Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 502, № 1, стр. 42-45

1. Проекционные статистические оценки. Рассматривается последовательность полиномов, ортонормированных с весом $p(x)$:

Известные (см., например, [1–3]) статистические проекционные оценки представим в виде

Здесь $\xi $ – случайная величина, которая в случае оценки плотности $\varphi $ моделируется согласно $\varphi $. Если же $\varphi $ – искомое решение интегрального уравнения 2-го рода, то $\xi $ – траектория моделируемой цепи Маркова “столкновений”, а $\{ {{\tilde {a}}_{i}}(\xi )\} $ – “оценки по столкновениям” специального вида (см. далее); N – объем выборки. Заметим, что детерминированный вариант разложения по полиномам Эрмита со значением $\alpha = 0.5$ представлен в [4].

Настоящая работа ориентирована в основном на решение интегральных уравнений $\varphi = K\varphi + f$ с субстохастическим ядром $k(x{\kern 1pt} ',x) \geqslant 0$, причем $\int k(x{\kern 1pt} ',x)dx \leqslant \rho < 1$, f – плотность распределения. В случае аналогового (прямого) моделирования [5] оценка по столкновениям имеет вид ξ = $\sum\limits_{k = 0}^{{{N}_{c}}} h({{x}_{k}})$, где $\{ {{x}_{k}}\} $ – обрывающаяся с вероятностью единица цепь Маркова с характеристиками $f(x),k(x{\kern 1pt} ',x)$ [5]. Известно следующее утверждение (см., например, [5]).

Лемма 1. Если $h \in {{L}_{\infty }}$, то в случае аналогового моделирования

Лемма 1 показывает, что использование проекционной оценки с $\alpha = 1$ для неограниченного интервала $X$ нецелесообразно.

На основе леммы 1 доказывается

Лемма 2. Если ${{p}^{{1 - \alpha }}}(x)|{{\Psi }_{i}}(x)|\,\, \leqslant {{C}_{{i,\alpha }}} < + \infty $, то в случае прямого моделирования

Оптимизация оценки $\tilde {\varphi }(z)$ (точнее, минимизация ее среднеквадратической погрешности, как в математической статистике) возможна в норме с весом ${{p}^{{1 - 2\alpha }}}(x)$, так как при этом по аналогии с [1] имеем

В случае бесконечного интервала X при существовании липшицируемой производной функции $\varphi $ в [3] для разложения по полиномам Эрмита получена оценка ${{\delta }_{2}}(m) \lesssim {{c}_{2}}{\text{/}}m$, которую, предположительно, можно перенести на полиномы Лагерра.

Несложно доказать следующее утверждение.

Лемма 3. Если

Следовательно, в случае приближенного выполнения равенств (1), определять ${{m}_{{opt}}}$ можно на основе уравнения ${{\delta }_{1}}(m) = {{\delta }_{2}}(m)$. При этом, согласно лемме 3, выполняются соотношения

Отметим, что рассматриваемые проекционные алгоритмы распространяются на оценки функциональных зависимостей в многомерных задачах, как, например, в рассматриваемой далее тестовой задаче для оценки осредненного решения.

2. Тестовая задача. В качестве тестовой рассматривалась задача об оценке плотности $\varphi (z)$ столкновений частицы в полубесконечном слое $z \geqslant 0$ рассеивающего и поглощающего вещества для источника столкновений с плотностью $f({{z}_{1}},{{z}_{2}},z;\omega ) = {{e}^{{ - z}}}\delta ({{z}_{1}} - 0)\delta ({{z}_{2}} - 0)\delta (\omega - {{\omega }_{0}}),$ $z > 0$, где ${{\omega }_{0}} = (0,0,1)$ – направление скорости частицы, вызывающей начальное столкновение.

Параметры среды: коэффициент ослабления $\sigma = 1$, вероятность рассеяния ${{\sigma }_{s}}{\text{/}}\sigma = 0.9$, вероятность поглощения ${{\sigma }_{c}}{\text{/}}\sigma = 0.1$, индикатриса рассеяния Хеньи–Гринстейна:

Средний косинус угла рассеяния ${{\mu }_{0}} = 0.9$.

Отметим, что при $\sigma \equiv 1$ осредненная по ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ плотность столкновений φ(z) = $\int \int \int \Phi ({{z}_{1}},{{z}_{2}},z;\omega )d{{z}_{1}}d{{z}_{2}}d\omega $, где $\Phi $ – интенсивность излучения. Таким образом, фактически рассматривается задача, близкая к проблеме Милна [6]. Для данных параметров довольно высокую точность имеет транспортное приближение [6], которое дает для $\varphi (z)$ следующую асимптотическую оценку:

Полагая $p(z) = {{\varphi }_{{as}}}(z)$, получаем соответствующую последовательность полиномов Лагерра [7]:

Было реализовано статистическое модели-рование [5] с целью оценки коэффициентов ${{a}_{i}},i = 1$, ..., 200, для вариантов с $\alpha = 0,\frac{1}{2},1$, т.е. для проекционных представлений вида:

Анализ результатов показал, что соотношение ${{\delta }_{2}}(m) \approx {{C}_{2}}{\text{/}}m$ здесь выполняется. Было реализовано 30 независимых оценок по $N = {{10}^{6}}$ траекториям. На их основе путем уравнивания ${{\delta }_{1}}(m)$ и ${{\delta }_{2}}(m)$ были получены приближенные значения ${{m}_{{opt}}}$ и $\delta ({{m}_{{opt}}})$. В табл. 1 эти результаты обозначены через eq.

Были также получены оценки ${{m}_{{opt}}}$ и $\delta ({{m}_{{opt}}})$ по формулам (2), с помощью осреднения коэффициентов: ${{C}_{1}}$ в интервале $0 \leqslant m \leqslant 20$, ${{C}_{2}}$ в интервале $10 \leqslant m \leqslant 20$ для α = 1 и ${{C}_{1}}$ в интервале $0 \leqslant m \leqslant 40$, ${{C}_{2}}$ в интервале $20 \leqslant m \leqslant 40$ для $\alpha = 0,0.5$. В табл. 1 эти значения обозначены через Л3.

Сравнение оценок (1), (2), (3) в интервале $0 \leqslant z \leqslant 2$ дано графически на рис. 1. На этом же рисунке приведены значения локальной оценки $\varphi (z)$ (в точках ${{z}_{k}} = 0,0.1,0.2,...,10$), которые были получены подсчетом числа пересечений частицами соответствующих плоскостей с весом $1{\text{/|}}{{\omega }_{z}}{\text{|}}$ [5] для ${\text{|}}{{\omega }_{z}}{\text{|}} > 0.001$. При этом дисперсия оценки конечная, а относительное смещение не превосходит 0.1%, как и среднестатистическое уклонение в результате моделирования ${{10}^{8}}$ траекторий.

Рис. 1.

Графики локальной и проекционных оценок в интервале $0 \leqslant z \leqslant 2$.

Кроме того, были вычислены ${{L}_{2}}$-нормы разности локальной и проекционных оценок для интервала $0 < z < 10$:

1) $0.00535$, 2) $0.00539$, 3) $0.00752$.

Эти оценки и графики, с учетом леммы 2 показывают предпочтительность здесь проекционной оценки с $\alpha = 0.5$, так как дополнительные расчеты показали, что она несколько более устойчива по отношению к выбору базовой плотности $p(z)$, сравнительно с вариантом $\alpha = 0$ и особенно с вариантом α = 1. Практически может быть так же важно, что эта оценка допускает оптимизацию в стандартной ${{L}_{2}}$-метрике.

Таблица 2 показывает влияние выбора плотности $p(z)$ на оценку с $\alpha = 0.5$. Здесь $\delta ({{m}_{{opt}}})$ минимизируется при $\lambda \approx 1{\text{/}}3.8$, в связи с тем, что плотность $\varphi (z)$ убывает существенно сильнее, чем ${{\varphi }_{{as}}}(z)$ в нижней части слоя.

Отметим, что представленные в табл. 1, 2 соотношения результатов для разных значений параметров $\alpha $ и $\lambda $ получены на одном и том же ансамбле траекторий, что существенно повышает их статистическую значимость.