Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 100-104

1. Автономный объект t движется с постоянной по величине скоростью ${{V}_{t}}$ по кратчайшей траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$, последовательно огибающей выпуклые попарно непересекающиеся множества из заданного набора $\left\{ {{{G}_{i}}} \right\}_{1}^{k}$. Порядок обхода множеств диктуется требованием минимума длины траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$. Начальная и конечная точки ${{t}_{*}},~t{\text{*}}$ траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$ лежат вне $ \cup {{G}_{i}}$. Задача наблюдателя $f = {{f}_{\tau }}$ – поиск траектории ${{\mathcal{T}}_{f}}$, позволяющей ему двигаться с возможно малой скоростью $V\left( {{{f}_{\tau }}} \right)$ и держать объект $t = {{t}_{\tau }}$ в поле зрения в каждый момент времени $\tau $ на заданном фиксированном расстоянии $\delta > 0$, позволяющей, в частности, реализовать взаимно однозначное отображение $t\, \to \,f(t)$, $t \in {{\mathcal{T}}_{t}}$, $f\left( t \right) \in {{\mathcal{T}}_{f}}$, т.е. указать вектор наблюдения $t - f\left( t \right)$. В работе предлагаются варианты траектории ${{\mathcal{T}}_{f}}$ с указанием скоростного режима $V\left( f \right)$ на разных ее участках.

Траектория объекта состоит (см. рис. 1) из набора дуг ${{{{\Delta }}}_{i}} = \widehat {{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{i}},{{{\bar {t}}}_{i}}} \subset \partial {{G}_{i}}$ $\left( {i = 1, \ldots ,k} \right)$, и касательных к ним отрезков ${{{{\Lambda }}}_{i}} = \left[ {{{{\bar {t}}}_{i}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~i + 1}}}} \right]$ $(i\, = \,0, \ldots ,k;~{{\bar {t}}_{0}}\, = \,{{t}_{*}},~~{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~k + 1}}}$ = = t*), где $\partial G$ – граница множества G.

Наблюдателю приходится искать способы движения, учитывающие специфику слежения за объектом, преодолевающим дуги ${{{{\Delta }}}_{i}}$ и отрезки ${{{{\Lambda }}}_{i}}$.

2. Случай пространства ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Считаем, что соседние множества ${{G}_{i}},~{{G}_{{i + 1}}}$ разделяются прямой $\overline {{{{\bar {t}}}_{i}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~i + 1}}}} ~$, содержащей точки ${{\bar {t}}_{i}},~{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~i + 1}}}$.

Простейший способ слежения за объектом, двигающимся по траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$ – движение наблюдателя по траектории

впереди или за объектом с переменным вектором наблюдения $\frac{{{{V}_{t}}}}{{\left| {{{V}_{t}}} \right|}}$ с величиной скорости, зависящей от кривизны траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$. Эта скорость может принимать большие значения даже в случае гладкой траектории. В самом деле, представив фрагменты траекторий ${{\mathcal{T}}_{t}}$ и ${{\mathcal{T}}_{f}}$ графиками функций $t\left( \tau \right),~f\left( \tau \right)$, зависящих от времени $\tau $, получим выражение

содержащее формулу кривизны кривой $t\left( \tau \right)$ в точке $\tau $.

2a) Для отслеживания объекта, движущегося по дуге Δ_i с большой кривизной, в частности, негладкой, можно использовать часть $\mathcal{T}_{t}^{b}$ траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$, “освещенную” пучком лучей, сонаправленных с заданным вектором (наблюдения) b, $~{\text{||}}b{\text{||}} = 1$. Так, в случае i = 1 (см. рис. 2), b = b₁ = = $\frac{{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{2}} - {{{\bar {t}}}_{1}}}}{{{\text{||}}{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{2}} - {{{\bar {t}}}_{1}}{\text{||}}}}$, будет $\mathcal{T}_{t}^{b} = {{{{\Lambda }}}_{0}} \cup {{\Delta }_{i}}$, а в качестве фрагмента траектории наблюдателя предлагается использовать дугу

Наблюдатель ${{f}_{\tau }}$, отслеживая объект t_τ = ${{f}_{\tau }}\, + \,\delta \cdot {{b}_{1}}$, движется с постоянным вектором наблюдения b₁ и постоянной скоростью ${{V}_{f}} = {{V}_{t}}$, вне зависимости от наличия участков большой кривизны и угловых точек дуги Δ₁, а расстояние от ${{f}_{\tau }}$ до ${{t}_{\tau }}$ равно $\delta $, и в этом преимущество дуги (3). Но после преодоления дуги (3) наблюдатель оказывается в позиции ${{\bar {f}}_{1}}$, позади объекта $t = {{\bar {t}}_{1}}$ (см. рис. 2), которая выгодна ему лишь, когда дуга Δ₂ имеет малую кривизну. Сказанное справедливо для любого вектора наблюдения

В случае i > 1 для слежения за объектом, преодолевающим дугу Δ_i, предлагается (см. рис. 2 для i = 2) два варианта траектории ${{\mathcal{T}}_{f}}$:

2b) дуга $\mathcal{T}_{f}^{{i,i + 1}}$, составленная из фрагментов двух дуг

а именно

2c) $\mathcal{T}_{f}^{{i,i + 1}}$ – совокупность точек f на отрезках [t, q], $f - t = \delta $, где $q = \overline {{{{\bar {t}}}_{{i - 1}}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~i}}}} \cap \overline {{{{\bar {t}}}_{i}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~i + 1}}}} $, $t \subset \partial {{G}_{i}}$, $\left( {t,q} \right) \cap {{G}_{i}} = \emptyset $.

В случае 2b) векторами наблюдения являются $\left( {1 - \lambda } \right){{b}_{i}} + \lambda {{b}_{{i + 1}}}$ $\left( {0 \leqslant \lambda \leqslant 1} \right)$, а в случае 2c) – векторы $t - f$. Нетрудно видеть, что $V\left( {{{f}_{\tau }}} \right) \leqslant {{V}_{t}}$. Если отрезки ${{{{\Lambda }}}_{{i - 1}}},~{{{{\Lambda }}}_{i}}$ параллельны, то наблюдатель движется по дуге $\mathcal{T}_{f}^{{{{b}_{i}}}}$.

Рассмотрим задачу наблюдения за объектом, движущимся по отрезку ${{{{\Lambda }}}_{i}}$ после преодоления им дуги Δ_i в предположении, что дуга Δ_{I+ 1} имеет большую кривизну и выполняются условия

Положим i = 1 и определим ортогональную систему координат $\left( {x,y} \right)$ с началом $\frac{{{{{\bar {t}}}_{1}} + {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~2}}}}}{2}$ и осью абсцисс $\overline {{{{\bar {t}}}_{1}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~2}}}} $. После преодоления дуги $\mathcal{T}_{f}^{{{{b}_{i}}}}$ наблюдатель занимает позицию (см. рис. 2) ${{\bar {f}}_{1}}$ и затем ${{f}^{2}} = {{\bar {t}}_{1}}$, а объект – позицию ${{\bar {t}}_{1}}$ и затем позицию ${{t}^{2}} = {{\bar {t}}_{1}} + ~\delta {{b}_{1}}$ впереди наблюдателя. Далее одновременно движутся объект ${{t}_{\tau }}$ по оси абсцисс до точки ${{t}^{3}} = ({{x}_{0}},0)$, наблюдатель ${{f}_{\tau }}$ по $\delta {{G}_{1}}$ до точки f³ так, что ${\text{||}}{{f}_{\tau }} - {{t}_{\tau }}{\text{||}} = \delta $. Задача наблюдателя на этом этапе в момент прибытия объекта в точку ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}}$, достичь пункт ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }_{{~2}}} = {{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}} + \delta {{b}_{1}}$, опередив объект. Используем следующие два варианта дуги $\widehat {{{f}^{3}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }}_{{~2}}}} \subset {{\mathcal{T}}_{f}}$.

2d) Пусть точка $\left( {0, - {{y}_{0}}} \right)$, ${{y}_{0}} > 0$, такова, что ${{t}^{3}} \in [{{f}^{3}},\left( {0, - {{y}_{0}}} \right)]$ (см. рис. 2). Обозначим ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}} = \left( {X,0} \right)$, $Y = {{y}_{0}} \cdot X \cdot {{\left( {X - {{x}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}$. Для точки $\left( {x,0} \right)$, ${{x}_{0}} \leqslant x < X$, определим число ${{y}_{x}} = Y - \frac{Y}{X}x > 0$ и на луче с вершиной $\left( {0, - {{y}_{x}}} \right)$, содержащем точку (x, 0), отметим точку f(x) такую, что $\left( {x,0} \right) \in \left[ {\left( {0, - {{y}_{x}}} \right),f\left( x \right)} \right]$ и $\left\| {(x,0) - f(x)} \right\|$ = δ. Двигаясь по дуге {f(x) : ${{x}_{0}}\, \leqslant \,x\, \leqslant \,X\} $, наблюдатель следит за объектом $t = (x,0)$. Имеем

что позволяет найти скорость движения наблюдателя по дуге $\left\{ {f\left( x \right):{{x}_{0}} \leqslant x \leqslant X} \right\}$.

2e) Построим кусочно-линейную дугу $\widehat {{{f}^{3}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }}_{{~2}}}}\, \subset \,{{\mathcal{T}}_{f}}$. Зададим $\gamma > 1$ и разобьем отрезок $[{{t}^{3}},{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}}]$ (рис. 3) равномерной сеткой узлов tⁱ на частичные отрезки ${{{{\Delta }}}^{i}} = [{{t}^{{i - 1}}},{{t}^{i}}]$, $i = 1, \ldots ,k$. На каждом отрезке ${{{{\Delta }}}^{i}}$, последовательно, начиная с i = 4, построим параллелограмм с основанием длины $\left| {{\Delta }} \right| = {\text{|}}{{{{\Delta }}}^{i}}{\text{|}}$, боковыми сторонами $[{{t}^{{i - 1}}},{{f}^{{i - 1}}}]$, $[{{t}^{i}},{{g}^{i}}]$ длины $\delta $ и отметим точку fⁱ такую, что

Обозначим через ${{A}^{i}} = {{A}^{i}}\left( {\delta ,\gamma } \right)$ угол между векторами ${{g}^{i}} - {{t}^{i}}$, ${{f}^{i}} - {{t}^{i}}$. Легко устанавливаются

Лемма 1. Для любого $i$ справедливы утверждения:

${{A}^{i}}\left( {\delta ,\gamma } \right) < {{A}^{i}}\left( {\delta ,\gamma '} \right)$ при $\gamma < \gamma '$;

${{A}^{i}}\left( {\delta ',\gamma } \right) < {{A}^{i}}\left( {\delta ,\gamma } \right)$ при $\delta < \delta '$;

${{A}^{i}}\left( {\delta ,\gamma } \right) > 0$ при $\gamma > 1$.

Лемма 2. Для любой $f \in [{{f}^{{i - 1}}},{{f}^{i}}]$ существует единственная точка

такая, что отображение $f \to t\left( f \right)$ взаимно однозначно, непрерывно и сохраняет порядок.

Обратное к (6) отображение обозначается через $f = f\left( t \right)$. С помощью леммы 1 устанавливается, что угол между вектором ${{f}^{i}} - {{t}^{i}}$ и осью абсцисс убывает с ростом i и в некоторой точке $t = {{t}_{\gamma }}$, ломаная $\bigcup\limits_i {[{{f}^{{i - 1}}},{{f}^{i}}]} $ пересекает ось абсцисс, при этом ломаная непрерывно зависит от $\gamma $. Пусть $t = t\left( \gamma \right)$ – ближайшая к началу координат справа точка пересечения ${{t}_{\gamma }}$. Поскольку угол ${{A}^{i}}\left( {\delta ,\gamma } \right)$ – непрерывная монотонная функция от $\gamma $, то найдется единственное значение γ*, при котором $t\left( {\gamma {\text{*}}} \right) = {{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }_{{~2}}}$. Пусть отрезки $[{{f}^{{i - 1}}},{{f}^{i}}]$ построены с использованием числа γ* и i* – номер, при котором $\gamma {\text{*}} \in [{{f}^{{{{i}_{*}}}}},{{f}^{{{{i}_{*}} + 1}}}]$. Дуга $\widehat {{{f}^{3}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }}_{{~2}}}}$ траектории ${{\mathcal{T}}_{f}}$, двигаясь по которой наблюдатель следит за $t \in [{{t}^{3}},{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}}]$, имеет вид

Пусть ${{t}^{i}}{{f}^{i}}{{f}^{{i + 1}}},~~{{t}^{{i + 1}}}$ – один из четырехугольников, использованных при построении кусочно-линейной дуги $\widehat {{{f}^{3}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }}_{{~2}}}}$, и угол $\angle {{f}^{i}}{{f}^{{i + 1}}}{{t}^{{i + 1}}}$ острый. Для точек $t{\text{*}} \in ({{t}^{i}},{{t}^{{i + 1}}})$, $f{\text{*}} = f\left( {t{\text{*}}} \right) \in ({{f}^{i}},{{f}^{{i + 1}}})$ найдем точку q такую, что отрезок $[f{\text{*}},q]$ параллелен оси абсцисс, а отрезок $[q,{{f}^{{i + 1}}}]$ ортогонален отрезку $\left[ {t{\text{*}},f{\text{*}}} \right]$.

Лемма 3. Отображение $t \to f\left( t \right)$, $t \in ({{t}^{i}},{{t}^{{i + 1}}})$ дифференцируемо и

3. Траектория ${{\mathcal{T}}_{f}}$ составлена из дуг $~{{\mathcal{D}}_{{{\Delta }}}},~{{\mathcal{D}}_{{{\Lambda }}}}$, предназначенных для наблюдения за объектом, движущимся по дугам ${{\Delta }} = {{{{\Delta }}}_{i}}$, и, соответственно, отрезкам ${{\Lambda }} = {{{{\Lambda }}}_{i}}$ траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$. Дуга ${{\mathcal{D}}_{{{\Delta }}}}$ может иметь, в частности, вид (1) или (3), а дуга ${{\mathcal{D}}_{{{\Lambda }}}}$ – вид (1), (4) или (7). Пусть

${{\Phi }}$ – совокупность траекторий ${{\mathcal{T}}_{t}}$ указанного вида;

$W({{{{\Delta }}}_{i}})$ – максимум величины скорости наблюдателя $f = t + \delta {{V}_{t}}$, отслеживающего движение объекта по дуге ${{{{\Delta }}}_{i}}$;

$W({{{{\Lambda }}}_{i}})$ – наименьший из максимумов величины скоростей движения наблюдателя по дугам (4), (7) слежения за объектом, преодолевающим отрезок ${{{{\Lambda }}}_{i}}$ после дуги ${{{{\Delta }}}_{i}}$ с большой кривизной;

$W({{\mathcal{T}}_{f}})$ – максимум величины скорости наблюдателя, отслеживающего объект на всей траектории ${{\mathcal{T}}_{t}}$.

Для построения траектории ${{\mathcal{T}}_{f}}$ вычислим величины

используя (2), (4), (8). Пусть $\left| {{{V}_{t}}} \right| = 1$. На нулевом шаге наблюдатель $f = t + \delta {{V}_{t}}$, стартуя в точке ${{t}_{*}} + \delta {{V}_{t}}$, движется до встречи с дугой ${{{{\Delta }}}_{i}}$. На первом шаге наблюдатель следит за движением объекта на объединении ${{{{\Delta }}}_{1}} \cup {{{{\Lambda }}}_{1}}$. Имеем два случая:

В первом случае наблюдатель ${{f}_{\tau }}$, отслеживая двигающийся по ${{{{\Delta }}}_{1}}$ объект ${{t}_{\tau }}$, должен проследовать по дуге $\mathcal{T}_{f}^{{{{b}_{1}}}}$ со скоростью ${{V}_{t}}$, где ${{b}_{1}} = \frac{{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~2}}} - {{{\bar {t}}}_{1}}}}{{{\text{||}}{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~2}}} - {{{\bar {t}}}_{1}}{\text{||}}}}$, а далее из дуг (4), (8) он выбирает дугу с меньшей величиной $W\left( {{{{{\Lambda }}}_{1}}} \right)$, и с нее следит за ${{t}_{\tau }} \in {{{{\Lambda }}}_{1}}$. Во втором случае наблюдатель следует по дуге {f = t + δ · · ${{V}_{t}}:t \in {{{{\Delta }}}_{1}} \cup ~{{{{\Lambda }}}_{1}}\} $. Таким образом, $W({{{{\Delta }}}_{1}} \cup {{{{\Lambda }}}_{1}})$ = = $\mathop {\min }\limits_{} \{ W({{{{\Delta }}}_{1}}),W({{{{\Lambda }}}_{1}})\} $. Первый шаг завершают объект в точке ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}}$, а наблюдатель – в точке ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f} }_{{~2}}} = {{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~2}}} + \delta \cdot {{b}_{1}}$. Такая позиция ${{t}_{\lambda }}$ и ${{f}_{\lambda }}$ выгодна наблюдателю. Второй шаг алгоритма отличается от первого лишь тем, что наблюдатель вместо дуги ${{\mathcal{T}}^{{{{b}_{1}}}}}$ использует дугу ${{\mathcal{T}}^{{1,2}}}$ (см. п. 2b), 2c)). Следующие шаги выполняются по аналогии с первым. Построенную траекторию наблюдателя обозначим через $\mathcal{T}_{f}^{*}$. Имеет место

Теорема. Имеет место равенство

Для двигающегося по траектории $\mathcal{T}_{f}^{*}$ наблюдателя, отслеживающего объект, который преодолевает кратчайшую траекторию ${{\mathcal{T}}_{t}}$ с постоянной скоростью ${{V}_{t}}$, максимум $W({{\Delta }_{i}} \cup {{\Lambda }_{i}})$ величины скорости ${{V}_{f}}~$ удовлетворяет равенству

4. Случай пространства ${{\mathbb{R}}^{3}}$. Для построения дуги, двигаясь по которой наблюдатель может следить за объектом, преодолевающим дугу ${{{{\Delta }}}_{i}} = \widehat {{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~i}}},{{{\bar {t}}}_{i}}}$, найдем точки ${{q}_{j}} \in \overline {{{{\bar {t}}}_{{j - 1}}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~j}}}} $ $\left( {j = i,i + 1} \right)$, на которых достигается расстояние между скрещивающимися прямыми $\overline {{{{\bar {t}}}_{{j - 1}}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~j}}}} $ $\left( {j = i,i + 1} \right)$, и обозначим q = $\frac{{{{q}_{i}}\, + \,{{q}_{{i + 1}}}}}{2}$. Искомая дуга имеет вид $\{ f\, \in \,[t,g]:~{\text{||}}f\, - \,t{\text{||}}\, = \,\delta ,~\,~t\, \in \,{{{{\Delta }}}_{i}}\} $, а $t - f$ – вектор наблюдения. Задачу поиска дуги, с которой наблюдатель может следить за передвигающимся по отрезку ${{{{\Lambda }}}_{{i - 1}}} = \left[ {{{{\bar {t}}}_{{i - 1}}},{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }}_{{~i}}}} \right]$ объектом, можно свести к двумерной, решая ее в плоскости, которая касается множества G_i в точке ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{t} }_{{~i}}}$ и содержит отрезок ${{{{\Lambda }}}_{{i - 1}}}$.