Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 27-30

1. МОТИВИРОВОЧНЫЕ ПРИМЕРЫ

В работе [1] Д.Л. Буркхольдер применяет метод функции Беллмана, заимствованный из теории оптимального управления, для получения точных L^p-оценок мартингальных преобразований ($1 < p \leqslant 2$). Прежде всего мы приведем два примера операторов, заданных на мартингалах, но при этом не являющихся мартингальными преобразованиями.

Символом “$ \sqsubseteq $” будем обозначать отношение “является диадическим подынтервалом”, а через ${{J}^{ \pm }}$ будем обозначать левую и правую половины интервала J. Рассмотрим систему Хаара

Нетрудно видеть, что для любого $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ можно определить унитарный оператор

который устанавливает взаимно однозначное соответствие между остальные базисные функции Хаара переводит в себя, и при этом обладает свойством

Отметим, что матрица в базисе Хаара, которая определяет действие оператора H_m на первых ${{2}^{{m + 1}}}$ базисных векторах, совпадает с матрицей преобразования Хаара порядка ${{2}^{{m + 1}}}$ со столбцами, переставленными подходящим образом. Как мы увидим ниже, для $1 < p \leqslant 2$ равномерная по $m$ ${{L}^{p}}$-ограниченность операторов H_m может быть установлена в рамках классической теории операторов на мартингалах (“дискретной” версии теории операторов типа Кальдерона–Зигмунда). Однако функция Беллмана, построенная Буркхольдером в [1], не позволяет получить такую ограниченность.

Приведем другой пример. Пусть $\mathcal{W} = {{\left\{ {{{w}_{n}}} \right\}}_{{n \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}}}}$ – стандартно упорядоченная система Уолша. Такая система, состоящая из всех возможных произведений функций Радемахера, по своим свойствам напоминает базис Фурье из экспонент и в определенном смысле может рассматриваться как его дискретный аналог (подробности см., например, в [2, § 4.5]). Одним из примеров, подтверждающих такую аналогию, является следующий результат работы [3], который говорит о том, что неравенство Рубио де Франсиа [4] можно перенести с базиса Фурье на систему Уолша.

Теорема. Пусть $\left\{ {{{f}_{m}}} \right\}$ – не более чем счетный набор функций, спектры Уолша которых лежат в попарно непересекающихся интервалах ${{I}_{m}} \subseteq {{\mathbb{Z}}_{ + }}$:

Если $1 < p \leqslant 2$, то

где константа C_p не зависит от наборов $\left\{ {{{f}_{m}}} \right\}$ и {I_m}.

Доказательство этой теоремы в [3] с помощью комбинаторных рассуждений сводится к проверке L^p-ограниченности оператора, который будет нашим вторым примером. Прежде чем описывать этот оператор, мы приведем два простых и хорошо известных свойства функций Уолша.

1. Для функции $g \in {{L}^{1}}$ ее мартингальные разности ${{{{\Delta }}}_{k}}g$ в стандартной диадической фильтрации совпадают с мультипликаторами Уолша для отрезков ${{\delta }_{0}}\mathop = \limits^{{\text{def}}} \left\{ 0 \right\}$ и ${{\delta }_{k}}\mathop = \limits^{{\text{def}}} \,\{ {{2}^{{k - 1}}}, \ldots ,{{2}^{k}} - 1\} $, k > 0:

2. Для $a,b \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ выполняется “экспоненциальное” свойство ${{w}_{a}}\left( x \right){{w}_{b}}\left( x \right) = {{w}_{{a \dotplus b}}}\left( x \right)$, где $a \dotplus b$ – побитовое XOR (соответствующие биты в двоичном разложении a и b суммируются по модулю 2). Другими словами, имеет место изоморфизм между двумя группами: $\left( {{{\mathbb{Z}}_{ + }}, \dotplus } \right) \cong \left( {\mathcal{W}, \times } \right)$.

Пусть мультииндексы (j, k) пробегают некоторое подмножество $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{Z}_{ + }^{2}$, и пусть числа ${{a}_{{j,k}}} \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ такие, что множества ${{a}_{{j,k}}} \dotplus {{\delta }_{k}}$ попарно не пересекаются и полностью покрывают ${{\mathbb{Z}}_{ + }}$. Мы рассмотрим оператор G, который размещает в этих множествах части спектров Уолша функций из последовательности $f = {{\{ {{f}_{{j,k}}}\} }_{{(j,k) \in \mathcal{A}}}} \in {{L}^{2}}({{l}^{2}})$, а затем собирает то, что получилось, в одну функцию:

Приведенная выше теорема из работы [3] сводится к вопросу об оценке

с константой C_p, зависящей только от p. Так же как и в случае операторов H_m, такая оценка непосредственно вытекает из классической теории операторов на мартингалах, но не следует из результатов Буркхольдера [1].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $h_{J}^{i}\mathop = \limits^{{\text{def}}} \left( {0, \ldots ,~0,~1,~0, \ldots } \right){{h}_{J}}$, где 1 стоит на i-м месте (аналогично определим функции $h_{0}^{i}$). Тогда система ${{\{ h_{0}^{i},h_{J}^{i}\} }_{\begin{subarray}{l} i \in \mathbb{N} \\ J \sqsubseteq \left[ {0,1} \right] \end{subarray} }}$ является ортонормированным базисом для функций f = ${{\left\{ {{{f}_{i}}} \right\}}_{{i \in \mathbb{N}}}} \in {{L}^{2}}({{l}^{2}})$.

Определение 1. Будем говорить, что линейный  ограниченный оператор $T\,:\,{{L}^{2}}({{l}^{2}})\, \to \,{{L}^{2}}$ принадлежит классу $\mathcal{G}({{l}^{2}})$, если для него выполняются следующие условия:

1. Для системы ${{\{ Th_{0}^{i},Th_{J}^{i}\} }_{\begin{subarray}{l} i \in \mathbb{N} \\ J \sqsubseteq \left[ {0,1} \right] \end{subarray} }}$ выполняется равенство Парсеваля: для любой функции $g \in {{L}^{2}}$ имеем

2. Оператор T не увеличивает носители базисных функций: ${\text{supp}}Th_{J}^{i} \subseteq J$ для $J \sqsubseteq \left[ {0,1} \right]$.

Класс $\mathcal{G}$ линейных операторов $T:{{L}^{2}} \to {{L}^{2}}$ определяется аналогично (и проще) – рассматривается базис Хаара без участия индекса $i$ и суммирование производится только по J.

Что касается условия 1, то оно требует от оператора больше, чем L²-ограниченность, но меньше, чем унитарность в L². Условие 2, в свою очередь, совпадает с основным условием теоремы Ганди для фильтрации Хаара (в которой интервалы делятся пополам последовательно слева направо). Мы здесь сошлемся на вариант теоремы Ганди для векторнозначных мартингалов, сформулированный и доказанный в [5, теорема 1] (исходный скалярный вариант теоремы содержится в [6]). Если факт ограниченности мартингальных преобразований рассматривать как дискретный аналог ограниченности преобразования Гильберта, то теорему Ганди можно рассматривать как аналог результата об ограниченности операторов типа Кальдерона–Зигмунда общего вида, а упомянутое выше основное условие из нее – как аналог условия гладкости на ядро оператора. Из теоремы Ганди сразу вытекает равномерная L^p-ограниченность ($1 < p \leqslant 2$) операторов из классов $\mathcal{G}$ и $\mathcal{G}({{l}^{2}})$. С другой стороны, общность условий 1 и 2 в значительной мере приближается к общности условий самой теоремы Ганди.

Теперь заметим, что ${{H}_{m}} \in \mathcal{G}$ и $G \in \mathcal{G}({{l}^{2}})$. Действительно, операторы H_m унитарны и удовлетворяют скалярному варианту условия 2 по построению. Что касается оператора G, то нетрудно убедиться, что система ${{\{ Gh_{0}^{i},Gh_{J}^{i}\} }_{\begin{subarray}{l} i \in \mathbb{N} \\ J \sqsubseteq \left[ {0,1} \right] \end{subarray} }}$ включает в себя ортонормированный базис в L², а остальные ее элементы – нулевые. Условие 2 для оператора G также будет выполнено.

Наша задача – распространить метод Буркхольдера на классы $\mathcal{G}$ и $\mathcal{G}({{l}^{2}})$.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

Пусть $1 < p \leqslant 2$ и $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Перенормируя функции Хаара, можем перенести классы $\mathcal{G}$ и $\mathcal{G}({{l}^{2}})$ на любой интервал $I \sqsubset \mathbb{R}$. Обозначим $\langle {{h}_{I}}\rangle \mathop = \limits^{{\text{def}}} \frac{1}{{\left| I \right|}}\mathop \smallint \limits_I h$. Функция Беллмана, которая позволяет получить оценку для операторов из класса $\mathcal{G}$, определяется следующим образом:

Нетрудно убедиться, что функция B не зависит от выбора интервала I и что для области ${{{{\Omega }}}_{B}}$, состоящей из точек x, для которых супремум берется по непустому множеству, выполняется включение

Определение 2. Будем говорить, что функция $B \in C\left( {{\Omega }} \right)$ принадлежит классу $\mathcal{K}$, если она удовлетворяет граничному условию и геометрическому условию типа вогнутости, которые выглядят следующим образом:

1. Если ${{\left| {{{x}_{1}}} \right|}^{p}} = {{x}_{3}}$, то $B\left( x \right) \geqslant 0$.

2. Если для $x,{{x}^{ \pm }} \in {{\Omega }}$ и ${{\Delta }} \in \mathbb{R}$ выполняется

то

Используя метод беллмановской индукции, можно доказать, что любая такая функция является мажорантой для B.

Теорема 1. Если $B \in \mathcal{K}$, то ${\mathbf{B}}\left( x \right) \leqslant B\left( x \right)$ для всех $x \in {{{{\Omega }}}_{B}}$.

С помощью формулы Тейлора условие типа вогнутости из определения класса $\mathcal{K}$ можно записать в дифференциальной форме:

Здесь мы подразумеваем, что слева вычисляется гессиан в произвольной точке из Ω и что он действует как квадратичная форма на произвольный вектор $\left( {d{{x}_{1}},d{{x}_{2}},d{{x}_{3}},d{{x}_{4}}} \right)$. Опираясь на дифференциальную форму основного условия и используя рассуждения, сходные с теми, которые приведены в [7], мы можем найти конкретного представителя класса $\mathcal{K}$. А именно, для $y \in \mathbb{R}_{ + }^{4}$ положим

Тогда для каждого $1 < p \leqslant 2$ можно подобрать неотрицательные константы t, δ и ${{C}_{p}}$, такие что функция $B\left( x \right) = {{C}_{p}}{{B}_{0}}\left( {{\text{|}}{{x}_{1}}{\text{|}},{{x}_{2}},~{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right)$, $x \in {{\Omega }}$, окажется в классе $\mathcal{K}$. Используя эту функцию, теорему 1 и однородность функции B, нетрудно для операторов $T \in \mathcal{G}$ получить оценку

где

Описанный метод потенциально позволяет вычислить точные константы в L^p-оценках. Для этого нужно найти непосредственно саму функцию B. Авторами данной работы уже установлено, что ${{{{\Omega }}}_{{\text{B}}}} = {{\Omega }}$ и что функция B удовлетворяет свойствам 1 и 2 из определения класса $\mathcal{K}$. Поэтому ее следует искать как поточечный минимум всех функций из этого класса.

Пусть теперь $f = {{\left\{ {{{f}_{i}}} \right\}}_{{i \in \mathbb{N}}}} \in {{L}^{2}}(I,{{l}^{2}})$ и $T \in \mathcal{G}({{l}^{2}})$. Обозначим

где 1 стоит на i-м месте. Под f_I будем понимать последовательность ${{\left\{ {{{{\langle {{f}_{i}}\rangle }}_{I}}} \right\}}_{{i \in \mathbb{N}}}}$, а под ${{\langle gT{{1}_{I}}\rangle }_{I}}$ – последовательность ${{\{ {{\langle gT1_{I}^{i}\rangle }_{I}}\} }_{{i \in \mathbb{N}}}}$. Под модулем вектора из l² будем понимать его l²-норму, а под произведением таких векторов – их скалярное произведение. С этими оговорками все вышесказанное остается дословно верным вплоть до L^p-оценки оператора $T \in \mathcal{G}({{l}^{2}})$. Подчеркнем, что x₁ и $d{{x}_{1}}$ – теперь векторы из l², а все остальные переменные остаются скалярными (включая ${{y}_{1}}$ из определения функции B₀).