Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 510, № 1, стр. 18-22

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ПЕРЕНОСА МАЛЕРА ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

О. Н. Герман^1, 2, *

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

² Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

^* E-mail: german.oleg@gmail.com

Поступила в редакцию 04.01.2023
После доработки 13.01.2023
Принята к публикации 07.03.2023

EDN: XHRKPY
DOI: 10.31857/S2686954323600015

Полный текст (PDF)

Аннотация

Теоремы переноса Хинчина и Дайсона можно легко вывести из теоремы переноса Малера. В мультипликативной же постановке возникает препятствие, не позволяющее получить мультипликативную теорему переноса непосредственно из теоремы Малера. Требуются некоторые дополнительные соображения, например, индукция по размерности. В данной работе мы предлагаем аналог теоремы Малера, из которого мультипликативная теорема переноса следует мгновенно.

Ключевые слова: мультипликативные диофантовы приближения, мультипликативные диофантовы экспоненты, принцип переноса, теорема Малера

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим матрицу

$\Theta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\theta }_{{11}}}}& \cdots &{{{\theta }_{{1m}}}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{{\theta }_{{n1}}}}& \cdots &{{{\theta }_{{nm}}}} \end{array}} \right),\quad {{\theta }_{{ij}}} \in \mathbb{R},\quad m + n \geqslant 3,$

и систему линейных уравнений

$\Theta {\mathbf{x}} = {\mathbf{y}}$

с переменными ${\mathbf{x}}\, = \,({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{m}})\, \in \,{{\mathbb{R}}^{m}}$, y = $({{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{n}})\, \in \,{{\mathbb{R}}^{n}}$. Одним из основных вопросов теории диофантовых приближений является вопрос о том, насколько малым может быть вектор $\Theta {\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}$ при x и y пробегающих независимо друг от друга ${{\mathbb{Z}}^{m}}{{\backslash }}\{ {\mathbf{0}}\} $ и ${{\mathbb{Z}}^{n}}$ соответственно. Существует несколько классических способов измерения “величины” вектора. Можно выбрать норму, например, sup-норму, можно ее несколько видоизменить, превратив ее в так называемую взвешенную норму, или можно рассмотреть произведение модулей координат вектора. Для каждой подобной постановки задачи существуют теоремы переноса – утверждения, отражающие связь аппроксимационных свойств матрицы $\Theta $ и матрицы ${{\Theta }^{ \intercal }}$. Они обычно формулируются в терминах диофантовых экспонент, которые являются, возможно, простейшими количественными характеристиками, отвечающими за аппроксимационные свойства.

Для каждого натурального k и z = (z₁, ..., ${{z}_{k}}) \in {{\mathbb{R}}^{k}}$ положим

$\begin{gathered} {\text{|}}{\mathbf{z}}{\text{|}} = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant k} {\text{|}}{{z}_{i}}{\text{|}},\quad \Pi ({\mathbf{z}}) = \prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {1 \leqslant i \leqslant k} \end{array}} {\text{|}}{{z}_{i}}{{{\text{|}}}^{{1/k}}}, \\ \Pi {\kern 1pt} '({\mathbf{z}}) = \prod\limits_{1 \leqslant i \leqslant k} \max {{(1,{\text{|}}{{z}_{i}}{\text{|}})}^{{1/k}}}. \\ \end{gathered} $

Определение 1. Супремум вещественных чисел $\gamma $, таких что существует сколь угодно большое t, при котором система неравенств

(1)

${\text{|}}{\mathbf{x}}{\text{|}} \leqslant t,\quad {\text{|}}\Theta {\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}{\text{|}} \leqslant {{t}^{{ - \gamma }}}$

имеет решение $({\mathbf{x}},{\mathbf{y}}) \in {{\mathbb{Z}}^{m}} \oplus {{\mathbb{Z}}^{n}}$ с ненулевым x, называется диофантовой экспонентой матрицы $\Theta $ и обозначается $\omega (\Theta )$.

Определение 2. Супремум вещественных чисел $\gamma $, таких что существует сколь угодно большое t, при котором система неравенств

(2)

$\Pi {\kern 1pt} '({\mathbf{x}}) \leqslant t,\quad \Pi (\Theta {\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}) \leqslant {{t}^{{ - \gamma }}}$

имеет решение $({\mathbf{x}},{\mathbf{y}}) \in {{\mathbb{Z}}^{m}} \oplus {{\mathbb{Z}}^{n}}$ с ненулевым x, называется мультипликативной диофантовой экспонентой матрицы $\Theta $ и обозначается ${{\omega }_{ \times }}(\Theta )$.

Для каждого ${\mathbf{z}} \in {{\mathbb{R}}^{k}}$ справедливо

$\Pi ({\mathbf{z}}) \leqslant {\text{|}}{\mathbf{z}}{\text{|}},$

а для каждого ${\mathbf{z}} \in {{\mathbb{Z}}^{k}}$ справедливо

${\text{|}}{\mathbf{z}}{{{\text{|}}}^{{1/k}}} \leqslant \Pi {\kern 1pt} '({\mathbf{z}}) \leqslant {\text{|}}{\mathbf{z}}{\text{|}}.$

Стало быть,

(3)

$m{\text{/}}n \leqslant \omega (\Theta ) \leqslant {{\omega }_{ \times }}(\Theta ) \leqslant \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {m\omega (\Theta )\quad {\text{при}}\quad n = 1} \\ { + \infty \quad {\text{при}}\quad n \geqslant 2} \end{array}} \right.,$

где первое неравенство следует из теоремы Минковского о выпуклом теле.

Неравенства (3) можно назвать тривиальными. Теоремы переноса, упомянутые выше, дают следующие нетривиальные неравенства:

(4)

$\omega ({{\Theta }^{ \intercal }}) \geqslant \frac{{n\omega (\Theta ) + n - 1}}{{(m - 1)\omega (\Theta ) + m}}$

(5)

${{\omega }_{ \times }}({{\Theta }^{ \intercal }}) \geqslant \frac{{n{{\omega }_{ \times }}(\Theta ) + n - 1}}{{(m - 1){{\omega }_{ \times }}(\Theta ) + m}}{\kern 1pt} .$

Неравенство (4) принадлежит Дайсону [1], неравенство (5) было доказано автором в работе [2]. Можно заметить, что эти неравенства выглядят одинаково, однако, в их доказательствах имеется существенное отличие. Неравенство Дайсона следует непосредственно из теоремы переноса Малера (см. [3, 4], а также [5, 6]), тогда как неравенство для мультипликативных экспонент, наряду с теоремой Малера, требует привлечения индукции по n. Грубо говоря, причина заключается в том, что функционалы $\Pi ( \cdot )$ и $\Pi {\kern 1pt} '( \cdot )$ отличаются друг от друга.

Цель данной работы – найти аналог теоремы переноса Малера, из которого неравенство (5) выводится столь же непосредственно, как из классической теоремы Малера выводится (4).

Оставшаяся часть статьи организована следующим образом. В параграфе 2 мы формулируем теорему Малера и показываем, как из нее выводится неравенство Дайсона. В параграфе 3 мы формулируем и доказываем основной результат данной статьи. В параграфе 4 мы выводим из нашего результата неравенство (5).

2. ТЕОРЕМА МАЛЕРА И НЕРАВЕНСТВО ДАЙСОНА

Положим

$d = m + n.$

В своей оригинальной работе [7] Малер сформулировал свою знаменитую теорему в терминах билинейных форм с целыми коэффициентами (см. также [3] и [6])). В работе [6] теорема Малера проинтерпретирована в терминах псевдоприсоединенных параллелепипедов и двойственных решеток. Нам представляется, что эта интерпретация более удобна для приложений. Псевдоприсоединенный параллелепипед – понятие, предложенное в книге Шмидта [4], оно является некоторым упрощением того, что Малер в своих работах [8, 9] называет (d – 1)-м присоединенным телом для параллелепипеда.

Определение 3. Пусть заданы положительные вещественные числа ${{\eta }_{1}}, \ldots ,{{\eta }_{d}}$. Рассмотрим параллелепипед

(6)

$\mathcal{P} = \{ {\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,{\text{|}}{{z}_{i}}{\text{|}} \leqslant {{\eta }_{i}},i = 1, \ldots ,d\} .$

Параллелепипед

$\begin{gathered} \mathcal{P}{\kern 1pt} * = \left\{ {{\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,{\text{|}}{{z}_{i}}{\text{|}} \leqslant \frac{1}{{{{\eta }_{i}}}}\prod\limits_{j = 1}^d {{\eta }_{j}},} \right. \\ \left. {\mathop {i = 1, \ldots ,d}\limits_{}^{} } \right\} \\ \end{gathered} $

называется псевдоприсоединенным для $\mathcal{P}$.

Напомним, что, если $\Lambda $ – решетка полного ранга в ${{\mathbb{R}}^{d}}$, ее двойственная решетка $\Lambda {\kern 1pt} *$ определяется как

$\Lambda {\kern 1pt} * = \{ {\kern 1pt} {\mathbf{z}} \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,\langle {\mathbf{z}},{\mathbf{z}}{\kern 1pt} '\rangle \in \mathbb{Z}\;{\text{для}}\;{\text{каждого}}\;{\mathbf{z}}{\kern 1pt} ' \in \Lambda {\kern 1pt} \} ,$

где $\langle {\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} , \cdot {\kern 1pt} \rangle $ обозначает скалярное произведение.

Следующая версия теоремы переноса Малера предложена в работе [6].

Теорема 1. Пусть $\Lambda $ – решетка полного ранга в ${{\mathbb{R}}^{d}}$ с определителем 1. Пусть $\mathcal{P}$ – параллелепипед с центром в начале координат и гранями, параллельными координатным плоскостям. Тогда

$\mathcal{P}{\kern 1pt} * \cap \;\Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow c\mathcal{P} \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} ,$

где $c = (\sqrt d {{)}^{{1/(d - 1)}}}$.

Теорема 1 на самом деле является некоторым усилением оригинальной теоремы Малера. Малер формулировал свою теорему с константой $d - 1$ вместо c. Отметим, однако, что с точки зрения диофантовых экспонент годится любая константа (зависящая лишь от d).

Покажем, как неравенство (4) выводится из Теоремы 1. Напомним, что $d = m + n$.

Рассмотрим решетки

(7)

$\Lambda = \Lambda (\Theta )\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{I}}}_{m}}}&{} \\ { - \Theta }&{{{{\mathbf{I}}}_{n}}} \end{array}} \right){{\mathbb{Z}}^{d}},\quad \Lambda {\kern 1pt} * = \Lambda {\kern 1pt} *(\Theta )\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{I}}}_{m}}}&{{{\Theta }^{ \intercal }}} \\ {}&{{{{\mathbf{I}}}_{n}}} \end{array}} \right){{\mathbb{Z}}^{d}}.$

Ясно, что решетка $\Lambda {\kern 1pt} *$ является двойственной к Λ. Далее, для каждых положительных $t$, $\gamma $, $s$, $\delta $ определим параллелепипеды

(8)

$\begin{gathered} \mathcal{P}(t,\gamma ) = \\ \, = \left\{ {{\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\left| \begin{gathered} {\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} \leqslant t,j = 1, \ldots ,m \hfill \\ {\text{|}}{{z}_{{m + i}}}{\text{|}} \leqslant {{t}^{{ - \gamma }}},i = 1, \ldots ,n \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right\}, \\ \end{gathered} $

(9)

$\begin{gathered} \mathcal{Q}(s,\delta ) = \\ \, = \left\{ {{\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\left| \begin{gathered} {\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} \leqslant {{s}^{{ - \delta }}},j = 1, \ldots ,m \hfill \\ {\text{|}}{{z}_{{m + i}}}{\text{|}} \leqslant s,i = 1, \ldots ,n \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right\}. \\ \end{gathered} $

Тогда

(10)

$\begin{gathered} \omega (\Theta ) = \sup \left\{ {\gamma \, \geqslant \,\left. {\frac{m}{n}} \right|\;\forall {\kern 1pt} {{t}_{0}}\, \in \,\mathbb{R}\;\exists t\, > \,{{t}_{0}}{\kern 1pt} :\;\mathcal{P}(t,\gamma )\, \cap \,\Lambda \, \ne \,\{ {\mathbf{0}}\} } \right\}, \\ \omega ({{\Theta }^{ \intercal }}) = \\ = \sup \left\{ {\delta \geqslant \left. {\frac{n}{m}} \right|\;\forall {\kern 1pt} {{s}_{0}} \in \mathbb{R}\;\exists s\, > \,{{s}_{0}}{\kern 1pt} :\;\mathcal{Q}(s,\delta )\, \cap \,\Lambda {\kern 1pt} *\, \ne \,\{ {\mathbf{0}}\} } \right\}. \\ \end{gathered} $

Если $t$, $\gamma $, $s$, $\delta $ связаны соотношениями

(11)

$t = {{s}^{{((n - 1)\delta + n)/(d - 1)}}},\quad \gamma = \frac{{m\delta + m - 1}}{{(n - 1)\delta + n}},$

то параллелепипед $\mathcal{Q}(s,\delta )$ является псевдоприсоединенным для $\mathcal{P}(t,\gamma )$, т.е. $\mathcal{Q}(s,\delta ) = \mathcal{P}(t,\gamma ){\kern 1pt} *$. По Теореме 1 получаем, что

$\mathcal{Q}(s,\delta ) \cap \Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow c\mathcal{P}(t,\gamma ) \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} .$

Стало быть, ввиду (10),

$\omega ({{\Theta }^{ \intercal }}) \geqslant \delta \Rightarrow \omega (\Theta ) \geqslant \gamma = \frac{{m\delta + m - 1}}{{(n - 1)\delta + n}}{\kern 1pt} .$

Таким образом,

$\omega (\Theta ) \geqslant \frac{{\omega (m{{\Theta }^{ \intercal }}) + m - 1}}{{(n - 1)\omega ({{\Theta }^{ \intercal }}) + n}}{\kern 1pt} .$

Меняя тройку $(\Theta ,m,n)$ на $({{\Theta }^{ \intercal }},n,m)$, приходим к неравенству (4).

3. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ МАЛЕРА

Для каждого набора (λ, μ) = (λ₁, ..., λ_m, ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}) \in \mathbb{R}_{ + }^{d}$ определим параллелепипед $\mathcal{P}(\lambda ,\mu )$ как

(12)

$\begin{gathered} \mathcal{P}(\lambda ,\mu ) = \\ \, = \left\{ {{\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\left| \begin{gathered} {\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} \leqslant {{\lambda }_{j}},{\kern 1pt} j = 1, \ldots ,m \hfill \\ {\text{|}}{{z}_{{m + i}}}{\text{|}} \leqslant {{\mu }_{i}},i = 1, \ldots ,n \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right\}. \\ \end{gathered} $

Положим также

(13)

$\begin{gathered} \lambda _{j}^{*} = \lambda _{j}^{{ - 1}}\prod\limits_{k = 1}^m {{\lambda }_{k}}\prod\limits_{k = 1}^n {{\mu }_{k}},\quad j = 1, \ldots ,m, \\ \mu _{i}^{*} = \mu _{i}^{{ - 1}}\prod\limits_{k = 1}^m {{\lambda }_{k}}\prod\limits_{k = 1}^n {{\mu }_{k}},\quad {\kern 1pt} i = 1, \ldots ,n. \\ \end{gathered} $

Очевидно, что тогда $\mathcal{P}(\lambda ,\mu ){\kern 1pt} * = \mathcal{P}(\lambda {\kern 1pt} *,\mu {\kern 1pt} *)$. Наконец, определим набор $\hat {\lambda } = ({{\hat {\lambda }}_{1}}, \ldots ,{{\hat {\lambda }}_{m}})$ следующим образом. Упорядочим элементы λ по возрастанию: ${{\lambda }_{{{{j}_{1}}}}} \leqslant \ldots \leqslant {{\lambda }_{{{{j}_{m}}}}}$. Если ${{\lambda }_{{{{j}_{1}}}}} \geqslant 1$, положим $\hat {\lambda } = \lambda $. Если же ${{\lambda }_{{{{j}_{1}}}}} < 1$, обозначим через p наибольший индекс, такой что ${{\lambda }_{{{{j}_{1}}}}}\, \cdot \, \ldots \, \cdot \,{{\lambda }_{{{{j}_{p}}}}}\, < \,1$, и определим ${{\hat {\lambda }}_{1}}, \ldots ,{{\hat {\lambda }}_{m}}$ как

(14)

$\begin{gathered} {{{\hat {\lambda }}}_{{{{j}_{i}}}}} = 1,\quad i = 1, \ldots ,p, \\ {{{\hat {\lambda }}}_{{{{j}_{i}}}}} = {{\lambda }_{{{{j}_{i}}}}}{{({{\lambda }_{{{{j}_{1}}}}} \cdot \ldots \cdot {{\lambda }_{{{{j}_{k}}}}})}^{{1/(m - p)}}},\quad i = p + 1, \ldots ,m. \\ \end{gathered} $

Следующая теорема является главным результатом данной работы.

Теорема 2. Пусть решетки $\Lambda $ и $\Lambda {\kern 1pt} *$ заданы соотношениями (7). Рассмотрим произвольные наборы $\lambda = ({{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}) \in \mathbb{R}_{ + }^{m}$ и $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}) \in \mathbb{R}_{ + }^{n}$. Пусть

(15)

$\Pi (\lambda ) \geqslant 1.$

Пусть наборы $\lambda {\kern 1pt} *$, $\mu {\kern 1pt} *$ определены соотношениями (13), а набор $\hat {\lambda }$ – соотношениями (14). Тогда

(16)

$\mathop {\min }\limits_{1 \leqslant j \leqslant m} {{\hat {\lambda }}_{j}} \geqslant 1,\quad \Pi {\kern 1pt} '(\hat {\lambda }) = \Pi (\hat {\lambda }) = \Pi (\lambda )$

(17)

$\mathcal{P}(\lambda {\kern 1pt} *,\mu {\kern 1pt} *) \cap \Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow {{c}_{1}}\mathcal{P}(\hat {\lambda },\mu ) \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} ,$

где ${{c}_{1}} = (\sqrt {n + 1} {{)}^{{1/n}}}$.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что

${{\lambda }_{1}} \leqslant \ldots \leqslant {{\lambda }_{m}}.$

Если ${{\lambda }_{1}} \geqslant 1$, то $\hat {\lambda } = \lambda $, (16) очевидно, а (17) следует из теоремы 1 ввиду того, что $c \leqslant {{c}_{1}}$. Предположим, что ${{\lambda }_{1}} < 1$. Тогда p корректно определено и $p < m$, поскольку справедливо (15). Отсюда немедленно следует (16).

Рассмотрим укороченные наборы

$\begin{gathered} {{\lambda }_{ \downarrow }} = ({{\lambda }_{{p + 1}}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}),\quad \lambda _{ \downarrow }^{*} = (\lambda _{{p + 1}}^{*}, \ldots ,\lambda _{m}^{*}), \\ {{{\hat {\lambda }}}_{ \downarrow }} = ({{{\hat {\lambda }}}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{{\hat {\lambda }}}_{m}}). \\ \end{gathered} $

Тогда

$\begin{gathered} \mathcal{P}({{{\hat {\lambda }}}_{ \downarrow }},\mu ){\kern 1pt} * = \\ = \left\{ {({{z}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{{d - p}}}\left| \begin{gathered} {\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} \leqslant \varkappa \lambda _{j}^{*},j = p + 1, \ldots ,m \hfill \\ {\text{|}}{{z}_{{m + i}}}{\text{|}} \leqslant \mu _{i}^{*},i = 1, \ldots ,n \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right\}, \\ \end{gathered} $

где $\varkappa = ({{\lambda }_{1}} \cdot \ldots \cdot {{\lambda }_{p}}{{)}^{{ - 1/(m - p)}}}$. Поскольку $\varkappa > 1$, справедливо

(18)

$\mathcal{P}(\lambda _{ \downarrow }^{*},\mu {\kern 1pt} *) \subset \mathcal{P}({{\hat {\lambda }}_{ \downarrow }},\mu ){\kern 1pt} *.$

Рассмотрим также матрицу

${{\Theta }_{ \downarrow }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\theta }_{{1{\kern 1pt} p + 1}}}}& \cdots &{{{\theta }_{{1m}}}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{{\theta }_{{n{\kern 1pt} p + 1}}}}& \cdots &{{{\theta }_{{nm}}}} \end{array}} \right),$

полученную из матрицы Θ удалением первых p столбцов, и решетки

${{\Lambda }_{ \downarrow }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{I}}}_{{m - p}}}}&{} \\ { - {{\Theta }_{ \downarrow }}}&{{{{\mathbf{I}}}_{n}}} \end{array}} \right){{\mathbb{Z}}^{{d - p}}},\quad \Lambda _{ \downarrow }^{*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{I}}}_{{m - p}}}}&{\Theta _{ \downarrow }^{ \intercal }} \\ {}&{{{{\mathbf{I}}}_{n}}} \end{array}} \right){{\mathbb{Z}}^{{d - p}}}.$

Сделаем два ключевых наблюдения: во-первых, множество

$\{ (0, \ldots ,0,{{z}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,({{z}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\Lambda }_{ \downarrow }}\} $

является подрешеткой решетки $\Lambda $; во-вторых, множество

$\{ (0, \ldots ,0,{{z}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,({{z}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{z}_{d}}) \in \Lambda _{ \downarrow }^{*}\} $

является ортогональной проекцией решетки Λ* на плоскость координат ${{z}_{{p + 1}}}, \ldots ,{{z}_{d}}$. Отсюда получаем, что

(19)

$\begin{gathered} \mathcal{P}(\lambda {\kern 1pt} *,\mu {\kern 1pt} *) \cap \Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow \mathcal{P}(\lambda _{ \downarrow }^{*},\mu {\kern 1pt} *) \cap \Lambda _{ \downarrow }^{*} \ne \{ {\mathbf{0}}\} , \\ \mathcal{P}({{{\hat {\lambda }}}_{ \downarrow }},\mu ) \cap {{\Lambda }_{ \downarrow }} \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow \mathcal{P}(\hat {\lambda },\mu ) \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} . \\ \end{gathered} $

Наконец, по Теореме 1

(20)

$\mathcal{P}({{\hat {\lambda }}_{ \downarrow }},\mu ){\kern 1pt} * \cap \;\Lambda _{ \downarrow }^{*} \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow {{c}_{2}}\mathcal{P}({{\hat {\lambda }}_{ \downarrow }},\mu ) \cap {{\Lambda }_{ \downarrow }} \ne \{ {\mathbf{0}}\} ,$

где ${{c}_{2}} = (\sqrt {d - p} {{)}^{{1/(d - p - 1)}}}$. Собирая вместе (18)–(20) и учитывая тот факт, что ${{c}_{2}} \leqslant {{c}_{1}}$, получаем следующую цепочку импликаций:

$\begin{gathered} \mathcal{P}(\lambda {\kern 1pt} *,\mu {\kern 1pt} *) \cap \Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow \mathcal{P}(\lambda _{ \downarrow }^{*},\mu {\kern 1pt} *) \cap \Lambda _{ \downarrow }^{*} \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow \\ \, \Rightarrow \mathcal{P}({{{\hat {\lambda }}}_{ \downarrow }},\mu ){\kern 1pt} * \cap \;\Lambda _{ \downarrow }^{*} \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, \Rightarrow {{c}_{2}}\mathcal{P}({{{\hat {\lambda }}}_{ \downarrow }},\mu ) \cap {{\Lambda }_{ \downarrow }} \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow \\ \, \Rightarrow {{c}_{2}}\mathcal{P}(\hat {\lambda },\mu ) \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow {{c}_{1}}\mathcal{P}(\hat {\lambda },\mu ) \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} , \\ \end{gathered} $

откуда и следует (17).

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО НЕРАВЕНСТВА ПЕРЕНОСА

Покажем, как вывести неравенство (5) из Теоремы 2. Для каждых положительных $t$, $\gamma $, $s$, $\delta $ определим следующие два семейства параллелепипедов:

$\mathcal{F}(t,\gamma ) = \{ {\kern 1pt} \mathcal{P}(\lambda ,\mu )\,{\text{|}}\,\Pi (\lambda ) = t,\Pi (\mu ) = {{t}^{{ - \gamma }}},\mathop {\min }\limits_{1 \leqslant j \leqslant m} {{\lambda }_{j}} \geqslant 1\} ,$

$\mathcal{G}(s,\delta ) = \{ {\kern 1pt} \mathcal{P}(\lambda ,\mu )\,{\text{|}}\,\Pi (\lambda ) = {{s}^{{ - \delta }}},\Pi (\mu ) = s,\mathop {\min }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \,{{\mu }_{i}} \geqslant 1\} .$

Каждый параллелепипед $\mathcal{P}(\lambda ,\mu )$, удовлетворяющий условиям

(21)

$\Pi {\kern 1pt} '(\lambda ) \leqslant t,\quad \Pi (\mu ) \leqslant {{t}^{{ - \gamma }}},$

содержится в некотором параллелепипеде из семейства $\mathcal{F}(t,\gamma )$. Наоборот, каждый параллелепипед $\mathcal{P}(\lambda ,\mu )$ из семейства $\mathcal{F}(t,\gamma )$ удовлетворяет условиям (21). Аналогично, каждый параллелепипед $\mathcal{P}(\lambda ,\mu )$, удовлетворяющий условиям

(22)

$\Pi (\lambda ) \leqslant {{s}^{{ - \delta }}},\quad \Pi {\kern 1pt} '(\mu ) \leqslant s,$

содержится в некотором параллелепипеде из семейства $\mathcal{G}(s,\delta )$. И наоборот, каждый параллелепипед $\mathcal{P}(\lambda ,\mu )$ из семейства $\mathcal{G}(s,\delta )$ удовлетворяет условиям (22). Таким образом, для мультипликативных экспонент справедлив следующий аналог равенств (10):

(23)

$\begin{gathered} {{\omega }_{ \times }}(\Theta ) = \sup \left\{ {\gamma \geqslant \left. {\frac{m}{n}} \right|\;\forall {{t}_{0}} \in \mathbb{R}{\kern 1pt} \;\exists {\kern 1pt} t > {{t}_{0}}{\kern 1pt} :} \right. \\ \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}\exists \mathcal{P} \in \mathcal{F}(t,\gamma ){\kern 1pt} :\;\mathcal{P} \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} } \right\}, \\ {{\omega }_{ \times }}({{\Theta }^{ \intercal }}) = \sup \left\{ {\delta \geqslant \left. {\frac{n}{m}} \right|\;\forall {{s}_{0}} \in \mathbb{R}{\kern 1pt} \;\exists {\kern 1pt} s > {{s}_{0}}{\kern 1pt} :} \right. \\ \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}\exists \mathcal{P} \in \mathcal{G}(s,\delta ){\kern 1pt} :\;\mathcal{P} \cap \Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} } \right\}. \\ \end{gathered} $

Предположим опять, что $t$, $\gamma $, $s$, $\delta $ связаны соотношениями (11). Рассмотрим произвольный параллелепипед $\mathcal{P}(\lambda ,\mu )$, такой что $\mathcal{P}(\lambda {\kern 1pt} *,\mu {\kern 1pt} *) \in \mathcal{G}(s,\delta )$. Тогда

$\Pi (\lambda ) = t,\quad \Pi (\mu ) = {{t}^{{ - \gamma }}}.$

Мы не можем гарантировать, что в наборе λ нет компонент, строго меньших 1, поэтому, вообще говоря, неверно, что $\mathcal{P}(\lambda ,\mu ) \in \mathcal{F}(t,\gamma )$. Тем не менее, если $t \geqslant 1$, по теореме 2 справедливо $\mathcal{P}(\hat {\lambda },\mu )\, \in \,\mathcal{F}(t,\gamma )$ и, более того,

$\mathcal{P}(\lambda {\kern 1pt} *,\mu {\kern 1pt} *) \cap \Lambda {\kern 1pt} * \ne \{ {\mathbf{0}}\} \Rightarrow {{c}_{1}}\mathcal{P}(\hat {\lambda },\mu ) \cap \Lambda \ne \{ {\mathbf{0}}\} .$

Стало быть, ввиду (23)

${{\omega }_{ \times }}({{\Theta }^{ \intercal }}) \geqslant \delta \Rightarrow {{\omega }_{ \times }}(\Theta ) \geqslant \gamma = \frac{{m\delta + m - 1}}{{(n - 1)\delta + n}}{\kern 1pt} .$

Таким образом,

${{\omega }_{ \times }}(\Theta ) \geqslant \frac{{{{\omega }_{ \times }}(m{{\Theta }^{ \intercal }}) + m - 1}}{{(n - 1){{\omega }_{ \times }}({{\Theta }^{ \intercal }}) + n}}{\kern 1pt} .$

Меняя тройку $(\Theta ,m,n)$ на $({{\Theta }^{ \intercal }},n,m)$, приходим к неравенству (5).

Список литературы

Dyson F.J. On simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. 1947. V. 49. № 2. P. 409–420.
German O.N. Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents // Труды МИРАН. 2011. Т. 275. С. 227–239.
Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИИЛ, 1961.
Шмидт В. Диофантовы приближения. М.: “Мир”, 1983.
German O.N. On Diophantine exponents and Khintchine’s transference principle // Moscow J. Comb. Number Theory. 2012. V. 2. № 2. P. 22–51.
Герман О.Н., Евдокимов К.Г. Усиление теоремы переноса Малера // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79. № 1. С. 63–76.
Mahler K. Ein Übertragungsprinzip für lineare Ungleichungen // Čas. Pešt. Mat. Fys. 1939. V. 68. P. 85–92.
Mahler K. On compound convex bodies, I. Proc. London Math. Soc. 1955. V. 5. № 3. P. 358–379.
Mahler K. On compound convex bodies. II. Proc. London Math. Soc. 1955. V. 5. № 3. P. 380–384.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал