1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 513, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 513, № 1, стр. 66-70

О конечности множества обобщенных якобианов с нетривиальным кручением над полями алгебраических чисел

Академик РАН В. П. Платонов 1, 2, *, В. С. Жгун 1, 3, 4, **, Г. В. Федоров 1, 5, ***

1 Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук
Москва, Россия

2 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия

3 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия

4 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Москва, Россия

5 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: platonov@mi-ras.ru
** E-mail: zhgoon@mail.ru
*** E-mail: fedorov@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 11.09.2023
После доработки 20.09.2023
Принята к публикации 05.10.2023

Аннотация

Для гладкой проективной кривой $\mathcal{C}$, определенной над полем алгебраических чисел k, исследуется вопрос о конечности множества обобщенных якобианов ${{J}_{\mathfrak{m}}}$ кривой $\mathcal{C}$, ассоциированных с модулями $\mathfrak{m}$, определенными над k, такими что фиксированный дивизор, представляющий класс конечного порядка в якобиане J кривой $\mathcal{C}$, поднимается до класса кручения в обобщенном якобиане ${{J}_{\mathfrak{m}}}$. В работе получены различные результаты о конечности и бесконечности множества обобщенных якобианов с вышеуказанным свойством в зависимости от геометрических условий на носитель $\mathfrak{m}$, а также от условий на поле k. Эти результаты были применены к проблеме периодичности разложения в непрерывную дробь, построенную в поле формальных степенных рядов $k((1{\text{/}}x))$, для специальных элементов поля функций $k(\tilde {\mathcal{C}})$ гиперэллиптической кривой $\tilde {\mathcal{C}}:{{y}^{2}} = f(x)$.

Ключевые слова: якобиево многообразие, обобщенный якобиан, точки кручения, непрерывные дроби, гиперэллиптическая кривая

Список литературы

  1. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. V. 69:1 (415). P. 3–38.

  2. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации многочленов f с периодическим разложением $\sqrt f $ в непрерывную дробь в гиперэллиптических полях // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021. Т. 85. № 5. С. 152–189.

  3. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209. № 4. С. 54–94.

  4. Schmidt W.M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica.2000. V. 95:2. P. 139–166.

  5. Rosenlicht M. Generalized jacobian varieties // Annals of Mathematics. 1954. P. 505–530.

  6. Zannier U. Hyperelliptic continued fractions and generalized Jacobians // American Journal of Mathematics. 2019. V. 141:1. P. 1–40.

  7. Серр Ж.П. Алгебраические группы и поля классов. М.: Мир, 1968. 278 с.

  8. Ленг С. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966. 226 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал