1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 507, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 507, № 1, стр. 10-14

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С СУММАРНО-РАЗНОСТНЫМ ЯДРОМ И СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

С. Н. Асхабов 1, 2, 3, *

1 Чеченский государственный университет им. А.А. Кадырова
Грозный, Россия

2 Чеченский государственный педагогический университет
Грозный, Россия

3 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Долгопрудный, Московская обл., Россия

* E-mail: askhabov@yandex.ru

Поступила в редакцию 06.10.2022
После доработки 10.10.2022
Принята к публикации 17.10.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получены точные априорные оценки решений нелинейного интегро-дифференциального уравнения вольтерровского типа с суммарно-разностным ядром в конусе пространства непрерывных на положительной полуоси функций. На основе этих оценок методом весовых метрик доказана глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения нетривиального решения указанного уравнения. Показано, что это решение можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости в терминах весовой метрики. Указаны условия, при которых существует только тривиальное решение. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра, суммарно-разностное ядро, степенная нелинейность

Многие задачи современной математики, физики, механики и биологии приводят к нелинейным интегральным уравнениям с суммарными и разностными ядрами (см. монографии [1, 2] и приведенную в них библиографию). Например, описание процесса распространения ударных волн в трубах, наполненных газом, или процесса инфильтрации жидкости из цилиндрического резервуара в изотропную однородную пористую среду приводит к нелинейным уравнениям с разностными ядрами [3–5], а нелинейные уравнения с суммарными ядрами возникают в теории лучистого равновесия и в теории переноса тепла излучением [6, 7].

В настоящее время теория нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений вольтерровского типа с разностными ядрами, т.е. теория уравнений типа свертки, разработана значительно полнее, чем соответствующая теория уравнений с суммарными ядрами. В частности, это связано с тем, что исследование нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с чисто суммарными ядрами оказывается затруднительным, так как операторы вольтерровского типа с суммарными ядрами не обладают, в отличие от операторов с разностными ядрами, свойством коммутативности.

В данной работе изучается нелинейное интегро-дифференциальное уравнение с суммарно-разностным ядром

(1)
$\begin{gathered} {{u}^{\alpha }}\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_0^x H\left( {x + t} \right)u\left( t \right)dt + \mathop \smallint \limits_0^x K\left( {x - t} \right)u{\kern 1pt} '\left( t \right)dt, \\ x > 0,\quad \alpha > 1, \\ \end{gathered} $
где функции H(x) и K(x) удовлетворяют следующим основным условиям:

(2)
$\begin{gathered} H \in {{C}^{1}}\left[ {0,\infty } \right),~ \\ H\left( x \right)~\;{\text{не}}\;{\text{\;убывает}}\;{\text{\;на}}\;{\text{\;полуоси}}\;~\left[ {0,\infty } \right)~ \\ {\text{и}}~\quad H\left( 0 \right) \geqslant 0, \\ \end{gathered} $
(3)
$\begin{gathered} K \in {{C}^{1}}\left[ {0,\infty } \right), \\ K{\kern 1pt} '\left( x \right)~\;{\text{не}}\;{\text{\;убывает}}\;{\text{\;на}}\;{\text{\;полуоси}}\;~\left[ {0,\infty } \right)~ \\ K\left( 0 \right) = 0\quad {\text{и}}~\quad K'\left( 0 \right) > 0.~ \\ \end{gathered} $

Теоретический и прикладной интерес представляют нетривиальные решения уравнений вида (1), поэтому они разыскиваются в классе

$\begin{gathered} Q_{0}^{1} = \left\{ {u\left( x \right){\kern 1pt} :\;~u \in C\left[ {0,\infty } \right) \cap {{C}^{1}}\left( {0,\infty } \right),} \right. \\ \left. {~u\left( 0 \right) = 0\;\;\mathop {\text{и}}\limits_{} \;\;~u\left( x \right) > 0\;\;{\text{при}}\;\;~x > 0} \right\}. \\ \end{gathered} $

Цель данной работы – доказать глобальную теорему о существовании, единственности и способе нахождения нетривиального решения уравнения (1), а также получить точные двусторонние оценки для этого решения.

Наряду с интегро-дифференциальным уравнением (1) исследуется также тесно связанное с ним интегральное уравнение

(4)
$\begin{gathered} {{u}^{\alpha }}\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_0^x \left[ {H\left( {x + t} \right) + K{\kern 1pt} '\left( {x - t} \right)} \right]u\left( t \right)dt, \\ x > 0,\quad \alpha > 1. \\ \end{gathered} $

Очевидно, что уравнение (4) имеет тривиальное решение $u\left( x \right) \equiv 0$ в конусе

$Q = \left\{ {u\left( x \right){\kern 1pt} :\;~~u \in C\left[ {0,\infty } \right)~\;\;{\text{и}}\;\;u\left( x \right) \geqslant 0~\;\;{\text{при}}\;\;~x \geqslant 0} \right\},$
состоящем из неотрицательных непрерывных на полуоси $\left[ {0,\infty } \right)$ функций, и, вообще, любое решение этого уравнения в конусе Q удовлетворяет условию $u\left( 0 \right) = 0$. Кроме того, если интегральное уравнение (4) имеет нетривиальное решение $u \in Q$, то его сдвиги
$u\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u\left( {x - \delta } \right),\quad {\text{если}}\quad x > \delta ,} \\ {0,\quad {\text{если}}\quad x \leqslant \delta ,} \end{array}} \right.$
также являются решениями этого уравнения при любом $\delta > 0$, т.е. уравнение (4) может иметь континуум решений. Поэтому, для того чтобы задачу нахождения нетривиальных решений уравнения (4) сделать корректной и в связи с тем, что с прикладной и теоретической точек зрения особый интерес представляют непрерывные положительные при $x > 0$ решения уравнения (4), будем искать его решения в классе

$\begin{gathered} {{Q}_{0}} = \left\{ {u\left( x \right){\kern 1pt} :\;~u \in C\left[ {0,\infty } \right),~\;u\left( 0 \right) = 0~} \right. \\ \left. {{\text{и}}\;\;~u\left( x \right) > 0\;\;{\text{при}}\;\;~x > 0} \right\}. \\ \end{gathered} $

Заметим, что теория линейных интегральных уравнений типа свертки, т.е. уравнений с разностными ядрами, в настоящее время достаточно хорошо разработана и ее основные результаты приведены, например, в монографии [8]. Что касается соответствующих линейных интегральных уравнений с суммарными ядрами, то, как отмечено в работе [9], они изучены, в отличие от уравнений с разностными ядрами, сравнительно мало. Это замечание справедливо также относительно нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

СВОЙСТВА НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Прежде чем сформулировать теорему о существовании, единственности и способе нахождения решения уравнения (1), выясним сначала, какими свойствами должны обладать эти решения, если они существуют.

Справедливы следующие две простые леммы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2) и (3). Если $u \in {{Q}_{0}}$ является решением уравнения (4), то функция $u\left( x \right)$ не убывает на $\left[ {0,\infty } \right)$ и непрерывно-дифференцируема на $\left( {0,\infty } \right)$, т.е. $u \in {{C}^{1}}\left( {0,\infty } \right)$.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (2) и (3). Если $u \in Q_{0}^{1}$ является решением интегро-дифференциального уравнения (1), то $u \in {{Q}_{0}}$ и является решением уравнения (4). Обратно, если $u \in {{Q}_{0}}$ является решением интегрального уравнения (4), то $u \in Q_{0}^{1}$ и является решением уравнения (1).

Далее нам понадобятся следующие два неравенства

(5)
$\begin{gathered} \mathop \smallint \limits_0^x a\left( {x + t} \right)b\left( t \right)dt \leqslant \mathop \smallint \limits_0^x \left[ {2a\left( {2t} \right) - a\left( t \right)} \right]b\left( t \right)dt~, \\ x > 0, \\ \end{gathered} $
(6)
$\mathop \smallint \limits_0^x a\left( {x - t} \right)b\left( t \right)dt \leqslant \mathop \smallint \limits_0^x a\left( t \right)b\left( t \right)dt,~\quad x > 0,$
справедливые для любых неотрицательных неубывающих на полуоси $\left[ {0,\infty } \right)$ функций a(x) и b(x).

Неравенство (5) подробно доказано в [10, Лемма 1], а неравенство (6) известно как интегральное неравенство Чебышева [11, с. 120] (см. также [1, с. 121], где приведены два различных его доказательства).

Лемма 3. Пусть выполнены условия (2) и (3). Если $u \in {{Q}_{0}}$ является решением уравнения (4), то для любого $x \in \left[ {0,\infty } \right)$ выполняются неравенства:

(7)
$\begin{gathered} {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {H(2t) + K'\left( 0 \right)} \right]dt} \right)}^{{1/\left( {\alpha - 1} \right)}}} \leqslant u\left( x \right) \leqslant \\ \, \leqslant {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {2H(2t) - H\left( t \right) + K'\left( t \right)} \right]dt} \right)}^{{1/\left( {\alpha - 1} \right)}}}. \\ \end{gathered} $

В силу леммы 2, исследование интегро-дифференциального уравнения (1) сводится к исследованию интегрального уравнения (4). Из лемм 1 и 3, в частности, следует, что если $u \in Q_{0}^{1}$ и является решением уравнения (1), то оно не убывает на $\left[ {0,\infty } \right)$ и удовлетворяет неравенствам (7).

Отметим, что при $H\left( x \right) = {{C}_{1}}$ и $K\left( x \right) = {{C}_{2}}x$, где ${{C}_{1}} \geqslant 0$ и ${{C}_{2}} > 0$ есть константы, неравенства в (7) обращаются в равенства и дают решение как уравнения (4), так и уравнения (1), что свидетельствует о точности полученных в лемме 3 априорных оценок решения интегрального уравнения (4).

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

Из леммы 3 вытекает, что решения уравнения (4) естественно разыскивать в классе

$\begin{gathered} P = \left\{ {u\left( x \right){\kern 1pt} :\;~~u \in C\left[ {0,\infty } \right)} \right. \\ \left. {~{\text{и}}\;\;F\left( x \right) \leqslant u\left( x \right) \leqslant G\left( x \right)~\;\;{\text{для}}\;{\text{\;любого}}\;\;~x \in \left[ {0,\infty } \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $
где

$F\left( x \right) = {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {H(2t) + K{\kern 1pt} '\left( 0 \right)} \right]dt} \right)}^{{1/\left( {\alpha - 1} \right)}}},$
$G\left( x \right) = {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {2H(2t) - H\left( t \right) + K{\kern 1pt} '\left( t \right)} \right]dt} \right)}^{{1/\left( {\alpha - 1} \right)}}}.$

Запишем уравнение (4) в операторном виде: $u = Tu$, где

$\left( {Tu} \right)\left( x \right) = {{\left( {\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {H\left( {x + t} \right) + K{\kern 1pt} '\left( {x - t} \right)} \right]u\left( t \right)dt} \right)}^{{1/\alpha }}}.$

Лемма 4. Пусть выполнены условия (2) и (3). Тогда класс P инвариантен относительно оператора $T$, т.е. $T:P \to P$.

При доказательстве априорных оценок (7) и леммы 4 весьма полезными оказались неравенства (5), (6) и лемма III [12, c. 288].

Рассмотрим теперь класс

$\begin{gathered} {{P}_{b}} = \left\{ {u\left( x \right){\kern 1pt} :\;~~u \in C\left[ {0,b} \right]~} \right. \\ \left. {~{\text{и}}\;\;F\left( x \right) \leqslant u\left( x \right) \leqslant G\left( x \right)~\;\;{\text{для}}\;{\text{\;любого}}\;\;x \in \left[ {0,b} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $
где $b > 0$ есть любое число, и определим в нем расстояние следующим образом

(8)
$\rho \left( {u,{v}} \right) = \mathop {\sup }\limits_{0 < x \leqslant b} \frac{{\left| {u\left( x \right) - {v}\left( x \right)} \right|}}{{G\left( x \right)}}.$

Лемма 5. Пара $\left( {{{P}_{b}},\rho } \right)$ образует полное метрическое пространство.

Лемма 5 доказывается аналогично лемме 4 из [13].

Из леммы 4 непосредственно вытекает, что оператор T действует из ${{P}_{b}}$ в ${{P}_{b}}$. При следующем дополнительном предположении

(9)
$q = \mathop {\sup }\limits_{0 < x \leqslant b} \frac{{\int\limits_0^x {[2H(2t) - H(t) + K'\left( t \right)]dt} }}{{\alpha \cdot \int\limits_0^x {\left[ {H(2t) + K'\left( 0 \right)} \right]} dt}} < 1~,$
оператор $T$ является сжимающим в метрическом пространстве ${{P}_{b}}$, причем

$\rho \left( {Tu,T{v}} \right) \leqslant q \cdot \rho \left( {u,{v}} \right),\quad \forall u,{v} \in {{P}_{b}}.$

Полученные выше результаты позволяют сформулировать и доказать следующую теорему.

Теорема 1. Пусть $\alpha > 1$ и выполнены условия (2), (3) и (9). Тогда интегральное уравнение (4) имеет в конусе ${{Q}_{0}}$ (и в ${{P}_{b}}$ при любом $b > 0$) единственное решение u*(x). Это решение можно найти в пространстве ${{P}_{b}}$ методом последовательных приближений пикаровского типа по формуле ${{u}_{n}} = T{{u}_{{n - 1}}}$, $n \in \mathbb{N}$, со сходимостью по метрике $\rho $. При этом справедлива оценка скорости сходимости:

(10)
$\rho \left( {{{u}_{n}},u{\kern 1pt} *} \right) \leqslant \frac{{{{q}^{n}}}}{{1 - q}}\rho \left( {T{{u}_{0}},{{u}_{0}}} \right),\quad n \in \mathbb{N},~$
где число q < 1 определено в условии (9), а ${{u}_{0}} \in {{P}_{b}}$ есть начальное приближение (произвольная функция).

В силу леммы 2, теоремы 1 и равенства (см. [10, Лемма 2])

$\mathop \smallint \limits_0^x H\left( {x + t} \right)dt = \mathop \smallint \limits_0^x \left[ {2H\left( {2t} \right) - H\left( t \right)} \right]dt$
справедлива следующая основная теорема данной работы.

Теорема 2. Пусть $\alpha > 1$ и выполнены условия (2), (3) и (9). Тогда интегро-дифференциальное уравнение (1) имеет в конусе $Q_{0}^{1}$ (и в ${{P}_{b}}$ при любом $b > 0$) единственное решение u*(x), причем для любого $x \in \left[ {0,\infty } \right)$

$\begin{gathered} {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {H\left( {2t} \right) + K{\kern 1pt} '\left( 0 \right)} \right]dt} \right)}^{{1/\left( {\alpha - 1} \right)}}} \leqslant u{\kern 1pt} *\left( x \right) \leqslant \\ \, \leqslant {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_0^x \left[ {H\left( {x + t} \right) + K{\kern 1pt} '\left( {x - t} \right)} \right]dt} \right)}^{{1/\left( {\alpha - 1} \right)}}}. \\ \end{gathered} $

Это решение можно найти в пространстве ${{P}_{b}}$ методом последовательных приближений пикаровского типа по формуле ${{u}_{n}} = T{{u}_{{n - 1}}}$, $n \in \mathbb{N}$, со сходимостью по метрике $\rho $, определенной равенством (8). При этом справедлива оценка скорости сходимости (10).

Замечание 1. В линейном случае (при $\alpha = 1$) как и в случае, когда $0 < \alpha < 1$, интегро-дифференциальное уравнение (1) имеет в конусе $Q$ лишь тривиальное решение $u\left( x \right) \equiv 0$. Из теоремы 2 следует, что при $\alpha > 1$ уравнение (1) может иметь также и нетривиальное решение. Например, если H(x) = = ${{C}_{1}} \geqslant 0$ и $K\left( x \right) = {{C}_{2}}x$, ${{C}_{2}} > 0$, то кроме тривиального решения уравнение (1) имеет в конусе $Q$ и нетривиальное решение:

$u(x) = C \cdot {{x}^{{1/(\alpha - 1)}}},\quad где\quad C = {{\left( {\frac{{\alpha - 1}}{\alpha }[{{C}_{1}} + {{C}_{2}}]} \right)}^{{1/(\alpha - 1)}}}.$

В этом состоит принципиальное отличие нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа от соответствующих однородных линейных уравнений, которые могут иметь лишь тривиальное решение.

В связи с условием (9) заметим, что

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int\limits_0^x {[2H\left( {2t} \right) - H\left( t \right) + K{\kern 1pt} '\left( t \right)]} dt}}{{\alpha \cdot \int\limits_0^x {\left[ {H\left( {2t} \right) + K{\kern 1pt} '\left( 0 \right)} \right]} dt}} = \\ \, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2H\left( {2x} \right) - H\left( x \right) + K{\kern 1pt} '\left( x \right)}}{{\alpha \cdot \left[ {H\left( {2x} \right) + K{\kern 1pt} '\left( 0 \right)} \right]}} = \frac{1}{\alpha } < 1~. \\ \end{gathered} $

Значение этого предела подтверждает корректность дополнительного условия (9). Более того, в случае ядер $H\left( x \right) = {{C}_{1}} \geqslant 0$ и $K\left( x \right) = {{C}_{2}}x$, ${{C}_{2}} > 0$, удовлетворяющих, очевидно, основным условиям (2) и (3), дополнительное условие (9) также выполняется и при этом значение q = 1/α.

В заключение отметим, что следуя работам [10] и [13], теорему 2 можно обобщить на случай уравнения вида (1) с неоднородностью в правой части, а в случае показателя $\alpha $ специального вида такое уравнение можно исследовать в пространстве Лебега ${{L}_{{1 + \alpha }}}\left( {0,\infty } \right)$ методом монотонных по Браудеру-Минти операторов (см., например, [14]).

Список литературы

  1. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки. М.: Физматлит, 2009. 304 с.

  2. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications. Cambridge: Univ. Press, 2017. 387 p.

  3. Keller J.J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction // Z. Angew. Math. Phys. 1981. V. 32. № 2. P. 170–181.

  4. Schneider W.R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution type // Z. Angew. Math. Phys. 1982. V. 33. № 1. P. 140–142.

  5. Okrasinski W. Nonlinear Volterra equations and physical applications // Extracta Math. 1989. V. 4. № 2. P. 51–74.

  6. Какичев В.А., Рогожин В.С. Об одном обобщении уравнения Чандрасекхара // Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 2. № 9. С. 1264–1270.

  7. Измаилов А.Ф. 2-регулярность и теоремы о разветвлении // Итоги науки и техники. Сер. Совр. математика и ее прил. Темат. обз. 1999. Т. 65. С. 90–117.

  8. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

  9. Антипов В.Г. Особое интегральное уравнение с суммарным ядром // Известия вузов. Математика. 1959. № 6. С. 9–13.

  10. Асхабов С.Н. Об одном интегральном уравнении с суммарным ядром и неоднородностью в линейной части // Дифференциальные уравнения. 2021. Т. 57. № 9. С. 1210–1219.

  11. Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: МГУ, 1987. 310 с.

  12. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М: ГИТТЛ, 1951. 552 с.

  13. Асхабов С.Н. Интегро-дифференциальное уравнение типа свертки со степенной нелинейностью и неоднородностью в линейной части // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 786–795.

  14. Асхабов С.Н., Карапетянц Н.К., Якубов А.Я. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью и их системы // ДАН. 1990. Т. 311. № 5. С. 1035–1039.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал