Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2020, T. 56, № 5, стр. 499-513

ВВЕДЕНИЕ

Внутренние гравитационные волны (ВГВ) в средней атмосфере являются основным источником мезомасштабных флуктуаций ветра и температуры с вертикальными масштабами от нескольких километров до сотни метров и с периодами от пяти минут до десятка часов. Они играют существенную роль в энергетическом обмене и глобальной циркуляции атмосферы, генерации турбулентности и перемешивании [1]. Для включения ВГВ в различные модели циркуляции и обмена в атмосфере необходима параметризация волн и исследование глобального высотного, сезонного и географического распределения этих параметров. Актуальность этой задачи подтверждается большим количеством экспериментальных исследований ВГВ в настоящее время. Наблюдения включают измерения флуктуаций температуры и ветра при помощи зондов на многочисленных станциях от тропиков до полюсов [2-6], радаров [7, 8] и самолетов [9, 10]. Глобальный мониторинг метеопараметров и их вариаций обеспечивается разнообразными спутниковыми системами, такими как лимбовые спектрометры [11, 12], затменные наблюдения мерцаний звезд [13-16], радиозатменные измерения [17-24].

Среди спутниковых методов наибольшее распространение получили исследования, основанные на радиозатменных измерениях излучений навигационных спутников GPS (Global Positioning System) на длинах волн ${{\lambda }_{1}} = 19.03\,\,{\text{см}}~$ и ${{\lambda }_{2}} = 24.42\,\,{\text{см}}$ с частотой выборки 50 Гц. Успех, достигнутый в первом эксперименте со спутником-приемником Microlab-1 [17], стимулировал создание новых приемных систем CHAMP (Challenging Minisatellite Payload), COSMIC (Constellation Observing System for Meteorology, Ionosphere and Climate), MetOp (Meteorological Operational Satellite). Особо следует отметить систему COSMIC, состоящую из 6 приемных спутников, которая в сочетание с 24 передающими спутниками GPS обеспечивает до 3000 профилей в сутки, являющиеся базой глобального мониторинга параметров атмосферы. Эти измерения активно используются мировыми центрами прогноза погоды [18, 19]. В настоящее время жизненный цикл системы COSMIC близок к завершению, однако в стадии тестирования находится еще более мощная система COSMIC-2 [20]. Были запущены китайские спутники FY-3C и FY-3D, поставляющие около 500 профилей в сутки [21]. Идет разработка системы CICERO (Community Initiative for Continuing Earth Radio Occultation) из двух спутников, обеспечивающих около 1100 профилей в сутки [22]. Также существуют коммерческие проекты по запуску больших систем малых спутников типа CubeSat [23]. Увеличению числа зондирований способствует то, что, помимо GPS, современными приемниками используются сигналы ГЛОНАСС и других навигационных систем. Подробный анализ принципов радиозатменного зондирования атмосферы приведен в монографии [24].

Высокий потенциал и стабильность излучения GPS сыграли ключевую роль в развитии радиозатменного зондирования атмосферы Земли, которое обеспечивает глобальность покрытия и хорошее вертикальное разрешение. Это позволило использовать сигналы GPS не только для восстановления регулярных профилей температуры, но и для исследования их флуктуаций [25-34]. Индикатором активности внутренних волн являются мощность флуктуаций температуры и удельная потенциальная энергия ${{E}_{p}}$ (спектральная или интегральная в некотором диапазоне вертикальных масштабов), которые оценивают по восстановленным температурным профилям. Для радиозатменного метода оптимальный диапазон высот, в котором погрешности температуры не превышают 1-1.5 К, составляет от 30-35 до 8-10 км [35, 36]. Вертикальное разрешение профилей в случае использования геометрооптического приближения составляет в стратосфере около 1.5 км, а горизонтальное разрешение, связанное с предположением о локальной сферической симметрии атмосферы, составляет 250-300 км [27, 35, 37]. Использование методов, основанных на волновой оптике, позволяет существенно улучшить вертикальное разрешение [24]. Относительно густая сетка зондирований в ряде случаев позволяет исследовать не только индивидуальные, но и парные [38] и тройные [39] температурные профили, попавшие в заданные ячейки координатно-временной сетки. Использование кросс-корреляционного анализа в таких парных и тройных событиях позволяет дополнительно оценить вертикальные и горизонтальные масштабы доминантных волн. В [40, 41] были использованы данные, полученные в самой начале запуска созвездия COSMIC, когда спутники находились близко друг к другу, обеспечивая сетку температурных профилей с шагом вплоть до нескольких километров по горизонтали.

За прошедшие 20 лет данные спутникового мониторинга внутренних волн составили большой массив, покрывающий весь глобус и все сезоны. Как эти данные, так и зондовые, самолетные и радарные измерения, хотя и указывают на некоторую общность характеристик широтно-долготной и сезонной активности волн, однако могут отличаться в несколько раз для схожих измерений. Помимо естественной изменчивости, это объясняется различием в методах интерпретации данных измерений, в частности, разделения регулярного и флуктуационного профилей температуры [28, 34, 39, 42]. Таким образом, экспериментальные спектры ВГВ, хотя и согласуются в общих чертах с “универсальным” спектром [43-45], демонстрируют сильную изменчивость, наряду с которой часто отмечаются значительные отличия средних экспериментальных данных от теоретических значений [1, 3].

Это указывает на актуальность разработки метода восстановления основных статистических параметров внутренних волн по флуктуациям амплитуды радиосигнала в радиозатменных экспериментах и ее апробации по имеющимся массивам радиозатменных данным измерений. В данной статье рассмотрены методические вопросы: 1) выбор модели пространственного спектра внутренних волн, 2) вывод основных соотношений, 3) разработка алгоритма восстановления и 4) оценки его ошибок. Методика основана на приближениях, традиционных для задачи распространения излучения в случайно неоднородных средах, и во многом аналогична методике восстановления параметров ВГВ и турбулентности по спутниковым затменным наблюдениям мерцаний звезд [13-15]. Как показано в [46], при радиозатменных наблюдениях, в отличие от оптических, можно пренебречь влиянием изотропной колмогоровской турбулентности. Кроме того, разная чувствительность этих методов зондирования, связанная с различием длин волн, приводит к тому, что оптический метод мерцаний звезд применим в диапазоне высот примерно от 50-60 до 30 км [13-15], а радиозондирование от 30-35 до 5-10 км [46]. Таким образом, эти методы хорошо дополняют друг друга по зондируемым диапазонам высот.

Статья организована следующим образом. В Разделе “Основные приближения” рассмотрены модели пространственного спектра внутренних волн и обсуждается приближенное описание флуктуаций радиозатменных сигналов. Мы используем модель 3-мерного спектра ВГВ, которая является обобщением 1-мерного вертикального (“универсального”) спектра [43-45]. Приближения фазового экрана и слабых флуктуаций позволяют значительно упростить задачу и учесть влияние сферичности атмосферы, существенную для таких сильно анизотропных образований, как ВГВ [46-48]. В Разделе “Основные соотношения” приводятся формулы, связывающие измеряемый 1-мерный спектр флуктуаций амплитуды с пространственным спектром ВГВ. Пользуясь принятыми приближениями и учитывая сильную анизотропию волн, мы получаем простые аналитические соотношения и строим на их основе алгоритм восстановления параметров ВГВ, основанный на подгонке теоретических спектров амплитудных флуктуаций к экспериментальным. В Разделе “Процедура обработки и примеры восстановления” приведены примеры восстановления параметров ВГВ и даны оценки интегральных погрешностей метода. В “Заключении” резюмируются основные результаты статьи.

1. ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

В этом разделе мы приводим краткое изложение основных приближений и моделей, которые использовались для анализа флуктуаций радиосигнала. К ним относятся модель пространственного спектра ВГВ в атмосфере, приближение эквивалентного фазового экрана и приближение слабых флуктуаций (метода Рытова). Подробное описание этих приближений и их обоснование для затменных экспериментов можно найти в [13-15, 47, 48], где приводятся дальнейшие ссылки. Геометрия радиозатменных наблюдений приведена в многочисленных работах, например, в монографии [24].

1.1. Пространственные спектры ВГВ

Мы будем использовать статистическое описание для полей атмосферных неоднородностей и принимаемого сигнала, полагая, что при просвечивании всей атмосферы вдоль линии визирования зондирующая волна взаимодействует с достаточно представительным ансамблем атмосферных неоднородностей показателя преломления, генерируемых турбулентностью и внутренними волнами. Эти неоднородности вызывают флуктуации амплитуды и фазы распространяющегося сигнала. В оптическом диапазоне вклады неоднородностей обоих типов в мерцания сравнимы друг с другом [13-15]. В радиозатменных наблюдениях на длинах волн GPS в средней атмосфере вклад изотропной колмогоровской турбулентности в мощность флуктуаций сигнала как минимум на два порядка меньше, чем вклад сильно анизотропных ВГВ [46]. Это объясняется увеличением дифракционного масштаба Френеля, определяющего амплитудные флуктуации, которое приводит к возрастанию роли крупномасштабных ВГВ с более крутым 3-мерным спектром [46, 49]. Таким образом, флуктуации радиосигнала GPS позволяют восстанавливать только параметры ВГВ.

Для задачи распространения излучения характеристики случайной среды определяются 3-мерным спектром относительных флуктуаций индекса рефракции $\nu = {{\left( {N - \bar {N}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {N - \bar {N}} \right)} {\bar {N}}}} \right. \kern-0em} {\bar {N}}}$, где $N = n - 1$ - индекс рефракции, $n$ - показатель преломления [50]. Черта сверху означает сезонно-региональное среднее на данной высоте. Предполагается, что регулярная атмосфера $\bar {N}$ является сферически симметричной, а случайное поле $\nu $ является локально однородным в сферическом слое [47, 48]. В оптике флуктуации индекса рефракции определяются только температурными флуктуациями. В радиодиапазоне дополнительный вклад во флуктуации индекса рефракции вносят флуктуации влажности, и они могут стать определяющими в нижней тропосфере [51]. В данной работе мы ограничиваемся исследованиями ВГВ в стратосфере, где влиянием влажности можно пренебречь. В этом случае относительные флуктуации индекса рефракции $\nu $ равны относительным флуктуациям плотности ${{\delta \rho } \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta \rho } {\bar {\rho }}}} \right. \kern-0em} {\bar {\rho }}}$ и (с обратным знаком) относительным флуктуациям температуры ${{\delta T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta T} {\bar {T}}}} \right. \kern-0em} {\bar {T}}}$. Для восстановления 3-мерного спектра неоднородностей мы задаем его параметрическую модель и рассчитываем для нее теоретические спектры флуктуаций амплитуды радиосигнала. Параметры модели определяются так, чтобы теоретические спектры оказывались наиболее близки к экспериментальным.

На основе наблюдений мерцаний звезд А.С. Гурвич разработал модель 3-мерного спектра относительных флуктуаций индекса рефракции, генерируемых случайным ансамблем внутренних волн [13-15, 47]:

(1)

$\begin{gathered} {{{\Phi }}_{W}}\left( {{{\kappa }_{x}},{{\kappa }_{y}},{{\kappa }_{z}}} \right) = C_{W}^{2}{{\eta }^{2}}{{({{\kappa }^{2}} + K_{W}^{2})}^{{ - \frac{{\mu }}{2}}}}\phi ({\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{\kappa }_{W}}}}} \right. \kern-0em} {{{\kappa }_{W}}}}), \\ {{\kappa }^{2}} = \kappa _{z}^{2} + {{\eta }^{2}}\kappa _{ \bot }^{2}, \\ \kappa _{ \bot }^{2} = \kappa _{x}^{2} + {{\eta }^{2}}\kappa _{y}^{2}, \\ \end{gathered} $

где $C_{W}^{2}$ - структурная характеристика, определяющая интенсивность флуктуаций $\nu $, $\eta \gg 1$ - коэффициент анизотропии, характеризующий отношение характерных горизонтальных масштабов к вертикальным, ${{\kappa }_{z}}$ - вертикальное волновое число, ${{\kappa }_{x}}$, ${{\kappa }_{y}}$ - горизонтальные волновые числа, ось $x$ совпадает с направлением визирования, ${{K}_{W}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{L}_{W}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{W}}}},$ ${{k}_{W}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{l}_{W}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{W}}}},$ ${{L}_{W}}$ - вертикальный внешний масштаб, ${{l}_{W}}$ - внутренний масштаб (масштаб обрушения волн и трансформации в турбулентность). Для стратосферы значения ${{l}_{W}}$ находятся в диапазоне от десятка до сотни метров [13-15]. Показатель степени $ - \mu $ равен $ - 5$. Функция $\phi $ характеризует затухание спектра (1) на самых мелких масштабах. Поскольку дифракционный масштаб Френеля ${{\rho }_{{\text{F}}}}$ существенно больше ${{l}_{W}}$, то вторые моменты флуктуаций амплитуды радиосигнала GPS практически не зависят от внутреннего масштаба [46], и в дальнейшем мы будем полагать $\phi = 1$. Напротив, в оптических затменных наблюдениях зона Френеля много меньше внутреннего масштаба ВГВ и внутренний масштаб является основным масштабом, определяющим мерцания звезд [13-15]. Предположение о том, что случайное поле $\nu $ является локально однородным в сферическом слое атмосферы, позволяет учесть влияние анизотропии неоднородностей на распространяющееся излучение [47, 48]. Для локально однородных случайных полей показатель степени (наклон) чисто степенных спектров $ - \mu $ должен лежать в пределах: $~ - 3 > - \mu > - 5$, [50, 52], поэтому введение внешнего масштаба в (1) является необходимым, и в ряде случаев он является одним из определяющих параметров.

Односторонний 1-мерный вертикальный спектр равен интегралу от ${{{\Phi }}_{W}}\left( {{{\kappa }_{x}},{{\kappa }_{y}},{{\kappa }_{z}}} \right)$ по горизонтальным волновым числам ${{\kappa }_{x}},{{\kappa }_{y}}$:

(2)

$\begin{gathered} {{V}_{\nu }}\left( {{{\kappa }_{z}}} \right) = {{V}_{{{{\delta T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta T} {\bar {T}}}} \right. \kern-0em} {\bar {T}}}}}}\left( {{{\kappa }_{z}}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}C_{W}^{2}{{\left( {\kappa _{z}^{2} + {\rm K}_{W}^{2}} \right)}^{{ - \frac{3}{2}}}},~ \\ ~{{\kappa }_{z}} \geqslant 0. \\ \end{gathered} $

Спектр ${{\Phi }_{W}}$ представляет собой 3-мерное обобщение известной модели насыщенных ВГВ с “универсальным” 1-мерным вертикальным спектром температурных флуктуаций с наклоном $ - 3$ [43-45]:

(3)

${{V}_{{{{\delta T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta T} {\bar {T}}}} \right. \kern-0em} {\bar {T}}}}}} = \beta \frac{{\omega _{{{\text{B}}{\text{.V}}{\text{.}}}}^{4}}}{{{{g}^{2}}}}\kappa _{z}^{{ - 3}},$

где $\beta \approx $ 0.1 - числовой коэффициент в модели насыщенных ВГВ, ${{\omega }_{{{\text{B}}{\text{.V}}{\text{.}}}}}$ - частота Брента-Вяйсяля и $g$ - ускорение свободного падения. Высокочастотная область ${{\kappa }_{z}} > {{K}_{W}}$ в (1) и (2) соответствует режиму насыщения ВГВ со спектром (3), а низкочастотная область ${{\kappa }_{z}} < {{K}_{W}}$ соответствует ненасыщенным волнам.

Значения внешнего масштаба ${{L}_{W}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{K}_{W}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{W}}}}$ в стратосфере составляют несколько километров [2, 43, 44]. Экспериментальных данных о волнах с масштабами, близкими к внешнему, мало, и описания спектра в этой области носят, в основном, гипотетический характер [43, 44]. Переход от ненасыщенного режима волн ${{\kappa }_{z}} < {{K}_{W}}$ к насыщенному ${{\kappa }_{z}} > {{K}_{W}}$ происходит в некотором интервале пространственных частот, и определение внешнего масштаба зависит от вида параметризации модельного спектра. При нашем определении ${{L}_{W}}$ в (1) и (2) спектр выходит на плоское плато при переходе к ненасыщенному режиму волн в низкочастотной области аналогично моделям [43, 44]. Иногда используются модели 1-мерного спектра с асимптотической линейной зависимостью ${{V}_{{{{\delta T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta T} {\bar {T}}}} \right. \kern-0em} {\bar {T}}}}}}\sim {{\kappa }_{z}}$ в области ненасыщенных волн [25]. В качестве характерного масштаба иногда используется понятие доминантного масштаба, определяемого как положение максимума энергосодержащего спектра (произведения вертикального спектра на волновое число) [2, 3, 6, 33, 39]. Отношение доминантного масштаба к внешнему масштабу составляет 1-1.5 в зависимости от параметризации спектра ВГВ. В нашем случае оно равно 1.4.

Единственным статистическим параметром, определяющим спектры (1) и (2) в режиме насыщения, является структурная характеристика $C_{W}^{2}$, которая связана с параметрами “универсального” спектра (3) следующим образом [53]:

(4)

$C_{W}^{2} = \frac{{3\beta \omega _{{{\text{B}}{\text{.V}}{\text{.}}}}^{4}}}{{4\pi {{g}^{2}}}}.$

Анализ наблюдений мерцаний звезд [54-56] указывает на то, что коэффициент анизотропии является переменным и возрастает с ростом масштаба неоднородностей, насыщаясь около сотни для вертикальных масштабов 100 м и более. Предельные значения анизотропии для доминантных волн определяются отношением максимальной и минимальной внутренних частот: ${{\eta }_{{{\text{max}}}}} \approx {{{{\omega }_{{{\text{B}}{\text{.V}}{\text{.}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{{{\text{B}}{\text{.V}}{\text{.}}}}}} {{{f}_{C}}}}} \right. \kern-0em} {{{f}_{C}}}}$, где ${{f}_{C}}$ - параметр Кориолиса. Типичные их значения в стратосфере составляют несколько сотен [1]. Для модели ВГВ характерными масштабами, определяющими флуктуации радиосигнала, являются масштаб Френеля ${{\rho }_{{\text{F}}}}$ и внешний масштаб [46]. Для радиоволн с $\lambda \approx 20{\text{\;см}}$ на трассе GPS - низкоорбитальный спутник ${{\rho }_{F}} \approx 1.5\,\,{\text{км}}$ в стратосфере, а внешний масштаб ${{L}_{W}}$ составляет несколько километров [2, 6, 44].

Для неоднородностей с вертикальными масштабами свыше 1 км анизотропия $\eta $ значительно превышает критическое значение ${{\eta }_{{cr}}} = \sqrt {{{{{R}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{e}}} {{{H}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{H}_{0}}}}} \approx 30$, где ${{R}_{e}}$ - радиус Земли, ${{H}_{0}} = 6{\kern 1pt} --{\kern 1pt} 8\,\,{\text{км}}$ - высота однородной атмосферы. В силу сферичности атмосферы угол между лучом и анизотропными неоднородностями меняется вдоль линии визирования, и флуктуации фазы (эйконала) излучения насыщаются при $\eta \geqslant {{\eta }_{{cr}}}$, т.к. луч внутри слоя толщиной ${{H}_{0}}$ взаимодействует лишь с ограниченной частью каждой наклоненной неоднородности. Качественная иллюстрация этого эффекта при затменном зондировании приведена на рис. 1 в [47]. При сильной анизотропии $\eta \gg {{\eta }_{{cr}}}$ флуктуации фазы не зависят от $\eta $, достигая значений, соответствующих предельному случаю сферически слоистых неоднородностей [47, 48]. Поэтому при рассмотрении флуктуаций амплитуды радиосигнала, определяемыми неоднородностями с характерными масштабами более 1 км можно использовать модели спектров (1) и (2) с постоянной анизотропией $\eta = {\text{const}} \gg {{\eta }_{{cr}}}$. Модель 3-мерного спектра ${{\Phi }_{W}}$ (1) с постоянной анизотропией широко используется для анализа мерцаний звезд и радиоисточников, для восстановления параметров ВГВ и турбулентности по наблюдениям мерцаний звезд, коррекции шумов мерцаний при восстановлении содержания озона и других составляющих атмосферы в спектрометрических измерениях (см. ссылки в [56]).

Рис. 1.

Теоретические спектры амплитудных флуктуаций, нормированные на максимальную дисперсию, при разных значениях внешнего масштаба ${{L}_{W}}$. Цифры у кривых - значения ${{L}_{W}}$ в километрах, штриховая линия - расчет для ${{L}_{W}} \to \infty $.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим соотношения, связывающие измеряемые характеристики флуктуаций амплитуды с параметрами пространственных спектров ВГВ. В радиозатменном эксперименте мы получаем 1-мерную реализацию сигнала вдоль траектории движения приемного спутника. За время сеанса измерений, составляющего около 1 мин, положение спутника меняется мало по сравнению с расстоянием до фазового экрана. Кроме того, масштаб корреляции флуктуаций индекса рефракции вдоль луча во много раз превышает масштаб их корреляции в направлении, перпендикулярном лучу [50]. Поэтому можно считать, что измеренная реализация соответствует проекции участка траектории спутника на фазовый экран. Определение проекции учитывает рефракционное замедление вертикальной компоненты скорости луча.

Геометрия затменных наблюдений определяется углом захода $\alpha $ на фазовом экране между касательной к отрезку $s$ траектории захода и локальной вертикалью (см. рис. 2 в [47] и рис. 1 в [54]). Угол $\alpha = 0^\circ $ соответствует вертикальным радиозаходам, а $\alpha = 90^\circ $ - горизонтальным, или тангенциальным заходам. Случайное поле ВГВ в диапазоне вертикальных масштабов, существенных для флуктуаций радиосигналов, характеризуется сильной анизотропией. Если $\tan \alpha < \eta $, то заходы можно приближенно считать вертикальными [56, 60, 67]. При $\eta \geqslant $50 это условие выполняется вплоть до углов $\alpha \approx 89^\circ $, т.е. практически для всех радиозаходов. Как показано в [46, 48], в этому случае 1-мерные вертикальные спектры относительных флуктуаций амплитуды ${{\delta A} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta A} {\bar {A}}}} \right. \kern-0em} {\bar {A}}} = {{\left( {A - \bar {A}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {A - \bar {A}} \right)} {\bar {A}}}} \right. \kern-0em} {\bar {A}}}$ (или логарифма относительной амплитуды $\chi = \ln \left( {{A \mathord{\left/ {\vphantom {A {\bar {A}}}} \right. \kern-0em} {\bar {A}}}} \right)$ для слабых флуктуаций ${{\delta A} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta A} {\bar {A}}}} \right. \kern-0em} {\bar {A}}} \ll 1$) на приемнике задаются простыми аналитическими выражениями:

Рис. 2.

Пример сравнения нормированных экспериментальных спектров флуктуаций амплитуды (квадратики) и подогнанных теоретических спектров (сплошные линии). Спектры последовательно сдвинуты по оси абсцисс с множителем 1.5; цифры под кривыми обозначают высоты зондирования в километрах.

Спектры (5)-(7) являются односторонними для волновых чисел ${{\kappa }_{z}} \geqslant 0$ в плоскости фазового экрана. Волновые числа в приемной плоскости и в плоскости фазового экрана связаны соотношениями, обратными тем, что связывают масштабы. В данной работе под спектром амплитудных флуктуаций мы понимаем саму спектральную плотность, а не ее произведение на частоту, как в [46]. Асимптотики спектра (7) определяются показателем степени $ - \mu = - 5$ в 3-мерном спектре флуктуаций индекса рефракции (1) [46-48]. В области дифракционного затухания для высоких частот ${{\kappa }_{z}} > {{\kappa }_{{\text{F}}}}$ спектр (7) асимптотически уменьшается с показателем степени $ - \mu + 1 = - 4$. В низкочастотной области ${{\kappa }_{z}} < {{\kappa }_{{\text{F}}}}$ для спектров (1) и (2) с ${{L}_{W}} \to \infty $ асимптотика (7) имеет показатель $ - \mu + 5 = 0$, т.е. спектр флуктуаций амплитуды насыщается к константе. При этом дисперсия относительных флуктуаций амплитуды, существующая и в предельном случае ${{L}_{W}} \to \infty $, записывается в виде [46]:

Учет конечного внешнего масштаба ${{L}_{W}}$ приводит к уменьшению спектральной плотности флуктуаций амплитуды (7) при уменьшении ${{\kappa }_{z}}$ и, соответственно, к уменьшению дисперсии. Это связано с тем, что заметная доля дисперсии содержится в низкочастотной области, в которой поведение спектра зависит от внешнего масштаба.

Восстановление параметров ВГВ по спектрам флуктуаций радиосигнала существенно проще, чем по спектрам мерцаний звезд [13-15]: а) не надо учитывать колмогоровскую турбулентность; б) спектр амплитудных флуктуаций записывается в аналитическом виде. С другой стороны, остаточное влияние ионосферы [68], которое проявляется в крупномасштабных флуктуациях амплитуды, а также близость масштаба Френеля и внешнего масштаба могут вносить дополнительные погрешности в оценки внешнего масштаба и структурной характеристики.

Для восстановления структурной характеристики и внешнего масштаба, усредненных в некоторых высотно-регионально-сезонных ячейках, можно использовать два варианта: 1) подгонять теоретические спектры амплитудных флуктуаций к индивидуальным экспериментальным спектрам и затем находить усредненные параметры ВГВ в каждой ячейке; 2) сначала усреднять экспериментальные спектры амплитудных флуктуаций в каждой ячейке и к усредненному спектру подгонять теоретический. В первом варианте не всегда удается подогнать теорию к эксперименту. Это связано с тем, что наклон теоретических спектров амплитудных флуктуаций в низкочастотной области ${{\kappa }_{z}} < {{\kappa }_{{\text{F}}}}$ всегда неотрицателен, а нулевой наклон соответствует ${{L}_{W}} \to \infty $. В индивидуальных экспериментальных спектрах из-за плохой статистической устойчивости оценок на низких частотах это условие может не выполняться и такие спектры нельзя использовать для сравнения с теоретическими. Такая селективность может привести к систематическому занижению оценок внешнего масштаба [53]. Мы будем следовать второму варианту.

Волновые числа мы будем нормировать на масштаб Френеля, а спектральную плотность - на дисперсию. Тогда для теоретического спектра (7), нормированного на дисперсию при ${{L}_{W}} \to \infty $ (8), можно записать:

Нормированные теоретические спектры (9) зависят только от внешнего масштаба ${{L}_{W}}$, а структурная характеристика $C_{W}^{2}$ выпадает из-за нормировки.

На рис. 1 приведены теоретические спектры для разных значений ${{L}_{W}}$. Из рисунка видно, что для выбранной модели спектра неоднородностей влияние внешнего масштаба проявляется заметным образом вплоть до ${{L}_{W}}$ = 5-7 км. Глубокие дифракционные осцилляции спектральной плотности связаны с идеализацией модели фазового экрана. Для подгонки теоретические спектры усреднялись в том же спектральном окне, что и экспериментальные. Это позволяет сгладить дифракционные осцилляции.

В эксперименте мы имеем оценки спектральной плотности в некотором ограниченном диапазоне нормированных волновых чисел ${{\kappa }_{{{\text{min}}}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{\kappa }_{{{\text{max}}}}}~$ и только в этом диапазоне частот можно получить оценку частичной дисперсии:

Для нормированного спектра из эксперимента имеем:

Этой функции мы сопоставляем теоретическую функцию:

Второй множитель в (12) задается соотношением (9), а поправочная константа

Процедура оценки ${{L}_{W}}$ заключается в следующем. Для набора значений ${{L}_{W}}$ по (9) рассчитываются нормированные теоретические спектры и поправочные константы $C$. Подгонкой теоретических спектров (12), рассчитанных для разных ${{L}_{W}}$, к экспериментальному спектру (11) можно получить оценку ${{L}_{W}}$, минимизирующую невязку между теорией и экспериментом.

Оценка структурной характеристики $C_{W}^{2}$ получается из сравнения экспериментальной и теоретической оценок частичных дисперсий. Пользуясь (13) и (8), запишем теоретическую оценку дисперсии:

Отсюда получаем экспериментальную оценку структурной характеристики:

Внешний масштаб ${{L}_{W}}$ и структурная характеристика $C_{W}^{2}$ полностью определяют пространственные спектры ВГВ (1) и (2) для вертикальных масштабов, больших внутреннего масштаба: ${{\kappa }_{z}} < {{\kappa }_{W}}$. Внешний масштаб служит границей между ненасыщенными и насыщенными волнами. Структурная характеристика полностью определяет спектр внутренних волн в режиме насыщения.

Показателем активности волн является удельная энергия волн [1]. Поскольку пульсации горизонтальной скорости и температуры, создаваемые волнами, связаны поляризационными соотношениями [1], то в качестве такого показателя можно использовать потенциальную энергию или дисперсию температурных флуктуаций. В линейной теории волн отношение кинетической энергии к потенциальной равно модулю показателя степени временного спектра $\left| p \right| = {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}$ [1, 25]. Удельная потенциальная энергия ВГВ равна [6, 25, 29, 31, 33, 34, 70]:

И в (17) мы учли соотношение (4). Параметры $C_{W}^{2}$ и ${{L}_{W}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{K}_{W}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{W}}}}$ определяют как среднее значение потенциальной энергии, так и ее изменчивость, при этом определяющий вклад в потенциальную энергию вносят крупные масштабы, близкие к внешнему.

Каждый способ измерения характеризуется своим диапазоном длин волн, к которым он чувствителен (своим “наблюдательным фильтром” по терминологии [1, 71]) и своей методикой фильтрации температурных флуктуаций. Так, для радиозондов вертикальное разрешение составляет около сотни метров [2, 3, 6], а для радиозатменных данных 1.5-2 км [25, 27, 35]. Оценки в крупномасштабной области определяются длиной реализаций, которая для стратосферы составляет интервал в 10-20 км разности по высоте. Кроме того, необходимость в фильтрации для разделения регулярной и флуктуационной компонент профилей температуры, а также статистическая неустойчивость спектральных оценок в низкочастотной области дополнительно ограничивают измерения в этой области. Для корректного учета внешнего масштаба в измерениях учитываются температурные флуктуации с масштабами не менее 3-5 км (радиозонды) и не менее 5-10 км (радиозатменные данные).

3. ПРОЦЕДУРА ОБРАБОТКИ И ПРИМЕРЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Для обработки использовались данные эксперимента COSMIC в канале L1 ($\lambda = $ 19.03 см) с частотой выборки 50 Гц. Данные включают координаты спутников и амплитуды как функции времени. По координатам спутников, с использованием климатологической модели атмосферы MSIS [69], приближенно вычислялись высоты перигеев лучей.

Для каждого сезона исследовалось широтное (зональное) распределение параметров ВГВ в полосах широт $0^\circ {\kern 1pt} ~ - {\kern 1pt} 20^\circ $, $20^\circ {\kern 1pt} - {\kern 1pt} 40^\circ $, $40^\circ {\kern 1pt} - {\kern 1pt} 60^\circ $, $60^\circ {\kern 1pt} - {\kern 1pt} 90^\circ $ в северном и южном полушариях для 2011 г. Верхняя граница высот была выбрана равной 32 км. Ниже этой высоты влияние ионосферы достаточно мало и флуктуации амплитуды в статистическом анализе определяются неоднородностями нейтральной атмосферы [46]. Нижняя граница диапазона исследуемых высот задавалась на один километр выше верхней границы тропопаузы в соответствующей полосе географических широт, чтобы уменьшить влияние сильных градиентов температуры [32, 34]. Спектры относительных флуктуаций амплитуды рассчитывались по участкам реализаций с перепадом высот $\Delta z = $ 8 км с шагом 2 км. Этим спектрам приписывались высоты, равные серединам участков реализаций. Таким образом, максимальная высота для всех широт составляла 28 км, а минимальная высота определялась тропопаузой и изменялась от 16 км для полярных зон до 22 км для тропиков. Профиль средней амплитуды радиосигнала для этих участков реализаций определялся квадратичным трендом. Чтобы избежать влияния детрендирования на низкочастотные спектральные компоненты, для анализа использовались периодограммы, начиная с масштаба ${{\Delta z} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta z} 3}} \right. \kern-0em} 3}$, примерно равного $2.5{{\rho }_{{\text{F}}}}$ для высоты 28 км и $3.5{{\rho }_{{\text{F}}}}$ для 16 км. Рассчитанные периодограммы усреднялись в спектральном окне, содержащем по 3 периодограммы в низкочастотной области ${{\kappa }_{z}} \leqslant {{\kappa }_{{\text{F}}}}$ и по 5 периодограмм в высокочастотной области ${{\kappa }_{z}} > {{\kappa }_{{\text{F}}}}$.

Отбраковка исходных данных производилась в два этапа. Сначала отбрасывались данные с низким отношением сигнал/шум на высотах 60-80 км и сильно наклонные заходы с углом $\alpha > 80^\circ $. Далее использовалась априорная информация о спектре: в низкочастотной области его наклон не может быть положительным, а на высокочастотном участке он должен убывать из-за дифракции. Отбраковывались спектры, в которых наблюдались выбросы, превышающие порог ${3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 {\sqrt {{{N}_{{sp}}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{N}_{{sp}}}} }}$, где ${{N}_{{sp}}}$ - число усредняемых периодограмм.

Сравнение временны́х спектров амплитудных флуктуаций на высотах около 60 км, где основную роль играют ионосферные флуктуации, со спектрами на высотах менее 32 км, показывает, что шумы обусловлены ионосферными возмущениями и шумами приемника. Ионосферная компонента проявляется в низкочастотной области, а шум приемника можно считать белым. В режиме слабых флуктуаций характерные частоты спектров амплитудных флуктуаций, вызванные внутренними волнами, ${{{{v}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{v}_{z}}} {{{\rho }_{{\text{F}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{{\text{F}}}}}}$ (${{v}_{z}}$ - вертикальная скорость перигея луча) не превышают 2-3 Гц [46]. Быстрое дифракционное убывание спектра с показателем степени $ - 4$ приводит к тому, что высокочастотные компоненты спектров вблизи частоты Найквиста ${{f}_{N}} = 25{\text{\;Гц}}$ определяются шумами приемника. Для коррекции шума приемника использовались оценки средней спектральной плотности на частотах 12-22 Гц в каждой реализации. Низкочастотные ионосферные возмущения в среднем убывают с уменьшением высоты, однако могут заметно варьировать. Их оценка по спектрам на высотах 60-80 км, перенесенная на высоты меньшие 30 км, может привести к заметным ошибкам. Разделение вкладов ионосферы и нейтральной атмосферы в амплитудных флуктуациях на высотах ниже 30 км, даже при использовании двухчастотной ионосферной коррекции представляет непростую задачу [72]. Влияние остаточных ионосферных возмущений частично учитывалось на этапе отбраковки по выбросам спектра в низкочастотной области. Отметим, что эта отбраковка может привести к недооценке внешнего масштаба.

Для каждого сезона нормированные экспериментальные спектры флуктуаций амплитуды (11) распределялись по высотно-широтным ячейкам и усреднялись. Далее мы находили значение внешнего масштаба ${{L}_{W}}$, минимизирующее квадрат разности оценок экспериментальной (10) и теоретической (14) относительных дисперсий [13, 14]. Для этого перебирались значения ${{L}_{W}}$ от 1 до 6 км с шагом 1 м. Структурная характеристика определялась по формуле (15), где поправочный коэффициента $C$ (13) вычислялся для оптимального ${{L}_{W}}$. По ${{L}_{W}}$ и $C_{W}^{2}$ определялись оценки интегральных параметров - дисперсии флуктуаций температуры и потенциальной энергии (16) и (17).

Необходимые для расчетов параметры регулярной атмосферы: индекс рефракции $\bar {N}$, высота однородной атмосферы ${{H}_{0}}$ и частота Брента-Вяйсяля ${{\omega }_{{{\text{B}}{\text{.V}}{\text{.}}}}}$ брались из регионально-сезонных моделей стандартной атмосферы [73]. Рефракционное ослабление $q$ определялось в каждой реализации по замедлению вертикальной скорости точки перигея.

На рис. 2 показан пример сравнения нормированных экспериментальных и подогнанных к ним теоретических спектров для высот 16-28 км; измерения были проведены зимой в полярной зоне $60^\circ ~\,{\text{N}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 90^\circ ~\,{\text{N}}$. Теоретические спектры усреднены по тем же спектральным окнам, что и экспериментальные. Максимальное волновое число на приведенных примерах соответствует первому теоретическому дифракционному минимуму: ${{({{{{\kappa }_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\kappa }_{z}}} {{{\kappa }_{{\text{F}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\kappa }_{{\text{F}}}}}})}^{2}} = \pi $. Внешний масштаб приводит к заметному спаду спектра в низкочастотной области при уменьшении волнового числа. Полученные в данной серии наблюдений оценки внешнего масштаба изменялись от 2.0 до 3.0 км.

Для оценки ошибок восстановления параметров ВГВ мы провели расчеты по длинной реализации и по ее фрагментам, предполагая, что все они принадлежат одному статистическому ансамблю. Для этого были использованы данные COSMIC за 5 сут каждого месяца в марте-мае 2011 г. - всего около 27 тыс. сеансов. Эта реализация и ее последовательные фрагменты по 3000 сеансов были использованы для восстановления ${{L}_{W}}$ и $C_{W}^{2}$. После отбраковки число сеансов в каждом фрагменте составляло 1500-2000, или по ${{N}_{p}}$ = 200-300 в каждой широтной полосе. Примеры такого сравнения показаны на рис. 3 и 4, где приведены результаты для полярных и тропических зон северного и южного полушарий. Профили параметров ${{L}_{W}}$ и $C_{W}^{2}$, полученные усреднением по частичным реализациям, практически совпадают с профилями, усредненными по всей реализации, и на рисунках не приведены.

Рис. 3.

Высотные профили внешнего масштаба (левая панель) и структурной характеристики (правая панель), восстановленные по всей реализации (толстые линии) и по частичным реализациям (тонкие линии), для полярной и тропической зон северного полушария.

Рис. 4.

То же, что и на рис. 3, но для южного полушария.

Обращает внимание значительное различие параметров ВГВ по широтным поясам: внешний масштаб ${{L}_{W}}$ в тропиках выше в 1.5 раза по сравнению с полярными широтами, а структурная характеристика $C_{W}^{2}$ - в 2-5 раз. Различие структурных характеристик хорошо просматривается на записях радиосигнала: в тропических областях флуктуации амплитуды значительно сильнее. Различия во внешних масштабах проявляется в низкочастотных флуктуациях, близких к масштабу регулярного хода амплитуды, и поэтому на записях они не столь заметны. В полярных зонах внешний масштаб составляет 2.1-2.5 км и с высотой меняется мало, а в тропических зонах он уменьшается с высотой примерно от 3.5 до 3 км. Структурные характеристики возрастают с высотой с локальными минимумами на высотах 20-24 км.

Среднеквадратичные отклонения, оцененные по частичным реализациям и усредненные по высотам, составляют для внешнего масштаба около 10% с выбросами до 20% в тропиках на высотах 26-28 км, а для структурной характеристики около 20% с выбросами до 40% для тропиков на высоте 26-28 км (рис. 4). Эти значения больше, чем оценка статистического разброса ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {{{N}_{p}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{N}_{p}}} }} \approx 0.07$, поскольку фактическая размерность ансамбля может быть меньше ${{N}_{p}}$, и существуют дополнительные погрешности, связанные с выбором модельного спектра. Увеличение разброса параметров с высотой, более заметное для структурной характеристики, связано с измерительными шумами, влияние которых растет с высотой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрена методика восстановления статистических параметров пространственных спектров внутренних волн в атмосфере по флуктуациям амплитуды в спутниковом радиозатменном эксперименте. В принятых нами моделях 3- и 1-мерных спектров внутренних волн (1) и (2) такими параметрами являются внешний масштаб ${{L}_{W}}$ и структурная характеристика $C_{W}^{2}$. Эти параметры являются традиционными для описания распространения излучения в среде со случайными неоднородностями [50, 52]. Внешний масштаб задает границу между ненасыщенным и насыщенным режимами волн, и большая часть энергии волн сосредоточена вблизи этого масштаба. От доминантного масштаба он отличается множителем порядка единицы. Оба эти масштаба широко используются в моделях “универсального” вертикального спектра ВГВ. Структурная характеристика является единственным параметром, определяющим режим насыщенных волн; формула (4) связывает ее с параметрами “универсального” спектра.

Мы используем приближения фазового экрана и слабых флуктуаций. Режим слабых флуктуаций на трассе GPS-низкоорбитальный спутник выполняется вплоть до высот в несколько километров [46]. При расчете атмосферного сдвига фазы на сильно анизотропных внутренних волнах, необходимо учесть связанный со сферичностью атмосферы эффект насыщения флуктуаций фазы при увеличении анизотропии [47, 48]. Эти приближения позволяют получить простые аналитические выражения, связывающие наблюдаемые 1-мерные спектры амплитудных флуктуаций радиосигнала с пространственными спектрами внутренних волн.

Проанализированы возможные интегральные погрешности восстановления параметров внутренних волн. Показано, что они составляют около 10% для внутреннего масштаба и 20% для структурной характеристики с двукратным увеличением вблизи верхней границы высот, что обусловлено ухудшением отношения сигнал-шум с возрастанием высоты.

Восстанавливаемые параметры - внешний масштаб и структурная характеристика - полностью характеризуют спектр ВГВ в интересующем нас диапазоне масштабов. Наклон спектра ВГВ определяется наклоном спектра амплитудных флуктуаций в высокочастотной (дифракционной) области. Вертикальное разрешение профилей амплитуды определяется только шумами приемника и составляет несколько сотен метров [46]. Для температурных спектров, восстановленных из измерений эйконала в геометрооптическом приближении, вертикальное разрешение определяется масштабом Френеля, составляющим около 1.5 км в стратосфере [25, 27, 35]. Попытки авторов [26] определить спектр температурных флуктуаций в дифракционной области простым уменьшением масштаба сглаживания данных эйконала были, как показано в [74], ошибочны. Для улучшения разрешения по сравнению с масштабом Френеля необходимо использовать методы, основанные на принципе синтезированной апертуры [24].

Измеренные параметры спектра ВГВ - внешний (доминантный) масштаб и структурная характеристика - не только значительно варьируют в различных измерениях, но и могут сильно отличаться от теоретических значений [1, 3, 53]. Изменчивость уровня спектра насыщенных ВГВ многократно превышает изменчивость частоты Брента-Вяйсяля. Поэтому возможность раздельного определения каждого параметра и его изменчивости, а не только интегральных характеристик, таких как дисперсия температуры или потенциальная энергия, расширяют возможности исследований ВГВ.

В. Кан, М.Е. Горбунов и А.В. Шмаков благодарят за поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (грант № 20-05-00189 А). В.Ф. Софиева благодарит Академию Финляндии (экспертный центр по обратным задачам и проект TT-AVA).