1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 509, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 50-53

Нелокальные задачи с обобщенным условием Самарского–Ионкина для некоторых классов нестационарных дифференциальных уравнений

А. И. Кожанов 1, 2, *

1 Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Новосибирск, Россия

2 Новосибирский государственный университет
Новосибирск, Россия

* E-mail: kozhanov@math.nsc.ru

Поступила в редакцию 02.09.22
После доработки 28.10.2022
Принята к публикации 23.12.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе изучается разрешимость нелокальных по пространственной переменной краевых задач для одномерных параболических уравнений, а также для некоторых уравнений соболевского типа. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений – именно, решений, имеющих все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

Ключевые слова: параболические уравнения, уравнения соболевского типа, нелокальные задачи, обобщенное условие Самарского–Ионкина, регулярные решения, существование, единственность

1. ВВЕДЕНИЕ

Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений – именно, задачи, в которых вместо обычных локальных (точечных) граничных условий задаются условия, связывающие значения решения и (или) его производных в граничных точках со значениями решения и (или) его производных в точках иных граничных или внутренних многообразий – исследуются с давних времен, причем как с математической точки зрения, так и с точки зрения математического моделирования. Современный этап в развитии теории таких задач начался, по-видимому, с работы А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [1], опубликованной в 1969 г. В этой работе был предложен новый подход к постановке нелокальных краевых задач; этот подход с тех пор активно используется многими авторами. Среди многочисленных работ, посвященных задаче Бицадзе–Самарского и близких к ней задачам, выделим сыгравшие особую роль работы [2–5]. В первой из них – работе Н.И. Ионкина [2], опубликованной в 1977 г. – изучалась нелокальная задача для одномерного параболического уравнения, возникающая при моделировании некоторых неклассических тепловых процессов, и был предложен метод, основанный на разложении решения по специальной биортогональной системе функций, с помощью которого удалось доказать существование и в дальнейшем в работе [3] – устойчивость решений.

В 1980 г. была опубликована работа А.А. Самарского [4], в которой также для параболического уравнения с одной пространственной переменной была предложена постановка нелокальной краевой задачи, включающая в себя как постановку классических начально-краевых задач, так и задачу Н.И. Ионкина работ [2] и [3]. Исследованию разрешимости нелокальных задач с условиями А.А. Самарского посвящены работы Н. Лажетича, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной и многих других.

Как сыгравшую особую роль, отметим также работу [5], принадлежащую Н.И. Юрчуку. В этой работе изучалась задача Н.И. Ионкина для одномерных параболических уравнений с переменными коэффициентами, метод исследования отличался от метода работ [2, 3], но ее разрешимость была установлена лишь в весовых пространствах.

Заметим также следующее. Как уже говорилось выше, работы Н.И. Ионкина [2, 3] появились во многом благодаря некоторым потребностям математического моделирования. Но впервые, по-видимому, на связь теории нелокальных краевых задач с задачами математического моделирования обратил внимание В.А. Стеклов еще в конце XIX века в работе [6] (см. также [7]), посвященной изучению некоторых процессов теплопроводности.

Именно нелокальная задача Н.И. Ионкина, но в более общей постановке – с условием, которое можно назвать обобщенным условием Самарского–Ионкина – и будет основной целью настоящей работы. Более точно, будут изучаться некоторые нелокальные краевые задачи с обобщенным условием Самарского–Ионкина для параболических уравнений с переменными коэффициентами, а также для уравнений, которые в последнее время – см., например, [8–10] – называют уравнениями соболевского типа. Уточним, что метод исследования при этом будет отличаться как от метода работ [2, 3], так и от метода работы [5].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

Пусть $\Omega $ есть интервал $(0,\;1)$ оси $Ox$, $Q$ есть прямоугольник $\Omega \times (0,T)$, $0 < T < + \infty $, переменных $x$ и $t$. Далее, пусть $a(x)$, $b(x,t)$, $c(x,t)$, $f(x,t)$ и $\gamma (t)$ есть заданные функции, определенные при $x \in \bar {\Omega }$, $t \in [0,T]$.

Нелокальная задача I: найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения

(1)
${{u}_{t}} - \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {a(x){{u}_{x}}} \right) + c(x,t)u = f(x,t)$
и такую, что для нее выполняются условия

(2)
$u(x,0) = 0,\quad x \in \Omega ,$
(3)
$u(0,t) = \gamma (t)u(1,t),\quad {{u}_{x}}(1,t) = 0,\quad t \in (0,T).$

Нелокальная задача II: найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условие

(4)
${{u}_{x}}(0,t) = \gamma (t){{u}_{x}}(1,t),\quad u(1,t) = 0,\quad t \in (0,T).$

Нелокальная задача III: найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения

(5)
${{u}_{{tt}}} - {{u}_{{xxt}}} + b(x,t){{u}_{{xx}}} + c(x,t)u = f(x,t)$
и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3), а также условие

(6)
${{u}_{t}}(x,0) = 0,\quad x \in \Omega .$

Нелокальная задача IV: найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения (5) и такую, что для нее выполняются условия (2), (4) и (6).

В данных задачах условие (4) в случае $\gamma (t) \equiv 1$ есть условие Ионкина (в дифференциальной форме), и тем самым задачи II и IV можно назвать обобщением задачи Ионкина. Нелокальные задачи I и III имеют самостоятельное значение, но в то же время ниже будет показано, что они тесно связаны с задачами II и IV.

3. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ I И II

Теорема 1. Пусть выполняются условия

$a(x) \in {{C}^{1}}(\bar {\Omega }),\quad c(x,t) \in C(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in C([0,T]),$
$a(x) \geqslant {{a}_{0}} > 0,\quad a{\kern 1pt} '(x) \leqslant 0\quad при\quad x \in \bar {\Omega }.$

Тогда нелокальная задача I не может иметь в пространстве $W_{2}^{{2,1}}(Q)$ более одного решения.

Доказательство. Умножим уравнение (1) с нулевой правой частью на функцию $xu$ и проинтегрируем по прямоугольнику $\Omega \times (0,t)$. Используя далее неравенство

(7)
${{\psi }^{2}}(1) \leqslant {{\delta }^{2}}\int\limits_\Omega {x{{\psi }^{{'2}}}} (x)dx + \left( {2 + \frac{1}{{{{\delta }^{2}}}}} \right)\int\limits_\Omega {x{{\psi }^{2}}} (x)dx,$
в котором $\psi (x) \in W_{2}^{1}(\Omega )$, $\delta $ есть произвольное положительное число, и применяя лемму Гронуолла, получим, что для решения $u(x,t)$ нелокальной задачи I в случае $f(x,t) \equiv 0$ при $t \in (0,T)$ выполняется равенство $u(0,t) = 0$. Другими словами, функция $u(x,t)$ будет решением однородной начально-краевой задачи со смешанными условиями для параболического уравнения второго порядка. Как хорошо известно [11], функция $u(x,t)$ будет тождественно нулевой в $Q$ функцией. А это и означает требуемое.

Определим пространство ${{V}_{0}}$:

${{V}_{0}} = \{ {v}(x,t):\;{v}(x,t) \in W_{2}^{{2,1}}(Q),\;{{{v}}_{x}}(x,t) \in W_{2}^{{2,1}}(Q)\} .$

Теорема 2. Пусть выполняются условия

$a(x) \in {{C}^{2}}(\bar {\Omega }),\quad c(x,t) \in {{C}^{2}}(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in C([0,T]),$
$\begin{gathered} a(x) \geqslant {{a}_{0}} > 0,\quad {{\left( {x{{c}_{x}}(x,t)} \right)}_{x}} \leqslant 0 \\ при\quad x \in \bar {\Omega },\quad t \in [0,T],\quad a{\text{'}}(1) = 0. \\ \end{gathered} $

Тогда нелокальная задача II не может иметь в пространстве ${{V}_{0}}$ более одного решения.

Доказательство. Если $u(x,t)$ есть решение из пространства ${{V}_{0}}$ нелокальной задачи II в случае $f(x,t) \equiv 0$, то для функции ${v} = {{u}_{x}}$ будет выполняться уравнение

${{{v}}_{t}} - \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}\left( {a(x){v}} \right) + c(x,t){v} + {{c}_{x}}(x,t)u = 0.$

Умножая это уравнение на функцию $x{v}$, интегрируя по прямоугольнику $\Omega \times (0,t)$, применяя неравенство (7) и лемму Гронуолла, получим ${v}(x,t) \equiv 0$ в $Q$. Отсюда и следует требуемое.

Теорема 3. Пусть выполняются условия

$a(x) \in {{C}^{2}}(\bar {\Omega }),\quad c(x,t) \in {{C}^{1}}(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in {{C}^{2}}([0,T]),$
$a(x) \geqslant {{a}_{0}}\, > \,0,\quad a{\kern 1pt} '(x) \leqslant 0\quad c(x,t) \geqslant 0,\quad {{c}_{{xx}}}(x,t) \leqslant 0,$
$2c(x,t) - a{\kern 1pt} ''(x) \geqslant 0\quad при\quad x \in \bar {\Omega },\quad t \in [0,T].$

Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что $f(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, ${{f}_{t}}(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, нелокальная задача I имеет решение $u(x,t)$, принадлежащее пространству $W_{2}^{{2,1}}(Q)$.

Доказательство этой теоремы проводится с помощью метода регуляризации. Именно, для положительных чисел $\varepsilon $ и $\mu $ рассматривается задача: найти функцию ${v}(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения

${{{v}}_{t}} - \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {a(x){{{v}}_{x}}} \right) + c(x,t){v} + \varepsilon ({{{v}}_{{xxtt}}} - \mu {{{v}}_{{tt}}}) = g(x,t)\;\;( * )$
и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3), а также условие

${{{v}}_{t}}(x,T) = 0,\quad x \in \Omega .$

Как для доказательства существования регулярного решения этой задачи, так и для организации предельного перехода необходимы априорные оценки. Эти оценки выводятся с помощью анализа равенств, полученных умножением уравнения (∗) на функции $({{T}_{0}} - t)x{v}(x,t)$, $ - x({{T}_{0}} - t){{{v}}_{{tt}}}(x,t)$, $ - {{{v}}_{{xx}}}(x,t)$, ${{{v}}_{t}}(x,t)$ и $\varepsilon {{{v}}_{{xxtt}}}(x,t)$ (${{T}_{0}} > T$), с последующим интегрированием по прямоугольнику $Q$.

Теорема 4. Пусть выполняются условия

$a(x) \in {{C}^{2}}(\bar {\Omega }),\quad c(x,t) \in {{C}^{2}}(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in {{C}^{2}}([0,T]),$
$a(x) \geqslant {{a}_{0}} > 0,\quad c(x,t) \geqslant 0,\quad 2c(x,t) - a{\kern 1pt} ''(x) \geqslant 0,$
$\begin{gathered} {{(x{{c}_{x}}(x,t))}_{x}} \leqslant 0 \\ при\quad x \in \bar {\Omega },\quad t \in [0,T],\quad a{\kern 1pt} '(1) = 0. \\ \end{gathered} $

Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что $f(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, ${{f}_{x}}(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, ${{f}_{{xt}}}(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, нелокальная задача II имеет решение $u(x,t)$ такое, что $u(x,t) \in W_{2}^{{2,1}}(Q)$, ${{u}_{x}}(x,t) \in W_{2}^{{2,1}}(Q)$.

Доказательство этой теоремы проводится с помощью перехода к продифференцированному по переменной $x$ уравнению (∗).

4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ III И IV

Определим пространства ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{2}}$:

${{V}_{1}} = \left\{ {{v}(x,t){\text{:}}\;{v}(x,t) \in {{L}_{\infty }}\left( {0,T;W_{2}^{2}(\Omega )} \right)} \right.,$
${{{v}}_{t}}(x,t) \in \left. {{{L}_{2}}\left( {0,T;W_{2}^{2}(\Omega )} \right),{{{v}}_{{tt}}}(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)} \right\},$
${{V}_{2}} = \left\{ {{v}(x,t){\text{:}}\;{v}(x,t) \in {{V}_{1}},\quad {{{v}}_{x}}(x,t) \in {{V}_{1}}} \right\}.$

Теорема 5. Пусть выполняются условия

$b(x,t) \in C(\bar {Q}),\quad c(x,t) \in C(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in C([0,T]).$

Тогда нелокальная задача III не может иметь в пространстве ${{V}_{1}}$ более одного решения.

Теорема 6. Пусть выполняются условия

$b(x,t) \in {{C}^{2}}(\bar {Q}),\quad c(x,t) \in {{C}^{1}}(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in C([0,T]),$
${{\left( {x{{b}_{x}}(x,t)} \right)}_{x}} \leqslant 0\quad при\quad (x,t) \in \bar {Q}.$

Тогда нелокальная задача IV не может иметь в пространстве ${{V}_{2}}$ более одного решения.

Уравнение (5) на функциях из пространства ${{V}_{1}}$ можно записать в виде

${{u}_{t}} - {{u}_{{xx}}} + b(x,t)u = \int\limits_0^t R (x,t,\tau )u(x,\tau )d\tau + {{f}_{1}}(x,t),$
(8)
$R(x,t,\tau )\, = \,{{e}^{{\int\limits_0^t b (x,\tau )d\tau - \int\limits_0^\tau b (x,\xi )d\xi }}}[{{b}_{\tau }}(x,\tau )\, - \,{{b}^{2}}(x,\tau )\, - \,c(x,\tau )],$
${{f}_{1}}(x,t) = \int\limits_0^t {{{e}^{{\int\limits_0^t b (x,\tau )d\tau - \int\limits_0^\tau {b(x,\xi )d\xi } }}}f(x,\tau )d\tau } .$

Повторяя для уравнения (8) доказательство теорем 1 и 2, получим требуемое.

Используя представление (8), нетрудно установить и разрешимость нелокальных задач III и IV.

Теорема 7. Пусть выполняются условия

$b(x,t) \in {{C}^{1}}(\bar {Q}),\quad c(x,t) \in C(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in {{C}^{2}}([0,T]),$
$b(x,t) \geqslant 0\quad при\quad (x,t) \in \bar {Q}.$

Тогда для любой функции $f(x,t)$ из пространства ${{L}_{2}}(Q)$ нелокальная задача III имеет решение $u(x,t)$, принадлежащее пространству ${{V}_{1}}$.

Теорема 8. Пусть выполняются условия

$b(x,t) \in {{C}^{2}}(\bar {Q}),\quad c(x,t) \in {{C}^{1}}(\bar {Q}),\quad \gamma (t) \in {{C}^{2}}([0,T]),$
$b(x,t) \geqslant 0,\quad {{\left( {x{{b}_{x}}(x,t)} \right)}_{x}} \leqslant 0\quad при\quad (x,t) \in \bar {Q}.$

Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что $f(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, ${{f}_{x}}(x,t) \in {{L}_{2}}(Q)$, нелокальная задача IV имеет решение $u(x,t)$, принадлежащее пространству ${{V}_{2}}$.

Сделаем несколько заключительных замечаний:

1. Уравнения (1) и (5) имеют модельный вид. Представленные в работе результаты можно получить и в более общих ситуациях – например, функция $a$ в уравнении (1) может зависеть и от переменной $t$, в уравнениях (1) и (5) могут присутствовать слагаемые с первой производной по переменной $x$, и т.д. Соответствующие условия разрешимости (существования и единственности) легко выводятся.

2. Краевые условия (3) и (4) также можно “пошевелить” – второе условие (3) можно заменить условием ${{u}_{x}}(1,t)$ + $\alpha (t)u(1,t)$ = 0, первое условие (4) можно заменить условием ${{u}_{x}}(0,t)$ + $\beta (t)u(0,t)$ = = $\gamma (t){{u}_{x}}(1,t)$.

3. Теоремы 1 и 2, 4 и 5 говорят о единственности регулярных решений соответствующих нелокальных задач для любой функции $\gamma (t)$. Вместе с тем для близкого к изученным уравнения

(9)
${{u}_{t}} - {{u}_{{xxt}}} + b(x,t){{u}_{{xx}}} + c(x,t)u = f$
(называемого в некоторых источниках псевдопараболическим) это не так. В случае $b(x,t) \equiv c(x,t) \equiv 0$, $\gamma = \frac{1}{2}\left( {e + {{e}^{{ - 1}}}} \right)$, $f(x,t) \equiv 0$ нелокальная задача I для уравнения (9) имеет ненулевое решение $u(x,t)$ = = $t\left( {{{e}^{x}} + {{e}^{{ - x}}}} \right)$, что и говорит о неединственности решений.

4. Краевые и начальные условия в нелокальных задачах можно задавать неоднородными. Суть полученных результатов от этого не изменится.

5. И последнее замечание: разрешимость нелокальных задач I и II для гиперболических уравнений второго порядка с одной пространственной переменной с произвольной функцией $\gamma (t)$ доказана в работе [12].

Список литературы

  1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739–740.

  2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294–304.

  3. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1279–1283.

  4. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925–1935.

  5. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2117–2126.

  6. Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 2. 1897. Т. 5. № 3–4. С. 136–181.

  7. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

  8. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

  9. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, the Netherlands: VSP, 2003.

  10. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

  11. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

  12. Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Математическиезаметки. 2011. Т. 90. Вып. 2. С. 254–268.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал