Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 59-63

Вопросы существования и единственности решения задач рассеяния электромагнитных волн на ограниченных трехмерных прозрачных, в том числе неоднородных и анизотропных, телах, находящихся в свободном пространстве, имеют принципиальное значение в электродинамике. Были доказаны теоремы единственности для некоторых классов задач рассеяния [1–7]. Наибольшие трудности возникают при исследовании задач в средах без потерь, с разрывами параметров, с анизотропией.

Будем рассматривать следующий класс задач электродинамики. В области $Q$ среда характеризуется тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$, причем компоненты этих тензоров являются кусочно-дифференцируемыми функциями координат. Точнее, пусть область Q состоит из конечного числа подобластей Q_n с кусочно-гладкими границами $\partial {{Q}_{n}}$; $\overline Q = \bigcup\limits_n {{{{\overline Q }}_{n}}} $, ${{Q}_{n}}\, \cap \,{{Q}_{m}}\, = \,\emptyset $ при n ≠ m. Будем полагать, что $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ являются сужениями на Q_n функций, заданных на более широком множестве, т.е. $\hat {\varepsilon }(x)$ = = ${{\hat {\varepsilon }}_{n}}(x)$, $\hat {\mu }(x) = {{\hat {\mu }}_{n}}(x)$ при $x \in {{Q}_{n}}$, ${{\hat {\varepsilon }}_{n}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$_, ${{\hat {\mu }}_{n}}$ ∈ ∈ ${{C}^{3}}(\overline B )$, где B – шар, содержащий Q. Вне области Q среда изотропна с постоянными параметрами ${{\varepsilon }_{0}}$ и ${{\mu }_{0}}$.

Требуется найти векторные функции электромагнитного поля, удовлетворяющие в областях гладкости параметров среды уравнениям Максвелла

и условию излучения на бесконечности где ${{k}_{0}}{\kern 1pt} \, = \,\omega \sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} $, ${\text{Im}}{{\varepsilon }_{0}}$ = 0, ${\text{Im}}{{\mu }_{0}}$ = 0, ${\text{Re}}{{\varepsilon }_{0}}$ > 0, ${\text{Re}}{{\mu }_{0}}$ > 0, а u – любая из декартовых компонент полей. В (1) J⁰ – заданный электрический ток, создающий внешнее поле E⁰, H⁰. Далее, на гладких частях поверхностей разрыва проницаемостей $\partial {{Q}_{n}}$ функции E и H должны удовлетворять условию непрерывности тангенциальных компонент полей. Такие решения задачи будем называть классическими.

Введем ограничения на параметры среды в Q. Будем полагать, что эрмитовы тензор-функции ${\text{(}}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{n}}(x) - \hat {\varepsilon }_{n}^{*}(x){\text{)/}}i$ и ${\text{(}}{{\hat {\mu }}_{i}}(x) - \hat {\mu }_{i}^{*}(x){\text{)/}}i$ неотрицательно определены (нет генерации энергии в среде), а эрмитовы тензоры $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{n}}(x) + \hat {\varepsilon }_{n}^{*}(x))$ и $({{\hat {\mu }}_{i}}(x) + \hat {\mu }_{i}^{*}(x))$ положительно определены. Символ * обозначает сопряженный тензор, т.е. транспонированный тензор с комплексно-сопряженными элементами.

Доказывается [5, 6], что для однородной задачи (1), (2), т.е. J⁰ = 0, электромагнитное поле в ${{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline Q $ равно нулю и тангенциальные компоненты полей на $\partial Q$ также равны нулю. Обозначим эту однородную задачу через А. Предположим, что в области Q электромагнитное поле не равно тождественно нулю. Очевидно, что найдется такое $m$, что $\partial {{Q}_{m}} \cap \partial Q \ne \emptyset $, т.е. у ${{Q}_{m}}$ и $Q$ имеется общий гладкий кусок границы.

Определим функцию-срезку со свойствами: ζ(t; $a,b) \in {{C}^{\infty }}({{{\mathbf{R}}}^{1}})$, $0 \leqslant \zeta (t;a,b) \leqslant 1$, $\zeta (t;a,b) = 1$ при $t \leqslant a$, $\zeta (t;a,b)$ = 0 при $t \geqslant b$, $\zeta (t;a,b)\, > \,0$ при $a < t$ < b. Пусть шар B, содержащий Q, имеет центр в точке ${{x}_{0}} \in Q$ и радиус 2d, где d – диаметр области Q, т.е. максимальное расстояние между точками границы $\partial Q$. Определим функции

Ясно, что $\hat {\varepsilon }_{m}^{c},\hat {\mu }_{m}^{c}\, \in \,{{C}^{3}}({{{\mathbf{R}}}^{3}})$ и $\hat {\varepsilon }_{m}^{c}(x) = {{\varepsilon }_{0}}\hat {I}$, $\hat {\mu }_{m}^{c}(x) = {{\mu }_{0}}\hat {I}$ при $x \notin B$.

Рассмотрим вспомогательную однородную задачу С. Задача С описывается однородными уравнениями (1), (2), в которых проницаемости ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}$, ${{\hat {\mu }}^{c}}$ в области Q совпадают с проницаемостями из задачи А, а вне области Q проницаемости описываются формулами (3). Опишем множество решений задачи С. Ясно, что в области ${{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline B $ электромагнитное поле равно нулю. Обозначим Q^m := $Q{\backslash }\overline {{{Q}_{m}}} $. Из построения функций (3) следует, что проницаемости ${{\hat {\varepsilon }}^{с}},{{\hat {\mu }}^{с}} \in {{C}^{3}}({{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} )$.

Из работ [2, 3] следует, что однородные уравнения (1) в области гладкости проницаемостей сводятся в декартовой системе координат к следующей системе дифференциальных уравнений:

В (4) используется правило суммирования по повторяющимся индексам, а ${{L}_{{kmn}}}$ – символ Леви-Чивиты. Из уравнений (4) следует, что детерминант главного символа дифференциального оператора определяется формулой

Поскольку $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{n}}(x) + \hat {\varepsilon }_{n}^{*}(x))$ и $({{\hat {\mu }}_{n}}(x) + \hat {\mu }_{n}^{*}(x))$ положительно определены, то получим, что ${\text{det}}{{P}^{0}}(\xi ) \ne 0$, ${\text{|}}\xi {\text{|}} \ne 0$ в ${{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} $. Следовательно, система уравнений (4) является эллиптической в этой области. Все коэффициенты в уравнениях (4) являются дифференцируемыми функциями в ${{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} $. Поэтому можно применить принцип продолжения решения уравнений (4) по непрерывности [7] из области ${{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline B $ в область ${{{\mathbf{R}}}^{3}}{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} $. Получаем, что электромагнитное поле в подобласти Q_m равно нулю, а тангенциальные компоненты полей ${\mathbf{E}}$ и ${\mathbf{H}}$ на $\partial {\kern 1pt} Q$ также равны нулю.

Электромагнитное поле в задачах А и С удовлетворяет одним и тем же однородным уравнениям (1) в области Q и одинаковым граничным условиям на $\partial {\kern 1pt} Q$. Поэтому множества решений задач А и С совпадают в области Q. Но решение задачи С в подобласти Q_m только тривиальное, что противоречит предположению о нетривиальности решения задачи А в этой же области. Таким образом, справедлива

Теорема 1. Пусть область Q состоит из конечного числа подобластей Q_n с кусочно-гладкой границей $\partial {{Q}_{n}}$; $\overline Q = \bigcup\limits_n {{{{\overline Q }}_{n}}} $, ${{Q}_{n}} \cap {{Q}_{m}} = \emptyset $ при $n \ne m$. Положим, что $\hat {\varepsilon } = {{\varepsilon }_{0}}\hat {I},$ $\hat {\mu } = {{\mu }_{0}}\hat {I}$ в ${{{\mathbf{R}}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $, а $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ в $Q$ задаются сужениями на ${{Q}_{n}}$ функций ${{\hat {\varepsilon }}_{n}}$, ${{\hat {\mu }}_{n}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$ ($\hat {\varepsilon }(x) = {{\hat {\varepsilon }}_{n}}(x)$ и $\hat {\mu }(x) = {{\hat {\mu }}_{n}}(x)$ при $x \in {{Q}_{n}}$), где B – шар, содержащий Q. Пусть эрмитовы тензор-функции $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{n}}(x) + \hat {\varepsilon }_{n}^{*}(x))$ и $({{\hat {\mu }}_{n}}(x) + \hat {\mu }_{n}^{*}(x))$ положительно определены, а тензор-функции ${\text{(}}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{n}}(x)$ – ‒ $\hat {\varepsilon }_{n}^{*}(x){\text{)/}}i$ и ${\text{(}}{{\hat {\mu }}_{n}}(x) - \hat {\mu }_{n}^{*}(x){\text{)/}}i$ неотрицательно определены в B. Тогда задача (1), (2) имеет только тривиальное решение.

Рассматриваемые задачи могут быть сведены к системе объемных сингулярных интегральных уравнений относительно электромагнитного поля в конечной области $B \supseteq Q$ [3, 4]

В (6), (7) ${{\hat {\varepsilon }}_{r}} = \frac{{\hat {\varepsilon }}}{{{{\varepsilon }_{0}}}}$, ${{\hat {\mu }}_{r}} = \frac{{\hat {\mu }}}{{{{\mu }_{0}}}}$; G – функция Грина для уравнения Гельмгольца

$R = \left| {x - y} \right|$; $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$; $y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})$, × – векторное произведение. Из (6), (7) ясно, что электромагнитное поле в Q не зависит от формы и размеров области B.

Ниже будем предполагать, что выполняются условия теоремы 1. Для исследования решений уравнений (6), (7) будем использовать гильбертово пространство шестимерных интегрируемых с квадратом вектор-функций L₂. Сначала рассмотрим вопрос о единственности решения.

Возьмем область B в виде шара с радиусом 3d и центром в точке ${{x}_{0}} \in Q$. Для однородной задачи (6)–(8) электромагнитное поле в области $B{\backslash }\overline Q $ равно нулю. Предположим, что в области Q решение (6)–(8) не равно нулю. Обозначим эту задачу через А1.

Рассмотрим вспомогательную задачу С1. Задача С1 описывается однородными уравнениями (6)–(8), в которых проницаемости ${{\hat {\varepsilon }}^{c}},{\kern 1pt} \,{{\hat {\mu }}^{c}}$ в области Q совпадают с проницаемостями из задачи А1, а вне области Q проницаемости описываются формулами (3), где индекс m связан с подобластью Q_m, имеющей общий гладкий кусок границы с Q.

Опишем множество решений задачи С1. Обозначит через B₀ шар радиуса 2d и с центром, совпадающим с центром шара B. Из (3) ясно, что в области $B{\backslash }\overline {{{B}_{0}}} $ электромагнитное поле равно нулю. Обозначим ${{Q}^{m}}: = Q{\backslash }\overline {{{Q}_{m}}} $. Из построения функций (3) следует, что проницаемости ${{\hat {\varepsilon }}^{с}},{{\hat {\mu }}^{с}} \in {{C}^{3}}(B{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} )$. В областях гладкости параметров среды решение однородных уравнений (6)–(8) из ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(B)$ удовлетворяет уравнениям Максвелла (1). Поэтому в области $B{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} $ решение удовлетворяет уравнениям (4), которые, поскольку функции (3) подчиняется условиям теоремы 1, являются эллиптическими. Применяя принцип продолжения решения уравнений (4) по непрерывности из области $B{\backslash }{{\overline B }_{0}}$ в область $B{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} $, получим, что электромагнитное поле в $B{\backslash }\overline {{{Q}^{m}}} $ равно нулю.

Далее, электромагнитное поле в задачах А1 и С1 удовлетворяет одним и тем же однородным уравнениям (6)–(8) в области Q. Поэтому множества решений задач А1 и С1 совпадают в области $Q$. Но решение задачи С1 в подобласти Q_m только тривиальное, что противоречит предположению о нетривиальности решения задачи А1 в этой же области. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1, объемные сингулярные интегральные уравнения (6)–(8) имеют только тривиальное решение в ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(Q)$.

Рассмотрим вопрос о фредгольмовости системы интегральных уравнений (6)–(8). Линейный ограниченный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве, будет фредгольмовым оператором, если размерности подпространства нулей оператора n(A) и сопряженного оператора $n\,(A{\text{*}})$ конечны и их разность (индекс) равна нулю.

Сначала рассмотрим интегральное уравнение в анизотропной диэлектрической среде, т.е. магнитная проницаемость всюду постоянна и равна μ₀. Тогда система интегральных уравнений (6), (7) сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению относительно электрического поля в области Q:

Обозначим через A оператор уравнения (9). Тогда

В (10) тензор-функция $\hat {\eta }{\kern 1pt} {\kern 1pt} (x) = {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({{\hat {\varepsilon }}_{r}}{\kern 1pt} (x) - \hat {I})$, а ${{\hat {G}}_{0}}{\kern 1pt} (x,y)$ и ${{\hat {G}}_{1}}{\kern 1pt} (x,y)$ – тензорные функции, очевидным образом определяемые из (9).

Тогда оператор, сопряженный к A в пространстве ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(Q)$, будет иметь вид

Ниже будем полагать, что тензор-функция $\hat {\eta }{\kern 1pt} {\kern 1pt} (x)$ может не иметь обратную в Q лишь на множестве точек меры ноль, например, на границе области Q. Из (9), (10) следует, что ${{\hat {G}}_{k}}{\kern 1pt} (x,y)$ = = ${{\hat {G}}_{k}}{\kern 1pt} (y,x)$, ${{\hat {G}}_{k}}{\kern 1pt} = \hat {G}_{k}^{t},$ k = 0, 1. Учитывая эти свойства тензоров, возьмем комплексное сопряжение в (11), получим

В (12) символы t и * обозначают, соответственно, транспонированный тензор и комплексно сопряженный вектор.

Пусть ${\mathbf{W}} \in {{{\mathbf{L}}}_{2}}(Q)$ – нуль оператора (11), т.е. $A{\kern 1pt} {\text{*}}{\mathbf{W}}$ = 0. Обозначим

Тогда из (12) получим ${\mathbf{W}}{\kern 1pt} * = {{\hat {\eta }}^{t}}{\mathbf{V}}$. Из (10), (12) имеем $(A{\kern 1pt} {\text{*}}{\mathbf{W}}){\kern 1pt} * = {{\hat {\eta }}^{t}}A({{\hat {\varepsilon }}^{t}}){\mathbf{V}}$ = 0, где $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$ – оператор уравнения (9) с тензором диэлектрической проницаемости в Q, равным ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}$. Следовательно, размерности подпространств нулей операторов $A{\kern 1pt} {\text{*}}(\hat {\varepsilon })$ и $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$связаны неравенством $n(A{\kern 1pt} {\text{*}}(\hat {\varepsilon })) \leqslant n(A({{\hat {\varepsilon }}^{t}}))$. Теперь пусть ${\mathbf{W}}$ – нуль оператора (10) с диэлектрической проницаемостью ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}$, т.е. $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}}){\mathbf{W}}$ = 0. Обозначим ${\mathbf{V}}{\kern 1pt} * = {{\hat {\eta }}^{t}}{\mathbf{W}}$. Тогда из (10), (12) имеем ${{\hat {\eta }}^{t}}A({{\hat {\varepsilon }}^{t}}){\mathbf{W}}$ = (A*V)* = 0. Получаем, что $n(A({{\hat {\varepsilon }}^{t}}))$ ≤ ≤ $n(A{\kern 1pt} {\text{*}}(\hat {\varepsilon }))$ и поэтому имеем

Если какой-либо эрмитов тензор $\hat {\delta }$ неотрицательно/положительно определен, то и эрмитов тензор ${{\hat {\delta }}^{t}}$ будет также неотрицательно/положительно определен. Поэтому, при выполнении условий теоремы 1, получим $n(A(\hat {\varepsilon })) = n\,(A({{\hat {\varepsilon }}^{t}}))$ = 0. Тогда из (13) следует $n(A(\hat {\varepsilon })) = n(A{\kern 1pt} {\text{*}}(\hat {\varepsilon }))$ = 0. Таким образом, оператор уравнения (9) будет фредгольмовым в ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(Q)$.

Теперь рассмотрим задачи рассеяния на магнитодиэлектрическом теле. Запишем систему сингулярных интегральных уравнений (6), (7) в символической форме

где вид операторов $\hat {S}$ и $\hat {F}$ ясен из (6), (7). Очевидно, что оператор $\hat {S}$ является сингулярным оператором в ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(Q)$, а оператор $\hat {F}$ компактным.

Рассмотрим следующее уравнение:

Из вида уравнения (15) очевидно, что при выполнении вышеприведенных условий для тензор-функций $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }\,(x)$ оператор уравнения (15) будет фредгольмовым в L₂(Q). Оператор уравнения (14) отличается от оператора уравнения (15) прибавлением компактных операторов. Следовательно, оператор уравнения (14) также является фредгольмовым.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и, кроме того, тензор-функции $({{\hat {\varepsilon }}_{r}}{\kern 1pt} (x) - \hat {I})$ и $({{\hat {\mu }}_{r}}{\kern 1pt} (x) - \hat {I})$ могут не иметь обратные функции в Q лишь на множестве точек меры ноль. Тогда существует и единственно решение системы сингулярных интегральных уравнений (6), (7) в пространстве L₂(Q).