Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 10-15

1. В этом сообщении мы приведем некоторые результаты и методы, позволяющие проследить связь между числом внутренних нулей решения самосопряженной граничной задачи четвертого порядка и (отрицательным) индексом инерции этой задачи. Хорошо известны классические результаты такого рода для задачи Штурма–Лиувилля (см., например, [1]), однако для задачи четвертого порядка ситуация является существенно более сложной.

Мы будем рассматривать граничную задачу

где B и C – блочно-диагональные вещественные матрицы порядка 4: удовлетворяющие уравнению где символ B^–1 обозначает взятие полного прообраза. Здесь также использованы вспомогательные обозначения

Возможны три основные степени общности исследования задачи (1), (2). Первая отвечает случаю, когда $p \in {{C}^{2}}[0,1]$, $q \in {{C}^{1}}[0,1]$ и $r \in C[0,1]$, причем функция p положительна. Здесь уравнение (1) понимается непосредственным образом, а решение $y$ ищется среди функций из соболевского пространства $W_{2}^{4}[0,1]$. Именно в такой постановке до сих пор нередко рассматриваются задачи четвертого порядка.

Вторая степень общности отвечает случаю, когда $p,{{p}^{{ - 1}}} \in {{L}_{\infty }}[0,1]$ и $q,r \in {{L}_{1}}[0,1]$, причем функция p по-прежнему положительна. Здесь уравнение (1) понимается как условная запись уравнения $ - ({{y}^{{[3]}}}){\kern 1pt} '\; + ry = 0$, решения которого ищутся в классе функций, подчиненных условиям

Такая трактовка также является классической и изложена в [2, § 15].

Наконец, третья степень общности возникает в ситуации, когда функции $p,{{p}^{{ - 1}}} \in {{L}_{\infty }}[0,1]$ положительны, а прочие коэффициенты представляют собой обобщенные функции $q \in W_{2}^{{ - 1}}[0,1]$ и $r \in W_{2}^{{ - 2}}$[0, 1]. Здесь символом $W_{2}^{{ - k}}[0,1]$, где k = 1, 2, обозначено пространство ограниченных линейных функционалов, действующих на соболевском пространстве $W_{2}^{k}[0,1]$. В этом случае, следуя [3], вводим в рассмотрение пространство

и понимаем под решением задачи (1), (2) функцию $y \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$, удовлетворяющую тождеству

Здесь $\xi \in {{\mathbb{R}}^{4}}$ – произвольно фиксированный вектор со свойством $C\xi = - B{{y}^{ \wedge }}$, где столбец ${{y}^{ \wedge }}$ определен согласно (5). При этом слагаемые в (7) определены корректно, так как $y{\kern 1pt} 'z{\kern 1pt} ' \in W_{2}^{1}$[0, 1] и $yz \in W_{2}^{2}$[0, 1] для всех $y,z \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$. Можно показать, что в случае достаточной гладкости функций p, q и r такое понимание совпадает с указанными выше классическими определениями.

На языке теории операторов сказанное означает, что задаче (1), (2) ставится в соответствие оператор $T{\text{:}}\,\,W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}[0,1]$, который всякую функцию $y \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ переводит в ограниченный линейный функционал $Ty \in W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}[0,1]$, действие которого на произвольную функцию $z \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ задается правилом

Здесь, как и ранее, $C\xi = - B{{y}^{ \wedge }}$, причем в силу условия (4) действие оператора T не зависит от выбора вектора ξ. Решениями задачи (1), (2) при этом являются в точности элементы ядра оператора T.

Отметим, что указанное общее понимание граничных задач четвертого порядка восходит к трактовкам граничных задач второго порядка, предложенным в работах [4, 5]. Далее задачу (1), (2) мы будем понимать в максимально общем, третьем смысле. Как следует из сказанного ранее, при этом все результаты оказываются справедливыми и для более узких классических постановок.

В дальнейшем рассматриваемые пространства предполагаем вещественными, а определенный равенством (8) оператор T предполагаем симметрическим, т.е., удовлетворяющим равенству $\left\langle {Ty,z} \right\rangle $ = = $\left\langle {Tz,y} \right\rangle $ для всех $y,z \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$. Оператор T будем называть положительным (либо неотрицательным), если при любом выборе не обращающейся тождественно в нуль функции $y \in W_{{2,B,C}}^{2}$[0, 1] выполняется неравенство $\left\langle {Ty,y} \right\rangle > 0$ (либо $\left\langle {Ty,y} \right\rangle \geqslant 0$). Индексом инерции оператора T мы, как обычно (см., например, [6]), называем максимальную из размерностей подпространств $\mathfrak{M} \subset W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$, удовлетворяющих условию

2. В этом разделе мы рассмотрим вспомогательную задачу, отвечающую случаю $q \equiv 0$ и r ≤ 0. Последнее неравенство в случае сингулярности функции $r \in W_{2}^{{ - 2}}[0,1]$ означает, что для всякой неотрицательной функции $y \in W_{2}^{2}[0,1]$ выполняется неравенство $\left\langle {r,y} \right\rangle \leqslant 0$. Нетрудно показать, что в этом случае существует неубывающая функция $R \in {{L}_{\infty }}[0,1]$, подчиняющаяся тождеству

Мы выделим класс граничных условий вида (2), характеризуемый следующими двумя предположениями:

А. Никакой набор вещественных чисел ${{a}_{0}} > 0$, ${{a}_{1}} < 0$, ${{a}_{2}} > 0$ и ${{a}_{3}} > 0$ не может удовлетворять равенству

Б. Никакой набор вещественных чисел ${{b}_{0}} > 0$, ${{b}_{1}} > 0$, ${{b}_{2}} > 0$ и ${{b}_{3}} < 0$ не может удовлетворять равенству

Имеет место следующий результат.

Теорема 1. Пусть $q \equiv 0$ и $r \leqslant 0$, причем соответствующая функция $R \in {{L}_{\infty }}[0,1]$ непостоянна в окрестности точек 0 и 1. Пусть также граничные условия (2) удовлетворяют предположениям А и Б. Тогда пространство решений задачи имеет размерность не выше 1. При этом для всякого нетривиального решения $y \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ ни в одной точке $x \in $ (0, 1) не может выполняться пара равенств y(x) = = $y{\kern 1pt} '(x)$ = 0, а также пара равенств $y{\kern 1pt} '(x)\, = \,(py{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')(x)$ = = 0.

3. Одним из основных понятий общей теории осцилляции является понятие ядра Келлога (см., например, [7, Гл. IV, § 3, Теорема 1] или [8]). В случае положительно определенных задач четвертого порядка с распадающимися граничными условиями известно [9], что функция Грина $K(x,s) \rightleftharpoons \langle {{\delta }_{x}},{{T}^{{ - 1}}}{{\delta }_{s}}\rangle $ соответствующего оператора является ядром Келлога в том и только том случае, когда она положительна на открытом квадрате (0, 1) × (0, 1). Используя этот факт и привлекая общие результаты об интегральных уравнениях с ядрами Келлога [7, Гл. IV, § 3, Теоремы 1, 2], получаем следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть оператор T определен согласно (8), а $H{\text{:}}\,\,W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}[0,1]$ – оператор умножения на некоторую положительную¹¹ обобщенную функцию $h \in W_{2}^{{ - 2}}[0,1]$. Пусть оператор $T + H{\text{:}}\,\,W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}[0,1]$ при этом также положителен, а для всех точек $x,s \in (0,1)$ справедливы оценки $\langle {{\delta }_{x}},{{(T + H)}^{{ - 1}}}{{\delta }_{s}}\rangle > 0$. Тогда размерность ядра оператора T не превосходит 1, а число перемен знака всякой нетривиальной функции из указанного ядра совпадает с индексом инерции оператора T.

В общей ситуации проверка положительности функции Грина дифференциального оператора четвертого порядка представляет собой нетривиальную задачу. Для многих целей, однако, оказывается достаточным решение этого вопроса в случае $q \equiv 0$, $r \equiv 0$.

Теорема 3. Пусть $q \equiv 0$ и $r \equiv 0$, граничные условия (2) подчинены условиям А и Б, а соответствующий оператор $T{\text{:}}\,\,W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}[0,1]$ положителен. Тогда функция Грина $K(x,s) \rightleftharpoons \langle {{\delta }_{x}},{{T}^{{ - 1}}}{{\delta }_{s}}\rangle $ положительна на квадрате (0, 1) × (0, 1).

4. В случае, когда функция $h \in W_{2}^{{ - 2}}[0,1]$ не является положительной, утверждение теоремы 2, вообще говоря, теряет силу. Поэтому в ряде конкретных задач оказывается полезной комбинация теоремы 1 с некоторыми более широкими, нежели теорема 2, результатами об операторах, не понижающих числа перемен знака функций. Эти результаты и будут указаны в настоящем разделе.

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть $H{\text{:}}\,\,W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}$[0, 1] – неотрицательный вполне непрерывный оператор, для которого соответствующий оператор T + H положителен. Последовательности сосчитанных с учетом кратности собственных значений $ - 1\, < \,{{\lambda }_{0}}\, \leqslant \,{{\lambda }_{1}}\, \leqslant \,{{\lambda }_{2}}\, \leqslant $ ... линейного пучка $\lambda \mapsto T - \lambda H$ отвечает при этом некоторая последовательность $\{ {{f}_{k}}\} _{{k = 0}}^{\infty }$ собственных функций. Пусть также задан некий ограниченный и ограниченно обратимый оператор $I{\kern 1pt} :\;\mathfrak{H} \to W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$, где $\mathfrak{H}$ – некое гильбертово пространство, непрерывно вложенное в $C[0,1]$. Имеет место следующий результат.

Теорема 4. Пусть оператор ${{I}^{{ - 1}}}{{(T + H)}^{{ - 1}}}HI$: $\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ не повышает число перемен знака никакой функции, и пусть справедливы следующие предположения:

(1) Все неотрицательные собственные значения пучка $\lambda \mapsto T - \lambda H$ являются простыми.

(2) При любом $m \in \mathbb{N}$ со свойством ${{\lambda }_{m}} \geqslant 0$ внутри линейной оболочки набора $\{ {{f}_{k}}\} _{{k = 0}}^{m}$ найдется такая окрестность U функции f_m, что для любой функции $y \in U$ число перемен знака функции ${{I}^{{ - 1}}}y$ не превосходит таковое для функции ${{I}^{{ - 1}}}{{f}_{m}}$.

(3) При $m \in \mathbb{N}$ со свойством ${{\lambda }_{m}} = 0$ найдется подпространство $\mathfrak{M} \subset W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ размерности m + 1, имеющее тривиальное пересечение с ядром оператора H и такое, что для любой функции $y \in \mathfrak{M}$ соответствующая функция ${{I}^{{ - 1}}}y$ имеет не более $m$ перемен знака.

Тогда для всякой нетривиальной функции $y\, \in \,{\text{ker}}T$ число перемен знака соответствующей функции ${{I}^{{ - 1}}}y \in \mathfrak{H}$ совпадает с индексом инерции оператора T.

Кроме тривиального случая, когда оператор $I{\text{:}}\,\,W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ представляет собой отображение тождества, типичными являются следующие две ситуации:

(1) Оператор I осуществляет замену переменной $[Iu](x) \equiv u(\tau (x))$, где функция $\tau \in W_{2}^{2}[0,1]$ имеет всюду положительную производную. Роль пространства $\mathfrak{H}$ при этом играет некоторое подпространство соболевского пространства $W_{2}^{2}[0,1]$.

(2) Пространство $W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ не содержит нетривиальных постоянных функций, а оператор I^–1 является оператором дифференцирования. Роль пространства $\mathfrak{H}$ при этом играет некоторое подпространство соболевского пространства $W_{2}^{1}[0,1]$.

Первая из указанных ситуаций возникает, в частности, в ходе проведения стандартной (см., например, [10, 11, 6, 12 ]) процедуры устранения второго слагаемого левой части уравнения (1). А именно, пусть существует имеющая всюду положительную производную функция $\tau \in W_{2}^{2}[0,1]$ со свойствами $\tau (0) = 0$, $\tau (1) = 1$ и

где ${{\gamma }_{0}},\;{{\gamma }_{1}} \in \mathbb{R}$ – некоторые постоянные. Определим оператор $I{\kern 1pt} :\;\mathfrak{H} \to W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ как действующий согласно правилу $[Iu](x) \equiv u(\tau (x))$. Непосредственное вычисление показывает, что в таком случае оператор $I{\kern 1pt} {\text{*}}TI{\kern 1pt} :\;\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}{\kern 1pt} *$ будет отвечать граничной задаче где $\hat {p} \circ \tau = p \cdot {{(\tau {\kern 1pt} ')}^{3}}$ и $\hat {r} \circ \tau = r \cdot {{(\tau {\kern 1pt} ')}^{{ - 1}}}$, а также

В качестве пространства $\mathfrak{H}$ в этом случае выступает $\mathfrak{H} = W_{{2,\hat {B},\hat {C}}}^{2}[0,1] \subseteq W_{2}^{2}[0,1]$.

Применительно ко второй из указанных выше ситуаций полезен следующий результат (ср. [12]).

Теорема 5. Пусть для любой функции $y \in W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ выполнено равенство $y(0) = 0$, оператор ${{I}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} :\;W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to \mathfrak{H}$ есть оператор дифференцирования, а оператор $H{\kern 1pt} :\;W_{{2,B,C}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{{ - 2}}[0,1]$ действует согласно правилу

где ${{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{1}} \geqslant 0$, а обобщенная функция $h \in W_{2}^{{ - 2}}[0,1]$ не-отрицательна. Пусть также оператор $I{\kern 1pt} {\text{*}}(T + H)I$: $\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ представляет собой положительно определенный оператор Штурма–Лиувилля. Тогда оператор ${{I}^{{ - 1}}}{{(T + H)}^{{ - 1}}}HI$: $\mathfrak{H} \to \mathfrak{H}$ не повышает число перемен знака никакой функции.

5. В качестве первого примера рассмотрим спектральную задачу

являвшуюся предметом изучения в работе [13], где предполагались обычные условия на коэффициенты: $0 < p \in {{C}^{2}}[0,1]$, $0 \leqslant q \in {{C}^{1}}[0,1]$, $r \in C[0,1]$ и $0 < \varrho \in C[0,1]$. Коэффициенты c_k и d_k, где k = 0, 1, 2, при этом также предполагались неотрицательными.

Ввиду неотрицательности функции $q \in C[0,1]$, описанное в разделе 4 преобразование замены переменной $I{\kern 1pt} :\;W_{{2,\hat {B},\hat {C}}}^{2}[0,1] \to W_{{2,B,C}}^{2}[0,1]$ приводит к задаче

с некоторыми коэффициентами ${{\gamma }_{0}},{{\gamma }_{1}} \geqslant 0$. Из теоремы 1 теперь немедленно следует, что все собственные значения $\lambda \in \mathbb{R}$, при которых функция $\lambda \varrho - r$ положительна, являются простыми, а соответствующие им собственные функции имеют внутри интервала $(0,1)$ только простые нули. Из теорем 2 и 3 при выборе $\hat {h} \rightleftharpoons \lambda \hat {\varrho } - \hat {r}$ также следует, что количество этих нулей совпадает с индексом инерции задачи. Эти результаты при указанных выше условиях гладкости коэффициентов и получены в указанной работе [13]. Помимо нового метода доказательства этого результата, приведенные выше теоремы дают возможность распространить его на случай сингулярных коэффициентов.

В качестве второго, более сложного примера рассмотрим спектральную задачу

являвшуюся предметом изучения в работе [14], где предполагалась неотрицательность функции $q \in {{C}^{1}}[0,1]$, а также выполнение соотношений $\omega \in \left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right]$ и $\sigma \rightleftharpoons bc - ad > 0$. Применяя преобразование замены переменной из раздела 4, приходим к задаче с некоторыми коэффициентами θ > 0 и $\eta \geqslant 0$. Теорема 1 при этом автоматически гарантирует простоту любого положительного собственного значения задачи. Положим теперь где δ₁ – дельта-функция с носителем в точке 1. В случае выполнения равенства $c\lambda + d = 0$ либо неравенства $(a\lambda + b) \cdot {{(c\lambda + d)}^{{ - 1}}} \geqslant - \eta {{\theta }^{{ - 1}}}$ из теорем 2 и 3 немедленно получаем факт совпадения количества нулей собственной функции на интервале (0, 1) с индексом инерции задачи.

В случае выполнения неравенства (aλ + b) · · ${{(c\lambda + d)}^{{ - 1}}} < - \eta {{\theta }^{{ - 1}}}$ проведению указанной процедуры может помешать возможность для получаемого оператора $\hat {T} + \hat {H}$ не быть положительным. Поэтому в данном случае следует положить

При ω = π такой оператор $\hat {H}$ не повышает числа перемен знака никакой функции, что позволяет воспользоваться утверждением теоремы 4. При $\omega \ne \pi $ следует выбрать на роль оператора $\hat {I}{\kern 1pt} :\;\mathfrak{H} \to W_{{2,\hat {B},\hat {C}}}^{2}$[0, 1] оператор интегрирования и воспользоваться теоремами 5 и 4. В этом случае с индексом инерции задачи совпадет число внутренних нулей производной $y{\kern 1pt} ' \in W_{2}^{1}[0,1]$ собственной функции. Число же нулей самой собственной функции либо также совпадет с индексом инерции, либо будет меньшим его на 1, в зависимости от знака величины $y(1)y{\kern 1pt} '(1)$.

Следует отметить, что теорема 2.2 работы [14], в которой излагаются результаты для рассматриваемого примера, содержит неточности. А именно, согласно этой теореме, количество положительных собственных значений, для которых число нулей соответствующих собственных функций отлично от индекса инерции, в случае $(a{\text{/}}c) \geqslant 0$ не может превосходить 2. В действительности же это не так. Например, спектральная задача

имеет левее точки λ = 10⁶ десять таких собственных значений. Это проверяется непосредственным анализом поведения решения граничной задачи в зависимости от параметра $\lambda \in (0,{{10}^{6}})$.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование поддержано Российским фондом фундаментальных исследований, грант 19-01-00240.