Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 64-67

1. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ

Пусть X – банахово пространство. Напомним, что полускалярное произведение (сокращенно п.с.п.) на X – это отображение $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $ из X × X в поле комплексных чисел такое, что:

1. $\left\langle {x + y,z} \right\rangle = \left\langle {x,z} \right\rangle + \left\langle {y,z} \right\rangle $ для $x,y,z \in X$;

2. $\left\langle {\lambda x,y} \right\rangle = \lambda \left\langle {x,y} \right\rangle $ для $x,y \in X$ и $\lambda \in \mathbb{C}$;

3. $\left\langle {x,x} \right\rangle > 0$ для $0 \ne x \in X$;

4. ${{\left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right|}^{2}} \leqslant \left\langle {x,x} \right\rangle \left\langle {y,y} \right\rangle $ для всех $x,y \in X$.

Когда п.с.п определено на X × X, то мы называем X пространством с полускалярным произведением (сокращенно п.п.с.п.). Если $X$ п.п.с.п., тогда ${{\left\langle {x,x} \right\rangle }^{{\frac{1}{2}}}}$ является нормой в X. С другой стороны, каждое банахово пространство можно превратить в п.п.с.п. (в общем, бесконечно многими способами) так, что п.с.п. согласуется с нормой, т.е. ${{\left\langle {x,x} \right\rangle }^{{\tfrac{1}{2}}}} = \left\| x \right\|$ для любого $x \in X$ [1]. В силу теоремы Хана–Банаха это может быть достигнуто формулой $\left\langle {x,y} \right\rangle = {{f}_{y}}(x)$, $x,y \in X$, где для каждого $x \in X$ выбран ограниченный линейный функционал f_x такой, что $\left\| {{{f}_{x}}} \right\| = \left\| x \right\|$ и ${{f}_{x}}(x) = {{\left\| x \right\|}^{2}}$ [1]. Для линейного преобразования T, отображающего п.п.с.п. в себя, мы обозначим W(T) скалярный ранг T, т.е. множество скаляров $\left\{ {\left\langle {Tx,x} \right\rangle |\left\langle {x,x} \right\rangle = 1,x \in X} \right\}$. Пусть T – это линейный оператор в банаховом пространстве $\left( {X,\left\| {\; \cdot \;} \right\|} \right)$. Хотя, вообще говоря, существует много разных п.с.п., согласующихся с нормой $\left\| {\; \cdot \;} \right\|$, тем не менее, если скалярный ранг T относительно одного такого п.с.п. содержится в поле вещественных чисел, то тогда скалярный ранг относительно любого п.с.п. также содержится в поле вещественных чисел, см., например, [1, с. 107]. В этом случае T называется эрмитовым оператором на X.

Пусть $\mathcal{M}$ – полуконечная алгебра фон Неймана, действующая на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ с точным нормальным полуконечным следом τ. Пусть 1 – это единица алгебры $\mathcal{M}$, а $\mathcal{P}(\mathcal{M})$ – это семейство всех проекторов в $\mathcal{M}$. Плотно определенный замкнутый оператор x, присоединенный к $\mathcal{M}$, называется τ-измеримым тогда и только тогда, когда

где ${{e}^{{|x|}}}(n,\infty )$ – спектральный проектор оператора $\left| x \right|$, соответствующий интервалу $(n,\infty )$. Семейство всех τ-измеримых операторов относительно $\mathcal{M}$ обозначается через $S\left( {\mathcal{M},\tau } \right)$. Пусть $x \in S(\mathcal{M},\tau )$. Функция обобщенных сингулярных чисел $\mu (x){\text{:}}\;t \to \mu (t;x)$, $t > 0$, оператора x определена формулой где ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{\infty }}$ обозначает обычную операторную норму [2].

Пусть $E(\mathcal{M},\tau )$ – линейное подмножество в $S(\mathcal{M},\tau )$, снабженное банаховой нормой $\mathop {\left\| {\; \cdot \;} \right\|}\nolimits_E $. Мы говорим, что $E(\mathcal{M},\tau )$ является симметричным пространством, если для $x \in E(\mathcal{M},\tau )$, $y \in S(\mathcal{M},\tau )$ и $\mu (y) \leqslant \mu (x)$ мы имеем $y \in E(\mathcal{M},\tau )$ и $\mathop {\left\| y \right\|}\nolimits_E \leqslant \mathop {\left\| x \right\|}\nolimits_E $ [3].

Частным случаем этого определения является известный класс некоммутативных L_p-пространств ${{L}_{p}}(\mathcal{M},\tau )$, снабженных банаховой нормой ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{p}}$, $1 \leqslant p < \infty $.

Если алгебра фон Неймана $\mathcal{M}$ совпадает с пространством ${{L}_{\infty }}(\Omega ,\Sigma ,\nu )$ всех существенно ограниченных комплекснозначных функций на неатомическом σ-конечном пространстве с мерой $(\Omega ,\Sigma ,\nu )$, то любое симметричное пространство $E(\mathcal{M},\tau )$ идентифицируется с симметричным функциональным пространством $E(\Omega ,\Sigma ,\nu )$.

Описание эрмитовых операторов на симметричных пространствах было известно только для некоторых частных случаев. А именно, в случае, когда $\mathcal{M} = {{L}_{\infty }}(\Omega ,\Sigma ,\nu )$, описание эрмитовых операторов на сепарабельных симметричных пространствах функций $E(\mathcal{M},\tau )$ было получено Зайденбергом [4] (более полная история вопроса содержится в [1]). Когда $E(\mathcal{M},\tau ) = \mathcal{M}$, общий вид эрмитовых операторов на $\mathcal{M}$ был найден Синклером [5]. Когда $\mathcal{M}$ совпадает с алгеброй $B(\mathcal{H})$ всех ограниченных линейных операторов на $\mathcal{H}$ (соответственно, гиперфинитным фактором типа II), эрмитовы операторы на сепарабельном пространстве $E(\mathcal{M},\tau )$ описаны в [6] (соответственно, в [7]).

Следующая теорема дает описание эрмитовых операторов на некоммутативном симметричном пространстве $E(\mathcal{M},\tau )$ для общей полуконечной алгебры фон Неймана.

Теорема 1. Пусть $E(\mathcal{M},\tau )$ – сепарабельное симметричное пространство на неатомической полуконечной алгебре фон Неймана (или атомической алгебре фон Неймана, у которой все атомы имеют один и тот же след) $\mathcal{M}$, действующей на сепарабельном гильбертовом пространство $\mathcal{H}$ с точным нормальным полуконечным следом $\tau $. Предположим, что норма ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{E}}$ не пропорциональна гильбертовой норме ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{2}}$. Ограниченный оператор $T$ на $E(\mathcal{M},\tau )$ является эрмитовым оператором на $E(\mathcal{M},\tau )$ тогда и только тогда, когда существуют самосопряженные операторы $a$ и $b$ в $\mathcal{M}$, такие что

В частности, T может быть расширен до ограниченного эрмитова оператора на алгебре фон Неймана $\mathcal{M}$.

2. ИЗОМЕТРИИ

Одним из фундаментальных вопросов теории симметричных функциональных пространств $E(\Omega ,\Sigma ,\nu )$ является описание общего вида изометрий этих пространств. Изучение этого вопроса было начато Стефаном Банахом [8], который в 1930-х гг. описал общий вид изометрий в L_p-пространствах на пространствах конечной меры. Представления изометрий между более общими комплексными симметричными функциональными пространствами были позже получены Зайденбергом [4] (более полную историю см. в [1]). В частности, Зайденберг показал, что при слабых условиях на функциональные пространства ${{E}_{1}}({{\Omega }_{1}}$, Σ₁, ν₁) и ${{E}_{2}}({{\Omega }_{2}},{{\Sigma }_{2}},{{\nu }_{2}})$ на неатомических σ-конечных пространствах с мерой $({{\Omega }_{1}},{{\Sigma }_{1}},{{\nu }_{1}})$ и $({{a}_{2}},{{\Sigma }_{2}},{{\nu }_{2}})$, соответственно, любая изометрия T между двумя комплексными симметричными функциональными пространствами ${{E}_{1}}({{\Omega }_{1}},{{\Sigma }_{1}},{{\nu }_{1}})$ и ${{E}_{2}}({{\Omega }_{2}},{{\Sigma }_{2}},{{\nu }_{2}})$ имеет следующую элементарную форму:

где ${{T}_{1}}$ – это оператор, индуцированный изоморфизмом регулярных множеств из ${{\Omega }_{1}}$ в ${{\Omega }_{2}}$, и где $h$ – это измеримая функция на ${{\Omega }_{2}}$[1, Theorem 5.3.5].

Некоммутативный вариант теоремы Банаха–Стоуна был получен Кадисоном [9] в 1950-х гг., который показал, что сюръективная изометрия между двумя алгебрами фон Неймана может быть записана как комбинация иорданова $ * $-изоморфизма с последующим умножением на унитарный оператор. Полное описание (для полуконечного случая) изометрий некоммутативных L_p-пространств $1 \leqslant p \ne 2 < \infty $ было получено в 1981 г. Едоном [10]. Суроур [6] описал изометрии сепарабельных симметрично нормированных идеалов в алгебре $B(\mathcal{H})$ всех ограниченных линейных операторов на $\mathcal{H}$. Пользуясь техникой Суроура, описание изометрий на сепарабельных симметричных операторных пространствах, присоединенных к гиперфинитном II факторам, получено в [7]. Однако подход, использованный в [6], опирается на матричное представление компактных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ и неприменим в случае произвольной полуконечной алгебры фон Неймана. В последнем случае были получены лишь частичные результаты. В дополнение к уже цитированным результатам Едона для некоммутативных L_p-пространств общий вид изометрий пространств Лоренца на конечной алгебре фон Неймана был получен в [11] (см. также [12, 13]).

Общее описание сюръективных изометрий между симметричными операторными пространствами получается следующим образом.

Теорема 2. Пусть ${{\mathcal{M}}_{1}}$ и ${{\mathcal{M}}_{2}}$ – алгебры фон Неймана, не имеющие атомов (или же атомические алгебры фон Неймана, атомы которых имеют одинаковый след), с точными нормальными полуконечными следами ${{\tau }_{1}}$ и ${{\tau }_{2}}$ соответственно. Пусть $E({{\mathcal{M}}_{1}},{{\tau }_{1}})$ и $F({{\mathcal{M}}_{2}},{{\tau }_{2}})$ – два сепарабельных симметричных операторных пространства, нормы которых не пропорциональны гильбертовой норме ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{2}}$. Если $T{\text{:}}\;E({{\mathcal{M}}_{1}},{{\tau }_{1}}) \to F({{\mathcal{M}}_{2}},{{\tau }_{2}})$ – сюръективная изометрия, то существуют две последовательности элементов ${{{\text{\{ }}{{A}_{n}}{\text{\} }}}_{{1 \leqslant n < \infty }}} \subset F({{\mathcal{M}}_{2}},{{\tau }_{2}})$ с попарно дизъюнктными правыми носителями и ${{{\text{\{ }}{{B}_{n}}{\text{\} }}}_{{1 \leqslant n < \infty }}} \subset F({{\mathcal{M}}_{2}},{{\tau }_{2}})$ с попарно дизъюнктными левыми носителями, сюръективный иорданов $ * $-изоморфизм $J{\text{:}}\;{{\mathcal{M}}_{1}} \to {{\mathcal{M}}_{2}}$ и центральный проектор $z \in {{\mathcal{M}}_{2}}$ такие, что для любого $x \in E({{M}_{1}},{{\tau }_{1}}) \cap {{\mathcal{M}}_{1}}$ имеем

где ряд сходится по норме пространства $F({{\mathcal{M}}_{2}},{{\tau }_{2}})$.

Если $\mathcal{M}$ имеет атомы с разными следами, то существует симметричное пространство $E(\mathcal{M},\tau )$ (норма которого не пропорциональна ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{2}}$) и изометрия на $E(\mathcal{M},\tau )$, которые не имеют форму (1). Это показывает, что предположение, наложенное на алгебру фон Неймана в теореме 2 является точным.

3. СИММЕТРИЧНАЯ СТРУКТУРА

Пусть C_E – это идеал в $B(\mathcal{X})$, порожденный симметричным пространством последовательностей $E$. Мы говорим, что C_E имеет единственную симметричную структуру, если из изоморфизма C_E некоторому идеалу C_F, порожденному симметричным пространством последовательностей F, следует, что $E = F$ с эквивалентными нормами. На Международной конференции по теории банаховых пространств и ее приложениям в Кенте, Огайо (август 1979 г.), А. Пелчинский поставил следующий вопрос о строении идеалов компактных операторов в $B(H)$ (см. также [14, Вопрос (В)]): Имеет ли идеал C_E, порожденный произвольным сепарабельным симметричным пространством последовательностей E, единственную симметричную структуру?

Предположим, дополнительно, что ${{\left\| e \right\|}_{E}} = 1$ для любого атома $e \in \mathcal{M}$, если $\mathcal{M} = B(\mathcal{H})$ со стандартным следом; ${{\left\| 1 \right\|}_{E}} = 1$, если $\mathcal{M}$ – это II₁-фактор с единственным следовым состоянием. Рассмотрим аналог вопроса Пелчинского для изоморфизмов задаваемых изометриями. Будем говорить, что симметричное пространство $E(\mathcal{M},\tau )$ имеет единственную симметричную структуру с точностью до изометрии, если наличие линейной изометрии между симметричными пространствами $E(\mathcal{M},\tau )$ и $F(\mathcal{M},\tau )$ влечет совпадение пространств $E(\mathcal{M},\tau )$ и $F(\mathcal{M},\tau )$. Следующий результат является некоммутативным аналогом [15, Theorem 1] и отвечает на аналог вопроса Пелчинского сформулированного выше.

Следствие 1. Пусть $\mathcal{M} = B(\mathcal{H})$ со стандартным следом Tr или же $\mathcal{M}$ – это II₁-фактор с единственным точным следовым состоянием τ. Любое сепарабельное симметричное пространство $E(\mathcal{M},\tau )$ на алгебре $(\mathcal{M},\tau )$ имеет единственную симметричную структуру с точностью до изометрии.