Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 513, № 1, стр. 9-14

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой работе изучается поведение аттракторов начально-краевой задачи для комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау в области с локально периодическими мелкими препятствиями, расстояние между которыми и их диаметры зависят от малого параметра, при стремлении этого малого параметра к нулю. Отметим некоторые результаты по усреднению аттракторов, которые появились в последнее время (см. [1–5]). В работах [2] и [5] изучалось усреднение аттракторов эволюционных уравнений и систем с диссипацией в периодически перфорированной области. Результаты по усреднению аттракторов системы уравнений Навье–Стокса в периодической изотропной среде см. в [3]. В работе [4] рассмотрена задача усреднения для уравнения Гинзбурга–Ландау в стохастической постановке. Методы, которые использовались при исследовании таких задач, были разработаны в [6–10].

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сначала мы определим перфорированную область. Пусть $\Omega$ – гладкая ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{d}}$, $d \geqslant 2$. Введем обозначения

Пусть $F(x,\xi )$ – гладкая, 1-периодическая по переменной $\xi$ функция и такая, что $F(x,\xi ){{{\text{|}}}_{{\xi \in \partial \square }}} \geqslant$ ≥ const > 0, $F(x,0) = - 1$, ${{\nabla }_{\xi }}F \ne 0$ при $\xi \in \;\square \backslash \{ 0\}$. Определим множества

и вводим перфорированную область следующим образом

Обозначим через G(x) множество $\{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,F(x,\xi )$ < < 0}, и через S(x) множество $\{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{d}}\,{\text{|}}\,F(x,\xi ) = 0\}$.

В соответствии с вышеприведенной конструкцией граница $\partial {{\Omega }_{\varepsilon }}$ состоит из $\partial \Omega$ и границы включений ${{S}_{\varepsilon }} \subset \Omega$, ${{S}_{\varepsilon }}: = \partial {{\Omega }_{\varepsilon }} \cap \Omega$.

Мы будем изучать асимптотическое поведение траекторных аттракторов следующей начально-краевой задачи для комплексных уравнений Гинзбурга–Ландау

Здесь $\alpha$ – вещественная константа, $\nu$ – единичный вектор внешней нормали к границе области, $u\, = \,{{u}_{1}}\, + \,{\text{i}}{{u}_{2}}\, \in \,\mathbb{C}$, $R(x,\xi ) \in C(\Omega \times {{\mathbb{R}}^{d}})$, $f(x) \in {{C}^{1}}(\Omega ;\mathbb{C})$, $q(x,\xi ) \in {{C}^{1}}(\Omega \times {{\mathbb{R}}^{d}})$ и $q(x,\xi )$ – неотрицательная 1‑периодическая по $\xi$ функция. Предполагается, что

для $x \in \Omega$, $\xi \in {{\mathbb{R}}^{d}}$ и функции $R\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)$ и $\beta \left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)$ имеют средние $\bar {R}(x)$ и $\bar {\beta }(x)$ в смысле пространства ${{L}_{{\infty ,*w}}}(\Omega )$ соответственно, т.е., при $\varepsilon \to 0 +$ для любой функции $\varphi (x) \in {{L}_{1}}(\Omega )$.

Введем следующие обозначения для пространств ${\mathbf{H}}\,: = \,{{L}_{2}}(\Omega ;\mathbb{C})$, ${{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}\,: = \,{{L}_{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\mathbb{C})$, ${\mathbf{V}}\,: = \,H_{0}^{1}(\Omega ;\mathbb{C})$, ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}\,: = \,{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega ;\mathbb{C})$ – множество функций из ${{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\mathbb{C})$ с нулевым следом на $\partial \Omega$ и L_p := ${{L}_{p}}(\Omega ;\mathbb{C})$, ${{{\mathbf{L}}}_{{p,\varepsilon }}}: = {{L}_{p}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\mathbb{C})$. Нормы в этих пространствах определяются, соответственно, следующим образом

Напомним, что L_q и ${{{\mathbf{L}}}_{{q,\varepsilon }}}$ являются сопряженными пространствами к L_p и ${{{\mathbf{L}}}_{{p,\varepsilon }}}$, где q = $p{\text{/}}(p - 1)$. Обозначим через ${\mathbf{V}}{\kern 1pt} ': = {{H}^{{ - 1}}}(\Omega ;\mathbb{C})$ и ${\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'}\,: = \,{{H}^{{ - 1}}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\mathbb{C})$ пространства, сопряженные, соответственно, к V и ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}$.

Предполагается, что параметр θ принимает положительные значения. В зависимости от этого параметра будут получаться различные предельные (усредненные) задачи.

Рассматриваются (см. [7]) обобщенные решения задачи (1), т.е. функции ${{u}_{\varepsilon }} = {{u}_{\varepsilon }}(x,t)$, $x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}$, $t \geqslant 0$,

удовлетворяющие интегральному тождеству для любой функции $\psi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}_{ + }};{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }} \cap {{{\mathbf{L}}}_{{4,\varepsilon }}})$.

Если ${{u}_{\varepsilon }} \in {{L}_{4}}(0,M;{{{\mathbf{L}}}_{{4,\varepsilon }}})$, то

если ${{u}_{\varepsilon }} \in {{L}_{2}}(0,M;{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}),$ то (1 + αi)Δu_ε(x, t) + + $f(x)\, \in \,{{L}_{2}}(0,M;{\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'}),$ поэтому для любого решения u_ε задачи (1) имеем

По теореме вложения Соболева

где ${\mathbf{H}}_{\varepsilon }^{{ - r}}: = {{H}^{{ - r}}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$ и $r = \max \left\{ {1,d{\text{/}}4} \right\}$. Следовательно, для любого обобщенного решения u_ε задачи (1) имеем $\frac{{\partial {{u}_{\varepsilon }}}}{{\partial t}} \in {{L}_{{4/3}}}(0,M;{\mathbf{H}}_{\varepsilon }^{{ - r}})$.

Замечание 2.1. Существование обобщенного решения ${{u}_{\varepsilon }}(x,t)$ задачи (1) для любой $U \in {{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}$ и фиксированного $\varepsilon$, так, что ${{u}_{\varepsilon }}(x,0) = U(x)$ доказывается стандартным методом (см., например, [6, 7, 11]).

Имеет место следующая лемма (ее доказательство проводится аналогично доказательству утверждения XV.3.1 из [7]).

Лемма 2.1. Пусть ${{u}_{\varepsilon }}(x,t)$ — обобщенное решение задачи (1). Тогда

(i) $u \in C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }});$

(ii) функция ${\text{||}}{{u}_{\varepsilon }}( \cdot ,t){\text{||}}_{{0,\varepsilon }}^{2}$ является абсолютно непрерывной на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ и более того

для почти всех $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$.

При описании пространства траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ для задачи (1), будем следовать общей схеме (см., например, [1, 2]) и определим для каждого отрезка $[{{t}_{1}},{{t}_{2}}] \in \mathbb{R}$ банаховы пространства

с нормой

Положив ${{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}} = {{{\mathbf{L}}}_{2}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}}} \right)$, получаем, что ${{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}} \subseteq {{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, и если $u \in {{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, тогда $A(u) \in {{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, где $A(u) = (1 + \alpha {\text{i}})\Delta u + R( \cdot , \cdot ){\kern 1pt} u$ – $\left( {1 + \beta ( \cdot , \cdot ){\text{i}}} \right){\text{|}}u{{{\text{|}}}^{2}}u + f( \cdot )$ (см. [1, 2]). Будем рассматривать обобщенные решения задачи (1).

Определим пространства

Обозначим через $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ множество всех обобщенных решений задачи (1). Напомним, что для любой функции $U \in {\mathbf{H}}$ существует хотя бы одна траектория $u( \cdot ) \in \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ такая, что $u(0) = U(x)$ (см., например, [6, 7, 11]). Следовательно, пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ задачи (1) не пусто и достаточно велико. Заметим, что теорема единственности для обобщенного решения задачи (1) доказана не для всех возможных диапазонов изменения дисперсионных параметров $\alpha$ и $\beta$ (см., [11]).

Ясно, что $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + } \subset \mathcal{F}_{{ + ,\varepsilon }}^{{loc}}$ и пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ является трансляционно-инвариантным, то есть, если $u( \cdot )\, \in \,\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, тогда и T(h)u(·) = $u(h + \cdot )\, \in \,\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ для любых $h \geqslant 0$. Операторы трансляций $\{ T(h),h \geqslant 0\}$ образуют полугруппу, действующую в фазовом пространстве траекторий:

Определим метрики ${{\rho }_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}( \cdot , \cdot )$ в пространствах ${{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$ следующим образом:

Эти метрики порождают топологию $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$ в пространстве $\mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$. По определению последовательность $\{ {{v}_{k}}\} \subset \mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ сходится к функции $v \in \mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ при $k \to \infty$ в $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$, если ${\text{||}}{{v}_{k}}( \cdot ) - v( \cdot ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{H}})}}} \to 0$ $(k \to \infty )$ для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \geqslant 0$. Аналогично определяется топология $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$ в пространстве $\mathcal{F}_{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$ для перфорированной области. Топологии $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$ и $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$ метризуемы и соответствующие метрические пространства являются полными. Мы рассматриваем топологию $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$ в пространстве траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ задачи (1).

Напомним, что норма в пространстве $L_{p}^{b}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$, где E – некоторое банахово пространство, определяется по формуле

Для определения ограниченных множеств в пространстве траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ введем банахово пространство

Аналогично вводим пространство

Пространства $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ и $\mathcal{F}_{{ + ,\varepsilon }}^{b}$ являются подпространствами пространств $\mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ и $\mathcal{F}_{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$ соответственно.

Напомним, что траекторным аттрактором трансляционной полугруппы $\{ T(h)\}$ в пространстве $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ называется множество ${{A}_{\varepsilon }} \subset \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, которое ограничено в $F_{{ + ,\varepsilon }}^{b}$, компактно в $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$, строго инвариантно, т.е., $T(h){{A}_{\varepsilon }} = {{A}_{\varepsilon }}$ при всех $h \geqslant 0$, и которое притягивает ограниченные в $F_{{ + ,\varepsilon }}^{b}$ множества из $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ в топологии $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$ при $h \to + \infty$ (см. [6, 7, 9]).

Пусть ${{\mathcal{K}}_{\varepsilon }}$ означает ядро задачи (1), которое состоит из всех обобщенных решений ${{u}_{\varepsilon }}(x,t)$, т.е. функций, удовлетворяющих интегральному тождеству

для любой функции $\psi \in C_{0}^{\infty }(\mathbb{R};{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }} \cap {{{\mathbf{L}}}_{{4,\varepsilon }}})$ и ограниченных в пространстве

Аналогично определяется ${{\mathcal{F}}^{b}}$ для области без перфорации.

Имеет место утверждение, доказательство которого практически полностью совпадает с доказательством, приведенным в [7] для более частного случая, с использованием вывода диссипативного неравенства для перфорированных областей (см. [5]). Обозначим через ${{\Pi }_{ + }}$ — оператор сужения на полуось ${{\mathbb{R}}_{ + }}.$

Утверждение 2.1. Задача (1) имеет траекторные аттракторы ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ в топологическом пространстве $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$. Множество ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в $\mathcal{F}_{{ + ,\varepsilon }}^{b}$ и компактно в $\Theta _{{ + ,\varepsilon }}^{{{\text{loc}}}}$. Более того,

причем ядро ${{\mathcal{K}}_{\varepsilon }}$ непусто и равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в $\mathcal{F}_{\varepsilon }^{b}$.

3. ОСНОВНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

В этом разделе изучаются предельное поведение траекторных аттракторов ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ для уравнений Гинзбурга–Ландау (1) при $\varepsilon \to 0 +$ и их сходимость к траекторному аттрактору соответствующего усредненного уравнения для различных значений параметра $\theta > 0$.

4. КОММЕНТАРИИ

Доказательство основных утверждений проводится на основе асимптотического анализа. Решения ищутся в виде асимптотического ряда

после подстановки которого в задачу приравниваются слагаемые с соответствующими степенями $\varepsilon$ (см., например, [15]).

Используя равномерные оценки по малому параметру, которые доказываются с помощью леммы 2.1, получаем утверждения о сходимости решений, а затем и аттракторов.