1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 510, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 510, № 1, стр. 29-32

ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ p-АДИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ПОЛИАДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

В. Г. Чирский 1, *

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: vgchirskii@yandex.ru

Поступила в редакцию 18.01.2023
После доработки 19.03.2023
Принята к публикации 25.03.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Устанавливается, что если ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{m}}$ – полиадические числа Лиувилля, а число $\xi $ – натуральное или Ξ – полиадическое число Лиувилля и если Ψ0(z) = $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{({{\alpha }_{1}})}}_{n}} \ldots {{{({{\alpha }_{m}})}}_{n}}{{z}^{n}}} $, Ψ1(z) = $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{({{\alpha }_{1}} + 1)}}_{n}} \ldots {{{({{\alpha }_{m}} + 1)}}_{n}}{{z}^{n}}} $, то существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле p – адических чисел хотя бы одно из чисел ${{\Psi }_{0}}(\xi ),$ ${{\Psi }_{1}}(\xi )$ (соответственно, ${{\Psi }_{0}}\left( {{\Xi }} \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left. {\left( {{\Xi }} \right)} \right)$ – трансцендентное.

Ключевые слова: полиадические числа Лиувилля, трансцендентные p – адические числа

Рассмотрим формальные обобщенные гипергеометрические ряды

$\begin{gathered} {{F}_{0}}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{r}}} \right)}}_{n}}}}{{{{{\left( {{{\beta }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\beta }_{s}}} \right)}}_{n}}}}{{z}^{n}}} , \\ {{F}_{1}}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{r}} + 1} \right)}}_{n}}}}{{{{{\left( {{{\beta }_{1}} + 1} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\beta }_{s}} + 1} \right)}}_{n}}}}{{z}^{n}}} , \\ \end{gathered} $
где символ Похгаммера (γ)n определяется равенствами ${{\left( \gamma \right)}_{0}} = 1,$ ${{(\gamma )}_{n}} = \gamma (\gamma + 1) \ldots (\gamma + n - 1)~$ при $n\, \geqslant \,1.$ Имеет место очевидное формальное тождество
(1)
${{F}_{0}}\left( z \right) = 1 + \frac{{{{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{r}}}}{{{{\beta }_{1}} \ldots {{\beta }_{s}}}}z{{F}_{1}}\left( z \right),$
из которого следует, что если все числа ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{r}},$ ${{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{s}}$ и число $\xi $ – алгебраические и если ряды ${{F}_{0}}\left( \xi \right),$ ${{F}_{1}}\left( \xi \right)$ – сходятся, то либо оба числа ${{F}_{0}}\left( \xi \right),$ ${{F}_{1}}\left( \xi \right)$ являются алгебраическими, либо оба они $ - $ трансцендентные числа. Если же число $\frac{{{{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{r}}}}{{{{\beta }_{1}} \ldots {{\beta }_{s}}}}\xi $ является трансцендентным и ${{F}_{1}}\left( \xi \right) \ne 0,$ то из соотношения (1) следует, что хотя бы одно из чисел ${{F}_{0}}\left( \xi \right),$ ${{F}_{1}}\left( \xi \right)$ – трансцендентное. Эти замечания относятся как к случаю поля комплексных чисел, так и к любому алгебраическому расширению любого поля p – адических чисел. Таким образом, если в поле p – адических чисел удастся доказать, что ${{F}_{1}}\left( \xi \right) \ne 0,$ то из соотношения (1) следует, что хотя бы одно из чисел ${{F}_{0}}\left( \xi \right),$ ${{F}_{1}}\left( \xi \right)$ – трансцендентное p – адическое число.

В работе рассматриваются ряды

(2)
$\begin{gathered} {{\Psi }_{0}}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}_{n}}{{z}^{n}}} , \\ {{\Psi }_{1}}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{m}} + 1} \right)}}_{n}}{{z}^{n}}} \\ \end{gathered} $
и с использованием результатов из [1] устанавливается, что если ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{m}}$ – полиадические числа Лиувилля, а число $\xi $ – натуральное или ${{\Xi }}$ – полиадическое число, то существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле p – адических чисел хотя бы одно из чисел ${{\Psi }_{0}}\left( \xi \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left( \xi \right)$ (соответственно, ${{\Psi }_{0}}\left( {{\Xi }} \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left. {\left( {{\Xi }} \right)} \right)$ – трансцендентное.

Следует отметить, что исследование арифметической природы значений гипергеометрических рядов в комплексной области является классической задачей и в этом направлении получено большое количество результатов (см., например, [2–8]). Однако в p – адических областях ситуация иная. Ранее удавалось лишь доказать бесконечную трансцендентность или бесконечную линейную независимость значений таких рядов (см. [9–14]). Бесконечная  трансцендентность ряда означала, что для любого ненулевого многочлена P(x) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество простых чисел p таких, что при подстановке в этот многочлен значения рассматриваемого ряда в поле p – адических чисел, получится отличное от нуля p – адическое число. Это не означает даже иррациональности значения этого ряда в конкретном поле p – адических чисел. Так что доказываемые ниже теоремы, по-видимому, представляют собой первый результат о трансцендентности значений обобщенных гипергеометрических рядов в поле p – адических чисел.

Перейдем к точным формулировкам. Результат является следствием теорем, доказанных в [1] с использованием аппроксимаций Эрмита-Паде из работы [15], поэтому напомним использованные обозначения и основные определения.

Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых p – адических чисел по всем простым числам p. Каноническое представление элемента $~\theta $ кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда θ = $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{a}_{n}}n!,~{{a}_{n}}\, \in \,\mathbb{Z}} $, $0 \leqslant {{a}_{n}} \leqslant n$. Этот ряд сходится по всех полях p – адических чисел. Поэтому его можно рассматривать как бесконечномерный вектор, координаты которого в соответствующем кольце целых p – адических чисел обозначаем ${{\theta }^{{\left( p \right)}}}.$ Основы теории полиадических чисел изложены в [16].

Будем обозначать символом ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}a~$ степень, в которой простое число p входит в разложение рационального числа a на простые множители и полагаем ${{\left| a \right|}_{p}} = {{p}^{{ - {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}a}}}$.

Будем называть полиадическое число $\theta $ полиадическим числом Лиувилля ( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел $n$ и $P~$существует натуральное число $A$ такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant P~$, выполнено неравенство ${{\left| {\theta - A} \right|}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}$. Полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля p – адических чисел $~{{\mathbb{Q}}_{p}}$.

Пусть ${{\lambda }_{0}}$ – произвольное натуральное число. Положим ${{s}_{0}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{0}}} \right] + 1$. Пусть ${{\lambda }_{1}}$ – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant {{s}_{0}} + 2\lambda _{0}^{2}$ выполняется неравенство ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{1}} \geqslant m{{s}_{0}}\ln {{s}_{0}}~$ и пусть ${{s}_{1}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{1}}} \right] + 1$.

При $k \geqslant 1~~$ пусть ${{\lambda }_{{k + 1}}}$ – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant ~{{s}_{k}} + 2\lambda _{k}^{2}$ выполняется неравенство

(3)
${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{{k + 1}}} \geqslant m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}$
и пусть

(4)
${{s}_{{k + 1}}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{{k + 1}}}} \right] + 1.$

Пусть ${{\mu }_{{i,0,~}}},\;i = 1, \ldots ,m$ – натуральные числа. Пусть для любых $i = 1, \ldots ,m,$ $k \geqslant 1$, числа ${{\mu }_{{i,k}}}$ – неотрицательные целые и удовлетворяют неравенству

(5)
${{\mu }_{{i,k}}} \leqslant {{\lambda }_{k}}.$

Пусть ${{\alpha }_{i}} = \sum\limits_{l = 0}^\infty {{{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}}} ~$, $~i = 1, \ldots ,m$. Если при некотором k для всех $l \geqslant k$ выполняются равенства ${{\mu }_{{i,l}}} = 0$, то ${{\alpha }_{i}}$ – натуральное число. В любом другом случае этот ряд представляет собой полиадическое число Лиувилля и пусть хотя бы одно из чисел ${{\alpha }_{i}},i = 1, \ldots ,m,~$ является полиадическим числом Лиувилля.

Пусть M – натуральное число. Рассмотрим приведенную систему вычетов по ${\text{mod}}\left( M \right).$ Как обычно, число элементов этой системы обозначается $\varphi \left( M \right)$, где $\varphi \left( M \right) - $ функция Эйлера. Пусть произвольным образом выбраны $\rho ~$ различных элементов ${{a}_{1}}$, …, ${{a}_{\rho }}$ этой приведенной системы вычетов. Будем обозначать ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}{\text{\;}}$ множества натуральных значений, принимаемых прогрессиями ${{a}_{1}}$ + $Mk$, $k \in \mathbb{Z}$. Используя стандартное обозначение P для множества простых чисел, будем обозначать ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ множество простых чисел, входящих в объединение множеств ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}{\text{\;}}$. Пусть $\varphi \left( M \right) > m + 1$.

Теорема 1. Пусть $M,\;\rho $ – натуральные числа. Пусть $~\left( {m + 1} \right)\rho $ > $\varphi \left( M \right)m~$. Тогда для любого натурального числа ξ существует бесконечное множество простых чисел p из множества ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ хотя бы одно из чисел ${{\Psi }_{0}}\left( \xi \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left( \xi \right)$ – трансцендентное.

Пусть натуральные числа ${{\mu }_{k}}$ удовлетворяют при любом k неравенству ${{\mu }_{k}} \leqslant {{\lambda }_{k}}$.

Пусть Ξ = $\sum\limits_{l = 0}^\infty {{{\mu }_{l}}{{\lambda }_{l}}} $.

Теорема 2. Пусть $M,\rho $ – натуральные числа. Пусть $~\left( {m + 1} \right)\rho $ > $\varphi \left( M \right)m~$. Тогда существует бесконечное множество простых чисел $p$ из множества ${\mathbf{P}}~\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ хотя бы одно из чисел ${{\Psi }_{0}}\left( {{\Xi }} \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left( {{\Xi }} \right)$ – трансцендентное.

Доказательства обеих теорем практически одинаковы. В работе [1] рассмотрены ряды

${{f}_{0}}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}_{n}}{{z}^{n}}} ,$
$~{{f}_{i}}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{i}} + 1} \right)}}_{n}}{{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}_{n}}{{z}^{n}}} ,$
$i = 1, \ldots ,m.$

В обозначениях (2) настоящей работы имеем: ${{f}_{0}}\left( z \right) = {{\Psi }_{0}}\left( z \right)$, ${{f}_{m}}\left( z \right) = {{\Psi }_{1}}\left( z \right)$. Равенство (1) принимает вид

${{\Psi }_{0}}\left( z \right) = 1 + {{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{m}}z{{\Psi }_{1}}\left( z \right).$

Приведем формулировку теоремы 1 из [1]:

Пусть $M,\rho $ – натуральные числа. Пусть $~\left( {m + 1} \right)\rho $ > > $\varphi \left( M \right)m~$. Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots {{h}_{m}},$ не равных нулю одновременно и любого натурального числа $\xi $ существует бесконечное множество простых чисел p из множества ${\mathbf{P~}}\left( {{{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{\rho }}} \right)$ таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство

${{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {{{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{m}}{{f}_{m}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} > 0.$
(Теорема 2 из [1] вполне аналогична; она относится к случаю точки Ξ.)

Из теорем 1 и 2 работы [1] следует, что как для точки $\xi ,$ так и для точки Ξ существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполнено неравенство ${{\Psi }_{1}}\left( \xi \right) \ne 0$ (соответственно, ${{\Psi }_{1}}\left( {{\Xi }} \right) \ne 0$). Действительно, достаточно рассмотреть линейную форму $L\left( \xi \right) = ~{{f}_{m}}\left( \xi \right)$(соответственно, $L\left( {{\Xi }} \right) = ~{{f}_{m}}\left( {{\Xi }} \right)$) и применить вышеупомянутые теоремы.

Согласно сделанным выше замечаниям, осталось только доказать, что число ${{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi $ (соответственно, ${{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{m}}{{\Xi }}$) является полиадическим числом Лиувилля. Для этого рассмотрим натуральные числа

(6)
${{\alpha }_{{i,k}}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}},~\quad i = 1, \ldots ,m.$

Пусть $A = {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m,k}}}\xi $. Тогда

$\begin{gathered} {{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi - {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m,k}}}\xi = \left( {{{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{{1,k}}}} \right){{\alpha }_{2}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi + \\ \, + {{\alpha }_{{1,k}}}\left( {{{\alpha }_{2}} - {{\alpha }_{{2,k}}}} \right){{\alpha }_{3}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + {{\alpha }_{{1,k}}}{{\alpha }_{{2,k}}}\left( {{{\alpha }_{3}} - {{\alpha }_{{3,k}}}} \right){{\alpha }_{4}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi + \ldots + \\ \, + {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots ({{\alpha }_{{m - 1}}} - {{\alpha }_{{m - 1,k}}}){{\alpha }_{m}}\xi + {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots ({{\alpha }_{m}} - {{\alpha }_{{m,k}}})\xi . \\ \end{gathered} $

Поскольку все числа ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{m}},$ ${{\alpha }_{{1,k}}}, \ldots ,{{\alpha }_{{m,k}}},$ $\xi $ – целые p – адические,

(7)
${{\left| {{{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi - {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m,k}}}\xi } \right|}_{p}} \leqslant \mathop {\max }\limits_{i = 1, \ldots ,m} {{\left| {{{\alpha }_{i}} - {{\alpha }_{{i,k}}}} \right|}_{p}}.$

Для заданных чисел n, P выберем число K0 так, чтобы при $k \geqslant {{K}_{0}}~$выполнялись неравенства

(8)
$\begin{gathered} P \leqslant ~{{s}_{k}} + 2\lambda _{k}^{2}, \\ ~n \leqslant \frac{{m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}{{\ln 2(\ln \xi + m\ln k + 2m\ln \ln {{s}_{{k)}}}}}. \\ \end{gathered} $

Тогда для любого простого числа p с условием $p \leqslant P$ согласно (3) имеем:

(9)
$\mathop {\max }\limits_{i = 1, \ldots ,m} {{\left| {{{\alpha }_{i}} - {{\alpha }_{{i,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {{p}^{{ - {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{{k + 1}}}}}} \leqslant {{p}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}}.$

В свою очередь, из (4), (5), (6) следует, что

$\left| {{{\alpha }_{{i,k}}}} \right| \leqslant k\lambda _{k}^{2} \leqslant k{\text{l}}{{{\text{n}}}^{2}}{{s}_{k}}.$

Поэтому

(10)
$\begin{gathered} \left| A \right| = \left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m,k}}}\xi } \right| \leqslant \left| \xi \right|{{k}^{m}}{\text{l}}{{{\text{n}}}^{{2m}}}{{s}_{k}} = \\ \, = {{p}^{{\frac{{\ln \xi + m\ln k + 2m\ln \ln {{s}_{k}}}}{{\ln p}}}}} \leqslant {{p}^{{\frac{{\ln \xi + m\ln k + 2m\ln \ln {{s}_{k}}}}{{\ln 2}}}}}. \\ \end{gathered} $

Из (7)–(10) следует доказываемое неравенство

${{\left| {{{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{m}}\xi - A} \right|}_{p}} \leqslant {{A}^{{ - n}}}.$

Рассуждения для числа ${{\alpha }_{1}} \ldots {{\alpha }_{m}}{{\Xi }}$ вполне аналогичны.

В заключение еще раз заметим, что проверка неравенства ${{\Psi }_{1}}\left( \xi \right) \ne 0$ (соответственно, ${{\Psi }_{1}}({{\Xi }})\, \ne \,0$) для конкретного простого числа p позволяет утверждать, что хотя бы одно из чисел ${{\Psi }_{0}}\left( \xi \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left( \xi \right)$ (соответственно, ${{\Psi }_{0}}\left( {{\Xi }} \right),$ ${{\Psi }_{1}}\left( {{\Xi }} \right)$ – трансцендентное p – адическое. Целью работы было доказательство того, что таких простых чисел бесконечное множество.

Список литературы

  1. Чирский В.Г. Новые задачи теории трансцендентных полиадических чисел // ДАН. 2022. Т. 505. С. 63–65. https://doi.org/10.31857/S2686954322040075

  2. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа М.: Наука. 1987. 448 с.

  3. Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости одного класса гипергеометрических E-функций // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 2. С. 189–211.

  4. Салихов В.Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений E-функций // Acta Arithm. 1990. V. 53. P. 453–471.

  5. Beukers F., Brownawell W.D., Heckman G. Siegel normality // Ann. Math. 1988. Ser. 127. P. 279–308.

  6. Bombieri E. On $G$-functions // Recent Progress in Analytic Number Theory. V. 2. London: Academic Press. 1981. P. 1–68.

  7. Chudnovsky G.V. On application of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1985. V. 81. P. 7261–7265.

  8. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34. № 1. С. 53–62.

  9. Bertrand D., Chiskii V., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. V. 13. № 2. P. 241–260.

  10. Chirskii V.G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers //Russ. J. Math. Phys. 2019. V. 26. № 3. P. 286–305. https://doi.org/10.1134/S1061920821030031

  11. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром // ДАН. 2020. Т. 494. № 2. С. 69–70. https://doi.org/10.31857/S268695432005032X

  12. Chirskii V.G. Arithmetic Properties of an Euler-Type Series with Polyadic Liouvillean Parameter / /Russ. J. Math. Phys. 2021.V. 28. № 3. P. 294–302. https://doi.org/10.1134/S1061920819030051

  13. Ernvall-Hytonen A.-M., Matala-aho T.,Seppela L. Euler’s divergent series in arithmetic progressions// J. Integer Sequences. 2019. V. 22. Article 19.2.2. 10 p.

  14. Matala-aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations// J. Number Theory. 2018. V. 186. P. 202–210. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.09.026

  15. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 3. С. 39–72.

  16. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971. 416 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал