1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 505, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 46-49

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ЛАНДАУ И БЕККЕРА–ПОММЕРЕНКЕ

О. С. Кудрявцева 1, 2, *, А. П. Солодов 1, **

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

2 Волгоградский государственный технический университет
Волгоград, Россия

* E-mail: kudryavceva_os@mail.ru
** E-mail: apsolodov@mail.ru

Поступила в редакцию 01.04.2022
После доработки 30.04.2022
Принята к публикации 27.05.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получено обобщение неравенств Ландау и Беккера–Поммеренке, лежащих в основе решения задачи о точных областях однолистности на подклассах голоморфных отображений.

Ключевые слова: голоморфное отображение, неподвижные точки, угловая производная, область однолистности

ВВЕДЕНИЕ И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Поиск области однолистности как для одной голоморфной функции, так и на классе голоморфных функций является классической задачей геометрической теории функций. Длительная история исследования этой задачи накопила разнообразные методы и подходы к ее решению. В настоящей работе мы сосредоточимся на идейно близких подходах Ландау и Беккера–Поммеренке. Успешное решение Ландау задачи о точном радиусе круга однолистности на классе ограниченных голоморфных функций с внутренней неподвижной точкой, а также недавние результаты Беккера, Поммеренке и Солодова об областях однолистности для функций, имеющих неподвижную точку на границе, так или иначе связаны с получением точных неравенств на соответствующих классах. В упомянутых неравенствах оценивается общее значение функции в двух различных точках. В данной работе получены оценки общего значения функции в $n$ различных точках, что может найти применение в теории $n$-листных функций.

Пусть $\mathcal{B}$ – класс голоморфных отображений единичного круга $\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C}:{\text{|}}z{\text{|}} < 1\} $ в себя. Обозначим через $\mathcal{B}[0]$ подкласс функций с внутренней неподвижной точкой z = 0, а через $\mathcal{B}\{ 1\} $ – подкласс функций с граничной неподвижной точкой z = 1 и конечной угловой производной $f{\kern 1pt} '(1)$:

$\mathcal{B}[0] = \{ f \in \mathcal{B}:f(0) = 0\} ,$
$\begin{gathered} \mathcal{B}\{ 1\} = \{ f \in \mathcal{B}:\angle \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f(z) = 1, \\ \angle \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f{\kern 1pt} '(z) = f{\kern 1pt} '(1) < \infty \} . \\ \end{gathered} $

Теорема 1. Пусть $f \in \mathcal{B}[0]$ и различные точки ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{n}} \in \mathbb{D}$ таковы, что $f({{a}_{1}}) = \ldots = f({{a}_{n}}) = c$. Тогда

(1)
${\text{|}}c{\text{|}} \leqslant \prod\limits_{k = 1}^n {\text{|}}{{a}_{k}}{\text{|}}.$

Неравенство (1) при n = 1 – не что иное, как лемма Шварца. При n = 2 неравенство (1) было получено Ландау и позволило ему найти единый круг однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{M}}[0]$ = $\{ f \in \mathcal{B}[0]$ : : ${\text{|}}f{\kern 1pt} '(0){\text{|}} \geqslant 1{\text{/}}M\} $, $M > 1$.

Теорема А (Ландау [1]). Пусть $f \in {{\mathcal{B}}_{M}}[0]$, $M > 1$. Тогда f однолистна в круге |z| < M – $\sqrt {{{M}^{2}}\, - \,1} $. При этом для любого $R > M - \sqrt {{{M}^{2}} - 1} $ найдется функция $f \in {{\mathcal{B}}_{M}}[0]$, не однолистная в круге ${\text{|}}z{\text{|}} < R$.

На классе $\mathcal{B}\{ 1\} $ имеет место неравенство, в некотором смысле аналогичное неравенству (1).

Теорема 2. Пусть $f \in \mathcal{B}\{ 1\} $ и различные точки ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{n}} \in \mathbb{D}$ таковы, что $f({{a}_{1}}) = \ldots = f({{a}_{n}}) = c$. Тогда

(2)
$f{\kern 1pt} '(1){\kern 1pt} \frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}} \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\left| {{{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - {{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}.$

Неравенство (2) при n = 1 – это хорошо известная лемма Жюлиа–Каратеодори (см. [2, гл. 1, § 1.4, теорема 1.5]). При n = 2 это неравенство было получено Беккером и Поммеренке и применялось ими для нахождения области однолистности для функции $f \in \mathcal{B}\{ 1\} $.

Теорема В (Беккер, Поммеренке [3]). Пусть $f \in \mathcal{B}\{ 1\} $. Тогда f однолистна в области

$\left\{ {z \in \mathbb{D}:\frac{{{{{\left| {1 - f(z)} \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {f(z)} \right|}}^{2}}}}{\kern 1pt} \frac{{1 - {{{\left| z \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - z} \right|}}^{2}}}} > \frac{{f{\kern 1pt} '(1)}}{2}} \right\}.$

В [4] показано, что на классе $\mathcal{B}\{ 1\} $ нет аналога теоремы A, т.е. нет единой области однолистности. Однако ситуация меняется, если рассмотреть сужение класса $\mathcal{B}\{ 1\} $, добавив, например, условие неподвижности внутренней точки. Горяйнов [5], изучая влияние угловой производной на поведение функции внутри круга, рассмотрел класс $\mathcal{B}[0,1] = \mathcal{B}[0] \cap \mathcal{B}\{ 1\} $ и показал, что все функции из ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[0,1] = \{ f \in \mathcal{B}[0,1]:f{\kern 1pt} '(1)\;\leqslant \;\alpha \} $, $\alpha \in (1,2)$, однолистны в некоторой области. Окончательное решение задачи о точной области однолистности на классе функций с двумя неподвижными точками опирается на следующую теорему.

Теорема 3. Пусть $f \in \mathcal{B}[0,1]$ и различные точки ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{n}} \in \mathbb{D}$ таковы, что $f({{a}_{1}})\, = \, \ldots \, = \,f({{a}_{n}})$ = c. Тогда

(3)
$f{\kern 1pt} '(1){\kern 1pt} \frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}} \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\left| {{{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - {{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}} + \frac{{{{{\left| {1 - \lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {\lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right|}}^{2}}}},$
где $\lambda (z) = - z{\kern 1pt} (1 - \bar {z}){\text{/}}(1 - z)$.

Замечание 1. В случае $z = 1$ считаем, что ${{\left| {1 - z} \right|}^{2}}{\text{/}}(1 - {{\left| z \right|}^{2}})$ = 0.

Замечание 2. Поскольку $\left| {\lambda (z)} \right| = \left| z \right|$ для любого $z \in \mathbb{D}$, то в силу теоремы 1 верна оценка $\left| {\lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right| \leqslant 1$. Это влечет неотрицательность второго слагаемого в неравенстве (3). Тем самым, теорема 3 является усилением теоремы 2 на классе $\mathcal{B}[0,1]$.

Заметим, что отображение $\lambda $ обладает рядом других интересных свойств, которые подробно изучены в [6]. В частности, в силу равенства

$\frac{{{{{\left| {1 - \lambda (c)} \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {\lambda (c)} \right|}}^{2}}}} = \frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}}$
теорема 3 допускает переформулировку в симметричном виде.

Теорема 3'. Пусть $f \in \mathcal{B}[0,1]$ и различные точки ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{n}} \in \mathbb{D}$ таковы, что $f({{a}_{1}}) = \ldots = f({{a}_{n}})$ = c. Тогда

$\begin{gathered} f{\kern 1pt} '(1){\kern 1pt} \frac{{{{{\left| {1 - \lambda (c)} \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {\lambda (c)} \right|}}^{2}}}} \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n \frac{{{{{\left| {1 - \lambda ({{a}_{k}})} \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {\lambda ({{a}_{k}})} \right|}}^{2}}}} + \\ \, + \frac{{{{{\left| {1 - \lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {\lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right|}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Неравенство (3) при n = 1 является уточнением леммы Жюлиа–Каратеодори в случае, если имеется дополнительная внутренняя неподвижная точка. При n = 2 неравенство (3) фактически было получено Солодовым и использовалось для нахождения точной области однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[0,1]$.

Теорема С (Солодов [6]). Пусть $f\, \in \,{{\mathcal{B}}_{\alpha }}[0,1]$, $\alpha \in (1,4]$. Тогда f однолистна в области

$\mathcal{Y} = \left\{ {z \in \mathbb{D}:\frac{{\left| {1 - 2z + {{{\left| z \right|}}^{2}}} \right|}}{{1 - {{{\left| z \right|}}^{2}}}} < \frac{1}{{\sqrt {\alpha - 1} }}} \right\}.$

Какова бы ни была область $\mathcal{U}$, $\mathcal{Y} \varsubsetneq \mathcal{U} \subset \mathbb{D}$, найдется функция $f \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[0,1]$, не однолистная в области $\mathcal{U}$.

Замечание 3. Неравенства (1), (2) и (3) точные и достигаются на произведениях Бляшке порядка $n$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РЕЗУЛЬТАТОВ

В этом разделе мы докажем теоремы 1–3.

Доказательство теоремы 1. По функции $f \in \mathcal{B}[0]$ составим дробно-линейное преобразование

$g(z) = \frac{{f(z) - c}}{{1 - \bar {c}f(z)}}.$

Очевидно, что $g \in \mathcal{B}$, причем $g({{a}_{1}})\, = \, \ldots \, = \,g({{a}_{n}})$ = 0. Тогда в силу леммы Шварца–Пика (см. [7, гл. VIII, § 1]) функция g представима в виде

$g(z) = \prod\limits_{k = 1}^n \frac{{z - {{a}_{k}}}}{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}z}}{\kern 1pt} h(z),$
где $h \in \mathcal{B}$, либо h – тождественная константа, по модулю не превосходящая единицы. Полагая в этом представлении z = 0, получаем $ - c = \prod\limits_{k = 1}^n {{{a}_{k}}h(0)} $, откуда следует доказываемое неравенство.

Доказательство теоремы 2. Пусть $f \in \mathcal{B}\{ 1\} $. Тогда функция

$g(z) = \frac{{1 - \bar {c}}}{{1 - c}}\frac{{f(z) - c}}{{1 - \bar {c}f(z)}}$
также принадлежит классу $\mathcal{B}\{ 1\} $, причем $g({{a}_{1}})\, = \, \ldots \, = \,g({{a}_{n}})$ = 0. Согласно лемме Шварца–Пика функция g допускает следующее представление:
$g(z) = \prod\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}}}{{1 - {{a}_{k}}}}{\kern 1pt} \frac{{z - {{a}_{k}}}}{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}z}}{\kern 1pt} h(z),$
где $h \in \mathcal{B}\{ 1\} $, либо $h(z) \equiv 1$. Если $h(z) \equiv 1$, имеем равенство в (2). Если $h \in \mathcal{B}\{ 1\} $, функция
$h(z) = \prod\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{a}_{k}}}}{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}}}\frac{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}z}}{{z - {{a}_{k}}}}\frac{{1 - \bar {c}}}{{1 - c}}\frac{{f(z) - c}}{{1 - \bar {c}f(z)}}$
имеет в точке z = 1 положительную угловую производную. С другой стороны,

$h{\kern 1pt} '(1) = f{\kern 1pt} '(1){\kern 1pt} \frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}} - \sum\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\left| {{{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - {{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}.$

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Пусть $f \in \mathcal{B}[0,1]$. Как и при доказательстве теоремы 2, рассмотрим функцию

$g(z) = \frac{{1 - \bar {c}}}{{1 - c}}\frac{{f(z) - c}}{{1 - \bar {c}f(z)}}$
из класса $\mathcal{B}\{ 1\} $ со свойством $g({{a}_{1}}) = \ldots = g({{a}_{n}}) = 0$. Более того, $g(0) = \lambda (c)$ и угловая производная в точке z = 1 имеют вид

(4)
$g{\kern 1pt} '(1) = f{\kern 1pt} '(1)\frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}}.$

В силу леммы Шварца–Пика функция g допускает представление

(5)
$g(z) = \prod\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}}}{{1 - {{a}_{k}}}}\frac{{z - {{a}_{k}}}}{{1 - {{{\bar {a}}}_{k}}z}}h(z),$
где $h \in \mathcal{B}\{ 1\} $, либо $h(z) \equiv 1$. Если $h(z) \equiv 1$, имеем равенство в (3). Пусть $h \in \mathcal{B}\{ 1\} $. Из (5) видно, что $g(0) = \prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})h(0)} $. Следовательно,

(6)
$h(0) = \frac{{\lambda (c)}}{{\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} }}.$

Из (4) и (5) находим значение угловой производной функции h в точке z = 1

(7)
$h{\kern 1pt} '(1) = f{\kern 1pt} '(1){\kern 1pt} \frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}} - \sum\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\left| {{{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - {{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}.$

Поскольку $h \in \mathcal{B}\{ 1\} $, то cогласно лемме Жюлиа–Каратеодори имеет место неравенство

(8)
$\frac{{{{{\left| {1 - h(0)} \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {h(0)} \right|}}^{2}}}} \leqslant h{\kern 1pt} '(1).$

Учитывая (6)–(8), получаем оценку

$\frac{{{{{\left| {1 - \lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right|}}^{2}}}}{{1 - {{{\left| {\lambda (c){\text{/}}\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda ({{a}_{k}})} } \right|}}^{2}}}} \leqslant f'(1)\frac{{1 - {{{\left| c \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - c} \right|}}^{2}}}} - \sum\limits_{k = 1}^n \frac{{1 - {{{\left| {{{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {1 - {{a}_{k}}} \right|}}^{2}}}}.$

Теорема доказана.

Список литературы

  1. Landau E. Der Picard–Schottkysche Satz und die Blochsche Konstante // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Phys.-Math. Kl. 1926. V. 32. P. 467–474.

  2. Ahlfors L.V. Conformal invariants: Topics in geometric function theory. New York: McGraw-Hill Book Company, 1973.

  3. Becker J., Pommerenke Ch. Angular derivatives for holomorphic self-maps of the disk // Comput. Methods Funct. Theory. 2017. V. 17. 487–497.

  4. Кудрявцева О.С., Солодов А.П. Двусторонние оценки областей однолистности классов голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками // Матем. сб. 2019. Т. 210. № 7. 120–144.

  5. Горяйнов В.В. Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками // Матем. сб. 2017. Т. 208. № 3. 54–71.

  6. Солодов А.П. Точная область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками // Изв. РАН. Сер. матем. 2021. Т. 85. № 5. 190–218.

  7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. M.: Наука, 1966.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал