1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 513, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 513, № 1, стр. 71-75

ГРАДИЕНТНЫЕ ПОТОКИ В ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ

Член-корреспондент РАН П. И. Плотников 1, *, Я. Соколовский 2, 3, 4, **

1 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Новосибирск, Россия

2 Systems Research Institute of the Polish Academy of Sciences
Warszawa, Poland

3 Institut Elie Cartan, Laboratoire de Mathematiques, Universite de Lorraine
Nancy, France

4 Department of Scientific Computing, Informatics Center, Federal University of Paraiba
Joao Pessoa, Paraiba, Brazil

* E-mail: piplotnikov@mail.ru
** E-mail: Jan.Sokolowski@univ-lorraine.fr

Поступила в редакцию 06.02.2023
После доработки 02.05.2023
Принята к публикации 07.08.2023

Аннотация

В работе рассматривается задача идентификации включения, содержащегося в некоторой физическиой области, по данным измерений на границе этой области. В частности, к этому классу задач относятся задача импедансной электротомографии и ряд других обратных задач. Задача идентификации формулируется как задача минимизации целевого функционала, который характеризует отклонение данной конфигурации от возможного решения задачи. Наилучшим выбором такого функционала является энергетический функционал Кона-Вогелиуса. В работе рассматривается стандартная регуляризация этого функционала, полученная добавлением к нему линейной комбинации периметра включения и функционала Уиллмора, контролирующего кривизну границы включения. В двумерном случае доказывается нелокальная теорема существования сильных решений для динамической системы порожденной градиентным потоком регуляризованного функционала Кона-Вогелиуса.

Ключевые слова: оптимизация формы, обратные задачи, потоки Уиллмора, эластика Эйлера

Список литературы

  1. Dall’ Acqua A., Pozzi P., Willmore-Helfrich A. L2 flows with natural boundary conditions // Communications in analysis and geometry. 2014. V. 221. № 4. P. 617–669.

  2. Afraites L., Dambrin M., Kateb D. Shape methods for the transmission problem with a single measurment // Numerical functional analysis and optimization. 2007. V. 28. № 5-6. P. 519–551.

  3. Ambrosio L., Buttazzo G. An optimal design problem with perimeter penalization // Calc. Var. Partial Differential Equations. 1993. V. 1. P. 55–69.

  4. Chou K.-S., Zhu X.-P. The curve shortening problem. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, FL, 2001.

  5. Delfour M., Zolesio J. Shapes and Geometries, SIAM, Philadelphia, 2001.

  6. Dziuk G., Kuwert E., Schatzle R. Evolution of elastic curves in ${{\mathbb{R}}^{n}}$: existence and computation // SIAM J. Math. Anal. 2002. V. 33. № 5. P. 1228–1245 (electronic).

  7. Eppler K., Harbrecht H. Shape optimization for 3D electrical impedance tomography. In R. Glowinski and J. Zolesio, editors, Free and Moving Boundaries: Analysis, Simulation and Control. Vol. 252 of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2007. P. 165–184.

  8. Kohn R., Vogelius M. Determining conductivity by boundary measurements // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 289–298.

  9. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Москва, Наука, 1971.

  10. Le Elliptic H. equations with transmission and Wentzel boundary conditions and an application to steady water waves in the pesence of wind // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2018. V. 38. P. 3357–3385.

  11. Lin C.-C. L2-flow of elastic curves with clamped boundary conditions // J. Differ. Equ. 2012. V. 252. № 12. P. 6414–6428.

  12. Mantegazza C., Posetta M. The Lojasievicz-Simon inequality for the elastic flows, arXiv: 2007.16093v3 [math AP]. 18 Dec 2020.

  13. Meyers N. An Lp estimates for the gradients of solutions of second ordet elliptic divergence equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 1963. V. 17. P. 189–206.

  14. Mumford D., Shah J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variaional problems // Communications on Pure and AppliedMathematics. 1989. V. 42. P. 577–684.

  15. Mumford D. Elastica and Computer Vision. In Algebraic Geometry and its Applications (ed. C.L. Bajaj). Springer-Verlag, Berlin, 1993.

  16. Roche J., Sokolowski J. Numerical methods for shape identification problems. Control Cybern. 1996. V. 25. P. 867–894.

  17. Sokolowski J., Zolesio J. Introduction to Shape Optimization. Springer, Berlin, 1992.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал