Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2021, T. 57, № 1, стр. 67-73

1. СПЕКТРЫ И ЗАКОНЫ РАЗГОНА ВЕТРОВОГО ВОЛНЕНИЯ

Вид морской поверхности при ветре имеет очевидную статистическую структуру. Первым в 1958 г. описание высокочастотной части спектра ветрового волнения предложил О.М. Филлипс [1], используя теорию подобия и размерности, считая, что там ветер уже не играет существенной роли, а только нелинейное взаимодействие между спектральными компонентами. При этом спектральная плотность в зависимости от частоты имеет вид

где ${{\alpha }_{1}}$ – численный коэффициент, который позднее был найден зависящим от возраста волнения где частота и период относятся к пику волнения.

В 1962 г. С.А. Китайгородский [2] учел и ветер с помощью скорости трения $u{\text{*}}$, и ускорение силы тяжести g и для частотного спектра вывел формулу

В 1966 г. В.Е. Захаров и Н.Н. Филоненко [3] из “первых принципов”, т.е. полученного ими кинетического уравнения для случайной водной поверхности вывели ту же формулу (3). Другой вывод этой же формулы дал Тоба [4] в 1973 г. Обе формулы (1) и (3) хорошо подтверждались в многочисленных экспериментах (см., например, [5] и обзор в книге [6]). Отношение спектров (3) и (1), оказывается, определяется возрастом волнения Ω по формуле (2), для чего надо учесть, что $u{\text{*}} = {{c}_{D}}{{U}_{{10}}}$, где c_D – коэффициент сопротивления водной поверхности ветру, слабая функция скорости ветра [7] до ${{U}_{{10}}} \leqslant 25$ м/с. При больших ветрах величина c_D заметно растет от $1.3 \times {{10}^{{ - 3}}}$ до примерно $3 \times {{10}^{{ - 3}}}$, а далее видно его насыщение [8, 9].

В последнее время В.Е. Захаров [10] разделил частотный спектр на два участка: ${{\omega }_{p}} \leqslant \omega \leqslant (4{\kern 1pt} /{\kern 1pt} 5){{\omega }_{p}}$ и $\omega > 5{{\omega }_{p}}$. Первый он назвал “морем Хассельмана”, где действует спектр ${{\omega }^{{ - 4}}}$, а второй – “морем Филлипса” со спектром ${{\omega }^{{ - 5}}}$. В первом участке, который описывается формулой (3), содержится до 95% энергии волнения. Здесь, как показывает численное решение уравнения Хассельмана, проведенное в [11], действуют небольшие модификации спектра в зависимости от стадии развития.

для начальной стадии развития волнения, Ω > 2,

для промежуточной стадии развития волнения, $1.2 < \Omega < 2$, и

для полностью развитого волнения, Ω < 1.2.

Более крутой спектр (4) был получен в 1974 г. Хассельманом [12], а более пологий (5) – в 1982 г. М.М. Заславским и В.Е. Захаровым [13].

В 1972 г. Тоба [14] опубликовал удивительный график, на котором с невероятно малым разбросом была представлена зависимость высоты безразмерного пика волны H от ее безразмерного периода Т, именно возраста (2). На протяжении двух порядков величин $H \propto {{T}^{{3/2}}}$. В 1978 г. он же [15] подтвердил в целом зависимость ${{H}^{2}} \propto {{T}^{3}}$, но с гораздо большим разбросом данных, привычных для природных закономерностей при использовании самых разнообразных полевых измерений. В [14] эта зависимость была получена на основе гипотезы о локальности процессов передачи количества движения и механической энергии от воздуха к морю. Альтернативное объяснение такой нестандартной зависимости дал В.Е. Захаров на Международном симпозиуме по волнам и турбулентности в августе 2009 г., посвященном его 70-летию, в г. Черноголовке на основе концепции слабой турбулентности поверхностных волн. Если проинтегрировать правую часть спектра от ${{\omega }_{p}}$ до $\infty $, то слева будет h², а справа ${{\omega }^{{ - 3}}}\sim {{T}^{3}}$. Следуя этой концепции, аналогичным образом для спектров (4) и (6) можно получить

для Ω > 2 и

для Ω < 1.2.

Такое видоизменение показателя степени может объяснить, вместе с другими причинами, довольно широкий разброс экспериментальных данных вокруг кривой закона Тобы $h$ ~ ${{T}^{{3/2}}}$. В то же время вывод об уменьшении показателя степени у периода при развитии волнения не находит подтверждения в данных эксперимента. Это следует из рис. 1, основанного на взятом из работы Тобы (рис. 7 в [2]), на котором точки в координатах H и T соответствуют отдельным измерениям или коротким сериям измерений высот и периодов для пика волнения. Там же приведены соответствующие (7) зависимости h ~ Tⁿ, где $n = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{6}$, где, согласно [11], $n = \frac{5}{3}$ соответствует крутым молодым волнам, а $n = \frac{4}{3}$ – волнам зыби. На этом же рисунке приведены данные для спектров волнения, полученных на Горьковском водохранилище. В случаях, когда волнения Ω находились в интервале 1.5–3.5, что соответствует более ранней стадии развития волнения, показатель степени был ниже 3/2 (рис. 1, серые кружки). Напротив, для сравнительно редких измерений, проведенных в условиях слабых ветров, когда Ω = 0.3–0.8 (рис. 1, черные кружки), показатель степени оказывается больше 3/2. Это указывает на то, что для объяснения тонких деталей развития волнения необходимо привлекать дополнительные факторы, которыми могут стать, например, особенности взаимодействия волнения с полем ветра или когерентные эффекты в поле нелинейных волн.

2. ОСОБЕННОСТИ ДИФФУЗИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАГРЯЗНЕНИЙ В ПРИСУТСТВИИ МОРСКОГО ВОЛНЕНИЯ

Спектры (4)–(6) хорошо согласуются с теорией [16] и опытами по диффузии примесей в присутствии волн разного возраста на морской поверхности. Спектр ${{\omega }^{{ - 13/3}}}$, соответствующий “молодому волнению”, объясняет ранние мелкомасштабные эксперименты по диффузии Ричардсона и Стоммела [17, 18], а спектр ${{\omega }^{{ - 11/3}}}$ (6), относящийся к зыби, удивительно хорошо объясняет крупномасштабные эксперименты Окубо [19–21].

Морское волнение вызывает дисперсию пятен загрязнений поверхностных вод. Существенную роль при этом играет частотный спектр возвышений водной поверхности. В 1950–70 гг. в связи с прикладными аспектами проблемы и отсутствием тогда адекватных моделей прогноза волнения много усилий было направлено на натурные измерения дисперсии пятен примесей.

Работы были начаты в конце 1940-х гг. Ричардсоном и Стоммелом. Наиболее полные данные о росте таких пятен были опубликованы Окубо [19]. Работы 1948 и 1949 гг. позволили определить, что для масштабов в пределах 100 м коэффициент относительной турбулентной диффузии K(r) ~ ${{r}^{{4/3}}}$, как в атмосфере, что соответствует спектру возвышений ${{S}_{h}}(\omega )$ ~ ${{\omega }^{{ - 13/3}}}$. Теория дисперсии поверхностных загрязнений морскими волнами была развита Голицыным [20] и уточнена Голицыным и Чхетиани [21] с учетом вихревой компоненты волнения, дающей для жидкой частицы в волне рассогласование в фазах для вертикальной и горизонтальной компонент скорости частицы порядка угловой минуты. Это приводит к возникновению горизонтальной скорости порядка 1 см/с. Это достаточно для распространения пятен за несколько месяцев наблюдений на несколько сотен км. В статье Голицына [20] для степенного спектра скоростей волнений с учетом дисперсионного соотношения на глубокой воде и учета ${{E}_{u}}(k) = {{c}_{{rp}}}{{E}_{\omega }}(\omega )$, ${{c}_{{rp}}} = {{d\omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{d\omega } {dk}}} \right. \kern-0em} {dk}}$,

Коэффициент турбулентности диффузии оценивали по формуле Тэйлора (1915 г.):

где $\delta u$ – разность скоростей на границах пятна площади S(r), ${{D}_{u}}(r)$ – структурная функция скоростей. Знание спектра горизонтальных скоростей позволяет оценить соответствующую структурную функцию ${{D}_{u}}(r)$, после чего согласно (9) где n – показатель степени в энергонесущей части частотного спектра возвышений, где ${{\omega }_{p}} < \omega < 5{{\omega }_{p}}$ (“море Хассельмана”).

Здесь рассматриваются молодые волны n = 13/3, волны среднего возраста 1.2 < Ω < 2 с n = 4 и волны зыби с n = 11/3 (см. выше).

Тогда для молодых волн K ~ ${{r}^{{4/3}}}$, что с высокой точностью описывает экспериментальные результаты, для средних волн $\gamma = {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 4}} \right. \kern-0em} 4}$, что почти не наблюдается, т.к. средние возрасты переходят быстро [20] в насыщенные, т.е. в зыбь, и при n = 11/3 получаем $\gamma = {7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 6}} \right. \kern-0em} 6}$, а у Окубо [19] $\gamma = 1.15$ и у Голицына [20] $\gamma = {7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 6}} \right. \kern-0em} 6} \pm 0.05$. Не менее впечатляющее совпадение и по площадям: у Окубо S(t) ~ ${{t}^{{2.34}}}$, а у Голицына ${{t}^{m}}$, $m = 8{{(7 - n)}^{{ - 1}}}$, и при n = 11/3 показатель m = 12/5 = = 2.4, а пересчет показателя m по экспериментальным данным Окубо дал m = 2.33 ± 0.11. Следует поражаться точности глазомера Окубо, который на глаз определял величины показателей степени. Значение $\gamma = {7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 5}} \right. \kern-0em} 5}$ определено по данным, относящимся к большим масштабам, когда волны уже близки к насыщению и показатель спектра n = 11/3. Так что данные по диффузии пятен одни из первых (если не первые) хорошо подтверждают этот теоретический результат.

Полезно также упомянуть, что два независимых параметра подобия в теории волн – разгон и возраст – в процессе эволюции волн оказываются связанными друг с другом [20] соотношением $\Omega = 2\pi A{{F}^{{ - \alpha }}}$ = $2\pi A{{\tau }^{{ - \frac{\alpha }{{1 - \alpha }}}}}$, где τ = (1 – α) × × $\frac{t}{{{{T}_{0}}}} = \frac{{(1 - \alpha )gT}}{{4\pi A{{U}_{{10}}}}}$.

3. ЗАКОНЫ ДИФФУЗИИ ПЯТЕН ЗАГРЯЗНЕНИЙ В СВЕТЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОВ А.Н. КОЛМОГОРОВА

Соотношение между высотой волн и их периодом прекрасно объясняют законы диффузии пятен загрязнений на разных стадиях развития волнения. Объяснения этой тенденции дают вероятностные законы А.Н. Колмогорова, прослеживаемые в самых разнообразных природных явлениях [14, 22]. А.М. Обухов в 1958 г. [23, 24] рассмотрел основное уравнение Колмогорова [22] для функции распределения вероятностей 6-мерного вектора $p(t,\,\,{{x}_{i}},\,\,{{u}_{i}})$

Коэффициент диффузии D в [23] найден равным половине скорости диссипации кинетической энергии турбулентности ε, т.е. он является удвоенным коэффициентом диффузии в пространстве скоростей [23]. Колмогоров выписал фундаментальное решение уравнения (11), которое детально обсуждено в §24.4 книги А.С. Монина и А.М. Яглома [24].

В работе [23] и в книге [24] устанавливается, что уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова (8)–(11) имеет три вероятностных масштаба:

и если выразить из (13) время как $t = {{({{{{r}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}^{2}}} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon })}^{{1/3}}}$, где ${{r}^{2}} = \left\langle {x_{i}^{2}} \right\rangle $, и подставить это в (12), то получится выражение для пространственной структурной функции скорости теории турбулентности Колмогорова–Обухова ${{D}_{u}}(r) = {{(\varepsilon r)}^{{2/3}}}$, а если это же время подставить в (12), то получим закон турбулентной диффузии Ричардсона–Обухова $K = {{\varepsilon }^{{1/3}}}{{r}^{{4/3}}}$.

Выражение (13) допускает трактовку как структурная функция случайной координаты жидкой частицы с нулевыми начальными данными. Тогда для нее можно найти спектр, как преобразование Фурье, случайного процесса со стационарными приращениями второго порядка. Общая теория таких процессов развита А.М. Ягломом в книге [25]. Терминология здесь такова: случайные силы – это ускорения на жидкие частицы, распределенные по Маркову, или, в современных терминах, дельта-коррелированные по времени, относительные скорости между каждой парой из общего числа N жидких частиц – это приращения первого порядка, а расстояние между частицами – это стационарные приращения второго порядка. Соответствующие численные расчеты таких вторых моментов (12)–(14) проведены в [26]. Они подтверждают, что ансамбли даже из 10 частиц неплохо согласуются с масштабами (9)–(12) и (10)–(13), ансамбли из 100 частиц дают для них зависимости, практически не отличающиеся от теоретических, точные для бесконечных ансамблей. Масштаб (11)–(14) требует для расчетов ансамбли уже в сотни частиц.

Если структурная функция имеет степенную форму $D(t) = A{{t}^{\gamma }}$, то и спектр также степенной $S(\omega )$ ~ $C{{\omega }^{{ - \gamma - 1}}}$, и между коэффициентами A и C имеются специальные соотношения, в случае стохастических приращений первого порядка [25, 26]

а для приращений второго порядка [27], когда $D(t) = A{{t}^{\gamma }}$, $2 < \gamma < 4$,

где $\Gamma (v)$ – гамма-функция Эйлера. Отсюда сразу видно, что масштабу (13) соответствует спектр ${{\omega }^{{ - 4}}}$. Таким образом, этот спектр, как и соотношение Тобы, является прямым следствием вероятностных законов Колмогорова [22], доведенных учениками его школы в [24] до вида, удобного для конкретных приложений (см. также [14]).

Результаты А.Н. Колмогорова [22] достаточно общие и не зависят от числа измерений пространства и требуют только некоторой однородности (вроде отсутствия разрывов) в поведении функций распределения вероятностей многомерного вектора $p(t,\,\,{{x}_{i}},\,\,{{u}_{i}})$. Поэтому они могут служить моделью изучаемого процесса и использования для его анализа методов теории подобия и размерности. Однако рамки для пределов оправдываемости результатов, полученных таким образом, устанавливаются из физических соображений, например путем нахождения в изучаемой системе параметров подобия [28]. Эти параметры могут возникнуть при сравнении формул, полученных из размерности, с конкретными данными измерений (или расчетов). Для морского волнения таким параметром является прежде всего возраст (2), а затем и разгон. С возрастом слегка меняется наклон спектра возвышения согласно формулам (5), что и приводит к разбросу экспериментальных данных (см. [28]).

Нужно упомянуть, что соотношение размер–период (13) неплохо проявляется в законах разгона, описывающих изменение высоты и периода пика волны [6, 10], которые имеют вид

где $\varepsilon = {{h_{p}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{h_{p}^{2}} {16}}} \right. \kern-0em} {16}}$, индекс p относится к пику волнения. Исключая из этих двух формул разгон $F = {{gx} \mathord{\left/ {\vphantom {{gx} {{{U}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}^{2}}}}$, где x – расстояние от подветренного берега, получим

Согласно книге [6] и более поздней работе [10], где собраны значения α и β по 23 полевым экспериментам и 8 численным расчетам, значения α заключены в пределах от 0.23 до 0.33 (полевые данные) и от 0.2 до 0.3 по расчетам, а значения β – от 0.7 до 1.0 (по полевым) – и от 0.6 до 1.0 – по расчетам. По полевым данным, меньшим значениям α соответствуют и меньшие значения β, но довольно очевидно прослеживается, что величины α примерно втрое меньше β, т.е. показатель степени справа в (19) примерно равен 3. В случаях из 23 полевых данных в [10] значения α = 0.33 и β = 1.0, т.е. соотношение β = 3α выполняется точно. Таким образом, и здесь прослеживается соотношение (13) в законах Колмогорова [22, 14 ].

Проанализируем более детально статистику данных в [11] и показателей степени в законах разгона, собранных там в табл. 1 и 2 . Если, не задумываясь, просто осреднить 23 значения показателей, то получим α = 0.275 ± 0.026 и β = 0.888 ± 0.087, откуда β = 3.2α (1 ± 0.19). Таким образом, соотношение Колмогорова (13) выполняется с точностью лучше 10%. Однако внимательное рассмотрение данных полевых измерений выявляет некоторую группировку данных о парах α и β. Например, менее полные данные полевых экспериментов, собранные до 1994 г. в [6], указывают, что эти пары, измеренные в условиях, когда вода холоднее воздуха, систематически меньше, чем в противоположных случаях, хотя и тут α = 0.23, а β = 0.7, т.е. 3α = 0.69 ≈ 0.7. Пять последних случаев табл. 1 из [11] дают α = 0.33 и β = 1.0, т. е. лучшего подтверждения масштаба (13) ожидать и не приходится, хотя таких случаев 6 из 23. С другой стороны, высоты пика волнения различаются более чем в 4 раза, согласно первому столбцу табл. 1 из [11], а их периоды – в 2.5 раза. Отсутствие данных о температурах воды и воздуха, т.е. о стратификации атмосферы, весьма сильно влияющей на рост волнения, мешает произвести более аккуратный анализ данных с учетом возраста волн, когда, например, при более теплой, чем воздух, воде для зыби с более пологим спектром можно ожидать, что $\varepsilon $ ~ ${{h}^{2}} \propto {{T}^{{8/3}}}$, т. е. $\beta \propto {{T}^{n}}$, где n = ±1/6, согласно (7). Таким образом, отсутствие данных по возрастам Ω, неучет стратификации атмосферы и просто недостаточность числа измерений – все это объясняет разброс в зависимости β ≈ 3α.

Таблица 2 из [11] приводит результаты восьми численных расчетов параметров волнения. Показатели α и β находятся в более широких пределах: $0.19 < \alpha < 0.3$ и $0.5 < \beta < 1.0$, чем данные табл. 1 из [11], пределы для частот пика примерно совпадают, но энергии могут быть и на порядок больше, чем в полевых данных. При простом осреднении волновых параметров получаем $\beta = 0.64 \pm 0.24$ и $\alpha = 0.22 \pm 0.02$. Соотношение 3α ≈ β приблизительно сохраняется (с точностью до 40%).

В.Е. Захаров и его школа (см. [10]) вывели “магическое” соотношение

которое по данным табл. 1 из [11] выполняется с точностью до 20% по различию параметров ${{\alpha }_{{{\text{эксп}}}}}$ и ${{\alpha }_{{{\text{теор}}}}}$ (строка 16 там и до 17% к выполнению формулы (9) в табл. 2 из [11]).

В последнем случае длительные и дорогие численные эксперименты выполнялись в зависимости только от разгона и рассчитывались интегрально осредненные разгоны и возрасты. Эти величины также в этих расчетах демонстрировали степенное поведение, причем простое осреднение этих результатов табл. 2 дало в наших обозначениях

а по табл. 1 имеем

В книге Янга (1999) [29] автор дает значения β и α, осредненные по многим полевым экспериментам: α = 0.25, β = 0.8, т. е. β/α = 3.2.

Резюмируя степенные законы разгона, можно сказать, что нередко встречающиеся экспериментальные значения α = 0.33 и β = 1.0 относятся к случаям, когда развивающиеся волны близки к возрастам 1.2 < Ω < 2. Случаи $0.22 < \alpha < 0.33$ и $0.7 \leqslant \beta < 1$ относятся либо к зыби, либо к 0.83 < < Ω <1.2, когда по всей видимости спектр возвышений пропорционален ${{\omega }^{{ - 11/3}}}$, соотношение Тобы меняется с ${{h}^{2}}$ ~ ${{T}^{3}}$ на меньшую степень – 8/3 у периода T. Прекрасное совпадение результатов анализа данных по диффузии примесей на морской поверхности именно с этим спектром ${{\omega }^{{ - 11/3}}}$ [19, 20] указывает на его преобладание на большой части площадей океана и бóльшую часть времени. Однако следует признать, что согласно данным измерений, с точностью до нескольких процентов всегда β ≈ 3α, что указывает на действие и здесь законов Колмогорова.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сложность системы с развивающимися волнами, зависящей от разгона и возраста волнения, от переменности ветра по силе и по направлению, ограниченность по времени периодов наблюдений, разнообразие погодных условий, далеко не всегда фиксируемых в полевых, – все эти факторы пока не дают возможности сделать четкие разграничения для пар α и β по всем этим перечисленным параметрам. Вероятно, если такое разграничение и будет когда-нибудь сделано, то это будет иметь вид многомерной матрицы.

Работа частично поддержана грантом РНФ (20-77-00097), за счет которой Г.А. Байдаковым проведена обработка данных экспериментов по измерению волнения на водохранилище.