Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 56-58
РАВНОСХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ–РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ В ШКАЛАХ ПРОСТРАНСТВ
А. М. Савчук 1, *, И. В. Садовничая 1, **
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
* E-mail: savchuk@cosmos.msu.ru
** E-mail: ivsad@yandex.ru
Поступила в редакцию 18.12.2020
После доработки 28.12.2020
Принята к публикации 29.12.2020
Аннотация
Изучается вопрос равносходимости спектральных разложений двух операторов Штурма–Лиувилля на отрезке [0, π], порожденных дифференциальными выражениями ${{l}_{1}}(y) = - y{\text{''}} + {{q}_{1}}(x)y$ и ${{l}_{2}} = - y{\text{''}}$ + + q2(x)y и одинаковыми регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Потенциалы предполагаются сингулярными в том смысле, что ${{q}_{j}}(x) = u_{j}^{'}(x)$, ${{u}_{j}} \in {{L}_{\kappa }}[0,\pi ]$ для некоторого $\kappa \in [2,\infty ]$ (производные здесь понимаются в смысле распределений). Доказано, что равносходимость по метрике пространства ${{L}_{\nu }}[0,\pi ]$ имеет место для любой раскладываемой функции $f \in {{L}_{\mu }}[0,\pi ]$ при условии $\frac{1}{\kappa } + \frac{1}{\mu } - \frac{1}{\nu } \leqslant 1$, $\mu ,\nu \in [1,\infty ]$ за исключением случая $\kappa = \nu = \infty $, $\mu = 1$.
Рассмотрим оператор Штурма–Лиувилля ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$, порожденный дифференциальным выражением
Предполагается, что $q = u{\text{'}}$, где комплекснозначная функция $u \in {{L}_{2}}[0,\pi ]$, а производная понимается в смысле распределений. Оператор ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ мы определяем в ${{L}_{2}}[0,\pi ]$ на области
Напомним, что условие регулярности (по Биркгофу) оператора ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ заключается в выполнении одного из следующих условий:
1) ${{J}_{{42}}} \ne 0$,
2) ${{J}_{{42}}} = 0$, ${{J}_{{14}}} + {{J}_{{32}}} \ne 0$,
3) ${{J}_{{42}}} = {{J}_{{14}}} = {{J}_{{32}}} = 0$, ${{J}_{{12}}} + {{J}_{{34}}} = 0$, ${{J}_{{13}}} \ne 0$.
При этом в случаях 1) и 3) всегда, а в случае 2) при дополнительном условии
оператор называется сильно регулярным. В противном случае будем называть оператор слабо регулярным.В работе [1] доказаны следующие результаты.
Теорема 1. Произвольный регулярный оператор ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ имеет компактную в ${{L}_{2}}[0,\pi ]$ резольвенту и дискретный спектр $\left\{ {{{z}_{n}}} \right\}_{1}^{\infty }$, лежащий в некоторой параболе Pr= $\{ {\text{z}} \in \mathbb{C}|{\text{|Im}}\sqrt {\text{z}} {\text{|}} \leqslant r\} $. При этом в случае сильной регулярности найдется такой номер N и число d > 0, что $\left| {\sqrt {{{z}_{n}}} - \sqrt {{{z}_{m}}} } \right| \geqslant d$ при всех $n \ne m$, больших N. В случае слабой регулярности выполнено $\left| {\sqrt {{{z}_{{n + 1}}}} - \sqrt {{{z}_{n}}} } \right| = o(1)$ при $n \to \infty $.
Обозначим ${{\mathcal{P}}_{n}}$ – спектральные проекторы на двумерные собственные подпространства, отвечающие точкам спектра с номерами 2n и 2n – 1. Зафиксируем произвольный номер N и положим ${{\mathcal{H}}_{n}} = {\text{Rn}}{{\mathcal{P}}_{n}}$, $n > N$, и определим дополнительно подпространство ${{\mathcal{H}}_{0}}: = {\text{Rn}}\sum\limits_{n \leqslant N} {{{\mathcal{P}}_{n}}} $.
Теорема 2. Система собственных и присоединенных функций $\left\{ {{{y}_{n}}} \right\}_{1}^{\infty }$ сильно регулярного оператора ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ (мы нормируем собственные функции условием $\left\| {{{y}_{n}}} \right\| = 1$) образует базис Рисса в пространстве ${{L}_{2}}[0,\pi ]$. В случае слабой регулярности система образует базис Рисса со скобками. А именно, найдется такой номер N, что система ${{\left\{ {{{\mathcal{H}}_{0}},\mathcal{H}} \right\}}_{n}}_{{n > N}}$ образует базис Рисса из подпространств.
Поставим задачу о равносходимости спектральных разложений.
Определение 1. Пусть
Под равносходимостью этих разложений мы будем понимать утверждения вида
Такое определение равносходимости позволяет нам вести рассуждения одновременно и в случае сильной, и в случае слабой регулярности. Сформулируем наш основной результат.
Теорема 3. Рассмотрим оператор ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ с регулярными по Биркгофу краевыми условиями $U$. Пусть $q = u{\text{'}}$, где $u \in {{L}_{\kappa }}[0,\pi ]$, $\kappa \geqslant 2$.
Тогда для любой функции $f \in {{L}_{\mu }}[0,\pi ]$ имеет место равномерная равносходимость
Естественно, спектральные разложения $S_{m}^{0}$ невозмущенного оператора здесь можно заменить на разложения ${{\tilde {S}}_{m}}$ произвольного другого оператора Штурма–Лиувилля ${{\mathcal{L}}_{{\tilde {q},U}}}$ с теми же краевыми условиями и потенциалом $\tilde {q}$ того же класса (т.е. $\tilde {q} = \tilde {u}$, где $\tilde {u} \in {{L}_{\kappa }}[0,\pi ]$).
Следствие 1. Взяв ν = μ, получаем, что система $\left\{ {{{y}_{n}}} \right\}_{1}^{\infty }$ является условным базисом (в случае слабой регулярности – условным базисом со скобками) в пространстве ${{L}_{\mu }}[0,\pi ]$ для любого $\mu \in (1,\infty )$.
Доказательство основной теоремы проводится с помощью перехода к системе Дирака. Замена
Новые краевые условия обозначим через $V(z)$ (они зависят от спектрального параметра $z$). Получим, что матрица новых краевых условий имеет вид
Легко проверить, что в условиях регулярности определители ${{V}_{{14}}}(z)$ и ${{V}_{{23}}}(z)$ отличны от нуля при больших по модулю z, т.е. оператор Дирака также оказывается регулярным при достаточно больших значениях спектрального параметра.
Для регулярного оператора Дирака с потенциалом P(x) и краевыми условиями V, не зависящими от параметра z, теорема о равносходимости доказана в [2]. Заметим теперь, что зависимость от z потенциала заключается в наличии в потенциале слагаемых вида $\tfrac{{{{u}^{2}}(x)}}{{2\sqrt z }}$, т.е. является асимптотически слабой. То же справедливо и для краевых условий V(z). Это позволяет перенести доказательство работы [2] на полученную систему.
С историей вопроса и близкими результатами можно ознакомиться в работах [3–9].
Список литературы
Савчук А.М., Шкаликов А.А. // Труды ММО. 2003. Т. 64. С. 159–219.
Садовничая И.В. // Труды МИАН. 2016. Т. 293. С. 288–316.
Ильин В.А. // Дифф. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 577–597.
Ломов И.С. // Дифф. уравнения. 2001. Т. 37. № 3. С. 328–342; № 5. С. 648–660.
Гомилко А.М., Радзиевский Г.В. // ДАН. 1991. Т. 316. № 2. С. 265–270.
Minkin A. // J. Math. Sci. 1999. V. 96. P. 3631–3715.
Винокуров В.А., Садовничий В.А. // ДАН. 2001. Т. 380. № 6. С. 731–735.
Djakov P., Mityagin B. // J. of Diff. Eq. 2013. V. 255. № 10. P. 3233–3283.
Nazarov A.I., Stolyarov D.M., Zatitskiy P.B. // J. of Spectral Th. 2014. V. 4. № 2. P. 365–389.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления