Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2021, T. 57, № 1, стр. 74-78

1. ВВЕДЕНИЕ

Известные подходы в турбулентности с использованием методов термодинамики и статистической физики, как правило, связаны с применением формул для энтропии Больцмана–Гиббса–Шеннона [1, 2], вида $S\sim \int {f\left( {x,t} \right)} \ln f\left( {x,t} \right)dx.$ Сюда входит распределение вероятностей молекулярных частиц турбулентной среды, которое аппроксимируется либо максвелловским распределением с выделением скорости турбулентной составляющей потока, либо на основе модельных представлений о полях скорости и диссипации в развитой турбулентности [3–5].

При этом в таком подходе трудно обнаружить связь с каскадными процессами в турбулентности и соответствующими колмогоровскими закономерностями, а энтропия уступает по важности другим характеристикам турбулентности – распределениям вероятностей, потокам энергии, спектрам и т.д. Кроме того, не удается найти параметр, аналогичный термодинамической температуре, который аккумулировал бы в себе как энергетические характеристики турбулентности, так и меру каскадной передачи энергии по спектру масштабов. В турбулентности таким параметром служит число Рейнольдса как характеристика глубины каскада и его энергии. Однако можно ли его связать с известными термодинамическими представлениями о температуре?

Известны также аппроксимации энтропии формами Реньи и Тсаллиса [6–9], что свидетельтвует о неоднозначности при выборе форм для энтропии.

В равновесной термодинамике энтропия определяется как функция состояния с введением интегрирующего множителя из первого начала:

Здесть $\delta Q$ – приток тепла, $E$ – энергия (для идеального газа $E = \left( {{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)kT),$ $N$ – число молекул в объеме $V$, $k$ – постоянная Больцмана. Также напомним, что ${{N}_{a}}k = R$ – удельная газовая постоянная, где ${{N}_{a}}$ – число Авогадро. Используя нтегрирующий множитель $\frac{1}{E}$, получим полный дифференциал энтропии $S$ как функции состояния

Если газ неидеальный, т.е. внутренняя энергия $E$ зависит и от объема $V$, то для того, чтобы форма $\frac{{\delta Q}}{T}$ была полным дифференциалом, необходимо

Используем далее этот подход для развитой турбулентности с учетом существенных отличий от равновесной термодинамики, в которой рассматриваются процессы с характерными временами намного больше времен релаксации. Для турбулентности существенным является сток или диссипация энергии, извне подводимой в турбулентный поток. Кроме того, взаимодействие между возмущениями различных масштабов, приводящее к возникновению потока энергии по спектру, характеризуется временными масштабами, определяемыми величиной этого потока и пространственным масштабом возмущений.

Связи величин энергии, характерных времен и масштабов, потоков энергии, выражаемые через структурные функции скорости и смещений частиц жидкости, приведены в работах [10, 11] как следствия из простейшей модели неравновесной лагранжевой динамики в конечном ансамбле частиц с притоком энергии.

2. ЭНТРОПИЯ В ТУРБУЛЕНТНОСТИ

В изотермической турбулентности вместо притока тепла $\delta Q$ можно, виртуально, ввести внешний механический привод (какие-то механические мешалки, турбинки различных масштабов), который генерирует соответствующие разномасштабные движения в жидкости. Вместо внутренней энергии $E\left( {T,\,\,V} \right)$ молекулярного движения газа возьмем энергию турбулентных пульсаций с масштабами от минимальных $l = 0$ до масштаба $l$:

где $E\left( k \right)$-спектр энергии пульсаций. Для спектра Колмогорова–Обухова $E\left( k \right) = C{{\varepsilon }^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{k}^{{{{ - 5} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 5} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ имеем $E\left( {l,\,\,\varepsilon } \right) = {{C}_{0}}{{(\varepsilon l)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$ Это энергия всех пульсаций с масштабами от $l = 0$ до $l$. В качестве внешнего параметра присутствует ε-поток энергии по спектру.

Механическая генерация движений с формой $\delta Q$ дает изменение энергии $dE\left( {l,\,\,\varepsilon } \right)$ турбулентных пульсаций с масштабами $l$ и менее. Но эта же генерация создает также сквозной по масштабам поток энергии $\varepsilon $, который за интервал времени $d\tau $ даст прирост энергии $\varepsilon d\tau $. Для заданного пространственного масштаба $l$ потока $\varepsilon $ масштаб времени $\tau $ зависит от $l$ и $\varepsilon $, $\tau = \tau \left( {l,\,\,\varepsilon } \right).$

Амплитуда скорости $\sqrt E $, задаваемая энергией $E$, за время $\tau $ создает ускорение $\frac{{\sqrt E }}{\tau }$ (или силу для единицы массы). Это ускорение (сила) при изменении размера возмущений на $dl$ совершает работу, пропорциональную $\frac{{\sqrt E }}{\tau }dl.$

Все вместе: внешний привод $\delta Q$ дает изменение энергии $dE\left( {l,\,\,\varepsilon } \right)$ прирост $\varepsilon d\tau $ при потоке энергии по спектру масштабов и, кроме того, работу $\alpha \frac{{\sqrt E }}{\tau }dl$ (α > 0 – численный коэффициент, поскольку для работы имеется только оценка порядка величины). В результате вместо первого начала термодинамики для турбулентности имеем уравнение баланса

(2)

$\delta Q = dE + \varepsilon d\tau + \alpha \frac{{\sqrt E }}{\tau }dl.$

Для характерного времени $\tau \left( {l,\,\,\varepsilon } \right)$ примем

(3)

$\tau \left( {l,\,\,\varepsilon } \right) = c\frac{E}{\varepsilon },\,\,\,\,c = {\text{const}}.$

Это некий аналог уравнения состояния $pV = RT$ в термодинамике.

Тогда $d\tau = {{cdE} \mathord{\left/ {\vphantom {{cdE} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon } - c\left( {{E \mathord{\left/ {\vphantom {E {{{\varepsilon }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }^{2}}}}} \right)d\varepsilon $ и (2) примет вид

(4)

$\delta Q = \left( {1 + c} \right)dE - c\frac{E}{\varepsilon }d\varepsilon + \frac{\alpha }{c}\frac{\varepsilon }{{\sqrt E }}dl.$

Как и в термодинамике (1), вводим интегрирующий множитель $\frac{A}{E}$ (A > 0 – нормировочная константа, которой можно воспользоваться для некоторых упрощений):

(5)

$\begin{gathered} \frac{{A\delta Q}}{E} = dS = A\left( {1 + c} \right)d\left( {{\text{ln}}E} \right) - \\ - \,\,Acd\left( {{\text{ln}}\varepsilon } \right) + \frac{{A\alpha }}{c}\frac{\varepsilon }{{{{E}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}dl. \\ \end{gathered} $

Здесь последний член может иметь дифференциальную форму, если величина $\frac{\varepsilon }{{{{E}^{{3/2}}}}}$ зависит только от масштаба $l$,

(6)

$\frac{\varepsilon }{{{{E}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} = f\left( l \right).$

Как частный случай, положим

(7)

$\frac{\varepsilon }{{{{E}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} = \frac{1}{{C_{0}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}\frac{1}{l}.$

Это соответствует колмогоровской зависимости

(8)

$E\left( {l,\,\,\varepsilon } \right) = {{C}_{0}}{{(\varepsilon l)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$

Тогда получаем

(9)

$\begin{gathered} \frac{{A\delta Q}}{E} = dS = Ad\left[ {\left( {1 + c} \right){\text{ln}}E - c{\text{ln}}\varepsilon + q{\text{ln}}l} \right], \hfill \\ q = \frac{\alpha }{{cC_{0}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}},\,\,\,S = {{S}_{0}} + Ac{\text{ln}}\left( {\frac{{{{E}^{{\frac{{1 + c}}{c}}}}}}{\varepsilon }} \right) + Aq{\text{ln}}l. \hfill \\ \end{gathered} $

С использованием (8) при исключении $\varepsilon $ эта формула примет вид

(10)

$S = {{S}_{0}} + A{\text{ln(}}{{E}^{{1 - {c \mathord{\left/ {\vphantom {c 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{\text{)}} + A{\text{ln(}}{{l}^{{c + q}}}{\text{)}}.$

Если исключить $E$, то имеем

(11)

$S = {{S}_{0}} + A\frac{2}{3}\left[ {{\text{ln(}}{{\varepsilon }^{{1 - {c \mathord{\left/ {\vphantom {c 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{\text{)}} + {\text{ln(}}{{l}^{{1 + c + {{3q} \mathord{\left/ {\vphantom {{3q} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{\text{)}}} \right].$

Логарифмические зависимости функций $S$ от $E$, $\varepsilon $ и $l$ соответствуют энтропии (1) для идеального газа, если учесть, что ${\text{ln}}l = \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right){\text{ln}}{{l}^{3}} = \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right){\text{ln}}V$.

Если вместо колмогоровской зависимости (8) принять в (5), (6) аномальный скейлинг

(12)

$E\left( {l,\,\,\varepsilon } \right) = {{C}_{0}}{{(\varepsilon l)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{\left( {\frac{l}{L}} \right)}^{{{{2z} \mathord{\left/ {\vphantom {{2z} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},$

то вместо (7) имеет место

$\frac{\varepsilon }{{{{E}^{{3/2}}}}} = \frac{1}{{C_{0}^{{3/2}}}}\frac{1}{l}{{\left( {\frac{L}{l}} \right)}^{z}},$

а для энтропии получим

(13)

$S = {{S}_{0}} + A{\text{ln}}\left( {{{E}^{{1 - c/2}}}} \right) + A\left( {1 + c} \right){\text{ln}}l - \frac{{Aq}}{z}{{\left( {\frac{L}{l}} \right)}^{z}}.$

При $z \to 0$ после перенормировки ${{S}_{0}}$ можно перейти к (9). Здесь энтропия уже не имеет форму, как для идеального газа.

Рассмотрим адиабатическую турбулентность, когда энтропия не меняется, т.е. согласно (10), (11)

$\begin{gathered} {{E}^{{1 - c/2}}}{{l}^{{c + q}}} = {\text{const}}, \\ {{\varepsilon }^{{1 - c/2}}}{{l}^{{1 + c + 3q/2}}} = {\text{const}}. \\ \end{gathered} $

Из (14) следует, что при $c < 2$ увеличение $E$ или $\varepsilon $ требует уменьшения $l$ для сохранения энтропии. Напротив, при $c > 2$ увеличение $E$ или $\varepsilon $ требует увеличения $l$. Эти два случая аналогичны процессам потока энергии, соответственно, для трехмерной (к мелким масштабам) и двумерной (в сторону крупных масштабов) турбулентности. Константа $c$ задает характерное время для возмущений с маштабами $l$ и потоком $\varepsilon $, т.е. для $c > 2$ (двумеризация) время $\tau $ – увеличенное – по сравнению с трехмерной турбулентностью при $c < 2$.

При $c = 2$ имеем вырождение: энтропия (10) зависит только от масштаба $l$, а при $c > 2$ (как бы двумерная турбулентность) энтропия при увеличении $E$ для фиксированного масштаба $l$ уменьшается (что-то вроде отрицательной теплоемкости).

3. ТЕМПЕРАТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО КАСКАДА

Если использовать классическое соотношение ${{\left. {\frac{{\partial S}}{{\partial E}}} \right|}_{V}} = \frac{1}{{\Theta }}$, связывающее энтропию, энергию и температуру, то из (10), (13) получим ${\Theta } = \frac{E}{{A\left( {1 - {c \mathord{\left/ {\vphantom {c 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}$, т.е. (без учета численных констант)

Такая форма для температуры имеет определенную привлекательность, поскольку при $c > 2$ (указанная выше тенденция к двумеризации) значение ${{{\Theta }}_{k}} < 0$, что напоминает известную отрицательную вязкость. Однако эту форму для температуры ${\Theta }$ для турбулентнтного каскада вряд ли можно принять: если в газах передача энергии происходит при смешении объемов с разными температурами и соответствующим их выравниванием из-за движений молекул с разными скоростями, то в турбулентности основным механизмом передачи энергии является гидродинамическая неустойчивость. При этом в равновесном состоянии энергии пульсаций разного масштаба не выравниваются. И можно говорить только о температуре как характеристике для состояния совокупности движений с масштабами в достаточно широком диапазоне (например, от колмогоровкого до $l$).

Есть несколько соображений, согласно которым температура турбулентности может быть линейной функцией по масштабу $l$, а не ${{l}^{{2/3}}}$, как в (15). В термодинамике работа расширения до объема $V$ при постоянном давлении $p$, $\int_0^V {pdv} = pV$, равна $NkT$ (T – кинетическая температура). Рассмотрим турбулентность с внешним масштабом $L$ и потоком энергии по спектру $\varepsilon $. Тогда величина $a = {{\left( {\frac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{L}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ по размерности – сила на единицу массы. При делении на ${{l}^{2}}$ получаем давление ${{p}_{a}} = \frac{a}{{{{l}^{2}}}}$, так что аналогом термодинамической величины $pV$ для турбулентности является ${{p}_{a}}{{l}^{3}} = al = {{\left( {\frac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{L}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}l,$ что соответствует некоторой энергетической величине – аналогу кинетической температуры. Таким образом, вместо (15) можно ввести температуру

Если в (16) $l = L,$ то ${{{\Theta }}_{L}}\sim E\left( {\varepsilon ,L} \right)$ – температура для всей области турбулентности пропорциональна колмогоровской энергии. С другой стороны, т.к. $\varepsilon \sim \frac{{{{U}^{3}}}}{L}$, то ${{{\Theta }}_{l}}\sim {{U}^{2}}\frac{l}{L}$, т.е. температура ${{{\Theta }}_{l}}$ – это доля полной энергии ${{U}^{2}}$, которая приходится на масштабы до $l$. Кроме того, согласно (16) величина $U\frac{{\partial {{{\Theta }}_{l}}}}{{\partial l}}$, равная переносу температуры ${{{\Theta }}_{l}}$ (т.е. энергии) по масштабу $l$ со скоростью $U = {{(\varepsilon L)}^{{1/3}}}$, совпадает с величиной потока энергии по спектру $\varepsilon $.

Заметим, что температура ${{{\Theta }}_{k}}$ (15) по колмогоровской энергии много больше температуры ${{{\Theta }}_{l}}$, которую, как показано ниже, можно связать числом Рейнольдса турбулентных возмущений с масштабом $l$: ${{{\Theta }}_{l}} \ll {{{\Theta }}_{k}}$ при $l \ll L$. Это объяснимо, поскольку каскадные процессы в турбулентности связаны с неустойчивостью гидродинамических течений, а для неустойчивости нет необходимости больших скоростей или энергий. Здесь большое значений имеет форма гидродинамического течения и, в частности, сдвиг скорости.

Характер потери устойчивости гидродинамических течений в самом простейшем виде был рассмотрен Ландау в его модели. Если $A\left( t \right)$ – амплитуда возмущений на фоне стационарного течения, то соответствущее модельное уравнение имеет вид

где $\alpha $ – постоянная Ландау, $\gamma > 0$ – инкремент неустойчивости. Постоянную $\alpha $ можно по размерности представить в виде $\alpha = \frac{{{{\lambda }_{0}}}}{{{{U}^{2}}}}$, где $U$ – амплитуда скорости основного течения, ${{\lambda }_{0}} = {\text{const}}$. В простейшем случае $\alpha > 0$. Величина ${{A}^{2}}$ асимптотически стремится к

Предположим, что величина $U$ – случайная и, как крупномасштабная скорость, имеет гауссовское распределение

что дает функцию распределения $A$.

Распределение $\tilde {P}\left( A \right)$ можно рассматривать как микроканоническое, предполагая, что дискретный (с шагом ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } L}} \right. \kern-0em} L}$, $L$ – внешний масштаб турбулентности) спектр волновых чисел от ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{l}_{k}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{k}}}}$ (${{l}_{k}}$ – колмогоровский масштаб) до ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } l}} \right. \kern-0em} l}$ разбивается на интервалы ${\Delta }k$, ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } L}} \right. \kern-0em} L} \ll {\Delta }k \ll {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } l}} \right. \kern-0em} l}$. Тогда энергию ${{A}^{2}}$ можно отнести к интервалу ${\Delta }k$. В соответствии с распределением Гиббса формулу для $\tilde {P}\left( A \right)$, как вероятность состояния вблизи волнового числа $k$, можно представить в виде ${\text{exp}}\left( { - \frac{{{{A}^{2}}}}{{\Theta }}} \right)$, где величину ${\Theta } = \gamma \frac{{4{{D}^{2}}}}{{{{\lambda }_{0}}}}$, пропорциональную инкременту, следует определить как кинетическую температуру.

Инкремент вблизи критического числа Рейнольдса, следуя Ландау, представляем в виде $\gamma = {\text{const}}\left( {{\text{Re}} - {\text{R}}{{{\text{e}}}_{{cr}}}} \right)$, т.е. кинетическую температуру для турбулентности можно связать с числом Рейнольдса: ${\Theta }\sim {\text{Re}}$. Число Рейнольдса для пульсаций с максимальным масштабом $l$ равно ${\text{R}}{{{\text{e}}}_{l}} = \frac{{Ul}}{\nu }$, где $U$ – амплитуда скорости в потоке, т.е. температура ${\Theta }$ пропорциональна масштабу $l$.

С другой стороны, неустойчивость гидродинамических течений в своей основе имеет сдвиговый характер, т.е. инкремент $\gamma \sim U\left( x \right)k\sim {\Omega }lk$, где $l$ – масштаб изменения скорости по координате $x$, ${\Omega }$ – локальная завихренность, что также задает линейность по $l$ инкремента $\gamma $.

Форма (16) для предполагаемой температуры учитывает гидродинамический характер турбулентности, связанный с каскадными процессами передачи энергии, однако никак не отражает возможность разнознакового направления каскада, как, например, формула (15), допускающая разные знаки температуры. В качестве такой формулы можно принять величину, связанную со структурной функцией третьего порядка ${{D}_{{LLL}}}\left( l \right) = \left\langle {{{{({{u}_{L}}\left( {x + l} \right) - {{u}_{L}}\left( x \right))}}^{3}}} \right\rangle $, линейной по сдвигу $l$

Для инерционного диапазона в трехмерной турбулентности имеется соотношение Колмогорова ${{D}_{{LLL}}}\left( l \right) = - \frac{4}{5}\varepsilon l,$ и формула (17) с точностью до константы переходит в (16). В этом случае ${{D}_{{LLL}}} < 0$, так что ${{{\Theta }}_{L}} > 0$. Наоборот, для двумерной турбулентности ${{D}_{{LLL}}} > 0$, поскольку поток энергии направлен в сторону укрупнения масштабов, что задает отрицательную температуру ${{{\Theta }}_{L}} < 0$.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для существования энтропии с интегрирующим множителем $\sim {\kern 1pt} \frac{1}{E}$ (как в термодинамике) необходимо, чтобы форма $\frac{\varepsilon }{{{{E}^{{3/2}}}}}$ зависела только от масштаба $l$. Отсюда $E\sim {{\varepsilon }^{{2/3}}}f\left( l \right).$

2. Если $f\left( l \right)\sim {{l}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ (закон Колмогорова–Обухова), то энтропия принимает такую же форму, как для идеального газа в термодинамике, с отличиями, естественно, в коэффициентах. Полученные формулы для энтропии показывают ряд свойств, аналогичных для энтропии термодинамики.

3. В турбулентности основным механизмом передачи энергии является гидродинамическая неустойчивость. Поэтому температура, аналогичная термодинамической $T\sim E$, не отражает разномасштабность турбулентности с потоками энергии по спектру. Предложена формула для кинетической температуры ${{{\Theta }}_{L}} = - \frac{{{{D}_{{LLL}}}\left( l \right)}}{U}$, включающая структурную функцию третьего порядка, связанную с величиной и направлением потока энергии по спектру масштабов турбулентного течения.

Автор благодарен Г.С. Голицыну и О.Г. Чхетиани за интерес, обсуждения и помощь в работе.