксируем N и рассмотрим определенную над $\mathbb{Q}$ модулярную кривую ${{X}_{1}}(N)$, $\mathbb{K}$-точки которой отвечают множествам пар $(\mathcal{C},P)$, состоящих из эллиптической кривой $\mathcal{C}$ над $\mathbb{K}$ и $\mathbb{K}$-точки конечного P порядка N на ней. В работе [11] были приведены уравнения от двух переменных ${{g}_{N}}(t,u) = 0$, задающие кривые ${{X}_{1}}(N)$. За исключением пар $(t,u) \in {{X}_{1}}(N)$, отвечающим каспидальным точкам, каждой паре $(t,u)$ отвечает эллиптическая кривая в форме Тейта:
Для такой кривой точка (0, 0) является точкой кручения порядка N, если и только если выполнено соотношение ${{g}_{N}}(t,u) = 0$.
Для всех кривых коэффициенты b и c единообразно задаются формулами
где $r: = {{r}_{N}}(t,u)$ и $s: = {{s}_{N}}(t,u)$ уже зависят от N. Заменяя y на $y - \frac{{cx + b}}{2}$, переходим к кривой ${{y}^{2}}$ = f(x) с точкой кручения $\left( {0,\frac{b}{2}} \right)$, где(3)
$f = {{x}^{3}} + \left( {b + \frac{{{{c}^{2}}}}{4}} \right){{x}^{2}} + \frac{{bc}}{{2x}} + \frac{{{{b}^{2}}}}{4}.$Как было отмечено ранее, разложение элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$ в непрерывную дробь периодично. Шагу n этого разложения сопоставим многочлен Ln = = ${{( - 1)}^{{n + 1}}}({{x}^{4}}P_{n}^{2} - fQ_{n}^{2})$, где ${{P}_{n}}{\text{/}}{{Q}_{n}}$ – $n$-я подходящая дробь к элементу $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$. В [2] показано, что точка $(0,\sqrt {f(0)} )$ является точкой кручения тогда и только тогда, когда для некоторого $n$ многочлен Ln пропорционален ${{x}^{{2g + 1}}}$ или ${{x}^{{2g + 2}}}$. А степень S-единицы, равная порядку точки кручения, определяет четность степени многочлена Ln для такого минимального $n$, что Ln обладает указанным ранее свойством.
Итак, имеем уравнение ${{y}^{2}} = {{f}_{N}}(x,t,u)$, у которого коэффициенты при x зависят от параметров (t, u), где t, u удовлетворяют соотношению ${{g}_{N}}(t,u)$ = 0.
Разложим в непрерывную дробь элемент $\frac{{\sqrt {{{f}_{N}}(x,t,u)} }}{{{{x}^{2}}}}$ по переменной x–1, воспринимая $(t,u)$ как формальные переменные до шага, на котором Ln пропорционален либо x3, либо x4. Далее в соответствии с критерием периодичности элемента $\sqrt f $ из [6] на многочлены ${{P}_{n}} = {{p}_{0}}(t,u) + {{p}_{1}}(t,u){{x}^{{ - 1}}}$ + …, ${{Q}_{n}} = {{q}_{0}}(t,u) + {{q}_{1}}(t,u){{x}^{{ - 1}}}$ + … накладываем соотношения либо ${{q}_{0}}(t,u)$ = 0, либо ${{p}_{1}}(t,u) = 0$, в зависимости от четности степени Ln, что при выполнении соотношения ${{g}_{N}}(t,u) = 0$ повлечет периодичность $\sqrt f $. Наконец, мы решаем систему, состоящую из ${{g}_{N}}(t,u) = 0$ и одного из уравнений ${{q}_{0}}(t,u)$ = 0 или ${{p}_{1}}(t,u) = 0$.
Отметим, что свободный коэффициент Qn и коэффициент ${{P}_{n}}$ при x–1 зависят только от свободных коэффициентов и коэффициентов при x–1 элементов ${{P}_{m}}$, ${{Q}_{m}}$, ${{A}_{m}}$ для $m < n$. Это обстоятельство позволяет существенно снизить число арифметических операций, необходимых для применения критерия периодичности $\sqrt f $. Снижение числа арифметических операций, а также оптимизация алгоритма и его программной реализации позволили завершить вычисление для N ≤ 30, что, в свою очередь, позволило завершить доказательство основных результатов.
В случаях кривых с точкой кручения порядка N ≥ 20 мы воспользовались методом исключения переменной, основанным на базисах Гребнера и сводящим вопрос к одному уравнению от $t$.
Схема доказательства теорем 1 и 3. Если элемент $\sqrt f $ периодичен, то также периодичен и $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$, а для кривой ${{y}^{2}} = f(x)$ точка (0, $\sqrt {f(0)} )$ имеет конечный порядок N (подробнее см. [2]). Воспользуемся следующими результатами о конечности возможных порядков N, сформулированными для удобства читателя в виде одной теоремы.
Теорема 4. Пусть $\mathcal{C}$ – эллиптическая кривая над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени $d \leqslant 6$ над $\mathbb{Q}$, тогда для поля $\mathbb{K}$ и $\mathbb{K}$-точки кручения порядка N на кривой $\mathcal{C}$ имеют место следующие ограничения:
(i) В случае $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ имеем $N \leqslant 12,$ $N \ne 11$ (см. [12]);
(ii) В случае d = 2 имеем $N \leqslant 18,$ $N \ne 17$ (см. [9]);
(iii) В случае d = 3 имеем $N \leqslant 21,$ $N \ne 17,19$ (см. [10]);
(iv) В случае d = 4 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от $N \leqslant 24,$ $N \ne 19,23$ – конечно (см. [13]);
(v) В случае d = 5 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от N ≤ 25, $N \ne 23$, – конечно (см. [14]);
(vi) В случае d = 6 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от N ≤ 30, $N \ne 23,25,29$, – конечно (см. [14]).
В формулировке теоремы 4 и доказательстве теоремы 1 мы используем результаты из только что появившегося препринта [10]. Как сообщил нам один из авторов, работа готовится к публикации. Отметим, что в более ранней работе [15] показано, что число кубических числовых полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от N ≤ 20 $N \ne $ 17,19, – конечно.
Из теоремы 4 следует, что для доказательства конечности числа классов многочленов f над полями алгебраических чисел степени $ \leqslant 6$ достаточно исследовать на периодичность элемента $\sqrt f $ лишь кривые с порядком кручения $N \leqslant 30,$ $N \ne 23$, 29, что и было сделано в теореме 2.
Доказательство теоремы 2. В силу ограничений объема и сложности результатов вычислений приведем здесь полное доказательство только для случая N = 11, который соответствует выражениям с не слишком большими коэффициентами и дает единственное решение над расширением степени 5, а также для случая $N$ = 20, в котором существенно используется аппарат базисов Грёбнера. Отметим, что во всех случаях, кроме случая N = 6, система на $(t,u)$ имеет ровно одно решение с точностью до выбора корня неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена, не обнуляющее знаменатели коэффициентов fN и свободный коэффициент fN. Кроме того, следует отметить, что в работе [3] были разобраны случаи N ≤ 12, $N \ne 11$, для которых параметризация ${{X}_{1}}(N)$ рациональна. А случаи $N = 11,13,14, \ldots ,22,24$ были анонсированы в работе [6], где было показано, что для d = 2 нетривиальный периодический корень реализуется только при N = 7.
Из теоремы 4 и табл. 1 видно, что нетривиальные случаи для d = 3 реализуются только для $N = 9,12,14$. Кроме того, показано что для d = 5 периодический корень реализуется при N = 11, а для d = 6 при $N = 16,18$.
Случай N = 11.
Кривая ${{X}_{1}}(11)$ задана соотношением g11(t, u) = = u2 – $\frac{1}{4}{{t}^{4}} - \frac{1}{2}{{t}^{2}} + t - \frac{1}{4}$ = 0, а формулы
после подстановки в (2) и (3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:(5)
$\begin{gathered} \left. {\mathop {\, + 3t - 6)u}\limits_{} } \right){{x}^{2}} + \left( {\frac{1}{2}(t - 1)t({{t}^{7}} - {{t}^{6}} + 2{{t}^{5}} - 4{{t}^{4}} + } \right. \\ \, + 2{{t}^{3}} - 2{{t}^{2}} + 1)u - \frac{1}{4}{{(t - 1)}^{2}}t({{t}^{8}} + 3{{t}^{6}} - 4{{t}^{5}} + \\ \left. {\mathop {\, + 2{{t}^{4}} - 6{{t}^{3}} - t - 1)}\limits_{} } \right)x + \left( {\frac{1}{8}{{{(t - 1)}}^{3}}{{t}^{2}}({{t}^{9}} + {{t}^{8}} + } \right. \\ \end{gathered} $Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\frac{{\sqrt {{{f}_{{11}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{K}(t,u)((x))$. В этом случае
Квазипериод разложения $\sqrt {{{f}_{{11}}}} {\text{/}}{{x}^{2}}$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен 10. По критерию периодичности квадратного корня из [6], примененному в случае S-единицы нечетной степени, $\sqrt {{{f}_{{11}}}} $ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана Pn при x–1 обращается в нуль:
Выражая из предыдущего уравнения $u$ через $t$ и подставляя в ${{g}_{{11}}}(t,u) = 0$, получаем
(6)
$(3{{t}^{5}} - 3{{t}^{4}} - 12{{t}^{3}} + 9{{t}^{2}} - 35t + 63)\mathop {\left( {t - 1} \right)}\nolimits^3 t = 0.$Найдем неприводимые множители (6), которым отвечают периодические разложения $\sqrt {{{f}_{{11}}}} $. Корни z = 0, z = 1 не отвечают f с периодическим разложением $\sqrt f $, поскольку подстановка t = z влечет ${{f}_{{11}}}(0,z) = 0$, тем самым $P = (0,0)$ является точкой второго порядка.
Корню z неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена t5 – t4 – 4t3 + 3t2 – $\tfrac{{35}}{3}t$ + 21 соответствует $u = \tfrac{6}{{55}}{{z}^{4}} + \tfrac{3}{{11}}{{z}^{3}} - \tfrac{{53}}{{110}}{{z}^{2}} - \tfrac{6}{{55}}z - \tfrac{{127}}{{110}}$, и этим значениям отвечает
Разложение элемента $\sqrt {{{f}_{{11}}}(x,z)} $ над полем алгебраических чисел степени 5 имеет период 18, квазипериод 9 и коэффициент квазипериодичности
Случай N = 20.
Кривая X1(20) задана соотношением g20(u, t) = = ${{u}^{3}} + ({{t}^{2}} + 3){{u}^{2}} + ({{t}^{3}} + 4)u + 2$, а после подстановки выражений для $r(t,u)$ и $s(t,u)$ в (2) и (3) мы можем определить соответствующую эллиптическую кривую:
(8)
$\, \times t{{({{t}^{2}} - 2t + 2)}^{{ - 2}}}{{({{t}^{2}} - t - 1)}^{{ - 3}}}(({{t}^{{15}}} + \ldots )u - $Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\frac{{\sqrt {{{f}_{{20}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{K}(t,u)((x))$. В этом случае L8 пропорционален x4, причем Ln не пропорционален xk при $0 \leqslant n < 8$. Степень S-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом ${{f}_{{20}}}$, совпадает с порядком точки кручения с x = 0 и равна 20. Разложение элемента $\frac{{\sqrt {{{f}_{{20}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ квазипериодично с квазипериодом 9 и периодом разложения 18. По критерию периодичности элемента $\sqrt f $ из [6], примененному в случае S-единицы четной степени, $\sqrt {{{f}_{{20}}}} $ периодичен, если и только если свободный коэффициент Qn обращается в нуль. Запишем это условие:
Базис Грёбнера системы из двух вышеприведенных условий состоит из трех уравнений и выглядит следующим образом:
Найдем неприводимые множители последнего уравнения из базиса Грёбнера, которым отвечают периодические разложения $\sqrt {{{f}_{{20}}}} $.
Случаи корней z = 0, z = 1 не отвечают ${{f}_{{20}}}(x,z)$ с периодическим разложением $\sqrt {{{f}_{{20}}}(x,z)} $, поскольку при подстановке x = 0, t = z получаем ${{f}_{{20}}}(0,z)$ = 0, тем самым $P = (0,0)$ – точка второго порядка. Случай, когда $z$ является корнем многочлена ${{t}^{2}} - 2t + 2$ или многочлена ${{t}^{4}}\, - \,2{{t}^{3}}\, + \,4{{t}^{2}}\, - \,3t$ + 1, не отвечает ${{f}_{{20}}}(x,z)$ с периодическим разложением $\sqrt {{{f}_{{20}}}(x,z)} $, поскольку $z$ также является корнем знаменателя одного из коэффициентов ${{f}_{{20}}}(x,t)$.
В свою очередь, корню z многочлена t10 – ‒ $\tfrac{{175}}{{18}}{{t}^{9}} + \tfrac{{395}}{9}{{t}^{8}}$ – $\tfrac{{365}}{3}{{t}^{7}} + \tfrac{{2050}}{9}{{t}^{6}} - \tfrac{{2684}}{9}{{t}^{5}}$ + 275t 4 – – $\tfrac{{1585}}{9}{{t}^{3}} + \tfrac{{2030}}{{27}}{{t}^{2}} - \tfrac{{175}}{9}t + \tfrac{7}{3}$ отвечает
(9)
$\begin{gathered} {{f}_{{20}}}(x,z) = {{x}^{3}} + \frac{1}{{360020}}(121532184{{z}^{9}} + \ldots ){{x}^{2}} + \\ \, + \frac{1}{{180010}}( - 3074046066{{z}^{9}} + \ldots )x + \\ \, + \frac{1}{{360020}}( - 40173695550{{z}^{9}} + \ldots ). \\ \end{gathered} $Разложение элемента $\sqrt {{{f}_{{20}}}} $ над числовым полем степени 10 имеет период 9 и квазипериод 18.
ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ
Работа выполнена в рамках государственного задания по проведению фундаментальных научных исследований по проекту № 0065-2019-0011.
Список литературы
Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69:1. № 415. С. 3–38.
Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018. Т. 302. С. 354–376.
Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209. № 4. С. 54–94.
Kubert D.S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Mathematical Society. 1976. V. 3. № 2. P. 193–237.
Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации периодических непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // УМН. 2020. Т. 75. № 4 (454). С. 211–212.
Платонов В.П., Жгун В.С., Петрунин М.М. О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь $\sqrt f $ для кубических многочленов над числовыми полями // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 493. С. 32–37.
Платонов В.П., Петрунин М.М., Штейников Ю.Н. О конечности числа эллиптических полей с заданными степенями S-единиц и периодическим разложением $\sqrt f $ // ДАН. 2019. Т. 488. № 3. С. 237–242.
Parent P. Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1999. V. 1999. № 506. P. 85–116.
Kenku M.A., Momose F. Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields // Nagoya Mathematical Journal. 1988. V. 109. P. 125–149.
Derickx M., Etropolski A., van Hoeij M., Morrow J.S., Zureick-Brown D. Sporadic cubic torsion // arXiv:2007.13929. 2020.
Sutherland A. Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion // Mathematics of Computation. 2012. V. 81. № 278. P. 1131–1147.
Mazur B. Rational points on modular curves // Modular Functions of one Variable V / ed. Serre J.-P., Za-gier D.B. B.; Heidelberg, Springer, 1977. P. 107–148.
Jeon D., Kim C.H., Park E. On the torsion of elliptic curves over quartic number fields // J. London Math. Soc. 2006. V. 74. № 1. P. 1–12.
Derickx M., Sutherland A. Torsion subgroups of elliptic curves over quintic and sextic number fields // Proc. American Mathematical Society. 2017. V. 145. № 10. P. 4233–4245.
Jeon D., Kim C.H., Schweizer A. On the torsion of elliptic curves over cubic number fields // Acta Arithmetica. 2004. V. 113. P. 291–301.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления