Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 66-70

Пусть X – топологическое пространство, $f:X \to X$ – гомеоморфизм. Непустое подмножество M пространства X называется минимальным множеством гомеоморфизма f, если оно замкнуто, инвариантно относительно f (т.е. $f(M) = M$) и не имеет непустых замкнутых инвариантных подмножеств, отличных от M. Если все пространство X является минимальным множеством гомеоморфизма f, то гомеоморфизм f называется минимальным. Хорошо известными примерами минимальных гомеоморфизмов являются минимальные повороты окружности и минимальные сдвиги на двумерном торе¹¹.

В [13] впервые рассмотрены гомеоморфизмы окружности без периодических точек, топологически несопряженные с минимальным поворотом. Позднее такие диффеоморфизмы (гомеоморфизмы) окружности были названы диффеоморфизмами (гомеоморфизмами) Данжуа. Неблуждающее множество гомеоморфизма Данжуа минимально и гомеоморфно канторову множеству. Кроме того, каждый такой гомеоморфизм полусопряжен с минимальным поворотом и полный прообраз каждой точки окружности относительно полусопрягающего отображения является либо точкой, либо гомеоморфен замкнутому интервалу. Топологическая классификация гомеоморфизмов Данжуа была получена в [9].

В [10–12] рассмотрены отображения двумерного тора, которые обладают свойствами, характерными для гомеоморфизмов Данжуа окружности. Согласно [11], введем следующее определение.

Определение 1. Гомеоморфизм $f\,:\,{{\mathbb{T}}^{2}}\, \to \,{{\mathbb{T}}^{2}}$ называется гомеоморфизмом типа Данжуа, если выполняются следующие условия:

1. f полусопряжен некоторому минимальному сдвигу $g:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ посредством непрерывного гомотопного тождественному отображения $p\,:\,{{\mathbb{T}}^{2}}\, \to \,{{\mathbb{T}}^{2}}$ (т.е. $p \circ f = g \circ p$);

2. Множество $B = \{ x \in {{\mathbb{T}}^{2}}:{{p}^{{ - 1}}}(x)$ содержит более одной точки²²} является непустым и счетным.

Мы будем называть множество $B$ характеристическим множеством гомеоморфизма f. Заметим, что если точка $x \in B$, то все точки ее орбиты относительно отображения $g$ также принадлежат множеству $B$.

Следует отметить, что прямое произведение двух гомеоморфизмов Данжуа окружности не является гомеоморфизмом типа Данжуа двумерного тора.

Пусть $f:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ – гомеоморфизм типа Данжуа. Тогда в силу [11] полный прообраз каждой точки $x \in {{\mathbb{T}}^{2}}$ относительно полусопрягающего отображения p связен и неблуждающее множество гомеоморфизма f является минимальным. Однако в отличие от гомеоморфизмов Данжуа окружности, неблуждающие множества гомеоморфизмов типа Данжуа могут быть не гомеоморфны (в индуцированных топологиях). В настоящей работе выделяется подкласс гомеоморфизмов типа Данжуа двумерного тора (см. определение 2 ниже), неблуждающие множества которых гомеоморфны. Рассматриваемые гомеоморфизмы являются наиболее естественным обобщением гомеоморфизмов Данжуа окружности и допускают полную топологическую классификацию, полученную в теореме 1 ниже.

Определение 2. Гомеоморфизм типа Данжуа $f:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ называется регулярным, если полный прообраз каждой точки его характеристического множества относительно полусопрягающего отображения $p$ является замкнутым вложенным диском³³ и диаметры этих дисков образуют последовательность, сходящуюся к нулю.

В [10] построен частично гиперболический диффеоморфизм h трехмерного тора ${{\mathbb{T}}^{3}}$, который обладает двумерным аттрактором и получен из алгебраического автоморфизма Аносова посредством бифуркации рождения инвариантной кривой (аналогичные конструкции также рассмотрены в [3, 5, 7]). Согласно [10], одномерное ориентируемое неустойчивое слоение диффеоморфизма h имеет глобальную секущую (двумерный тор), и его слои индуцируют на ней отображение Пуанкаре, являющееся регулярным гомеоморфизмом типа Данжуа.

Далее опишем топологические свойства неблуждающих множеств регулярных гомеоморфизмов типа Данжуа, на которых основано доказательство результатов настоящей работы.

Определение 3. Множеством Серпинского на двумерном торе ${{\mathbb{T}}^{2}}$ называется множество S = = ${{\mathbb{T}}^{2}}{{\backslash }}\bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} \,int{\kern 1pt} {{D}_{k}}$, где ${{\{ {{D}_{k}}\} }_{{k \in \mathbb{Z}}}}$ – семейство множеств со следующими свойствами:

1. для каждого $k \in \mathbb{Z}$ множество D_k является замкнутым вложенным диском;

2. $\bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} \,int{\kern 1pt} {{D}_{k}}$ плотно в ${{\mathbb{T}}^{2}}$;

3. ${{D}_{k}} \cap {{D}_{{k'}}} = \emptyset $ при $k \ne k{\kern 1pt} '$;

4. $diam({{D}_{k}})$, $k \in \mathbb{Z}$, образуют последовательность, сходящуюся к нулю.

Пусть $S = {{\mathbb{T}}^{2}}{{\backslash }}\bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} \,int{\kern 1pt} {{D}_{k}}$ – множество Серпинского на двумерном торе ${{\mathbb{T}}^{2}}$. Для каждого $k \in \mathbb{Z}$ обозначим через L_k границу множества D_k. Поскольку D_k – это замкнутый вложенный диск, то L_k – это простая замкнутая кривая. Положим $I = S{{\backslash }}\bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{L}_{k}}$. Каждую точку $x \in I$ назовем внутренней точкой множества S, а множество I – множеством внутренних точек множества S.

Пусть $Q$ – стандартный ковер Серпинского на квадрате $V = [0;1] \times [0;1]$ (построение см., например, в [2], стр. 280–281). Определим на ${{\mathbb{T}}^{2}}$ множество $C$ как $\pi {{|}_{V}}(Q)$, где $\pi {{|}_{V}}$ – это ограничение естественной проекции $\pi :{{\mathbb{R}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ на квадрат $V$. Тогда множество C является множеством Серпинского. Множество внутренних точек множества C обозначим через ${{I}_{C}}$. В силу [4, 14], для любого множества Серпинского $S$ существует гомеоморфизм $\theta :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такой, что $\theta (S) = C$, $\theta (I) = {{I}_{C}}$.

Следующую лемму мы приводим без доказательства.

Лемма 1. Неблуждающее множество регулярного гомеоморфизма типа Данжуа двумерного тора является множеством Серпинского.

Согласно [1], отображение $\varphi :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ называется линейным, если его можно представить как суперпозицию алгебраического автоморфизма и сдвига на двумерном торе.

Пусть ${{f}_{1}},{{f}_{2}}$ – регулярные гомеоморфизмы типа Данжуа двумерного тора такие, что f_j $(j \in \{ 1,2\} )$ полусопряжен минимальному сдвигу ${{g}_{j}}:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ посредством отображения ${{p}_{j}}:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$; пусть ${{B}_{j}}$ – характеристическое множество гомеоморфизма f_j.

Теорема 1. Пусть ${{f}_{1}},{{f}_{2}}$ – регулярные гомеоморфизмы типа Данжуа двумерного тора. Тогда гомеоморфизмы ${{f}_{1}}$ и ${{f}_{2}}$ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда существует линейное отображение $\varphi :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такое, что $\varphi \circ {{g}_{1}} = {{g}_{2}} \circ \varphi $, $\varphi ({{B}_{1}}) = {{B}_{2}}$.

В доказательстве теоремы 1 основным элементом является доказательство достаточности, т.е. построение гомеоморфизма $\psi :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$, который сопрягает гомеоморфизмы ${{f}_{1}}$ и ${{f}_{2}}$ и является модификацией отображения $\varphi $. Изложим схему этого построения, состоящую из пяти шагов.

1. Обозначим через ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$ неблуждающие множества гомеоморфизмов ${{f}_{1}}$ и ${{f}_{2}}$ соответственно, через ${{I}_{1}}$ и ${{I}_{2}}$ – множества внутренних точек множеств ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$ соответственно. Непосредственно проверяется, что ограничение отображения p_j, $j \in \{ 1,2\} $, на множество I_j является гомеоморфизмом I_j на образ ${{p}_{j}}({{I}_{j}})$.

2. Согласно [4, 14], существуют гомеоморфизмы ${{\theta }_{1}}:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ и ${{\theta }_{2}}:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такие, что ${{\theta }_{1}}({{S}_{1}}) = C$, ${{\theta }_{1}}({{I}_{1}}) = {{I}_{C}}$ и ${{\theta }_{2}}({{S}_{2}}) = C$, ${{\theta }_{2}}({{I}_{2}}) = {{I}_{C}}$. Тогда отображение $h:{{I}_{C}} \to {{I}_{C}}$, определенное как h(x) = = ${{\theta }_{2}}(p_{2}^{{ - 1}}(\varphi ({{p}_{1}}(\theta _{1}^{{ - 1}}(x)))))$, где $x \in {{I}_{C}}$, является гомеоморфизмом.

3. Существует гомеоморфизм $\zeta :C \to C$ такой, что $\zeta (x) = h(x)$ для всех $x \in {{I}_{C}}$. Это следует из равномерной непрерывности отображения $h$, доказательство которой мы приводим ниже.

Определим отображение $\kappa :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ следующим образом: $\kappa (x) = {{\theta }_{1}}(p_{1}^{{ - 1}}({{\varphi }^{{ - 1}}}({{p}_{2}}(\theta _{2}^{{ - 1}}(x)))))$, где $x \in {{\mathbb{T}}^{2}}$, под $p_{1}^{{ - 1}}({{\varphi }^{{ - 1}}}({{p}_{2}}(\theta _{2}^{{ - 1}}(x))))$ подразумевается полный прообраз множества ${{\varphi }^{{ - 1}}}({{p}_{2}}(\theta _{2}^{{ - 1}}(x)))$. Заметим, что $\kappa (x) = {{h}^{{ - 1}}}(x)$ для всех $x \in {{I}_{C}}$.

Для каждого натурального числа n обозначим через $Q_{1}^{n},...,Q_{{{{8}^{n}}}}^{n}$ равные квадраты, получаемые на $n$-м шаге построения ковра Серпинского Q (см. [2], стр. 280–281), через $K_{1}^{n},...,K_{{{{8}^{n}}}}^{n}$ соответственно образы квадратов $Q_{1}^{n},...,Q_{{{{8}^{n}}}}^{n}$ под действием отображения $\pi {{|}_{V}}$. Так как $Q \subset \bigcup\limits_{i = 1}^{{{8}^{n}}} Q_{i}^{n}$ (для каждого $n \in \mathbb{N}$), то $C \subset \bigcup\limits_{i = 1}^{{{8}^{n}}} K_{i}^{n}$ (для каждого $n \in \mathbb{N}$).

Зафиксируем $\varepsilon > 0$ и выберем $m \in \mathbb{N}$ $(m \geqslant 2)$ таким образом, что выполняется неравенство: $diam(K_{i}^{m}) < \frac{\varepsilon }{2}$. Для каждого i определим множество $\tilde {K}_{i}^{m}$ следующим образом: $\tilde {K}_{i}^{m} = \kappa (K_{i}^{m})$.

Пусть A и $B$ – множества на двумерном торе ${{\mathbb{T}}^{2}}$. Введем расстояние между множествами A и $B$ следующим образом: $dist(A,B)\, = \,inf\{ \rho (x,y)\,|\,x\, \in \,A,y\, \in \,B\} $, где $\rho $ обозначает расстояние между точками на ${{\mathbb{T}}^{2}}$, индуцированное римановой метрикой.

Для каждого множества $\tilde {K}_{i}^{m}$ определим величину d_i следующим образом: d_i = $\mathop {\min }\limits_j (dist(\tilde {K}_{i}^{m},\tilde {K}_{j}^{m}))$, где $\tilde {K}_{j}^{m}$ – множество, которое не имеет общих точек с множеством $\tilde {K}_{i}^{m}$. Выберем $\delta > 0$ так, что δ < < $\mathop {\min }\limits_{i \in {{{\{ 1,...,8}}^{m}}\} } {{d}_{i}}$. Любые две точки ${{x}_{1}},{{x}_{2}} \in {{I}_{C}}$ такие, что $\rho ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) < \delta $, находятся либо в одном множестве $\tilde {K}_{i}^{m}$, либо в двух разных множествах $\tilde {K}_{i}^{m}$ и $\tilde {K}_{j}^{m}$, имеющих хотя бы одну общую точку. Тогда $h({{x}_{1}})$ и $h({{x}_{2}})$ лежат либо в одном множестве $K_{i}^{m}$, либо в двух разных множествах $K_{i}^{m}$ и $K_{j}^{m}$, имеющих хотя бы одну общую точку. Отсюда и того, что $diam(K_{i}^{m})\, < \,\frac{\varepsilon }{2}$, получаем $\rho (h({{x}_{1}}),h({{x}_{2}})) < \varepsilon $. Таким образом, отображение h является равномерно непрерывным на множестве ${{I}_{C}}$.

4. Определим отображение $\chi :{{S}_{1}} \to {{S}_{2}}$ следующим образом: $\chi (x) = \theta _{2}^{{ - 1}}(\zeta ({{\theta }_{1}}(x)))$, где $x \in {{S}_{1}}$. Тогда выполняются следующие равенства: ${{p}_{2}} \circ {{f}_{2}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{2}}}}}$ = = ${{g}_{2}} \circ {{p}_{2}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{2}}}}} = \varphi \circ {{g}_{1}} \circ {{\varphi }^{{ - 1}}} \circ {{p}_{2}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{2}}}}}$ = $\varphi \circ {{g}_{1}} \circ {{p}_{1}} \circ {{\chi }^{{ - 1}}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{2}}}}}$ = = $\varphi \circ {{p}_{1}} \circ {{f}_{1}} \circ {{\chi }^{{ - 1}}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{2}}}}} = {{p}_{2}} \circ \chi \circ {{f}_{1}} \circ {{\chi }^{{ - 1}}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{2}}}}}$. Таким образом, $\chi \circ {{f}_{1}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{1}}}}} = {{f}_{2}} \circ \chi {{{\text{|}}}_{{{{I}_{1}}}}}$. Из непрерывности отображений $\chi ,{{f}_{1}},{{f}_{2}}$ и плотности ${{I}_{1}}$ в ${{S}_{1}}$ следует, что $\chi \circ {{f}_{1}}{{{\text{|}}}_{{{{S}_{1}}}}} = {{f}_{2}} \circ \chi {{{\text{|}}}_{{{{S}_{1}}}}}$.

5. Из леммы 1 и равенства $\varphi ({{B}_{1}}) = {{B}_{2}}$ следует, что гомеоморфизм $\chi $ продолжается до гомеоморфизма $\psi :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такого, что $\psi \circ {{f}_{1}} = {{f}_{2}} \circ \psi $.

Таким образом, доказательство достаточности условий теоремы 1 завершено.

Из теоремы 1 вытекает следующий результат.

Следствие 1. Пусть ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$ – регулярные гомеоморфизмы типа Данжуа двумерного тора такие, что характеристическое множество каждого из них состоит из одной орбиты. Тогда гомеоморфизмы ${{f}_{1}}$ и ${{f}_{2}}$ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда существует алгебраический автоморфизм $\eta :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такой, что $\eta \, \circ \,{{g}_{1}}\, = \,{{g}_{2}}\, \circ \,\eta $.

Необходимость немедленно следует из теоремы 1. Докажем достаточность.

Пусть ${{O}_{1}}$ и ${{O}_{2}}$ – орбиты, являющиеся характеристическими множествами гомеоморфизмов f₁ и f₂ соответственно. Так как $\eta \circ {{g}_{1}} = {{g}_{2}} \circ \eta $, то $\eta $ переводит орбиты ${{g}_{1}}$ в орбиты ${{g}_{2}}$. Тогда можно выбрать сдвиг $\gamma :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такой, что отображение $\varphi = \gamma \circ \eta $ переводит орбиту ${{O}_{1}}$ в орбиту ${{O}_{2}}$. По построению отображение $\varphi $ является линейным отображением. Также отображение $\varphi $ сопрягает сдвиги ${{g}_{1}}$ и ${{g}_{2}}$. Далее достаточность следует из теоремы 1.

Следуя [8], для любого минимального сдвига g и любого множества $B$, состоящего из $n$ $(n \geqslant 1)$ орбит g, существует регулярный гомеоморфизм типа Данжуа, который полусопряжен сдвигу g и его характеристическое множество совпадает с множеством $B$. Из теоремы 1 и работы [8] следует существование стандартного представителя в каждом классе топологической сопряженности регулярных гомеоморфизмов типа Данжуа с характеристическими множествами, состоящими из конечного числа орбит. Авторам неизвестно, построен ли кем-нибудь пример регулярного гомеоморфизма типа Данжуа с характеристическим множеством, состоящим из счетного числа орбит⁴⁴.

Теорема 2. Для любого минимального сдвига $g:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ и любого натурального числа $n \geqslant 2$ существует континуальное множество попарно топологически несопряженных регулярных гомеоморфизмов типа Данжуа двумерного тора, каждый из которых полусопряжен сдвигу g и имеет характеристическое множество, состоящее из $n$ орбит.

Поясним идею доказательства теоремы 2.

Пусть $g:{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ – минимальный сдвиг и $n \geqslant 2$ – натуральное число. В силу теоремы 1 и работы [8] достаточно показать, что существует континуум множеств ${{B}_{\nu }}$, обладающих следующими свойствами:

1. каждое множество ${{B}_{\nu }}$ является объединением n орбит сдвига g.

2. для любых двух множеств ${{B}_{{{{\nu }_{1}}}}}$ и ${{B}_{{{{\nu }_{2}}}}}$ не существует линейного отображения $\varphi :{{\mathbb{T}}^{2}} \to {{\mathbb{T}}^{2}}$ такого, что $\varphi ({{B}_{{{{\nu }_{1}}}}}) = {{B}_{{{{\nu }_{2}}}}}$.

Зафиксируем n – 1 произвольных различных орбит ${{O}_{1}},...,{{O}_{{n - 1}}}$ сдвига g и введем множество B_ν = = $\bigcup\limits_{i = 1}^{n - 1} {{O}_{i}} \cup {{O}_{\nu }}$, где ${{O}_{\nu }}$ – орбита сдвига g, отличная от орбит ${{O}_{1}},...,{{O}_{{n - 1}}}$. Непосредственно проверяется, что можно выбрать континуум различных орбит ${{O}_{\nu }}$ и, следовательно, континуум различных множеств ${{B}_{\nu }}$ таким образом, что множества ${{B}_{\nu }}$ удовлетворяют требуемым условиям.

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Окончательная версия работы выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ (проект 21-11-00010) с использованием материалов, полученных ранее при финансовой поддержке гранта РНФ (проект 17-11-01041). Кроме того, доказательство теоремы 2 было получено при финансовой поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ, соглашение № 075-15-2022-1101.