Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 30-33

Eдиного определения понятия универсальная функция не существует. Обычно под этим термином понимается функция, с помощью которой можно представить все функции. При этом способ представления, а также класс представимых функций может трактоваться различным образом. Существование функций и рядов, универсальных в том или инoм смысле, изучалось многими математиками, работавшими в теории функций как действительного, так и комплексного переменного.

Первые примеры универсальных функций были построены Биркгофом [1] в рамках комплексного анализа, при этом целые функции представлялись в любом круге равномерно сходящимися сдвигами универсальной функции, Марцинкевичем [2] в рамках действительного анализа, при этом любая измеримая функция представлялась как предел почти всюду некоторой последовательности разностных отношений универсальной функции.

Понятие универсального ряда восходит к работам Меньшова [3] и Талаляна [4]. Наиболее общие результаты были получены ими и их учениками.

Отметим, что в последние годы в работах [5–13] автором были получены некоторые результаты, связанные с существованием и описанием структуры функций, ряды Фурье которых по заданной классической системе универсальны в том или ином смысле в различных функциональных классах.

Ниже мы будем использовать следующие обозначения.

Пусть $E \subseteq [0,1]$ – некоторое измеримое множество и |E| – мера Лебега измеримого множества $E \subseteq [0,1]$, пусть ${{L}^{p}}(E)$– класс всех тех измеримых на E функций, для которых $\int\limits_E {{\text{|}}f(x){{{\text{|}}}^{p}}dx} < \infty $, p > 0.

Пусть f, ${{f}_{k}} \in {{L}^{p}}[0,1]$, $k \in {\mathbf{N}}$ (N – совокупность всех натуральных чисел). Говорят, что последовательность $\mathop {\left\{ {{{f}_{k}}(x)]} \right\}}\nolimits_{k = 1}^\infty $ сходится к f(x) в ${{L}^{p}}[0,1],$ если

Пусть ${{L}^{0}}[0,1]$ – класс всех почти везде конечных измеримых на [0, 1] функций. Под сходимостью в ${{L}^{0}}[0,1]$ мы будем подразумевать сходимость почти всюду.

Пусть $\{ {{\varphi }_{k}}(x)\} _{{k = 1}}^{\infty }$ – полная в ${{L}^{2}}[0,1]$ ортонормированная система ограниченных функций, и пусть

$k \in {\mathbf{N}}$ – коэффициенты Фурье по системе $\{ {{\varphi }_{k}}(x)\} _{{k = 0}}^{\infty }$ функции $U \in {{L}^{1}}[0,1]$.

Определение 1. Ряд $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{f}_{k}}(x)} $, (${{f}_{k}} \in {{L}^{p}}[0,1]$, $p \geqslant 0$) называется  универсальным в ${{L}^{p}}[0,1]$ в смысле знаков, если для каждой функции $f \in {{L}^{p}}[0,1]$ можно найти последовательность знаков $\{ {{\delta }_{k}} = \pm 1\} _{{k = 0}}^{\infty },$ для которой ряд

сходится к функции f(x) в ${{L}^{p}}[0,1]$.

Определение 2. Будем говорить, что функция $U \in $ ${{L}^{1}}[0,1]$ универсальна для класса ${{L}^{p}}[0,1]$ $p \geqslant 0$ относительно системы $\{ {{\varphi }_{k}}(x)\} _{{k = 0}}^{\infty }$ в смысле знаков, если ряд Фурье функции U(x) по этой системе универсален в ${{L}^{p}}[0,1]$ в смысле знаков.

В работах [6, 7] мы изучили вопрос существования и описания структуры функций, которые универсальны для классов ${{L}^{p}}[0,1]$ при$p \in (0,1)$ относительно системы Уолша в смысле знаков.

В этой работе рассматривается тот же вопрос в случае p = 0, т.е. изучается существование функций, которые универсальны для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков. Имеет место

Теорема 1. Существует функция $U \in {{L}^{1}}[0,1]$ со строго убывающими коэффициентами, которая является универсальной для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков.

Оказывается, что любую измеримую, почти всюду конечную функцию путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры можно превратить в универсальную функцию для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков.

Теорема 2. Пусть f(x) – измеримая функция, конечная почти всюду на [0, 1]. Каково бы ни было $\epsilon > 0$, можно определить функцию $g(x) \in $ ${{L}^{1}}[0,1]$ с ${\text{|}}\{ x \in [0,1];g(x) \ne f(x)\} {\text{|}} \leqslant \epsilon $ такую, что

1) коэффициенты Фурье–Уолша функции g(x) монотонно убывают по абсолютной величине,

2) ряд Фурье–Уолша функции g(x) сходится в метрике ${{L}^{1}}[0,1]$ и почти всюду,

3) g(x) универсальна для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков.

Замечание 1. Не существует функции $U \in {{L}^{1}}[0,1]$, которая была бы универсальной для класса ${{L}^{1}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков. Более того, каковы бы ни были число $p \geqslant 1$ и ограниченная ортонормированная система $\{ {{\varphi }_{n}}(x)\} $, не существует функции $U \in {{L}^{1}}[0,1]$, которая была бы универсальной для класса ${{L}^{p}}[0,1]$ относительно системы $\{ {{\varphi }_{n}}(x)\} $ в смысле знаков.

Действительно, если бы при некотором $p \geqslant 1$ относительно некоторой ограниченной ортонормированной системы $\{ {{\varphi }_{n}}(x)\} $ существовала функция $U \in {{L}^{1}}[0,1]$, которая универсальна для класса ${{L}^{p}}[0,1]$, $p \geqslant 1$, в смысле знаков, то для любой функции $f(x) \in {{L}^{p}}[0,1]$, $p \geqslant 1$ с ${{c}_{1}}(f) \ne 0$ нашлись бы числа $\{ {{\delta }_{k}} = \pm 1\} _{{k = 0}}^{\infty }$ и $\{ {{\Upsilon }_{k}} = \pm 1\} _{{k = 0}}^{\infty }$ такие, что

Отсюда (ввиду того, что ${{\delta }_{1}}{{c}_{1}}(U) = {{c}_{1}}(f)$ и ${{\Upsilon }_{1}}{{c}_{1}}(U)$ = = ${{c}_{1}}(2f) = 2{{c}_{1}}(f)$) сразу получаем противоречие: ${{\Upsilon }_{1}} = 2{{\delta }_{1}}.$

Замечание 2. Отметим, что не существует функции $U \in {{L}^{1}}[0,1]$, которая была бы универсальной для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ в смысле знаков относительно системы $\{ {{f}_{n}}(x)\} ,$ построенной Кашиным в работе [14] $\left( {\sum\limits_{k = 1}^\infty {a_{k}^{2}} } \right.$ им была построена полная в ${{L}^{2}}[0,1]$ ортонормированная система ${\text{\{ }}{{f}_{n}}(x){\text{\} }}$ ограниченных функций такая, что из сходимости почти всюду на [0, 1] ряда$\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{a}_{k}}{{f}_{k}}(x)} $ вытекает $\left. {\sum\limits_{k = 1}^\infty {a_{k}^{2}} < \infty } \right)$.

Теоремы 1 и 2 следуют из следующей более сильной теоремы 3, которая описывает структуру всех тех функций, которые универсальны для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков с точки зрения широко известных классических теорем Лузина [15] и Меньшова [3] “Об исправлении функций”.

Теорема 3. Для любого $\varepsilon > 0$ существуют измеримое множество $E \subset [0,1]$ с мерой ${\text{|}}E{\text{|}} > 1 - \varepsilon $ и функция $U \in {{L}^{1}}[0,1]$ со свойствами:

1) функция U(x) – универсальна для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков,

2) $U(x) = 0$ на [ε, 1],

3) ряд Фурье–Уолша функции $U(x)$ сходится в ${{L}^{1}}[0,1]$,

4) коэффициенты Фурье–Уолша функции U(x) положительны и монотонно убывают,

5) для каждой функции $f \in {{L}^{1}}[0,1]$ можно найти функцию $\tilde {f} \in {{L}^{1}}[0,1]$ такую, что $\tilde {f}(x) = f(x)$ на E, и $\tilde {f}(x)$ – универсальна для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков, более того

a) ${\text{|}}{{c}_{k}}(\tilde {f}){\text{|}} = {\text{|}}{{c}_{k}}(U){\text{|}},$ $k = 0,1,2,...,$

б) ряд Фурье–Уолша функции $\tilde {f}(x)$ сходится в ${{L}^{1}}[0,1]$ и почти всюду.

Определение 3. Будем говорить, что измеримое множество $E \subset [0,1]$ и функция $U \in {{L}^{1}}[0,1]$ образуют универсальную пару (E, U) относительно коэффициентов Фурье по системе $\{ {{\varphi }_{k}}(x)\} _{{k = 0}}^{\infty }$ в смысле модификации, если для каждой функции $f \in {{L}^{1}}(E)$ можно найти функцию $\tilde {f} \in {{L}^{1}}[0,1]$ с $\tilde {f}(x)$ = f(x) на E и такую, что ${\text{|}}{{c}_{k}}(\tilde {f}){\text{|}} = {\text{|}}{{c}_{k}}(U){\text{|}},$ $k = 0$, 1, 2, ...

Из теоремы 3 вытекает

Теорема 4. Для любого $\varepsilon > 0$ существует универсальная пара (E, U) относительно коэффициентов Фурье по системе Уолша в смысле модификации, притом ${\text{|}}E{\text{|}} > 1 - \varepsilon ,$ коэффициенты Фурье–Уолша функции U(x) положительны и монотонно убывают и функция U универсальна для класса ${{L}^{0}}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков.

Сформулируем теперь основное утверждение.

Лемма. Пусть ${{n}_{0}} \in {\mathbf{N}}$ $\varepsilon \leqslant \delta \in (0,1)$ и f(x) = = $\sum\limits_{m = 1}^{{{{\tilde {\nu }}}_{0}}} {\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_m {{\chi }_{{\mathop {\widetilde \Delta }\nolimits_m }}}(x)} $ есть такая ступенчатая функция, что $\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_m \ne 0$ и $\{ {{\tilde {\Delta }}_{m}}\} _{{m = 1}}^{{{{{\tilde {\nu }}}_{0}}}}$ – непересекающиеся двоичные интервалы с $\sum\limits_{m = 1}^{{{{\tilde {\nu }}}_{0}}} {{\text{|}}{{{\widetilde \Delta }}_{m}}{\text{|}}} $ = 1. Тогда можно найти измеримые множества $G \subset $ $E \subset [{{2}^{{ - {{n}_{0}}}}},1]$, и полиномы

по системе Уолша, удовлетворяющие следующим условиям:

1) ${\text{|}}E{\text{|}} > 1 - \varepsilon - {{2}^{{ - {{n}_{0}}}}},$ ${\text{|}}G{\text{|}} > 1 - \delta - {{2}^{{ - {{n}_{0}}}}},$

2) $0 < {{a}_{{k + 1}}} \leqslant {{a}_{k}} < \varepsilon ,$ $k \in [{{2}^{{{{n}_{0}}}}},{{2}^{n}} - 1),$

3) $U(x) \cdot {{\chi }_{{[{{2}^{{ - {{n}_{0}}}}},1]}}}(x) = 0,$

4) $P(x) = f(x),$ когда $x \in E,$

5) $\mathop {max}\limits_{{{2}^{{{{n}_{0}}}}} \leqslant M < {{2}^{n}}} \int\limits_0^1 {\left| {\sum\limits_{k = {{2}^{{{{n}_{0}}}}}}^M \,{{\delta }_{k}}{{a}_{k}}{{W}_{k}}(x)} \right|dx} < A\int\limits_0^1 {{\text{|}}f(x){\text{|}}dx} ,$

6) $\mathop {max}\limits_{{{2}^{{{{n}_{0}}}}} \leqslant M < {{2}^{n}}} \int\limits_0^1 {\left| {\sum\limits_{k = {{2}^{{{{n}_{0}}}}}}^M \,{{a}_{k}}{{W}_{k}}(x)} \right|dx} < \varepsilon ,$

7) $\mathop {max}\limits_{{{2}^{{{{n}_{0}}}}} \leqslant M < {{2}^{n}}} \left| {\sum\limits_{k = {{2}^{{{{n}_{0}}}}}}^M \,{{\delta }_{k}}{{a}_{k}}{{W}_{k}}(x)} \right| < \frac{{A{\text{|}}f(x){\text{|}}}}{\delta } + \varepsilon $ $\forall x \in G,$ где A – константа.

В связи с приведенными выше теоремами и определениями возникают следующие вопросы, ответы на которые нам неизвестны.

Вопрос 1. Можно ли превратить произвольную функцию$f(x) \in {{L}^{1}}[0,2\pi ]$, изменяя значения на множестве малой меры, в функцию $\tilde {g}(x) \in {{L}^{1}}[0,2\pi ]$ с монотонно убывающими коэффициентами (по тригонометрической системе) Фурье по абсолютной величине?

Вопрос 2. Верны ли теоремы 3 и 4 для тригонометрической системы и для системы Виленкина?

Вопрос 3. Существует ли функция U ∈ ∈ ${{L}^{1}}(0,1)$, универсальная для некоторого класса ${{L}^{p}}[0,1]$ $p \in [0,1),$ относительно системы Хаара и Франклина в смысле знаков?