Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 48-54

Рассмотрим свободный от квадратов многочлен $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ степени 2g + 1 над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$. Предположим, что $f(x)$ не делится на x, а его младший коэффициент является полным квадратом. Тогда нормирование ${{\nu }_{x}}$, соответствующее линейному многочлену x, имеет два продолжения в поле $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$. Следовательно, существует вложение $\sqrt {f(x)} $ (и тем самым поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$) в поле формальных рядов Лорана $\mathbb{K}((x))$, что позволяет рассмотреть разложение этого элемента или любого другого элемента поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$ в непрерывную дробь (подробнее, см. [1]). Пусть $\mathcal{C}$ – гладкая компактификация гиперэллиптической кривой ${{y}^{2}} = f(x)$. Рассмотрим вложение точки $P = (0,\sqrt {f(0)} )$ в якобиан $\mathcal{C}$, переводящее P в класс $P - \infty $. В случае, когда класс $P - \infty $ имеет конечный порядок в якобиане, существуют элементы поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$, разложение которых в непрерывную дробь периодично. Эти разложения обладают интересными свойствами, которые описаны в работах [1–3].

Отметим, что некоторые элементы при указанных предположениях на пару $(\mathcal{C},P)$ заведомо периодичны: например, $\sqrt {f(x)} {\text{/}}{{x}^{g}}$ и $\sqrt {f(x)} {\text{/}}{{x}^{{g + 1}}}$. В свою очередь, сам элемент $\sqrt {f(x)} $ периодичен не всегда, что является существенным отличием от случая разложения в непрерывную дробь в $\mathbb{K}((1{\text{/}}x))$. В связи с этим в работе [3] была поставлена проблема описания всех многочленов $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ степени 2g + 1 для различных классов полей алгебраических чисел $\mathbb{K}$ с квазипериодическим разложением $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь (квазипериодичность $\sqrt f $ равносильна периодичности, см. [2]). Там же она была полностью решена для кубических многочленов над полем рациональных чисел с использованием теоремы об ограниченности кручения и рациональной параметризации пары эллиптическая кривая и точка кручения (см. [4]). В работе [5] аналогичный результат был получен для случая многочленов f степени 4, а в работе [6] был исследован случай алгебраических полей чисел в качестве поля констант, и было предложено обобщение метода работы [3]. Это позволило полностью решить проблему периодичности $\sqrt f $ для квадратичных числовых полей и кубических многочленов f, а именно, было получено полное описание периодических разложений пар, состоящих из квадратичного числового поля и периодического элемента $\sqrt f $, а также была доказана теорема конечности для таких многочленов f над расширениями степени 3 и 4 над $\mathbb{Q}$. В работе [7] без использования параметризаций было исследовано на периодичность разложение $\sqrt {f(x)} $ в предположениях, ограничивающих его период, что достигалось ограничением порядка точки кручения (что эквивалентно ограничению степени фундаментальной S-единицы) и поиском решений сложной системы уравнений, условие разрешимости которой эквивалентно периодичности $\sqrt {f(x)} $.

Пусть E – эллиптическая кривая над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$. По теореме Морделла–Вейля множество $\mathbb{K}$-точек на E образует конечно-порожденную абелеву группу $E(\mathbb{K})$. В частности, ее подгруппа кручения $E{{(\mathbb{K})}_{{{\text{tors}}}}}$ конечна. Мерель показал, что $\# E{{(\mathbb{K})}_{{{\text{tors}}}}} \leqslant B(d)$ для каждой эллиптической кривой E над полем $\mathbb{K}$ степени d над $\mathbb{Q}$. Однако оценка на B(d), которую можно получить из результата Парента (см. [8]), более чем велика для текущего состояния вычислительных инструментов, и при попытке обобщения теоремы об описании периодических $\sqrt f $ для кубических многочленов над $\mathbb{Q}$ на более общие поля алгебраических чисел $\mathbb{K}$ ее использование неэффективно. Полное описание порядков точек кручения известно только для расширений $\mathbb{Q}$ степени не выше 3 (см. [9, 10]).

В настоящем сообщении мы, опираясь на новые результаты других авторов и результаты работы [6], получаем полное решение проблемы периодичности $\sqrt f $ для кубических числовых полей. Благодаря оптимизации алгоритмов и компьютерных вычислений, мы доказываем теорему конечности кубических многочленов f с периодическим разложением $\sqrt f $ над полями алгебраических чисел степени, не превосходящей 6, а также даем полное описание таких многочленов f над произвольным полем, соответствующих эллиптическим полям с точкой кручения порядка $N \leqslant 30$.

Поскольку периодичность разложения $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь равносильна периодичности $\sqrt {{{f}^{\sigma }}(x)} $, где $\sigma \in {\text{Gal}}(\mathbb{K}{\text{/}}\mathbb{Q})$, а также периодичности $\sqrt {{{a}^{2}}f(bx)} $ для любых a, $b \in {{\mathbb{K}}^{ \times }}$, мы будем рассматривать многочлены с точностью до указанной эквивалентности.

Результаты работы мы сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 1. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$, отличных от вида $c{{x}^{3}} + 1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени d = 3 над $\mathbb{Q}$, имеющих периодическое разложение $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь над $\mathbb{K}$, – конечно, и определяется следующими представителями:

где z – корень многочлена ${{t}^{3}} - {{t}^{2}} + \tfrac{1}{2}t - \tfrac{1}{{12}}$; где z – корень многочлена ${{t}^{3}} - 3{{t}^{2}} - 5$; где z – корень многочлена ${{t}^{3}} + {{t}^{2}} - 2t - \tfrac{9}{2}$.

Эта теорема является следствием следующей более технической теоремы, дающей полное описание периодических $\sqrt f $, соответствующих эллиптической кривой с точкой кручения $(0,\sqrt {f(0)} )$ порядка, не превосходящего 30.

Теорема 2. Существует лишь конечное число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$ над произвольным полем $\mathbb{K}$ таких, что

1) точка $P = (0,\sqrt {f(0)} )$ соответствующей эллиптической кривой имеет порядок $5 \leqslant N \leqslant 30$,

2) разложение элемента $\sqrt {f(x)} \in \mathbb{K}((x))$ в непрерывную дробь периодично.

Более того, для каждого порядка кручения $N \leqslant 30$, $N \ne 6$ существует с точностью до эквивалентности один такой многочлен f, а для N = 6 такого многочлена не существует.

Степени расширения d полей констант $\mathbb{K}$ и длина периода $\Pi $ разложения в непрерывную дробь $\sqrt f $ для многочленов  f из теоремы 2 приведены в табл. 1. Отметим, что квазипериод $\sqrt f $ во всех приведенных выше случаях оказывается равен половине периода.

Теорема 2 позволяет сделать вывод о конечности числа периодических $\sqrt f \in \mathbb{K}[x]$ в случае, если $\mathbb{K}$ – поле алгебраических чисел степени не выше $6$.

Теорема 3. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$, отличных от вида $c{{x}^{3}} + 1$, над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени $d \leqslant 6$ над $\mathbb{Q}$, имеющих периодическое разложение $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь над $\mathbb{K}$, – конечно.

Приведем схему доказательства теоремы 2, базирующуюся на схеме доказательства основных теорем работы [6]. Зафиксируем N и рассмотрим определенную над $\mathbb{Q}$ модулярную кривую ${{X}_{1}}(N)$, $\mathbb{K}$-точки которой отвечают множествам пар $(\mathcal{C},P)$, состоящих из эллиптической кривой $\mathcal{C}$ над $\mathbb{K}$ и $\mathbb{K}$-точки конечного P порядка N на ней. В работе [11] были приведены уравнения от двух переменных ${{g}_{N}}(t,u) = 0$, задающие кривые ${{X}_{1}}(N)$. За исключением пар $(t,u) \in {{X}_{1}}(N)$, отвечающим каспидальным точкам, каждой паре $(t,u)$ отвечает эллиптическая кривая в форме Тейта:

Для такой кривой точка (0, 0) является точкой кручения порядка N, если и только если выполнено соотношение ${{g}_{N}}(t,u) = 0$.

Для всех кривых коэффициенты b и c единообразно задаются формулами

где $r: = {{r}_{N}}(t,u)$ и $s: = {{s}_{N}}(t,u)$ уже зависят от N. Заменяя y на $y - \frac{{cx + b}}{2}$, переходим к кривой ${{y}^{2}}$ = f(x) с точкой кручения $\left( {0,\frac{b}{2}} \right)$, где

Как было отмечено ранее, разложение элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$ в непрерывную дробь периодично. Шагу n этого разложения сопоставим многочлен L_n = = ${{( - 1)}^{{n + 1}}}({{x}^{4}}P_{n}^{2} - fQ_{n}^{2})$, где ${{P}_{n}}{\text{/}}{{Q}_{n}}$ – $n$-я подходящая дробь к элементу $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$. В [2] показано, что точка $(0,\sqrt {f(0)} )$ является точкой кручения тогда и только тогда, когда для некоторого $n$ многочлен L_n пропорционален ${{x}^{{2g + 1}}}$ или ${{x}^{{2g + 2}}}$. А степень S-единицы, равная порядку точки кручения, определяет четность степени многочлена L_n для такого минимального $n$, что L_n обладает указанным ранее свойством.

Итак, имеем уравнение ${{y}^{2}} = {{f}_{N}}(x,t,u)$, у которого коэффициенты при x зависят от параметров (t, u), где t, u удовлетворяют соотношению ${{g}_{N}}(t,u)$ = 0.

Разложим в непрерывную дробь элемент $\frac{{\sqrt {{{f}_{N}}(x,t,u)} }}{{{{x}^{2}}}}$ по переменной x^–1, воспринимая $(t,u)$ как формальные переменные до шага, на котором L_n пропорционален либо x³, либо x⁴. Далее в соответствии с критерием периодичности элемента $\sqrt f $ из [6] на многочлены ${{P}_{n}} = {{p}_{0}}(t,u) + {{p}_{1}}(t,u){{x}^{{ - 1}}}$ + …, ${{Q}_{n}} = {{q}_{0}}(t,u) + {{q}_{1}}(t,u){{x}^{{ - 1}}}$ + … накладываем соотношения либо ${{q}_{0}}(t,u)$ = 0, либо ${{p}_{1}}(t,u) = 0$, в зависимости от четности степени L_n, что при выполнении соотношения ${{g}_{N}}(t,u) = 0$ повлечет периодичность $\sqrt f $. Наконец, мы решаем систему, состоящую из ${{g}_{N}}(t,u) = 0$ и одного из уравнений ${{q}_{0}}(t,u)$ = 0 или ${{p}_{1}}(t,u) = 0$.

Отметим, что свободный коэффициент Q_n и коэффициент ${{P}_{n}}$ при x^–1 зависят только от свободных коэффициентов и коэффициентов при x^–1 элементов ${{P}_{m}}$, ${{Q}_{m}}$, ${{A}_{m}}$ для $m < n$. Это обстоятельство позволяет существенно снизить число арифметических операций, необходимых для применения критерия периодичности $\sqrt f $. Снижение числа арифметических операций, а также оптимизация алгоритма и его программной реализации позволили завершить вычисление для N ≤ 30, что, в свою очередь, позволило завершить доказательство основных результатов.

В случаях кривых с точкой кручения порядка N  ≥ 20 мы воспользовались методом исключения переменной, основанным на базисах Гребнера и сводящим вопрос к одному уравнению от $t$.

Схема доказательства теорем 1  и 3. Если элемент $\sqrt f $ периодичен, то также периодичен и $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$, а для кривой ${{y}^{2}} = f(x)$ точка (0, $\sqrt {f(0)} )$ имеет конечный порядок N (подробнее см. [2]). Воспользуемся следующими результатами о конечности возможных порядков N, сформулированными для удобства читателя в виде одной теоремы.

Теорема 4. Пусть $\mathcal{C}$ – эллиптическая кривая над полем алгебраических чисел $\mathbb{K}$ степени $d \leqslant 6$ над $\mathbb{Q}$, тогда для поля $\mathbb{K}$ и $\mathbb{K}$-точки кручения порядка N на кривой $\mathcal{C}$ имеют место следующие ограничения:

(i) В случае $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ имеем $N \leqslant 12,$ $N \ne 11$ (см. [12]);

(ii) В случае d = 2 имеем $N \leqslant 18,$ $N \ne 17$ (см. [9]);

(iii) В случае d = 3 имеем $N \leqslant 21,$ $N \ne 17,19$ (см. [10]);

(iv) В случае d = 4 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от $N \leqslant 24,$ $N \ne 19,23$ – конечно (см. [13]);

(v) В случае d = 5 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от N ≤ 25, $N \ne 23$, – конечно (см. [14]);

(vi) В случае d = 6 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от N ≤ 30, $N \ne 23,25,29$, – конечно (см. [14]).

В формулировке теоремы 4 и доказательстве теоремы 1 мы используем результаты из только что появившегося препринта [10]. Как сообщил нам один из авторов, работа готовится к публикации. Отметим, что в более ранней работе [15] показано, что число кубических числовых полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от N ≤ 20 $N \ne $ 17,19, – конечно.

Из теоремы 4 следует, что для доказательства конечности числа классов многочленов f над полями алгебраических чисел степени $ \leqslant 6$ достаточно исследовать на периодичность элемента $\sqrt f $ лишь кривые с порядком кручения $N \leqslant 30,$ $N \ne 23$, 29, что и было сделано в теореме 2.

Доказательство теоремы 2. В силу ограничений объема и сложности результатов вычислений приведем здесь полное доказательство только для случая N = 11, который соответствует выражениям с не слишком большими коэффициентами и дает единственное решение над расширением степени 5, а также для случая $N$ = 20, в котором существенно используется аппарат базисов Грёбнера. Отметим, что во всех случаях, кроме случая N = 6, система на $(t,u)$ имеет ровно одно решение с точностью до выбора корня неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена, не обнуляющее знаменатели коэффициентов f_N и свободный коэффициент f_N. Кроме того, следует отметить, что в работе [3] были разобраны случаи N ≤ 12, $N \ne 11$, для которых параметризация ${{X}_{1}}(N)$ рациональна. А случаи $N = 11,13,14, \ldots ,22,24$ были анонсированы в работе [6], где было показано, что для d = 2 нетривиальный периодический корень реализуется только при N = 7.

Из теоремы 4 и табл. 1 видно, что нетривиальные случаи для d = 3 реализуются только для $N = 9,12,14$. Кроме того, показано что для d = 5 периодический корень реализуется при N = 11, а для d = 6 при $N = 16,18$.

Случай N = 11.

Кривая ${{X}_{1}}(11)$ задана соотношением g₁₁(t, u) = = u² – $\frac{1}{4}{{t}^{4}} - \frac{1}{2}{{t}^{2}} + t - \frac{1}{4}$ = 0, а формулы

после подстановки в (2) и (3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:

Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\frac{{\sqrt {{{f}_{{11}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{K}(t,u)((x))$. В этом случае

причем L_n не пропорционален ${{x}^{k}}$ при $0 \leqslant n < 4$. Степень S-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом f₁₁, совпадает с порядком точки кручения с x = 0 и равна 11.

Квазипериод разложения $\sqrt {{{f}_{{11}}}} {\text{/}}{{x}^{2}}$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен 10. По критерию периодичности квадратного корня из [6], примененному в случае S-единицы нечетной степени, $\sqrt {{{f}_{{11}}}} $ периодичен, если и только если коэффициент многочлена Лорана P_n при x^–1 обращается в нуль:

Выражая из предыдущего уравнения $u$ через $t$ и подставляя в ${{g}_{{11}}}(t,u) = 0$, получаем

Найдем неприводимые множители (6), которым отвечают периодические разложения $\sqrt {{{f}_{{11}}}} $. Корни z = 0, z = 1 не отвечают f с периодическим разложением $\sqrt f $, поскольку подстановка t = z влечет ${{f}_{{11}}}(0,z) = 0$, тем самым $P = (0,0)$ является точкой второго порядка.

Корню z неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена t⁵ – t⁴ – 4t³ + 3t² – $\tfrac{{35}}{3}t$ + 21 соответствует $u = \tfrac{6}{{55}}{{z}^{4}} + \tfrac{3}{{11}}{{z}^{3}} - \tfrac{{53}}{{110}}{{z}^{2}} - \tfrac{6}{{55}}z - \tfrac{{127}}{{110}}$, и этим значениям отвечает

Разложение элемента $\sqrt {{{f}_{{11}}}(x,z)} $ над полем алгебраических чисел степени 5 имеет период 18, квазипериод 9 и коэффициент квазипериодичности

Случай N = 20.

Кривая X₁(20) задана соотношением g₂₀(u, t) = = ${{u}^{3}} + ({{t}^{2}} + 3){{u}^{2}} + ({{t}^{3}} + 4)u + 2$, а после подстановки выражений для $r(t,u)$ и $s(t,u)$ в (2) и (3) мы можем определить соответствующую эллиптическую кривую:

Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\frac{{\sqrt {{{f}_{{20}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{K}(t,u)((x))$. В этом случае L₈ пропорционален x⁴, причем L_n не пропорционален x^k при $0 \leqslant n < 8$. Степень S-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом ${{f}_{{20}}}$, совпадает с порядком точки кручения с x = 0 и равна 20. Разложение элемента $\frac{{\sqrt {{{f}_{{20}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ квазипериодично с квазипериодом 9 и периодом разложения 18. По критерию периодичности элемента $\sqrt f $ из [6], примененному в случае S-единицы четной степени, $\sqrt {{{f}_{{20}}}} $ периодичен, если и только если свободный коэффициент Q_n обращается в нуль. Запишем это условие:

Базис Грёбнера системы из двух вышеприведенных условий состоит из трех уравнений и выглядит следующим образом:

Найдем неприводимые множители последнего уравнения из базиса Грёбнера, которым отвечают периодические разложения $\sqrt {{{f}_{{20}}}} $.

Случаи корней z = 0, z = 1 не отвечают ${{f}_{{20}}}(x,z)$ с периодическим разложением $\sqrt {{{f}_{{20}}}(x,z)} $, поскольку при подстановке x = 0, t = z получаем ${{f}_{{20}}}(0,z)$ = 0, тем самым $P = (0,0)$ – точка второго порядка. Случай, когда $z$ является корнем многочлена ${{t}^{2}} - 2t + 2$ или многочлена ${{t}^{4}}\, - \,2{{t}^{3}}\, + \,4{{t}^{2}}\, - \,3t$ + 1, не отвечает ${{f}_{{20}}}(x,z)$ с периодическим разложением $\sqrt {{{f}_{{20}}}(x,z)} $, поскольку $z$ также является корнем знаменателя одного из коэффициентов ${{f}_{{20}}}(x,t)$.

В свою очередь, корню z многочлена t¹⁰ – ‒ $\tfrac{{175}}{{18}}{{t}^{9}} + \tfrac{{395}}{9}{{t}^{8}}$ – $\tfrac{{365}}{3}{{t}^{7}} + \tfrac{{2050}}{9}{{t}^{6}} - \tfrac{{2684}}{9}{{t}^{5}}$ + 275t ⁴ – –  $\tfrac{{1585}}{9}{{t}^{3}} + \tfrac{{2030}}{{27}}{{t}^{2}} - \tfrac{{175}}{9}t + \tfrac{7}{3}$ отвечает

Разложение элемента $\sqrt {{{f}_{{20}}}} $ над числовым полем степени 10 имеет период 9 и квазипериод 18.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена в рамках государственного задания по проведению фундаментальных научных исследований по проекту № 0065-2019-0011.