Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 56-58

Рассмотрим оператор Штурма–Лиувилля ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$, порожденный дифференциальным выражением

и регулярными краевыми условиями

Предполагается, что $q = u{\text{'}}$, где комплекснозначная функция $u \in {{L}_{2}}[0,\pi ]$, а производная понимается в смысле распределений. Оператор ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ мы определяем в ${{L}_{2}}[0,\pi ]$ на области

где $W_{1}^{1}$ – классическое пространство Соболева. Обозначим через J_ij определитель, составленный из i-го и j-го столбца матрицы

Напомним, что условие регулярности (по Биркгофу) оператора ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ заключается в выполнении одного из следующих условий:

1) ${{J}_{{42}}} \ne 0$,

2) ${{J}_{{42}}} = 0$, ${{J}_{{14}}} + {{J}_{{32}}} \ne 0$,

3) ${{J}_{{42}}} = {{J}_{{14}}} = {{J}_{{32}}} = 0$, ${{J}_{{12}}} + {{J}_{{34}}} = 0$, ${{J}_{{13}}} \ne 0$.

При этом в случаях 1) и 3) всегда, а в случае 2) при дополнительном условии

оператор называется сильно регулярным. В противном случае будем называть оператор слабо регулярным.

В работе [1] доказаны следующие результаты.

Теорема 1. Произвольный регулярный оператор ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ имеет компактную в ${{L}_{2}}[0,\pi ]$ резольвенту и дискретный спектр $\left\{ {{{z}_{n}}} \right\}_{1}^{\infty }$, лежащий в некоторой параболе P_r= $\{ {\text{z}} \in \mathbb{C}|{\text{|Im}}\sqrt {\text{z}} {\text{|}} \leqslant r\} $. При этом в случае сильной регулярности найдется такой номер N и число d > 0, что $\left| {\sqrt {{{z}_{n}}} - \sqrt {{{z}_{m}}} } \right| \geqslant d$ при всех $n \ne m$, больших N. В случае слабой регулярности выполнено $\left| {\sqrt {{{z}_{{n + 1}}}} - \sqrt {{{z}_{n}}} } \right| = o(1)$ при $n \to \infty $.

Обозначим ${{\mathcal{P}}_{n}}$ – спектральные проекторы на двумерные собственные подпространства, отвечающие точкам спектра с номерами 2n и 2n – 1. Зафиксируем произвольный номер N и положим ${{\mathcal{H}}_{n}} = {\text{Rn}}{{\mathcal{P}}_{n}}$, $n > N$, и определим дополнительно подпространство ${{\mathcal{H}}_{0}}: = {\text{Rn}}\sum\limits_{n \leqslant N} {{{\mathcal{P}}_{n}}} $.

Теорема 2. Система собственных и присоединенных функций $\left\{ {{{y}_{n}}} \right\}_{1}^{\infty }$ сильно регулярного оператора ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ (мы нормируем собственные функции условием $\left\| {{{y}_{n}}} \right\| = 1$) образует базис Рисса в пространстве ${{L}_{2}}[0,\pi ]$. В случае слабой регулярности система образует базис Рисса со скобками. А именно, найдется такой номер N, что система ${{\left\{ {{{\mathcal{H}}_{0}},\mathcal{H}} \right\}}_{n}}_{{n > N}}$ образует базис Рисса из подпространств.

Поставим задачу о равносходимости спектральных разложений.

Определение 1. Пусть

где ${{\left\{ {{{y}_{n}}} \right\}}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ – система собственных и присоединенных функций оператора ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$, а ${{\left\{ {{{w}_{n}}} \right\}}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ – биортогональная к ней система. Положим также где ${{\{ y_{n}^{0}\} }_{{n \in \mathbb{N}}}}$ – система собственных и присоединенных функций оператора ${{\mathcal{L}}_{{0,U}}}$ с нулевым потенциалом, а ${{\{ w_{n}^{0}\} }_{{n \in \mathbb{N}}}}$ – биортогональная к ней система.

Под равносходимостью этих разложений мы будем понимать утверждения вида

Такое определение равносходимости позволяет нам вести рассуждения одновременно и в случае сильной, и в случае слабой регулярности. Сформулируем наш основной результат.

Теорема 3. Рассмотрим оператор ${{\mathcal{L}}_{{q,U}}}$ с регулярными по Биркгофу краевыми условиями $U$. Пусть $q = u{\text{'}}$, где $u \in {{L}_{\kappa }}[0,\pi ]$, $\kappa \geqslant 2$.

Тогда для любой функции $f \in {{L}_{\mu }}[0,\pi ]$ имеет место равномерная равносходимость

если $\kappa \in [2, + \infty ]$, $\mu \in [1, + \infty ]$, $\nu \in [1, + \infty ]$ и индексы $\kappa $, $\mu $ и $\nu $ удовлетворяют соотношениюза исключением случая $\kappa = \nu = + \infty $, $\mu = 1$.

Естественно, спектральные разложения $S_{m}^{0}$ невозмущенного оператора здесь можно заменить на разложения ${{\tilde {S}}_{m}}$ произвольного другого оператора Штурма–Лиувилля ${{\mathcal{L}}_{{\tilde {q},U}}}$ с теми же краевыми условиями и потенциалом $\tilde {q}$ того же класса (т.е. $\tilde {q} = \tilde {u}$, где $\tilde {u} \in {{L}_{\kappa }}[0,\pi ]$).

Следствие 1. Взяв ν = μ, получаем, что система $\left\{ {{{y}_{n}}} \right\}_{1}^{\infty }$ является условным базисом (в случае слабой регулярности – условным базисом со скобками) в пространстве ${{L}_{\mu }}[0,\pi ]$ для любого $\mu \in (1,\infty )$.

Доказательство основной теоремы проводится с помощью перехода к системе Дирака. Замена

сводит уравнение $l(y) = zy + f$ к виду где

Новые краевые условия обозначим через $V(z)$ (они зависят от спектрального параметра $z$). Получим, что матрица новых краевых условий имеет вид

Легко проверить, что в условиях регулярности определители ${{V}_{{14}}}(z)$ и ${{V}_{{23}}}(z)$ отличны от нуля при больших по модулю z, т.е. оператор Дирака также оказывается регулярным при достаточно больших значениях спектрального параметра.

Для регулярного оператора Дирака с потенциалом P(x) и краевыми условиями V, не зависящими от параметра z, теорема о равносходимости доказана в [2]. Заметим теперь, что зависимость от z потенциала заключается в наличии в потенциале слагаемых вида $\tfrac{{{{u}^{2}}(x)}}{{2\sqrt z }}$, т.е. является асимптотически слабой. То же справедливо и для краевых условий V(z). Это позволяет перенести доказательство работы [2] на полученную систему.

С историей вопроса и близкими результатами можно ознакомиться в работах [3–9].