Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 5-10
О СУЩЕСТВОВАНИИ B-КОРНЕВЫХ ПОДГРУПП НА АФФИННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
Р. С. Авдеев 1, *, В. С. Жгун 1, 2, **
1 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия
2 Федеральный научный центр “Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук”
Москва, Россия
* E-mail: suselr@yandex.ru
** E-mail: zhgoon@mail.ru
Поступила в редакцию 22.12.2021
После доработки 22.12.2021
Принята к публикации 28.12.2021
- EDN: KAEIBX
- DOI: 10.31857/S2686954322020059
Аннотация
Пусть $X$ – неприводимое аффинное алгебраическое многообразие, являющееся сферическим относительно действия связной редуктивной группы G. В настоящей работе приведены достаточные условия, сформулированные в терминах комбинаторики весов, для существования на $X$ однопараметрических аддитивных действий, нормализуемых борелевской подгруппой $B \subset G$. В качестве приложения доказано, что всякий G-инвариантный простой дивизор в $X$ можно соединить с открытой G-орбитой при помощи подходящего $B$-нормализуемого однопараметрического аддитивного действия.
1. Пусть X – неприводимое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{K}$ нулевой характеристики, снабженное действием связной редуктивной алгебраической группы G. Всякое нетривиальное регулярное действие на X аддитивной группы ${{\mathbb{G}}_{a}} = (\mathbb{K}, + )$ индуцирует алгебраическую подгруппу в группе автоморфизмов ${\text{Aut}}(X)$, называемую ${{\mathbb{G}}_{a}}$-подгруппой. Для произвольной ${{\mathbb{G}}_{a}}$-подгруппы $H$ на X всякий ненулевой элемент одномерной алгебры Ли ${\text{Lie}}(H)$ естественным образом задает локально нильпотентное дифференцирование (кратко ЛНД) $\partial $ на алгебре регулярных функций $\mathbb{K}[X]$, причем в случае квазиаффинного X подгруппа H может быть восстановлена при помощи взятия экспоненты от $\partial $.
В настоящей работе нас будут интересовать ${{\mathbb{G}}_{a}}$‑подгруппы на X, нормализуемые действием борелевской подгруппы $B \subset G$. Следуя работе [1], мы называем такие ${{\mathbb{G}}_{a}}$-подгруппы $B$-корневыми подгруппами на X. Для всякой $B$-корневой подгруппы H на $X$ присоединенное действие группы $B$ на ${\text{Lie}}(H)$ сводится к умножению на характер группы $B$, который мы обозначим через ${{\chi }_{H}}$ и будем называть весом H. Если $\partial $ – локально нильпотентное дифференцирование на $\mathbb{K}[X]$, соответствующее H, то $\partial $ также нормализуется группой $B$, причем с тем же весом ${{\chi }_{H}}$.
2. Всюду далее будем предполагать, что многообразие X является сферическим, т.е. оно нормально и обладает открытой $B$-орбитой. Обозначим через ${{\mathcal{D}}^{B}}$ (соответственно ${{\mathcal{D}}^{G}}$) конечное множество всех $B$-инвариантных (соответственно $G$‑инвариантных) простых дивизоров в X. Элементы множества $\mathcal{D} = {{\mathcal{D}}^{B}}{{\backslash }}{{\mathcal{D}}^{G}}$ традиционно называются красками сферического многообразия X.
Напомним известное разделение красок в X на три типа (см. [2, 3]). Зафиксируем произвольную краску $D \in \mathcal{D}$. Для нее в группе $G$ всегда можно выбрать минимальную параболическую подгруппу $Q \supset B$ с условием $QD \ne D$. Для каждой подгруппы $F \subset Q$ обозначим через $\bar {F}$ ее образ в $Q{\text{/}}{{Q}_{r}}$, где ${{Q}_{r}}$ – разрешимый радикал в Q. Выберем произвольную точку $z$ из открытой $B$-орбиты в $X$ и обозначим через ${{Q}_{z}}$ ее стабилизатор в Q. Заметим, что $Qz \cap D \ne \emptyset $. Поскольку ${{Q}_{r}} \subset B$, естественный морфизм
факторизации по ${{Q}_{r}}$ индуцирует сохраняющую коразмерности биекцию между $B$-орбитами в Qz и $\bar {B}$-орбитами в . В частности, содержит открытую $\bar {B}$-орбиту. Поскольку группа $\bar {Q}$ изоморфна либо ${\text{S}}{{{\text{L}}}_{2}}$, либо ${\text{PS}}{{{\text{L}}}_{2}}$, для ${{Q}_{z}}$ имеются следующие три возможности.Тип $(U)$: ${{\bar {Q}}_{z}}$ содержит максимальную унипотентную подгруппу в $\bar {Q}$. В этом случае $Qz{{\backslash }}Bz$ есть одна $B$-орбита коразмерности 1, совпадающая с $Qz \cap D$.
Тип $(T)$: ${{\bar {Q}}_{z}}$ является максимальным тором в $\bar {Q}$. В этом случае $Qz\backslash Bz$ содержит две $B$-орбиты коразмерности 1, одна из которых совпадает с $Qz \cap D$.
Тип $(N)$: ${{\bar {Q}}_{z}}$ является нормализатором максимального тора в $\bar {Q}$. В этом случае $Qz{{\backslash }}Bz$ есть одна $B$-орбита коразмерности 1, совпадающая с $Qz\, \cap \,D$.
Известно, что определенный выше тип не зависит от выбора минимальной параболической подгруппы $Q \supset B$ с условием $QD \ne D$ (см. [3], Prop. 1). Это позволяет корректно определить тип для каждой краски в X.
Замечание 1. Определенные выше типы $(U)$, $(T)$, $(N)$ красок на X совпадают с типами $b$, $a$, $a{\text{'}}$ соответственно в обозначениях Лýны (см. [4, §§2.7, 3.4] или [5, §30.10]).
3. Как следует из [1, Prop. 1.6], для всякой B‑корневой подгруппы H на X существует не более одного дивизора $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$ с условием $HD \ne D$. Следующий результат обобщает [1, Cor. 4.25], где рассматривается частный случай аффинного X.
Предложение 1. Пусть B-корневая подгруппа H на X такова, что $HD \ne D$ для некоторого дивизора $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$. Тогда D либо G-инвариантен, либо является краской типа $(T)$.
Доказательство. Предположим, что D является краской одного из типов $(U)$ или (N), и выберем минимальную параболическую подгруппу $Q \supset B$ с условием $QD \ne D$. Тогда, в обозначениях п. 2, орбита Qz распадается на две $B$-орбиты ${{O}_{1}} = Bz$ и ${{O}_{2}} = O \cap D$. Из обсуждения в [1, § 1.5] вытекает, что в этом случае множество Qz является H-инвариантным, причем каждая H-орбита в Qz изоморфна аффинной прямой ${{\mathbb{A}}^{1}}$ и пересекает O2 ровно в одной точке. Для каждой подгруппы $F \subset Q$ обозначим через $\tilde {F}$ ее образ в $Q{\text{/}}{{Q}_{u}}$, где ${{Q}_{u}}$ – унипотентный радикал в Q. По аналогии с (1), морфизм
(2)
$\varphi :Qz \simeq Q{\text{/}}{{Q}_{z}} \to Q{\text{/}}({{Q}_{z}}{{Q}_{u}}) \simeq \tilde {Q}{\text{/}}{{\tilde {Q}}_{z}}$Тип $(U)$: ${{\tilde {Q}}_{z}}$ содержит максимальную унипотентную подгруппу в $\tilde {Q}$. Тогда в $\tilde {Q}{\text{/}}{{\tilde {Q}}_{z}}$ найдется точка, неподвижная относительно унипотентного радикала ${{\tilde {B}}_{u}}$ группы $\tilde {B}$. Поскольку ${{\tilde {B}}_{u}}$ нормализуется группой $\tilde {B}$ и коммутирует с действием $H$, множество ${{\tilde {B}}_{u}}$-неподвижных точек в $\tilde {Q}{\text{/}}{{\tilde {Q}}_{z}}$ инвариантно относительно обеих групп $\tilde {B}$ и $H$, а значит, оно совпадает со всем $\tilde {Q}{\text{/}}{{\tilde {Q}}_{z}}$. Следовательно, ${{\tilde {B}}_{u}}$ действует на $\tilde {Q}{\text{/}}{{\tilde {Q}}_{z}}$ тривиально – противоречие.
Тип $(N)$: ${{\tilde {Q}}_{z}}$ содержит подгруппу $\tilde {Q}_{z}^{'}$ индекса 2, являющуюся прообразом связной компоненты единицы в ${{\bar {Q}}_{z}}$. Тогда естественный морфизм $\psi :\tilde {Q}{\text{/}}\tilde {Q}_{z}^{'} \to \tilde {Q}{\text{/}}{{\tilde {Q}}_{z}}$ представляет собой неразветвленное двулистное накрытие. Более того, множество ${{\psi }^{{ - 1}}}(\varphi ({{O}_{1}}))$ является открытой $\tilde {B}$-орбитой в $\tilde {Q}{\text{/}}\tilde {Q}_{z}^{'}$, а множество ${{\psi }^{{ - 1}}}(\varphi ({{O}_{2}}))$ распадается на две $\tilde {B}$-орбиты коразмерности 1, которые мы обозначим через ${{D}_{1}}$ и ${{D}_{2}}$. Пусть теперь $y = \varphi (z)$ и ${{\psi }^{{ - 1}}}(y) = \{ {{y}_{1}},{{y}_{2}}\} $. Так как $Hy \simeq {{\mathbb{A}}^{1}}$, то множество ${{\psi }^{{ - 1}}}(Hy)$ является несвязным объединением двух компонент ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$, каждая из которых изоморфно отображается на $Hy$. Без ограничения общности будем считать, что ${{y}_{i}} \in {{Y}_{i}}$ при $i = 1,\;2$. Пусть элемент $b \in \tilde {B}$ таков, что $b{{y}_{1}} = {{y}_{2}}$. Тогда $b \in {{\tilde {B}}_{z}}$ и, значит, $b{{y}_{2}} = {{y}_{1}}$. В силу $\tilde {B}$-инвариантности орбиты $Hy$ получаем, что действие элемента b переставляет множества ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$. С другой стороны, множество ${{\psi }^{{ - 1}}}(Hy \cap \varphi ({{O}_{2}}))$ состоит из двух точек, принадлежащих разным $\tilde {B}$-орбитам – противоречие.
В терминологии [1, § 4.2], $B$-корневая подгруппа $H$ на $X$ называется вертикальной, если она сохраняет открытую $B$-орбиту, и горизонтальной в противном случае. Если $H$ горизонтальна и $HD \ne D$ для некоторого $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$, то будем говорить, что $H$ двигает $D$. В соответствии с предложением 1 горизонтальные $B$-корневые подгруппы можно разделить на два типа.
Определение 1. Пусть $H$ – горизонтальная $B$-корневая подгруппа на $X$, и пусть дивизор $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$ таков, что $HD \ne D$. Если $D \in {{\mathcal{D}}^{G}}$, то назовем $H$ тороидальной. Если $D$ является краской типа $(T)$, то назовем $H$ размывающей.
4. Для всякого подмножества $\mathcal{F} \subset \mathcal{D}$ положим ${{D}_{\mathcal{F}}} = \bigcup\limits_{D \in \mathcal{F}} D $, ${{X}_{\mathcal{F}}} = X{{\backslash }}{{D}_{\mathcal{F}}}$ и обозначим через ${{P}_{\mathcal{F}}}$ стабилизатор в $G$ множества ${{X}_{\mathcal{F}}}$. Тогда ${{P}_{\mathcal{F}}}$ – параболическая подгруппа в $G$, содержащая $B$. Ключевую роль в наших дальнейших рассмотрениях играет теорема о локальной структуре (см. [7, Thm. 2.3, Prop. 2.4], [8, Thm. 1.4]), которая в нашей ситуации формулируется следующим образом.
Теорема 1. Пусть $\mathcal{F} \subset \mathcal{D}$ – произвольное подмножество и $P = L \rightthreetimes {{P}_{u}}$ – разложение Леви группы $P = {{P}_{\mathcal{F}}}$. Тогда существует замкнутое $L$-инвариантное подмногообразие $Z \subset {{X}_{\mathcal{F}}}$, для которого отображение ${{P}_{u}} \times Z \to {{X}_{\mathcal{F}}}$, заданное формулой $(p,z) \mapsto pz$, является $P$-эквивариантным изоморфизмом, где действие $P$ на ${{P}_{u}} \times Z$ определяется по формуле $lu(p,z) = (lup{{l}^{{ - 1}}},lz)$ для всех $l \in L$, $u,p \in {{P}_{u}}$, $z \in Z$. Более того, если $P$ совпадает со стабилизатором открытой $B$-орбиты в $X$, то коммутант группы $L$ действует на $Z$ тривиально.
Ниже нам также понадобится следующее наблюдение.
Предложение 2. Пусть $\mathcal{F} = \mathcal{D}$ или $\mathcal{F}$ = = $\mathcal{D}{{\backslash }}\{ {{D}_{0}}\} $, где ${{D}_{0}}$ – краска типа $(T)$. Тогда группа ${{P}_{\mathcal{F}}}$ совпадает со стабилизатором открытой $B$-орбиты в $X$.
Доказательство. В случае $\mathcal{F} = \mathcal{D}$ утверждение очевидно, поэтому далее считаем $\mathcal{F}$ = = $\mathcal{D}{{\backslash }}\{ {{D}_{0}}\} $ для некоторой краски ${{D}_{0}}$ типа $(T)$. Пусть $Q \supset B$ – произвольная минимальная параболическая подгруппа в G. Тогда условие $Q{{D}_{0}} \ne {{D}_{0}}$ может выполняться только в том случае, если $QD{\text{'}} \ne D{\text{'}}$ для некоторой краски $D{\text{'}} \in \mathcal{D}{{\backslash }}\{ {{D}_{0}}\} $. Значит, если $Q \subset {{P}_{\mathcal{F}}}$, то $Q{{D}_{0}} = {{D}_{0}}$. Поскольку ${{P}_{\mathcal{F}}}$ порождается как группа всеми содержащимися в ней минимальными параболическими подгруппами, мы получаем ${{P}_{\mathcal{F}}}{{D}_{0}} = {{D}_{0}}$, откуда и следует требуемое.
5. С этого момента и до конца работы будем предполагать, что $X$ – аффинное сферическое $G$‑многообразие. Введем некоторые обозначения.
Зафиксируем максимальный тор $T \subset B$ и обозначим через $\mathfrak{X}(T)$ его решетку характеров. Пусть $\Delta \subset \mathfrak{X}(T)$ – система корней группы $G$ относительно $T$ и ${{\Lambda }^{ + }} \subset \mathfrak{X}(T)$ – моноид доминантных весов относительно $B$.
Пусть $M$ (соответственно $\Gamma $) – решетка (соответственно моноид) весов $B$-полуинвариантных рациональных (соответственно регулярных) функций на $X$. В силу аффинности $X$ имеем $M = \mathbb{Z}\Gamma $ (см., например, [5, Prop. 5.14]). Рассмотрим двойственную решетку $N = {\text{Ho}}{{{\text{m}}}_{\mathbb{Z}}}(M,\mathbb{Z})$ и соответствующее рациональное векторное пространство ${{N}_{\mathbb{Q}}} = N{{ \otimes }_{\mathbb{Z}}}\mathbb{Q}$. Естественное спаривание $N \times M \to \mathbb{Z}$ будем обозначать через $\langle \cdot {\kern 1pt} , \cdot \rangle $.
Поскольку в $X$ есть открытая $B$-орбита, для каждого $\lambda \in M$ существует единственная с точностью до пропорциональности $B$-полуинвариантная рациональная функция ${{f}_{\lambda }}$ на $X$ веса $\lambda $. Потребовав, чтобы все такие функции принимали значение 1 в фиксированной точке открытой $B$‑орбиты, будем считать, что ${{f}_{\lambda }}{{f}_{\mu }} = {{f}_{{\lambda + \mu }}}$ для всех $\lambda ,\mu \in M$. Каждый дивизор $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$ определяет элемент $\varkappa (D) \in N$ по формуле $\langle \varkappa (D),\lambda \rangle = {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}({{f}_{\lambda }})$ для всех $\lambda \in M$. В силу нормальности многообразия $X$ имеем
(3)
$\Gamma = \{ \lambda \in M|\langle \kappa (D),\lambda \rangle \geqslant 0\;{\text{для всех}}\;D \in {{\mathcal{D}}^{B}}\} .$В частности, множество $\{ \varkappa (D)|D \in {{\mathcal{D}}^{B}}\} $ порождает строго выпуклый конус в ${{N}_{\mathbb{Q}}}$.
Для каждого строго выпуклого конуса $\mathcal{C} \subset {{N}_{\mathbb{Q}}}$ обозначим через ${{\mathcal{C}}^{1}}$ множество примитивных элементов $\rho $ решетки $N$, для которых луч ${{\mathbb{Q}}_{{ \geqslant 0}}}\rho $ является гранью конуса $\mathcal{C}$. Для каждого $\rho \in {{\mathcal{C}}^{1}}$ определим множество
(4)
$\begin{gathered} {{\Re }_{\rho }}(\mathcal{C}) = \{ \mu \in M|\langle \rho ,\mu \rangle = - 1; \\ \langle \rho {\kern 1pt} ',\mu \rangle \geqslant 0\;{\text{для}}\;{\text{всех}}\;\rho {\kern 1pt} ' \in {{\mathcal{C}}^{1}}{{\backslash }}\{ \rho \} \} . \\ \end{gathered} $Элементы множества $\Re (\mathcal{C}) = \coprod\limits_{\rho \in {{\mathcal{C}}^{1}}} {{{\Re }_{\rho }}} (\mathcal{C})$ называются корнями Демазюра конуса $\mathcal{C}$. Положим
(5)
$\Gamma (\mathcal{C}) = \{ \lambda \in M|\langle x,\lambda \rangle \geqslant 0\;{\text{для}}\;{\text{всех}}\;x \in \mathcal{C}\} $Теорема 2. Пусть $\mathcal{C} \subset {{N}_{\mathbb{Q}}}$ – произвольный строго выпуклый конус.
(a) Множество весов всех T-нормализуемых ЛНД на $A(\mathcal{C})$ есть $\Re (\mathcal{C})$;
(б) Для каждого $\rho \in {{\mathcal{C}}^{1}}$ и каждого $\mu \in {{\Re }_{\rho }}(\mathcal{C})$ существует единственное с точностью до пропорциональности T-нормализуемое ЛНД ${{\partial }_{\mu }}$ на $A(\mathcal{C})$ веса $\mu $, задаваемое формулой
(6)
${{\partial }_{\mu }}({{f}_{\lambda }}) = \langle \rho ,\lambda \rangle {{f}_{\lambda }}{{f}_{\mu }}$6. Пусть $H$ – $B$-корневая подгруппа на $X$ и ${{\mathcal{F}}_{H}} = \{ D \in \mathcal{D}|HD = D\} $. Тогда $H$ сохраняет открытое подмножество ${{X}_{{{{\mathcal{F}}_{H}}}}} \subset X$ и тем самым определяет $B$-нормализуемое ЛНД на алгебре $\mathbb{K}[{{X}_{{{{\mathcal{F}}_{H}}}}}]$. Заметим, что ${{\mathcal{F}}_{H}} = \mathcal{D}$ в случае вертикальной или тороидальной $H$ и ${{\mathcal{F}}_{H}} = \mathcal{D}{{\backslash }}\{ {{D}_{0}}\} $ в случае размывающей $H$, двигающей краску ${{D}_{0}}$ типа $(T)$.
Пусть теперь $\mathcal{F} = \mathcal{D}$ или $\mathcal{F} = \mathcal{D}{{\backslash }}\{ {{D}_{0}}\} $, где ${{D}_{0}} \in \mathcal{D}$ – краска типа $(T)$. Наша цель в данном пункте – описать все $B$-нормализуемые ЛНД на алгебре $\mathbb{K}[{{X}_{\mathcal{F}}}]$.
Применим теорему 1 и сохраним обозначения $Z$, $L$, ${{P}_{u}}$, используемые в этой теореме. Тогда имеется P-эквивариантный изоморфизм ${{X}_{\mathcal{F}}} \simeq {{P}_{u}} \times Z$, по которому мы будем отождествлять эти два многообразия в дальнейшем. Без ограничения общности будем считать, что $L \supset T$. В силу предложения 2 коммутант группы $L$ действует три-виально на $Z$. Поскольку ${{X}_{\mathcal{F}}}$ содержит открытую $B$-орбиту, многообразие $Z$ содержит открытую $T$-орбиту, которую мы обозначим через ${{Z}_{0}}$. Зафиксируем также произвольную точку ${{z}_{0}} \in {{Z}_{0}}$. Обозначим через ${{L}_{0}}$ ядро действия группы $L$ на $Z$ и положим ${{T}_{0}} = T \cap {{L}_{0}}$. Заметим, что $M$ состоит в точности из всех характеров тора $T$, ограничение которых на ${{T}_{0}}$ тривиально.
Для всякого $\lambda \in M$ ограничение функции ${{f}_{\lambda }}$ на подмногообразие $Z$ является $T$-полуинвариантной рациональной функцией, которую мы будем обозначать тем же символом ${{f}_{\lambda }}$. Тогда $\mathbb{K}[Z] = \mathop \oplus \limits_{\lambda \in {{\Gamma }_{Z}}} \mathbb{K}{{f}_{\lambda }}$, где
(7)
${{\Gamma }_{Z}}\, = \,\{ \lambda \, \in \,M|\langle \varkappa (D),\lambda \rangle \geqslant 0\;{\text{для}}\;{\text{всех}}\;D \in {{\mathcal{D}}^{B}}{{\backslash }}\mathcal{F}\} .$Без ограничения общности будем считать, что ${{f}_{\lambda }}({{z}_{0}}) = 1$ для всех $\lambda \in M$.
Рассмотрим присоединенное представление группы L в пространстве ${{\mathfrak{p}}_{u}} = {\text{Lie}}{{P}_{u}}$ и разложим ${{\mathfrak{p}}_{u}}$ в прямую сумму неприводимых L-инвариантных подпространств. Хорошо известно (см. [6, Thm. 0.1]), что все входящие в данное разложение слагаемые попарно неизоморфны как L-модули; пусть $\Omega \subset \Delta $ – множество старших весов этих слагаемых относительно борелевской подгруппы $B \cap L \subset L$. Для каждого $\alpha \in \Omega $ зафиксируем ненулевой вектор ${{e}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{p}}_{u}}$ веса $\alpha $. Действие группы ${{P}_{u}}$ на себе умножениями справа индуцирует действие алгебры Ли ${{\mathfrak{p}}_{u}}$ на алгебре $\mathbb{K}[{{P}_{u}}]$; для каждого $\alpha \in \Omega $ обозначим через ${{\delta }_{\alpha }}$ дифференцирование алгебры $\mathbb{K}[{{P}_{u}}]$, определяемое действием элемента ${{e}_{\alpha }}$. Это дифференцирование $B$-инвариантно веса α, автоматически локально нильпотентно и соответствует действию группы $\{ \exp (t{{e}_{\alpha }})|t \in \mathbb{K}\} $ на ${{P}_{u}}$ умножениями справа. Будем рассматривать ${{\delta }_{\alpha }}$ как ЛНД на всей алгебре $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z] \simeq \mathbb{K}[{{P}_{u}}]{{ \otimes }_{\mathbb{K}}}\mathbb{K}[Z]$, полагая ${{\delta }_{\alpha }}(\mathbb{K}[Z]) = 0$.
Для каждого характера $\mu \in \mathfrak{X}(T)$ положим
(8)
$\begin{gathered} {{\Omega }_{\mu }} = \{ \alpha \in \Omega |{{\left. \mu \right|}_{{{{T}_{0}}}}} = {{\left. \alpha \right|}_{{{{T}_{0}}}}}\} ; \\ \Omega _{\mu }^{0}: = \{ \alpha \in {{\Omega }_{\mu }}|\mu - \alpha \in {{\Gamma }_{Z}}\} . \\ \end{gathered} $Отметим, что условие ${{\left. \mu \right|}_{{{{T}_{0}}}}} = {{\left. \alpha \right|}_{{{{T}_{0}}}}}$ равносильно $\mu - \alpha \in M$.
Теорема 3. Всякое $B$-нормализуемое ЛНД веса $\mu $ на алгебре $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$ имеет вид
(9)
$\sum\limits_{\alpha \in \Omega _{\mu }^{0}} {{c}_{\alpha }}{{f}_{{\mu - \alpha }}}{{\delta }_{\alpha }} + {{\partial }_{Z}},$Доказательство. Пусть $\partial $ – $B$-нормализуемое ЛНД веса $\mu $ на $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$, и пусть ${{\partial }_{Z}}$ – ограничение $\partial $ на подалгебру $\mathbb{K}[Z]$. Далее будем рассматривать ${{\partial }_{Z}}$ как дифференцирование на всей алгебре $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$, полагая ${{\partial }_{Z}}(\mathbb{K}[{{P}_{u}}]) = 0$. Продолжение дифференцирования $\partial - {{\partial }_{Z}}$ на алгебру $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times {{Z}_{0}}]$ задает $B$-полуинвариантное веса $\mu $ векторное поле $\xi $ на гладком многообразии ${{P}_{u}} \times {{Z}_{0}}$. Поскольку группа $B$ действует на ${{P}_{u}} \times {{Z}_{0}}$ транзитивно, $\xi $ однозначно определяется своим значением ${v}$ в точке $(e,{{z}_{0}})$, где $e \in {{P}_{u}}$ – единичный элемент. Так как $\partial - {{\partial }_{Z}}$ действует тривиально на $\mathbb{K}[{{Z}_{0}}]$, то ${v}$ является $B \cap {{L}_{0}}$-полуинвариантным вектором в ${{\mathfrak{p}}_{u}}$ веса ${{\left. \mu \right|}_{{{{T}_{0}}}}}$, а значит, ${v} = \sum\limits_{\alpha \in {{\Omega }_{\mu }}}^{} {{{c}_{\alpha }}{{e}_{\alpha }}} $ для некоторых ${{c}_{\alpha }} \in \mathbb{K}$. С другой стороны, заметим, что дифференцирование $\sum\limits_{\alpha \in {{\Omega }_{\mu }}}^{} {{{c}_{\alpha }}{{f}_{{\mu - \alpha }}}{{\delta }_{\alpha }}} $ на $\mathbb{K}[{{Z}_{0}}]$ также B-полуинвариантно веса $\mu $ и соответствует тому же касательному вектору в точке $(e,{{z}_{0}})$, потому оно совпадает с $\partial - {{\partial }_{Z}}$. Поскольку данное дифференцирование сохраняет алгебру $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$, должно выполняться ${{c}_{\alpha }} = 0$ для всех $\alpha \in {{\Omega }_{\mu }}$ с условием $\mu - \alpha \notin {{\Gamma }_{Z}}$, что и доказывает первое утверждение.
Пусть теперь $\partial $ – дифференцирование на $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$ вида (9). Тогда $\partial $ автоматически B-нормализуемо веса μ, и нам остается проверить, что $\partial $ локально нильпотентно. Поскольку $\mathbb{K}[{{P}_{u}}]$ является рациональным ${{P}_{u}}$-модулем (относительно действия справа), достаточно проверить локальную нильпотентность $\partial $ на произвольном подпространстве вида $V{{ \otimes }_{\mathbb{K}}}\mathbb{K}[Z]$, где $V \subset \mathbb{K}[{{P}_{u}}]$ – конечномерное ${{P}_{u}}$-инвариантное подпространство. Так как образ алгебры ${{\mathfrak{p}}_{u}}$ в $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ нильпотентен, то в $V$ существует флаг подпространств
со свойством ${{\mathfrak{p}}_{u}}{{V}_{i}} \subset {{V}_{{i - 1}}}$ для всех $i = 1,\; \ldots ,\;s$. Отсюда следует, что для всех $i = 1,\; \ldots ,\;s$, $g \in {{V}_{i}}$ и $f \in \mathbb{K}[Z]$ имеем(11)
$\begin{gathered} \partial (gf) = \sum\limits_{\alpha \in \Omega _{\mu }^{0}} {{c}_{\alpha }}{{\delta }_{\alpha }}(g){{f}_{{\mu - \alpha }}}f + g{{\partial }_{Z}}(f) \in \\ \in g{{\partial }_{Z}}(f) + {{V}_{{i - 1}}}{{ \otimes }_{\mathbb{K}}}\mathbb{K}[Z], \\ \end{gathered} $7. Сохраним предположения и обозначения предыдущего пункта. Теперь изучим вопрос, когда $B$-нормализуемое ЛНД на алгебре $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$ сохраняет подалгебру $\mathbb{K}[X]$ и тем самым определяет $B$-корневую подгруппу на всем многообразии X. Пусть $\lambda \mapsto \overline \lambda $ – произвольный оператор проектирования пространства $\mathfrak{X}(T){{ \otimes }_{\mathbb{Z}}}\mathbb{Q}$ на подпространство $M{{ \otimes }_{\mathbb{Z}}}\mathbb{Q}$. Пусть также ${{\mathcal{E}}_{Z}} \subset {{N}_{\mathbb{Q}}}$ – конус, порожденный множеством $\{ \kappa (D)|D \in {{\mathcal{D}}^{B}}{{\backslash }}\mathcal{F}\} $, так что ${{\Gamma }_{Z}} = \Gamma ({{\mathcal{E}}_{Z}})$ в силу (7) и $\mathbb{K}[Z] = A({{\mathcal{E}}_{Z}})$ (см. обозначения в п. 5).
Теорема 4. Существует набор констант $\{ {{C}_{D}}|D \in \mathcal{F}\} $ со следующим свойством: если $\mu \in \mathfrak{X}(T)$ и $\langle {{\nu }_{D}},\bar {\mu }\rangle \geqslant {{C}_{D}}$ для всех $D \in \mathcal{F}$, то всякое $B$-нормализуемое ЛНД на $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$ веса $\mu $ сохраняет $\mathbb{K}[X]$.
Доказательство. Пусть ${{F}_{1}},\; \ldots ,\;{{F}_{k}}$ – фиксированная система порождающих алгебры $\mathbb{K}[X]$. Для каждого $i = 1,\; \ldots ,\;k$ имеем ${{F}_{i}} = \sum\limits_{j = 1}^{{{n}_{i}}} {{{g}_{{ij}}}{{f}_{{{{\lambda }_{{ij}}}}}}} $ для некоторых функций ${{g}_{{ij}}} \in \mathbb{K}[{{P}_{u}}]$ и весов ${{\lambda }_{{ij}}} \in {{\Gamma }_{Z}}$. Если $\partial $ – произвольное дифференцирование алгебры $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$, то $\partial $ сохраняет $\mathbb{K}[X]$ тогда и только тогда, когда ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}(\partial ({{F}_{i}})) \geqslant 0$ для всех $D \in \mathcal{F}$ и $i = 1,\; \ldots ,\;k$.
Чтобы подобрать требуемый набор констант, в силу теоремы 3 для каждого веса $\mu \in \mathfrak{X}(T)$ достаточно потребовать, чтобы каждое слагаемое в сумме (9) сохраняло $\mathbb{K}[X]$.
Для всех $D \in \mathcal{F}$, $i = 1,\; \ldots ,\;k$ и $\alpha \in \Omega _{\mu }^{0}$ при ${{\delta }_{\alpha }}({{F}_{i}}) \ne 0$ имеем
(12)
$\begin{gathered} {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}({{f}_{{\mu - \alpha }}}{{\delta }_{\alpha }}({{F}_{i}})) = {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}({{f}_{{\mu - \alpha }}}) + {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}({{\delta }_{\alpha }}({{F}_{i}})) = \\ = \;\langle {{\nu }_{D}},\bar {\mu }\rangle - \langle {{\nu }_{D}},\bar {\alpha }\rangle + {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}({{\delta }_{\alpha }}({{F}_{i}})). \\ \end{gathered} $Если ${{\partial }_{Z}} \ne 0$, то по теореме 2 имеем $\mu \in {{\Re }_{\rho }}({{\mathcal{E}}_{Z}})$ для некоторого $\rho \in \mathcal{E}_{Z}^{1}$ (в частности, $\mu \in M$ и $\bar {\mu } = \mu $) и существует такая ненулевая константа $c \in \mathbb{K}$, что ${{\partial }_{Z}}({{f}_{\lambda }}) = c\langle \rho ,\lambda \rangle {{f}_{\lambda }}{{f}_{\mu }}$ для всех $\lambda \in {{\Gamma }_{Z}}$. Тогда для всех $D \in \mathcal{F}$ и $i = 1,\; \ldots ,\;k$ при ${{\partial }_{Z}}({{F}_{i}}) \ne 0$ имеем
(13)
$\begin{gathered} {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}({{\partial }_{Z}}({{F}_{i}})) = {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}\left( {\sum\limits_{j = 1}^{{{n}_{i}}} \langle \rho ,{{\lambda }_{{ij}}}\rangle {{g}_{i}}{{f}_{{{{\lambda }_{{ij}}}}}}{{f}_{\mu }}} \right) = \\ = \;\langle {{\nu }_{D}},\overline \mu \rangle + {\text{or}}{{{\text{d}}}_{D}}\left( {\sum\limits_{j = 1}^{{{n}_{i}}} \langle \rho ,{{\lambda }_{{ij}}}\rangle {{g}_{i}}{{f}_{{{{\lambda }_{{ij}}}}}}} \right) \geqslant \\ \end{gathered} $Остается заметить, что все выражения в (12) и (13) будут неотрицательны при подходящем выборе искомых констант.
8. Выведем несколько следствий из теорем 3 и 4.
Следствие 1. Все $B$-нормализуемые ЛНД на $\mathbb{K}[X]$ одного веса образуют конечномерное векторное пространство над $\mathbb{K}$.
Доказательство. В силу [1, Prop. 4.22] любые две горизонтальных B-корневых подгруппы на X одного и того же веса $\mu $ двигают один и тот же дивизор $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$. Следовательно, в условиях п. 6 можно подобрать такое подмножество $\mathcal{F} \subset \mathcal{D}$, что все B-корневые подгруппы на X веса $\mu $ сохраняют ${{X}_{\mathcal{F}}}$. По теоремам 3 и 2 все B-нормализуемые ЛНД на $\mathbb{K}[{{X}_{\mathcal{F}}}]$ веса $\mu $ образуют конечномерное векторное пространство. Условие сохранения подалгебры $\mathbb{K}[X]$ выделяет подпространство в данном векторном пространстве.
Пусть $\mathcal{E} \subset {{N}_{\mathbb{Q}}}$ – конус, порожденный множеством $\{ \varkappa (D)|D \in {{\mathcal{D}}^{B}}\} $, так что $\Gamma = \Gamma (\mathcal{E})$ в силу (3).
Следствие 2. Пусть $D \in {{\mathcal{D}}^{B}}$, причем либо $D \in {{\mathcal{D}}^{G}}$, либо D является краской типа $(T)$. Предположим, что существует элемент $\rho \in {{\mathcal{E}}^{1}}$ с условиями $\varkappa (D) \in {{\mathbb{Q}}_{{ \geqslant 0}}}\rho $ и $\varkappa (D{\text{'}}) \notin {{\mathbb{Q}}_{{ \geqslant 0}}}\rho $ для всех $D{\text{'}} \in {{\mathcal{D}}^{B}}{{\backslash }}\{ D\} $. Тогда существует B-корневая подгруппа на $X$, двигающая D.
Доказательство. Положим $\mathcal{F} = \mathcal{D}$ при $D \in {{\mathcal{D}}^{G}}$ и $\mathcal{F} = \mathcal{D}{{\backslash }}\{ D\} $ иначе. Сохраним обозначения пп. 6 и 7. Поскольку $\rho \in {{\mathcal{E}}_{Z}}$ и ${{\mathcal{E}}_{Z}} \subset \mathcal{E}$, имеем $\rho \in \mathcal{E}_{Z}^{1}$. Выберем любой элемент $\mu \in {{\Re }_{\rho }}({{\mathcal{E}}_{Z}})$ и рассмотрим B-нормализуемое ЛНД ${{\partial }_{\mu }}$ на $\mathbb{K}[{{P}_{u}} \times Z]$ веса $\mu $, действующее тривиально на $\mathbb{K}[{{P}_{u}}]$ и по формуле (6) на $\mathbb{K}[Z]$. Из условия следует, что существует вес $\lambda \in \Gamma $ со свойствами $\langle \rho ,\lambda \rangle = 0$ и $\langle \varkappa (D{\text{'}}),\lambda \rangle > 0$ для всех $D{\text{'}} \in \mathcal{F}$. Тогда для всех целых $N > 0$ имеем $N\lambda + \mu \in {{\Re }_{\rho }}({{\mathcal{E}}_{Z}})$. По теореме 4 найдется такое значение ${{N}_{0}}$, что при всех $N \geqslant {{N}_{0}}$ ЛНД ${{\partial }_{{N\lambda + \mu }}} = {{f}_{{N\lambda }}}{{\partial }_{\mu }}$ сохраняет подалгебру $\mathbb{K}[X]$ и тем самым определяет $B$-корневую подгруппу на X. Эта $B$-корневая подгруппа двигает $D$ в силу [1, Prop. 4.22].
Ввиду [1, Prop. 3.9] всякий дивизор $D \in {{\mathcal{D}}^{G}}$ автоматически удовлетворяет условию следствия 2. Отсюда вытекает следующий результат, который был сформулирован в качестве гипотезы в [1, Conj. 4.29].
Следствие 3. Для всякого $D \in {{\mathcal{D}}^{G}}$ существует $B$-корневая подгруппа на X, двигающая D.
Список литературы
Arzhantsev I., Avdeev R. Root subroups on affine spherical varieties. 2021. Preprint arXiv:2012.02088v2
Knop F. On the set of orbits for a Borel subgroup // Comment. Math. Helv. 1995. V. 70. № 2. P. 285–309.
Brion M. On orbit closures of spherical subgroups in flag varieties // Comment. Math. Helv. 2001. V. 76. № 2. P. 263–299.
Luna D. Grosses cellules pour les variétés sphériques. In: Algebraic Groups and Lie Groups. Austral. Math. Soc. Lect. Ser. 9. Cambridge Univ. Press, Cambridge. 1997. P. 267–280.
Timashev D.A. Homogeneous spaces and equivariant embeddings. Encycl. Math. Sci. V. 138. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2011.
Kostant B. Root systems for Levi factors and Borel-de Siebenthal theory. In: Symmetry and spaces. Birkhauser Boston, 2010. P. 129–152.
Knop F. The asymptotic behavior of invariant collective motion // Invent. Math. 1994. V. 116. № 1. P. 309–328.
Brion M., Luna D., Vust Th. Espaces homogénes sphériques // Invent. Math. 1986. V. 84. № 3. P. 617–632.
Liendo A. Affine $\mathbb{T}$-varieties of complexity one and locally nilpotent derivations // Transform. Groups. 2010. V. 15. № 2. P. 389–425.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления