Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 507, № 1, стр. 5-9

ФУНКЦИИ ОТ ПАР НЕОГРАНИЧЕННЫХ НЕКОММУТИРУЮЩИХ САМОСОПРЯЖЁННЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ

А. Б. Александров^1, *, В. В. Пеллер^1, 2, **

¹ Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Санкт-Петербург, Россия

² Санкт-Петербургский государственный университет
Санкт-Петербург, Россия

^* E-mail: aall54eexx@gmail.com
^** E-mail: peller@math.msu.edu

Поступила в редакцию 28.06.2022
После доработки 14.07.2022
Принята к публикации 21.09.2022

EDN: CDHSQJ
DOI: 10.31857/S2686954322600446

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для пары (A, B) не обязательно ограниченных и не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов и для функции f на евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{2}}$ из неоднородного класса Бесова $Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$ определяется функция $f(A,B)$ от этих операторов как плотно определённый оператор. Рассматривается задача оценок функций $f(A,B)$ при возмущениях пары (A, B). Устанавливается, что если $1 \leqslant p \leqslant 2$, $({{A}_{1}},{{B}_{1}})$ и $({{A}_{2}},{{B}_{2}})$ – пары не обязательно ограниченных и не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов таких, что операторы ${{A}_{1}} - {{A}_{2}}$ и ${{B}_{1}} - {{B}_{2}}$ входят в класс Шаттена–фон Неймана ${{{\mathbf{S}}}_{p}}$ при $p \in [1,2]$ и $f \in Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$, то имеет место следующая оценка липшицева типа: ${\text{||}}f({{A}_{1}},{{B}_{1}}) - f({{A}_{2}},{{B}_{2}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{Б_{{\infty ,1}}^{1}}}}\max \{ {\text{||}}{{A}_{1}} - {{A}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}},{\text{||}}{{B}_{1}} - {{B}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}\} .$

Ключевые слова: неограниченные самосопряжённые операторы, классы Шаттена–фон Неймана, классы Бесова, двойные операторные интегралы, тройные операторные интегралы, тензорные произведения Хогерупа, функции от пар некоммутирующих самосопряжённых операторов

1. ВВЕДЕНИЕ

Результаты этой заметки распространяют результаты работы [1] на случай пар неограниченных некоммутирующих самосопряжённых операторов. Напомним (см., например, [1]), что для пары (A, B) не обязательно ограниченных самосопряжённых операторов и для комплексно-значной функции f на $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, являющейся мультипликатором Шура относительно произвольных борелевских спектральных мер, функция $f(A,B)$ от $A$ и $B$ определяется как двойной операторный интеграл

(1.1)

$\begin{gathered} f(A,B)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\iint\limits_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}} f(x,y){\kern 1pt} d{{E}_{A}}(x){\kern 1pt} d{{E}_{B}}(y)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \\ \mathop = \limits^{{\text{def}}} \iint\limits_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}} f(x,y){\kern 1pt} d{{E}_{A}}(x)I{\kern 1pt} d{{E}_{B}}(y), \\ \end{gathered} $

где $I$ – единичный оператор, а ${{E}_{A}}$ и ${{E}_{B}}$ – спектральные меры операторов A и $B$. Тогда $f(A,B)$ – ограниченный оператор. Мы отсылаем читателя к работам [5, 6] и [7] по поводу определения и основных свойств двойных операторных интегралов.

Мы также отсылаем читателя к работам [10] и [2] по поводу определения мультипликаторов Шура по отношению к спектральным мерам. Напомним (см. [10] и [2]), что функция $\Phi $ является мультипликаторм Шура по отношению к спектральным мерам ${{E}_{1}}$ и ${{E}_{2}}$ в том и только в том случае, когда $\Phi $ входит в тензорное произведение Хогерупа ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}})$, т.е. $\Phi $ допускает представление вида

(1.2)

$\Phi (x,y) = \sum\limits_n {{\varphi }_{n}}(x){{\psi }_{n}}(y),$

где ${{\varphi }_{n}} \in {{L}^{\infty }}({{E}_{1}})$, ${{\psi }_{n}} \in {{L}^{\infty }}({{E}_{2}})$ и

(1.3)

${{\left( {{{{\left\| {\sum\limits_n {\text{|}}{{\varphi }_{n}}(x){{{\text{|}}}^{2}}} \right\|}}_{{{{L}^{\infty }}({{E}_{1}})}}}{{{\left\| {\sum\limits_n {\text{|}}{{\psi }_{n}}(x){{{\text{|}}}^{2}}} \right\|}}_{{{{L}^{\infty }}({{E}_{2}})}}}} \right)}^{{1/2}}} < \infty .$

Нормой функции $\Phi $ в ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}})$ является инфимум левой части (1.3) по всем представлениям вида (1.2). В этом случае

$\iint\limits_{\mathcal{X} \times \mathcal{Y}} \Phi (x,y){\kern 1pt} d{{E}_{1}}(x)Q{\kern 1pt} d{{E}_{2}}(y) = \sum\limits_n \left( {\int {{\varphi }_{n}}{\kern 1pt} d{{E}_{1}}} \right)Q\left( {\int {{\psi }_{n}}{\kern 1pt} d{{E}_{2}}} \right),$

причём ряд в правой части сходится в слабой операторной топологии и

$\left\| {\iint \Phi {\kern 1pt} d{{E}_{1}}Q{\kern 1pt} d{{E}_{2}}} \right\| \leqslant {\text{||}}\Phi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}Q{\text{||}}$

(см., например, [2]).

В этой заметке мы определим функции $f(A,B)$ от неограниченных некоммутирующих операторов для некоторых функций f, которые не входят в тензорное произведение Хогерупа пространств ограниченных функций. В этом случае $f(A,B)$ оказывается плотно определённым неограниченным оператором.

В работе [1] для пар $({{A}_{1}},{{B}_{1}})$ и $({{A}_{2}},{{B}_{2}})$ некоммутирующих ограниченных самосопряжённых операторов $A$ и $B$ и для функций f однородного класса Бесова $B_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$ определены операторы $f({{A}_{1}},{{B}_{1}})$ и $f({{A}_{2}},{{B}_{2}})$ и получена следующая оценка липшицева типа в классах Шаттена–фон Неймана S_p при $1 \leqslant p \leqslant 2$:

$\begin{gathered} {\text{||}}f({{A}_{1}},{{B}_{1}}) - f({{A}_{2}},{{B}_{2}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant \\ \, \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{B_{{\infty ,1}}^{1}}}}\max \{ {\text{||}}{{A}_{1}} - {{B}_{1}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}},{\text{||}}{{A}_{2}} - {{B}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}\} . \\ \end{gathered} $

В той же работе [1] показано, что такое же неравенство неверно при $p > 2$ и неверно в операторной норме.

Напомним также, что в случае функций одного самосопряжённого оператора такие оценки липшицева типа верны при $1 \leqslant p \leqslant $ ∞, см. [10] и [11].

Основная цель этой заметки – установить это неравенство для пар неограниченных некоммутирующих самосопряжённых операторов для функций f из однородного пространства Бесова $Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$. Мы отсылаем читателя к работе [9] по поводу определения и основных свойств пространств Бесова.

Как и в случае ограниченных некоммутирующих операторов, ключевую роль играют тройные операторные интегралы. Мы отсылаем читателя к работам [1] и [3] по поводу тройных операторных интегралов.

2. ТРОЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ХОГЕРУПА И ХОГЕРУПО-ПОДОБНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Тройные операторные интегралы – это выражения вида

(2.1)

$\int\limits_{{{\mathcal{X}}_{1}}} \int\limits_{{{\mathcal{X}}_{2}}} \int\limits_{{{\mathcal{X}}_{3}}} \Psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}){\kern 1pt} d{{E}_{1}}({{x}_{1}})T{\kern 1pt} d{{E}_{2}}({{x}_{2}})R{\kern 1pt} d{{E}_{3}}({{x}_{3}}),$

где $\Psi $ – ограниченная измеримая функция на ${{\mathcal{X}}_{1}} \times {{\mathcal{X}}_{2}} \times {{\mathcal{X}}_{3}}$; ${{E}_{1}}$, ${{E}_{2}}$ и ${{E}_{3}}$ – спектральные меры в гильбертовом пространстве, а $T$ и $R$ – ограниченные линейные операторы. Такие операторные интегралы можно определить при некоторых предположениях на $\Psi $, $T$ и $R$.

В работе [12] интегралы вида (2.1) определены для произвольных ограниченных операторов $T$ и $R$ и для функций $\Psi $ из интегрального проектированного тензорного произведения ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{i}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }_{{\text{i}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$. При этом справедливо следующее неравенство:

$\begin{gathered} {{\left\| {\iiint \Psi {\kern 1pt} d{{E}_{1}}T{\kern 1pt} d{{E}_{2}})R{\kern 1pt} d{{E}_{3}}} \right\|}_{{{{{\mathbf{S}}}_{r}}}}} \leqslant {\text{||}}\Psi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{i}}}}{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{i}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}T{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}{\text{||}}R{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{q}}}}}, \\ T \in {{{\mathbf{S}}}_{p}},\quad R \in {{{\mathbf{S}}}_{q}}, \\ \end{gathered} $

$\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\quad {\text{при}}\;{\text{условии}}\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \leqslant 1.$

Затем в работе [8] тройные операторные интегралы были определены для функций $\Psi $ из тензорного произведения Хогерупа ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$. Мы отсылаем читателя к работе [3] по поводу определения и основных свойств таких тензорных произведений Хогерупа. Отметим здесь, что для функций $\Psi $ из ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$ имеют место оценки

$\left\| {\iiint \Psi {\kern 1pt} d{{E}_{1}}T{\kern 1pt} d{{E}_{2}}R{\kern 1pt} d{{E}_{3}}} \right\| \leqslant {\text{||}}\Psi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}T{\text{||}} \cdot \;{\text{||}}R{\text{||}}$

в случае ограниченных операторов $T$ и $R$ и

${{\left\| {\iiint \Psi {\kern 1pt} d{{E}_{1}}T{\kern 1pt} d{{E}_{2}}R{\kern 1pt} d{{E}_{3}}} \right\|}_{{{{{\mathbf{S}}}_{r}}}}} \leqslant {\text{||}}\Psi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}T{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}{\text{||}}R{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{q}}}}}$

в случае, когда $T \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$, $R \in {{{\mathbf{S}}}_{q}}$, $1{\text{/}}r = 1{\text{/}}p + 1{\text{/}}q$ и $p,{\kern 1pt} q \in [2,\infty ]$.

Оказалось, однако, что для липшицевых оценок функций от пар некоммутирующих операторов нам нужны тройные операторные интегралы, подынтегральные функции которых входят в так называемые хогерупо-образные тензорные произведения первого вида ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$ и второго вида ${{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$. Такие тензорные произведения были введены в [1] и изучены более подробно в [3].

В работах [1] и [3] показано, что если $\Psi \in {{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$, $1 \leqslant p \leqslant 2$, $T \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$, а $R$ – ограниченный линейный оператор, то можно определить тройной операторный интеграл вида (2.1) и при этом имеет место оценка

$\begin{gathered} {{\left\| {\iiint \Psi {\kern 1pt} d{{E}_{1}}T{\kern 1pt} d{{E}_{2}}R{\kern 1pt} d{{E}_{3}}} \right\|}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{||}}\Psi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}T{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}{\text{||}}R{\text{||}}, \\ 1 \leqslant p \leqslant 2. \\ \end{gathered} $

А если же $\Psi \in {{L}^{\infty }}({{E}_{1}}){{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{2}}){{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}({{E}_{3}})$, $1 \leqslant p \leqslant 2$, T – ограниченный линейный оператор, а $R \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$, то

${{\left\| {\iiint \Psi {\kern 1pt} d{{E}_{1}}T{\kern 1pt} d{{E}_{2}}R{\kern 1pt} d{{E}_{3}}} \right\|}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{||}}\Psi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}T{\text{||}}\; \cdot \;{\text{||}}R{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}.$

Кроме того,

(2.2)

${\text{||}}W{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{||}}\Psi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{L}^{\infty }}}}}{\text{||}}T{\text{||}}\; \cdot \;{\text{||}}R{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}.$

Заметим, что в работе [1] были получены более общие оценки в классах Шаттена–фон Неймана для тройных операторных интегралов, подыинтегральная функция которых входит в хогерупо-образные тензорные произведения пространств ${{L}^{\infty }}$. Позже в работе [3] оценки работы [1] были распространены на ещё более общий случай.

Отметим, что таким же образом можно определить хогерупо-образные тензорные произведения ${{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$ и ${{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$, где ${{\mathcal{B}}^{\infty }}$ – пространство ограниченных борелевских функций на $\mathbb{R}$.

Рассмотрим теперь непрерывно дифференцируемую функцию f на ${{\mathbb{R}}^{2}}$ и определим разделённые разности ${{\mathfrak{D}}^{{[1]}}}f$ и ${{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f$ равенствами

$({{\mathfrak{D}}^{{[1]}}}f)({{x}_{1}},{{x}_{2}},y)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\frac{{f({{x}_{1}},y) - f({{x}_{2}},y)}}{{{{x}_{1}} - {{x}_{2}}}},\quad {{x}_{1}} \ne {{x}_{2}}$

$({{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f)(x,{{y}_{1}},{{y}_{2}})\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\frac{{f(x,{{y}_{1}}) - f(x,{{y}_{2}})}}{{{{y}_{1}} - {{y}_{2}}}},\quad {{y}_{1}} \ne {{y}_{2}}.$

В случае, когда ${{x}_{1}} = {{x}_{2}}$ или ${{y}_{1}} = {{y}_{2}}$, в определениях функций ${{\mathfrak{D}}^{{[1]}}}f$ и ${{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f$ нужно заменить разделённые разности соответствующими частными производными.

Определим класс $\mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$ при $\sigma > 0$ следующим образом:

$\begin{gathered} \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \\ \mathop = \limits^{{\text{def}}} \,\{ f \in {{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}}): {\text{supp}}\,\mathcal{F}f \subset \{ t \in {{\mathbb{R}}^{2}}:{\text{||}}t{\text{|}}{{{\text{|}}}_{2}} \leqslant \sigma \} \} ; \\ \end{gathered} $

здесь мы используем обозначение $\mathcal{F}$ для преобразования Фурье.

В работе [1] было установлено, что при $\sigma > 0$ и $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$ имеют место оценки

(2.3)

${\text{||}}{{\mathfrak{D}}^{{[1]}}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}}}} \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}})}}},$

(2.4)

${\text{||}}{{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}}}} \leqslant {\text{const}}\sigma \,{\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}})}}}.$

Отсюда вытекает, что если функция f входит в однородный класс Бесова $B_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$, то ${{\mathfrak{D}}^{{[1]}}}f$ ∈ ∈ ${{\mathcal{B}}^{\infty }}\,{{ \otimes }_{{\text{h}}}}\,{{\mathcal{B}}^{\infty }}\,{{ \otimes }^{{\text{h}}}}\,{{\mathcal{B}}^{\infty }}$ и ${{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f \in {{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$, при этом

${\text{||}}{{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}}}} \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{B_{{\infty ,1}}^{1}}}}.$

Основным результатом работы [1] является следующее утверждение:

Теорема 2.1. Пусть $1 \leqslant p \leqslant 2$, $f \in B_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$, а $({{A}_{1}},{{B}_{1}})$ и $({{A}_{2}},{{B}_{2}})$ – пары ограниченных некоммутирующих самосопряжённых операторов таких, что ${{A}_{2}} - {{A}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$ и ${{B}_{2}} - {{B}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$. Тогда

$\begin{gathered} f({{A}_{1}},{{B}_{1}}) - f({{A}_{2}},{{B}_{2}}) = \iiint \frac{{f({{x}_{1}},y) - f({{x}_{2}},y)}}{{{{x}_{1}} - {{x}_{2}}}} \times \\ \, \times d{{E}_{{{{A}_{1}}}}}({{x}_{1}})({{A}_{1}} - {{A}_{2}})d{{E}_{{{{A}_{2}}}}}({{x}_{2}})d{{E}_{{{{B}_{1}}}}}(y) + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + \iiint \frac{{f(x,{{y}_{1}}) - f(x,{{y}_{2}})}}{{{{y}_{1}} - {{y}_{2}}}} \times \\ \, \times d{{E}_{{{{A}_{2}}}}}(x)d{{E}_{{{{B}_{1}}}}}({{y}_{1}})({{B}_{1}} - {{B}_{2}})d{{E}_{{{{B}_{2}}}}}({{y}_{2}}). \\ \end{gathered} $

Более того, имеет место оценка

$\begin{gathered} {\text{||}}f({{A}_{1}},{{B}_{1}}) - f({{A}_{2}},{{B}_{2}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant \\ \, \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{B_{{\infty ,1}}^{1}}}}\max \{ {\text{||}}{{A}_{1}} - {{A}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}},{\text{||}}{{B}_{1}} - {{B}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}\} . \\ \end{gathered} $

Основная цель этой заметки состоит в том, чтобы установить такое же неравенство в случае неограниченных некоммутирующих пар операторов при условии, что функция f входит в неоднородный класс Бесова $Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$.

3. ФУНКЦИИ ОТ ПАР НЕОГРАНИЧЕННЫХ НЕКОММУТИРУЮЩИХ САМОСОПРЯЖЁННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Напомним, что мы определили функции от необязательно коммутирующих самосопряжённых операторов формулой (1.1) в случае, когда функция f входит в тензорное произведения Хогерупа ${{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$. Причём имеет место оценка

${\text{||}}f(A,B){\text{||}} \leqslant {\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}}}},\quad f \in {{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}.$

Пусть f – функция двух переменных, а ${{f}_{\sharp }}$ – функция, определённая равенством ${{f}_{\sharp }}(s,t)$ $\mathop = \limits^{{\text{def}}} $ $\mathop = \limits^{{\text{def}}} $ ${{(1\, - \,{\text{i}}t)}^{{ - 1}}}f(s,t)$. Предположим, что ${{f}_{\sharp }} \in {{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$. Определим оператор $f(A,B)$ равенством

$\begin{gathered} f(A,B)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;{{f}_{\sharp }}(A,B)(I - {\text{i}}B) = \\ \, = \left( {\iint\limits_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}} {{f}_{\sharp }}(s,t){\kern 1pt} d{{E}_{A}}(s){\kern 1pt} d{{E}_{B}}(t)} \right)(I - {\text{i}}B). \\ \end{gathered} $

Тогда $f(A,B)$ – плотно определённый оператор, область определения которого совпадает с областью определения $D(B)$ оператора $B$. Он не обязательно ограничен, но оператор $f(A,B)(I - {\text{i}}B{{)}^{{ - 1}}}$ ограничен.

Заметим, что если $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$, σ > 0, то ${{f}_{\sharp }} \in {{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$. Это было установлено в следствии 7.3 работы [4] для функций f из ${{(\mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}}))}_{ + }}$, т.е. для функций f из $\mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$, преобразование Фурье которых сосредоточено на $[0,\infty ) \times [0,\infty )$. Очевидно, что это же верно и при $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$, σ > 0. Таким образом, если $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$, то оператор ${{f}_{\sharp }}(A,B)$ ограничен, в то время как $f(A,B)$ – не обязательно ограниченный плотно определённый оператор с областью определения $D(B)$. При этом

${\text{||}}{{f}_{\sharp }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}}}} \leqslant {\text{const}}(1 + \sigma ){\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{{2\infty }}})}}}.$

Это можно проверить так же, как и в следст-вии 7.3 работы [4].

Теорема 3.1. Пусть $f\, \in \,Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$. Тогда ${{f}_{\sharp }}\, \in \,{{\mathcal{B}}^{\infty }}\,{{ \otimes }_{{\text{h}}}}\,{{\mathcal{B}}^{\infty }}$ и ${\text{||}}{{f}_{\sharp }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}}}}\, \leqslant \,{\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{Б_{{\infty ,1}}^{1}}}}$.

4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПЕРАТОРНЫХ РАЗНОСТЕЙ И ОЦЕНКИ ЛИПШИЦЕВА ТИПА

В этом разделе мы сформулируем основной результат заметки. Мы получим формулу для операторной разности в виде тройных операторных интегралов и получим оценку липшицева типа в норме ${{{\mathbf{S}}}_{p}}$ при $p \in [1,2]$. Мы будем иметь дело с парами не обязательно ограниченных и не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов.

Теорема 4.1. Пусть $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$, а ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ и B – самосопряжённые операторы такие, что A₁ – A₂ ∈ ∈ ${{{\mathbf{S}}}_{2}}$. Тогда

$\begin{gathered} f({{A}_{1}},B) - f({{A}_{2}},B)\, = \,\iiint \frac{{f({{x}_{1}},y) - f({{x}_{2}},y)}}{{{{x}_{1}} - {{x}_{2}}}}{\kern 1pt} d{{E}_{{{{A}_{1}}}}}({{x}_{1}}) \times \\ \times \,({{A}_{1}} - {{A}_{2}}){\kern 1pt} d{{E}_{{{{A}_{2}}}}}({{x}_{2}}){\kern 1pt} d{{E}_{B}}(y) \\ \end{gathered} $

и тем самым

${\text{||}}f({{A}_{1}},B) - f({{A}_{2}},B){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}})}}}{\text{||}}{{A}_{1}} - {{A}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}.$

Напомним, что ${{\mathfrak{D}}^{{[1]}}}f \in {{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$ (см. (2.3)), и, стало быть, тройной операторный интеграл в правой части равенства определён.

Следствие 4.2. Пусть $f \in Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$ и $1 \leqslant p \leqslant 2$. Предположим, что ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ и $B$ – самосопряжённые операторы такие, что ${{A}_{2}} - {{A}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$. Тогда имеет место неравенство:

${\text{||}}f({{A}_{1}},B) - f({{A}_{2}},B){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{Б_{{\infty ,1}}^{1}}}}{\text{||}}{{A}_{1}} - {{A}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}.$

Теорема 4.3. Пусть $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$. Предположим, что A, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ – самосопряжённые операторы такие, что ${{B}_{2}} - {{B}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{2}}$. Тогда имеет место следующее равенство:

$\begin{gathered} f(A,{{B}_{1}}) - f(A,{{B}_{2}}) = \iiint \frac{{f(x,{{y}_{1}}) - f(x,{{y}_{2}})}}{{{{y}_{1}} - {{y}_{2}}}} \times \\ \times \,{\kern 1pt} d{{E}_{A}}(x){\kern 1pt} d{{E}_{{{{B}_{1}}}}}({{y}_{1}})({{B}_{1}} - {{B}_{2}}){\kern 1pt} d{{E}_{{{{B}_{2}}}}}({{y}_{2}}). \\ \end{gathered} $

Опять же ${{\mathfrak{D}}^{{[2]}}}f \in {{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }^{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}{{ \otimes }_{{\text{h}}}}{{\mathcal{B}}^{\infty }}$ (см. (2.4)), и, стало быть, тройной операторный интеграл в правой части равенства определён.

Следствие 4.4. Пусть $f \in \mathcal{E}_{\sigma }^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$ при $p \in [1,2]$. Предположим, что $A$, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ – самосопряжённые операторы такие, что ${{B}_{2}} - {{B}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$. Тогда

${\text{||}}f(A,{{B}_{1}}) - f(A,{{B}_{2}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant {\text{const}}\sigma \,{\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}})}}}{\text{||}}{{B}_{1}} - {{B}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}.$

Теорема 4.5. Пусть $f \in Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$ при $p \in [1,2]$. Предположим, что ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ – самосопряжённые операторы такие, что ${{A}_{2}} - {{A}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$ и ${{B}_{2}} - {{B}_{1}} \in {{{\mathbf{S}}}_{p}}$. Тогда

$\begin{gathered} {\text{||}}f({{A}_{1}},{{B}_{1}}) - f({{A}_{2}},{{B}_{2}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}} \leqslant \\ \, \leqslant {\text{const||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{Б_{{\infty ,1}}^{1}}}}\max \{ {\text{||}}{{A}_{1}} - {{A}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}},{\text{||}}{{B}_{1}} - {{B}_{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{S}}}_{p}}}}}\} . \\ \end{gathered} $

Теорема 4.6. Пусть $f \in Б_{{\infty ,1}}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$. Предположим, что ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ – самосопряжённые операторы такие, что ${{A}_{1}} - {{A}_{2}} \in {{{\mathbf{S}}}_{2}}$ и ${{B}_{1}} - {{B}_{2}} \in {{{\mathbf{S}}}_{2}}$. Тогда имеет место тождество

$f({{A}_{1}},{{B}_{1}}) - f({{A}_{2}},{{B}_{2}}) = $

$\begin{gathered} \, = \iiint \frac{{f({{x}_{1}},y) - f({{x}_{2}},y)}}{{{{x}_{1}} - {{x}_{2}}}} \times \\ \, \times {\kern 1pt} d{{E}_{{{{A}_{1}}}}}({{x}_{1}})({{A}_{1}} - {{A}_{2}}){\kern 1pt} d{{E}_{{{{A}_{2}}}}}({{x}_{2}}){\kern 1pt} d{{E}_{{{{B}_{1}}}}}(y) + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + \iiint \frac{{f(x,{{y}_{1}}) - f(x,{{y}_{2}})}}{{{{y}_{1}} - {{y}_{2}}}} \times \\ \, \times {\kern 1pt} d{{E}_{{{{A}_{2}}}}}(x){\kern 1pt} d{{E}_{{{{B}_{1}}}}}({{y}_{1}})({{B}_{1}} - {{B}_{2}}){\kern 1pt} d{{E}_{{{{B}_{2}}}}}({{y}_{2}}). \\ \end{gathered} $

Список литературы

Aleksandrov A.B., Nazarov F.L., Peller V.V. Functions of noncommuting self-adjoint operators under perturbation and estimates of triple operator integrals // Adv. Math. 2016. V. 295. P. 1–52.
Aleksandrov A.B., Peller V.V. Operator Lipschitz functions // Uspekhi Matem. Nauk. 2016. V. 71. № 4. P. 3–106.
Aleksandrov A.B., Peller V.V. Multiple operator integrals, Haagerup and Haagerup-like tensor products, and operator ideals // Bulletin London Math. Soc. 2016. V. 49. P. 463–479.
Aleksandrov A.B., Peller V.V. Functions of perturbed commuting dissipative operators // Math. Nachr., to appear
Birman M.S., Solomyak M.Z. Double Stieltjes operator integrals // Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ. 1966. V. 1. P. 33–67 (Russian).
Birman M.S., Solomyak M.Z. Double Stieltjes operator integrals. II, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ. 1967. V. 2. P. 26–60 (Russian).
Birman M.S., Solomyak M.Z. Double Stieltjes operator integrals. III, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ. 1973. V. 6. P. 27–53 (Russian).
Juschenko K., Todorov I.G., Turowska L. Multidimensional operator multipliers // Trans. Amer. Math. Soc. 2009. V. 361. P. 4683–4720.
Peetre J. New thoughts on Besov spaces, Duke Univ. Press., Durham, NC, 1976.
Peller V.V. Hankel operators in the theory of perturbations of unitary and self-adjoint operators, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 1985. V. 19. № 2. P. 37–51 (Russian).
Peller V.V. Hankel operators in the perturbation theory of unbounded self-adjoint operators, Analysis and partial differential equations, 529–544, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 122, Marcel Dekker, New York, 1990.
Peller V.V. Multiple operator integrals in perturbation theory // Bull. Math. Sci. 2016. V. 6. P. 15–88.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал