Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2020, T. 56, № 2, стр. 224-233

ВВЕДЕНИЕ

Поверхностные волны относятся к явлениям, которые в наибольшей степени влияют на все сферы морской деятельности, в том числе безопасность водного транспорта, добычу биоресурсов, развивающийся сектор возобновляемой энергетики (ветровые и волновые электростанции) и многое другое. На сегодняшний день метеорологическими службами производится регулярный прогноз гидрологической и метеорологической обстановки морей и океанов с использованием численных моделей, основанных на спектральном представлении волнового поля, например, WAVEWATCH III [1], SWAN [2], WAM [3], а также модели циркуляции атмосферы, например, WRF [4], ECMWF [5].

Однако при моделировании ветра и волнения на акватории внутренних водоемов остается ряд проблем. Пространственное разрешение расчетных сеток поверхностного волнения и параметров атмосферы для внутренних водоемов является достаточно грубым. Попытки простого использования глобальных моделей для локального прогноза на более мелкой сетке без специальной адаптации обычно приводят к некорректным результатам, так как условия внутреннего водоема обладают рядом особенностей, которые необходимо учитывать при составлении прогнозов ветра и волнения высокого пространственного разрешения. В их числе малые разгоны ветра, при которых наблюдаются более высокие значения параметра возраста волнения U₁₀/c_p [6]. Для этих условий характерна более сильная нелинейность, вызванная большой крутизной волн.

Таким образом, возникает задача адаптации уже имеющихся глобальных волновых моделей, например, WAVEWATCH III (WW3) [1], ориентированных, прежде всего, на океанские условия, к условиям внутренних водоемов. В современных моделях третьего поколения [7], к которым относится WW3, при моделировании поверхностных волн учитывается нелинейное четырехволновое взаимодействие волн наряду с ветроволновым взаимодействием и диссипацией из-за обрушений в случае глубокой воды. В ранее опубликованных работах была описана адаптация модели WW3 к условиям внутреннего водоема средних размеров на основе данных натурного эксперимента, в работах [8, 9] была осуществлена подстройка модели ветроволнового взаимодействия. Использование новой параметризации ${{C}_{D}}\left( {{{U}_{{10}}}} \right),$ полученной на основе измерений на водохранилище, снизило значения ${{u}_{*}},$ и, следовательно, скорость роста волн за счет ветровой накачки, что улучшило согласие в данных значительных высот волн H_S натурного эксперимента и численного моделирования. В то же время, модель занижает значения среднего периода волнения T_r по сравнению с данными измерений. Иными словами, это можно интерпретировать как то, что модель предсказывает более слабый эффект уменьшения частоты пика в спектре волнения по мере его развития (эффект дауншифтинга) по сравнению с наблюдаемым. Проблемы занижения периода для небольших разгонов известны давно [10]. Применительно к рассматриваемой ситуации это можно объяснить тем, что параметризация нелинейного переноса энергии настроена на моделирование менее крутых волн, типичных для условий открытого океана. Целью настоящей работы является подстройка аппроксимации нелинейных четырехволновых взаимодействий в модели WW3 применительно к условиям внутренних водоемов.

МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ВОЛНЕНИЯ

Программный комплекс модели WW3 основан на численном решении уравнения Хассельмана для спектральной плотности волнового действия $N(k,\theta ;\,\,x,t)$ [1]:

где левая часть уравнения (1) описывает распространение волны с частотой ω и волновым вектором k, которые связаны дисперсионным соотношением

Правая часть уравнения (1) представляет собой источники и стоки энергии волны S_tot, включая ветровую накачку (S_in), нелинейные взаимодействия (S_nl), диссипацию (S_dis) и ряд дополнительных процессов.

В настоящее время считается признанным тот факт, что нелинейное четырехволновое взаимодействие играет важную роль в эволюции ветровых волн. Важность переноса энергии при четырехволновом взаимодействии была отмечена в работе Филипса [11]. В работе Хассельмана [12] была развита слабонелинейная теория применительно к волнам на поверхности воды. Было показано, что четыре гармоники, удовлетворяющие резонансным условиям вида:

могут обмениваться энергией. Обмен энергией описывается шестимерным интегралом, известным как интеграл Больцмана:

Здесь N_i – плотность волнового действия гармонической волны с волновым вектором k_i при резонансном взаимодействии с тремя другими гармоническими волнами с соответствующими волновыми векторами. Дельта-функции показывают, что вклад в интеграл (4) вносят только гармонические волны, удовлетворяющие (3), при этом они обеспечивают сохранение волнового действия [13]. G – коэффициент нелинейного взаимодействия, полученный для случая волн на поверхности слоя жидкости бесконечной глубины в работе [14].

В модели WW3 точное интегральное выражение, входящее в (4), не используется из-за того, что для его вычисления требуются численные ресурсы, недоступные при проведении оперативных прогнозов. Вместо этого используются его упрощенные экономичные модели, при этом в версии WW3 v.5.16 для параметризации четырехволнового нелинейного взаимодействия могут быть использованы четыре различных варианта моделей (source of nonlinear interaction, SNL) SNL1-4 [15]. Широко используемая в мировом научном сообществе параметризация SNL1 – это аппроксимация Хассельмана Discrete Interaction Approximation (DIA) [16, 17]. Она представляет собой выражение, заменяющее прямой расчет интеграла Больцмана на основе предположения о взаимодействии лишь пары гармонических волн с “зеркальной” парой векторов. При этом резонансные условия (3) для этих векторов записываются следующим образом:

Характерная пара взаимодействующих векторов и их “зеркальная” пара изображены на рис. 1.

Вклад нелинейного слагаемого для соответствующих векторов при этом выглядит следующим образом:

Здесь E_i – это плотности энергий взаимодействующих гармоник, g – гравитационная постоянная. C_nl = 2.78 × 10⁷, λ = 0.25 – “дефолтные” параметры модели DIA, предложенные в работе [17], где выбор значения параметров был осуществлен на основе сравнения с данными натурных измерений параметров волнения в открытом океане. Параметр λ определяет различие частот взаимодействующих гармоник, и параметр пропорциональности C_nl отражает вклад нелинейных четырехволновых взаимодействий в итоговый спектр. Изменяя эти параметры, можно управлять параметризацией DIA, как, например, это делалось в [18] для океанских условий. При этом можно ожидать, что для условий внутренних водоемов должна быть подобрана другая комбинация параметров.

Существуют также другие методы аппроксимации нелинейных четырехволновых взаимодействий, представленные в модели WW3. Среди них модель SNL2 (Exact-NL model), представляющая собой прямое вычисление интеграла в формуле (4), осуществленное в работах [19, 20], основанное на подходе WRT (Webb-Resio-Tracy method). Модель SNL3 (Generalized Multiple DIA, GMD) [21] представляет собой “расширение” классической версии DIA, где изменен вид параметризованных резонансных условий, и использовано большее количество взаимодействующих пар векторов. Еще один метод вычисления нелинейных взаимодействий, SNL4 (The Two-Scale Approximation (TSA) and the Full Boltzmann Integral (FBI)), был предложен в [22, 23].

Методы расчета нелинейных взаимодействий SNL1 (далее DIA) и его “расширение” SNL3 (далее GMD) были применены в рамках адаптированной к условиям внутреннего водоема модели WW3 на акватории полигона Горьковского водохранилища, удобного с точки зрения наличия большого объема накопленных авторами данных натурных измерений для верификации расчетов. Далее метод расчета нелинейных взаимодействий DIA был взят за основу для адаптации модели WW3 к условиям внутренних водоемов средних размеров как наиболее широко используемый и удобный для подстройки.

ОПИСАНИЕ НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Примером внутреннего водоема средних размеров, для условий которого производились расчеты и адаптация модели WW3, послужило Горьковское водохранилище (р. Волга), на котором нашей группой проводились натурные исследования с 2012 г. и продолжаются по настоящий момент в летний сезон, когда водохранилище не покрыто льдом. Водохранилище имеет вытянутую форму (протяженность около 85 км, ширина 6–10 км), глубина водохранилища составляет 4–20 м, глубина в области измерений – 9–12 м в зависимости от сезона и выбора рабочей точки.

Для сопоставления с результатами численного моделирования использовались данные натурных измерений, проведенных в 2016–2017 гг. Измерительная аппаратура размещалась на автономной буйковой станции – оригинальной разработке коллектива авторов на базе океанографической вехи Фруда. Веха представляет собой мачту, полупогруженную в воду и удерживаемую в вертикальном положении поплавком вблизи поверхности и грузом на глубине. Общая длина вехи 12 м, длина надводной части – 5.3 м. Резонансная частота вертикальных колебаний – 0.25 Гц, что соответствует длине волны 25 м. По сравнению с измерениями, описанными в [8], веха была модифицирована. Чтобы исключить влияние судна на процесс измерения, измерительный комплекс был автономнизирован. Веха удерживается якорем и неподвижна при стабильном направлении ветра. Резкое изменение направления ветра вызывает движение вехи в радиусе 20–25 м (в зависимости от глубины) от положения якоря на дне со скоростью 0.1–0.3 м/с при скорости ветра ${{U}_{{10}}} = 9\,\,{\text{м/с}}{\text{.}}$

На мачте вехи располагались 4 ультразвуковых датчика скорости WindSonic и MaxiMet производства Gill Instruments на высотах 0.75 м, 1.25 м, 2.2 м, 5.3 м. Пятый датчик (высота измерения 0.1 м) располагался на отдельном поплавке, соединенным с вехой и отслеживающем поверхность воды. Такая схема измерений позволяет исследовать профиль скорости ветра и интерполировать его на произвольные высоты, а также, используя градиентный метод, восстанавливать статистические параметры турбулентного пограничного слоя, такие как турбулентный поток импульса и коэффициент аэродинамического сопротивления водной поверхности. Кроме этого, она соответствует структуре воздушного потока вблизи взволнованной поверхности воды (см. [8]).

Кроме этого, веха оборудована датчиками температуры воздуха, температуры воды и антенной струнных волнографов, позволяющей восстанавливать пространственно-временные спектры волнения. Одновременное измерение характеристик волнения и ветра легло в основу адаптации модели WAVEWATCH III к условиям водоемов.

Расположение точки измерений на водохранилище выбрано таким образом (см [8]), чтобы в широком диапазоне изменения направлений скорости ветра сохранялся постоянным разгон волн, который во всех экспериментах составлял 6–8 км. Скорость ветра, приведенная к стандартной метеорологической высоте 10 м, ${{U}_{{10}}}$ при этом изменялась в диапазоне 2–13 м/с для различных дней измерений.

Была определена зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления водной поверхности ${{C}_{D}}$ от скорости ветра, приведенной к стандартной метеорологической высоте 10 м – ${{U}_{{10}}}.$ На рис. 2 приведен график полученной зависимости. Также на рис. 2 приведены результаты работ [24] и [25]. Видно, что при скорости ветра ${{U}_{{10}}}$ больше 5 м/с результаты измерений хорошо описываются моделью COARE 3.0 (см. [25]), однако, при меньших скоростях ветра измеренные значения ${{C}_{D}}$ лежат выше, и недостаточно точно описываются даже функцией, предложенной в [24]. Необходимо отметить, что модель COARE 3.0 не предполагает аналитической записи зависимости ${{C}_{D}}({{U}_{{10}}})$ и потому не может быть использована в модели WAVEWATCH III без существенных модификаций программного кода, а функция, предложенная в [24], предсказывает завышенные значения по сравнению с экспериментальными данными. Полученные результаты были аппроксимированы простой аналитической зависимостью, и предложена параметризация:

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ДАННЫХ

Начальные этапы адаптации модели WW3 к условиям внутреннего водоема были приведены в работе [8]. Для корректной конфигурации модели в открытом программном коде было изменено минимальное значение высоты значительных волн (H_S), для описания водоема была взята топографическая сетка Горьковского водохранилища размерностью 72 × 108 с шагом 0.00833°, данные NOAA “Global Land One-kilometer Base Elevation (GLOBE)”. В связи с отсутствием надежных батиметрических данных по Горьковскому водохранилищу, находящихся в свободном доступе, а также с учетом того, что навигационные карты показывают, что глубины водохранилища достаточно большие, было выбрано приближение глубокой воды. Диапазон частот был изменен в соответствии с наблюдаемым в эксперименте диапазоном от 0.2 Гц до ≈ 3 Гц, который при моделировании дробился на 56 частот и задавался логарифмической формулой для роста частоты ${{\sigma }_{N}} = {{(\delta )}^{{N - 1}}}{{\sigma }_{1}},$ где инкремент был установлен δ = 1.05; разрешение по углам составляло 6.6(6) град. По заданным топографическим данным, данным о скорости и направлении ветра, разнице температур вода-воздух моделировалось волнение в водохранилище при заданном гауссовом начальном возмущении. Сравнение производилось для следующих выходных данных: одномерные спектры возвышений, высоты значительных волн, средний период волнения. Как в модели, так и в эксперименте расчет H_S производился по формуле:

Средний период T_r вычислялся по формуле:

Здесь m_n – это n-ый момент плотности спектра возвышений S(f), определяемый по формуле:

В координатах точки наблюдений были получены данные расчета, которые были усреднены в промежутке 15 мин для соответствия аналогично усредненным данным натурного эксперимента.

Как показано в работах [8, 9], применение новой параметризации (7) для ${{C}_{D}}\left( {{{U}_{{10}}}} \right)$ повлияло на скорость роста волн за счет ветровой накачки, что позволило улучшить согласие данных H_S натурного эксперимента и численного моделирования. При этом модель по-прежнему предсказывала заниженные значения для среднего периода волнения T_r. Это указывает на то, что модель предсказывает слишком медленную передачу энергии по спектру волнения, за которую отвечают четырехволновые нелинейные взаимодействия. С учетом этого было исследовано влияние представленных в WW3 v.5.16 параметризаций четырехволнового взаимодействия (DIA, GMD при количестве квадруплетов Q = 3, Q = 5) на предсказание средних параметров волнения в Горьковском водохранилище. Расчеты были проведены при использовании ветровой накачки WAM3 (далее ST1 в соответствии с [1]) [26, 27], которая была адаптирована к условиям коротких разгонов внутреннего водоема за счет изменения коэффициента аэродинамического сопротивления ${{C}_{D}}$ [8].

Сравнение показывает существенное значение среднеквадратичного отклонения значительных высот и периодов волнения и при использовании параметризации DIA, и при параметризации GMD как с количеством квадруплетов Q = 3, так и Q = 5, причем для большего количества квадруплетов отклонение становилось больше (см. табл. 1). Среднеквадратичное отклонение расчетных данных от экспериментальных вычислялось по формуле:

Здесь M_i – i-ое значение расчетных данных, O_i – i-ое значение экспериментальных данных.

Представленные параметризации нелинейного четырехволнового взаимодействия подстроены под условия морей и океанов. Для их применения к условиям внутренних водоемов средних размеров требуется подстройка параметров нелинейности. Дальнейший анализ и подстройка параметризации нелинейного переноса будет осуществлен на базе DIA. Параметризация DIA широко используется в оперативном моделировании, кроме того, она удобна с точки зрения модификации, поскольку в нее входят только два параметра (λ, C).

Для того, чтобы оценить чувствительность модели к изменению параметров нелинейности, были проведены расчеты WW3 (с подключением ветровой накачки ST1 и предложенным коэффициентом аэродинамического сопротивления ${{C}_{D}}$) при подключении модели DIA при нескольких наборах параметров: “дефолтные” (0.25, 2.78 × 10⁷), с изменением λ ((0.2, 2.78 × 10⁷), (0.4, 2.78 × 10⁷)) и с изменением C ((0.25, 5 × 10⁶), (0.25, 6 × 10⁷)). На рис. 3 показано влияние варьирования этих параметров на значение значительных высот и периодов волн. При возрастании параметра λ в 2 раза от λ = 0.2 до λ = 0.4 наблюдалось изменение периодов и высот значительных волн примерно в 1.3 раза. При изменении параметра C на 1 порядок периоды изменялись примерно в 1.4 раза, а высоты волн изменялись незначительно.

Таким образом, параметризация нелинейности DIA чувствительна к изменению параметров и может быть подстроена за счет подбора “оптимальных” параметров, которые обеспечат наилучшее соответствие между расчетным и экспериментальным значениями высот и периодов волн. Для поиска “оптимальных” параметров схемы нелинейности DIA λ и C было проведено моделирование для двух измененных параметризаций ветровой накачки: ST1 и ST6 (параметризация BYDRZ, [28, 29, 24 ]). Обе параметризации были использованы с измененным авторами заданием коэффициента аэродинамического сопротивления C_D, данная адаптация описана в [8]. Была составлена программа оптимизации параметров (λ, C), минимизирующая отклонения предсказания модели от данных натурных измерений. При оптимизации был использован массив данных натурных измерений за 2016 и 2017 г., общая продолжительность временнóго ряда составила 47 ч в интервале скоростей ветра U₁₀ = 0.5–12.5 м/с, параметров волн H_s = 0.05–0.45 м, T_r = 0.5–2.8 с (см. раздел “ОПИСАНИЕ НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА”). В результате было получено распределение среднеквадратичного отклонения расчета модели DIA от экспериментальных данных. На рис. 4а показано распределение среднеквадратичного отклонения расчетного значения H_s от экспериментального, на рис. 4б – расчетного значения среднего периода T_r от экспериментального при использовании ветровой накачки ST1. Белым контуром выделена область с значениями среднеквадратичного отклонения, не превышающими 28% по значительным высотам волн. Пунктирным контуром выделена область с значениями среднеквадратичного отклонения, не превышающими 20% по периодам. При этом среднеквадратичное отклонение при использовании “дефолтных” параметров составляет 33% по значительным высотам волн и 28% по периодам.

Аналогичные расчеты при использовании другой параметризации ветровой накачки ST6 приведены на рис. 5. В этом случае в выделенных областях значения среднеквадратичного отклонения не превышают 25% по периодам и 35% – по значительным высотам волн. Среднеквадратичное отклонение при использовании “дефолтных” параметров составляет 36% по значительным высотам волн и 28% по периодам.

В пересечении областей минимальных значений отклонения расчета от эксперимента были выбраны точки, отвечающие “оптимальному” набору параметров DIA. Для модели ST1 параметры (λ, C) составили (0.29, 3.8 × 10⁷) вместо (0.25, 2.78 × 10⁷). Для модели ST6 (λ, C) = (0.275, 3 × 10⁷) вместо (0.25, 3 × 10⁷). Выбор точки внутри пересечения областей в каждом случае основывался на принципе минимизации среднеквадратичного отклонения расчета средних периодов волн от эксперимента и неизменности или малой поправки расчета значительных высот волн. Изменение набора параметров слабо повлияло на пары векторов на “восьмерке Филипса” (схематично изображено на рис. 1), например, при использовании параметризации ветровой накачки ST1 с измененным C_D угол между волновыми векторами k₃ и k₁ изменился с 11.48° на 11.826°.

Влияние использования предложенных “оптимальных” параметров на расчет эволюции волнения для тестового дня 14.07.2017 при использовании параметризации ветровой накачки ST1 представлено на рис. 6а, 6б. Видно, что в среднем достигнуто улучшение предсказания средних периодов волнения: среднеквадратичное отклонение расчета от эксперимента изменилось с 10 на 4%. При этом для значительных высот волн отклонение изменилось с 17 на 15%. Аналогичные расчеты были проведены при использовании параметризации ST6. В данном случае среднеквадратичное отклонения снизилось с 9 до 6% по периодам, а изменение среднеквадратичного отклонения по значительным высотам волн было меньше 1%.

На рис. 7 приведено сравнение спектров при использовании ветровой накачки ST1, иллюстрирующее характерное поведение модели. Оптимизация параметров DIA улучшила согласие значений рассчитанного спектра с результатами измерений. Использование оптимизированной DIA позволяет более точно воспроизводить пиковую частоту, а также высокочастотную асимптотику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложена адаптация параметризации нелинейности для случая коротких разгонов в модели прогноза волнения WW3. Данная работа завершает начатую в [8, 9] модификацию модели WW3 для условий внутренних водоемов средних размеров.

Численное моделирование поверхностного волнения в условиях Горьковского водохранилища, проведенное с использованием встроенных в модель параметризаций нелинейности, показало неэффективность воспроизведения значительных высот и периодов волнения и при использовании параметризации DIA, и при параметризации Generalized Multiple DIA как с количеством квадруплетов Q = 3, так и с Q = 5, в сравнении с экспериментальными данными. Это обусловлено тем, что представленные методы расчета четырехволнового взаимодействия также, как и параметризации ветровой накачки, подстроены под условия морей и океанов. Для использования в условиях внутренних водоемов средних размеров была проведена подстройка параметров схемы нелинейности на основе широко используемой параметризации DIA.

Была составлена программа, минимизирующая отклонения предсказания модели от данных натурных измерений. Были выбраны “оптимальные” параметры для двух использованных параметризаций ветровой накачки, адаптированных к условиям внутреннего водоема. Для модели ST1 параметры (λ, C) составили (0.29, 3.8 × 10⁷) вместо (0.25, 2.78 × 10⁷), для модели ST6 – (0.275, 3 × 10⁷) вместо (0.25, 3 × 10⁷). Для DIA с предложенными “оптимальными” параметрами наблюдалось улучшения воспроизведения периодов моделью WW3 по сравнению с оригинальной DIA.

Нужно отметить, что для подтверждения универсальности данной подстройки требуется провести расчеты на акватории других водоемов средних размеров. Однако можно ожидать, что поведение модифицированной WW3 будет лучше соответствовать реальному волнению, чем WW3 с встроенными параметризациями, ориентированными на морские или океанские условия, что наблюдалось для условий исследуемого Горьковского водохранилища.

Кроме того, было использовано приближение глубокой воды, в котором модель WAVEWATCH III рассматривает только нелинейные четырехволновые взаимодействия. Это направления для последующих исследований.

Программа подстройки модели нелинейности была создана при поддержке гранта РФФИ 18-35-00602. Проведение натурных измерений на полигоне Горьковского водохранилища было поддержано грантом РФФИ 17-05-41117. Работа по расчетам поверхностного волнения в рамках адаптированной модели WAVEWATCH III была частично поддержана грантом РФФИ 18-05-00292. Развитие методов моделирования осуществлено при поддержке гранта РФФИ 18-05-60299. Базовая заработная плата Байдакова Г.А., Сергеева Д.А. и Троицкой Ю.И. финансировалась в рамках государственного задания ИПФ РАН по теме № 0035-2019-0007.