Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 63-65

Символ $or{{d}_{p}}\alpha $ означает степень, в которой простое число $p$ входит в каноническое разложение рационального числа α. p – адическая норма рационального числа $\alpha $ – определяется равенством ${{\left| \alpha \right|}_{p}} = {{p}^{{ - or{{d}_{p}}\alpha }}}$. Поле p – адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}~$ – представляет собой пополнение поля рациональных чисел по p – адической норме. Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых p – адических чисел по всем простым числам p. Каноническое представление элемента θ кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда $\theta = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{a}_{n}}n!,~{{a}_{n}} \in \mathbb{Z},~\,\,0 \leqslant {{a}_{n}} \leqslant n.$ Этот ряд сходится по всех полях p – адических чисел. Поэтому его можно рассматривать как бесконечномерный вектор, координаты которого в соответствующем кольце целых p – адических чисел обозначаем ${{\theta }^{{\left( p \right)}}}.$

Основы теории полиадических чисел изложены в [1]. Отметим, что эта теория имеет приложения к теории абелевых групп. Кроме того, в ряде прикладных задач используется так называемое факториальное разложение натуральных чисел (оно весьма короткое), представляющее собой частичную сумму ряда $\theta $.

Будем называть полиадическое число $\theta $ полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел $n$ и $P~$ существует натуральное число $A$ такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant P~$, выполнено неравенство ${{\left| {\theta - A} \right|}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}$. Полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля p – адических чисел.

Одним из важных направлений в теории трансцендентных чисел является исследование арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических рядов, т.е. рядов вида

где символ Похгаммера ${{\left( \gamma \right)}_{n}}$определяется равенствами ${{(\gamma )}_{0}}\, = \,1,$ ${{\left( \gamma \right)}_{n}} = \gamma \left( {\gamma + 1} \right) \ldots \left( {\gamma + n - 1} \right)~$ при $n\, \geqslant \,1.$ Если такие ряды имеют рациональные параметры, то они сводятся к E – или G – функциям Зигеля или к F – рядам. Это позволяет применить к ним метод Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел и его модификации. См., например, работы [2–8]. Этот краткий список не претендует на полноту, но позволяет получить представление о характере основных результатов.

Если среди параметров содержатся алгебраические иррациональные числа, то к исследованию арифметических свойств рядов применимы аппроксимации Эрмита-Паде, см., например, [9–11].

Во всех упомянутых выше работах параметры рядов являются алгебраическими числами. В статье описан новый подход к исследованию арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических рядов вида

параметры которых ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{m}}$ – трансцендентные полиадические числа Лиувилля. Частные случаи этой задачи, относящиеся к рядам с лиувиллевым полиадическим параметром λ, рассмотрены в работах [12]–[14]. Во всех этих работах, включая и настоящую, существенно использованы аппроксимации Эрмита-Паде из работы Ю.В. Нестеренко [15].

Определение. Бесконечная линейная независимость полиадических чисел ${{\theta }_{1}}, \ldots ,{{\theta }_{m}}~$ означает, что для любой ненулевой линейной формы ${{h}_{1}}{{x}_{1}} + \ldots + {{h}_{m}}{{x}_{m}}~$ с целыми коэффициентами ${{h}_{1}}, \ldots {{h}_{m}}$ существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}~$ выполняется неравенство ${{h}_{1}}\theta _{1}^{{\left( p \right)}} \ldots + {{h}_{m}}\theta _{m}^{{\left( p \right)}} \ne 0.~$

Вместе с тем представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество. Пусть M – натуральное число. Рассмотрим приведенную систему вычетов по ${\text{mod}}\left( M \right).$ Как обычно, число элементов этой системы обозначается $\varphi \left( M \right)$, где φ(M) – функция Эйлера. Все простые числа принадлежат объединению арифметических прогрессий с разностью, равной числу M, первые члены которых образуют приведенную систему вычетов по ${\text{mod}}(M).$ Пусть произвольным образом выбраны $\rho ~$ различных элементов ${{a}_{1}}$, …, ${{a}_{\rho }}$ этой приведенной системы вычетов. Будем обозначать ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}{\text{\;}}$ множества натуральных значений, принимаемых прогрессиями ${{a}_{i}}$ + $Mk,i = 1, \ldots ,\rho ,~k \in \mathbb{Z}.$ Будем обозначать ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ множество простых чисел, входящих в объединение множеств ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}{\text{\;}}.$ В сформулированных ниже теоремах будет доказана бесконечная линейная независимость значений обобщенных гипергеометрических рядов с ограничениями на множество ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right).$ Этот подход был ранее использован в работе Т. Матала-ахо, А.-М. Эрнвалл-Хитонен, Т. Сеппала [16], относящейся к так называемому ряду Эйлера $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty n!{{\left( { - z} \right)}^{n}}.$

Еще раз отметим, что цель работы – получение результата о значениях рядов (1), среди параметров которых $ - $ трансцендентные полиадические числа Лиувилля.

Сформулируем основные результаты работы. Пусть m – натуральное число, $m \geqslant 2$. Пусть ${{\lambda }_{0}}$ – произвольное натуральное число, большее 1. Положим ${{s}_{0}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{0}}} \right] + 1$. Пусть λ₁ – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant ~{{s}_{0}} + 2{{\lambda }_{0}}^{2}~$ выполняется неравенство $or{{d}_{p}}{{\lambda }_{1}} \geqslant m{{s}_{0}}\ln {{s}_{0}}~$ и пусть s₁ = = $[{\text{exp}}{{\lambda }_{1}}] + 1$. При $k \geqslant 1~~$пусть ${{\lambda }_{{k + 1}}}$ – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant ~{{s}_{k}} + 2{{\lambda }_{k}}^{2}$выполняется неравенство $or{{d}_{p}}{{\lambda }_{{k + 1}}} \geqslant m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}$ и пусть s_{k + 1} = = $[{\text{exp}}{{\lambda }_{{k + 1}}}]$ + 1. Пусть ${{\mu }_{{i,0,~}}},i = 1, \ldots ,m$ – натуральные числа. Пусть для любых $i = 1, \ldots ,m,k \geqslant 1$, числа ${{\mu }_{{i,k}}}$ – неотрицательные целые и удовлетворяют неравенству ${{\mu }_{{i,k}}} \leqslant {{\lambda }_{k}}.$

Пусть ${{\alpha }_{i}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^\infty {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}},~i = 1, \ldots ,m.~$ Если при некотором k для всех $l \geqslant k$ выполняются равенства ${{\mu }_{{i,l}}} = 0$, то α_i – натуральное число. Иначе этот ряд представляет собой полиадическое число Лиувилля.

Будем рассматривать ряды

Теорема 1. Пусть $m \geqslant 2,M,\rho ~$ – натуральные числа. Пусть $~\left( {m + 1} \right)\rho $ $ > \varphi (M)m~{\text{.\;}}~$ Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots {{h}_{m}},$ не равных нулю одновременно и любого натурального числа $\xi $ существует бесконечное множество простых чисел p из множества ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство

Пусть натуральные числа ${{\mu }_{k}}$ удовлетворяют при любом k неравенству ${{\mu }_{k}} \leqslant $ ${{\lambda }_{k}}.~~$ Пусть Ξ = $\mathop \sum \limits_{l = 0}^\infty {{\mu }_{l}}{{\lambda }_{l}}.$

Теорема 2. Пусть$~m \geqslant 2,$ $M,\rho - $ натуральные числа. Пусть $~\left( {m + 1} \right)\rho $ $ > \varphi (M)m~{\text{.\;}}$Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots {{h}_{m}},$ не равных нулю, одновременно существует бесконечное множество простых чисел $p$ из множества ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство

В неравенствах заключений теорем символы ${{f}_{i}}\left( \xi \right),~{{f}_{i}}\left( {{\Xi }} \right),i = 0, \ldots ,m$ означают суммы этих рядов в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}.$

Можно высказать гипотезу о том, что значения рядов, рассмотренных в этих теоремах, линейно независимы в любом поле p – адических чисел, а значение любого рассмотренного в этих теоремах ряда является трансцендентным числом в любом поле p – адических чисел. При определенных естественных условиях на параметры естественно предположить алгебраическую независимость значений этих рядов в любом поле p – адических чисел.

Существующие методы теории трансцендентных чисел в полиадической области не позволяют пока получить такие результаты (с современным состоянием вопроса можно ознакомиться в [8]). Тем не менее планируется применить идеи настоящей работы для развития обобщенного метода Зигеля-Шидловского и получить общие теоремы, подобные теоремам из [8], но для класса рядов, коэффициенты которых – трансцендентные числа. Использование подходов работ [3] и [4] позволит доказать бесконечную алгебраическую независимость значений рядов вида (1) с трансцендентными параметрами.

Еще одно важное направление планируемых исследований – изучение статистических свойств цифр факториальных разложений.