1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Физика атмосферы и океана
  4. T. 57, № 6, 2021

Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2021, T. 57, № 6, стр. 701-706

Дальние поля внутренних гравитационных волн при быстрых вариациях плотности в радиально-симметричном источнике

В. В. Булатов a, *, Ю. В. Владимиров a, **

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
119526 Москва, просп. Вернадского, 101-1, Россия

* E-mail: internalwave@mail.ru
** E-mail: vladimyura@yandex.ru

Поступила в редакцию 13.05.2021
После доработки 26.05.2021
Принята к публикации 09.06.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Решена задача о дальнем поле внутренних гравитационных волн от мгновенного радиально симметричного возвышения изопикн. Рассмотрено постоянное модельное распределение частоты плавучести и с помощью преобразования Фурье–Ханкеля получено аналитическое решение задачи в виде суммы волновых мод. С помощью метода стационарной фазы получены асимптотики решений, описывающие пространственно-временные характеристики возвышения изопикн, вертикальной и горизонтальной компонент скорости. Проведено сравнение точных и асимптотических результатов, и показано, что на временах порядка десяти и более периодов Брента–Вяйсяля метод стационарной фазы позволяет эффективно рассчитывать дальние волновые поля.

Ключевые слова: стратифицированная среда, внутренние гравитационные волны, частота плавучести, дальние поля, вспыхнувший источник

Для мониторинга и предупреждения опасных природных волновых явлений в океане, в том числе обнаружения внутренних гравитационных волн (ВГВ) большой амплитуды, необходимо проводить оперативный анализ многообразных волновых явлений с помощью различных математических моделей [1–4]. Одной из основных используемых моделей можно считать предположение о генерации пакетов ВГВ импульсным воздействием [5–9]. Для проведения расчетов необходимо подбирать параметры использованной модели так, чтобы приблизить смоделированную волновую систему ВГВ к реально наблюдаемым, в том числе по фотоснимкам из космоса, волновым картинам [7, 10–12]. Таким образом, математические модели волновой генерации могут быть не только верифицированы, но и использованы для проведения прогнозных оценок.

Основные механизмы возбуждения ВГВ в природных (океан, атмосфера Земли) и искусственных стратифицированных средах – генерация источниками возмущений различной физической природы: естественного (возмущение атмосферного давления, обтекание неровностей рельефа океана, подветренные горы) и антропогенного (морские технологические конструкции, схлопывание области турбулентного перемешивания, подводные взрывы) характеров [2, 6, 13–15]. Аналитические результаты решений задач о генерации ВГВ произвольными источниками возмущений представляются в самой общей интегральной форме, и в этом случае полученные интегральные представления требуют разработки численных и асимптотических методов их исследования [5, 6]. При исследовании генерации ВГВ, возбуждаемых нелокальными источниками возмущений, наиболее распространенными являются два способа. Первый способ – численное решение системы уравнений гидродинамики, описывающей ВГВ, к недостаткам которого можно отнести ограниченность области пространства, в котором возможно численное решение задачи [5, 8, 9]. При изучении дальнего распространения ВГВ прямые численные расчеты нецелесообразны, так как вдали от источников возмущений волновые поля относительно малы по амплитуде, можно использовать линейное приближение и описать волновое поле сравнительно простыми аналитическими формулами. Создаваемые диспергирующими ВГВ волновые картины на больших расстояниях от источников возмущений (много больших характерных размеров) практически не зависят от их формы и определяются в основном законами дисперсии стратифицированной среды [1, 5, 7, 9, 16]. Поэтому второй способ состоит в том, чтобы заменить функцию, описывающую форму нелокального источника, функцией, имеющей достаточно простое аналитическое представление, а также использовать различные модельные представления частоты плавучести [5, 13, 17, 18].

Целью настоящей работы является построение аналитических решений, описывающих дальние поля линейных ВГВ, возбуждаемых мгновенным радиально симметричным возвышением изопикн в слое стратифицированной среды конечной толщины.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ РЕШЕНИЙ

Рассматривается слой стратифицированной среды конечной толщины H. Уравнение линейных ВГВ в цилиндрических координатах $(r,z)$ (предполагается, что зависимости от угла нет, ось $z$ направлена вверх) для малых возмущений возвышения изопикн $\eta (r,z,t)$ в приближении Буссинеска имеет вид [1, 5]

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\Delta + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}} \right)\eta (r,z,t) + {{N}^{2}}(z)\Delta \eta (r,z,t) = 0,$
$\Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{r}^{2}}}} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}},$
где далее частота Брента–Вяйсяля (частота плавучести) предполагается постоянной: N2(z) = N2 = = const. Начальные условия для возвышения изопикн используем в виде: η(r,  z,  0) = = ${{\eta }_{0}}(r,z) = \Phi (r)\Pi (z)$, то есть предполагается, что начальное возмущение обладает радиальной симметрией и некоторым распределением по глубине. Начальные условия для вертикальной компоненты скорости: $W(r,z,0) = 0$. Начальные условия для горизонтальной (радиальной) компоненты скорости: $U(r,z,0) = 0$. Граничные условия: $\eta (r,z,t) = 0$ при $z = 0, - H$. Отметим, что горизонтальная (радиальная) компонента скорости $U(r,z,t)$ равна нулю при $r = 0$ и всех значениях $t$, то есть $U(0,z,t) \equiv 0$. Все искомые функции зависят от радиальной координаты $r$, времени $t$ и вертикальной координаты $z$, зависимость от угла отсутствует. Решение полученной начально-краевой задачи строится с помощью преобразования Фурье–Ханкеля [19, 20]
(1)
$\begin{gathered} \eta (r,z,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\eta }_{n}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{a}_{n}}} {{\varphi }_{n}}(z){{g}_{n}}(r,t), \\ {{\varphi }_{n}}(z) = \sin ({{b}_{n}}z),\,\,\,\,{{b}_{n}} = \frac{{\pi n}}{H}, \\ {{a}_{n}} = \frac{2}{H}\int\limits_{ - H}^0 {\Pi (z){{\varphi }_{n}}(z)dz} , \\ {{g}_{n}}(r,t) = \int\limits_0^\infty {A(k)k{{J}_{0}}} (kr)\cos ({{\omega }_{n}}(k)t)dk, \\ {{\omega }_{n}}(k) = {{kN} \mathord{\left/ {\vphantom {{kN} {\sqrt {{{k}^{2}} + b_{n}^{2}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{k}^{2}} + b_{n}^{2}} }},\,\,\,A(k) = \int\limits_0^\infty {r{{J}_{0}}(kr)\Phi (r)dr} , \\ \end{gathered} $
где ${{J}_{0}}$ – функция Бесселя нулевого порядка. Отметим, что в силу постоянства частоты плавучести функция $A(k)$ не зависит от номера моды $n$ и ${{g}_{n}}(r,0) = \Phi (r)$ для всех номеров $n$. Выражения для вертикальной компоненты скорости W(r, z, t) = = $\frac{{\partial \eta (r,z,t)}}{{\partial t}}$ имеет вид

(2)
$\begin{gathered} W(r,z,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{W}_{n}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{a}_{n}}{{\varphi }_{n}}} (z){{p}_{n}}(r,t), \\ {{p}_{n}}(r,t) = - \int\limits_0^\infty {A(k)k{{J}_{0}}} (kr){{\omega }_{n}}(k)\sin ({{\omega }_{n}}(k)t)dk. \\ \end{gathered} $

Выражение для горизонтальной (радиальной) компоненты скорости $U(r,z,t)$ определяется из уравнения несжимаемости в цилиндрических координатах [1, 5]

$\frac{{\partial U}}{{\partial r}} + \frac{U}{r} + \frac{{\partial W}}{{\partial z}} = 0,$

а также из условия, что решением уравнения [19, 20]

$\frac{{\partial Y(kr)}}{{\partial r}} + \frac{{Y(kr)}}{r} = {{J}_{0}}(kr)$

является функция $Y(kr) = {{{{J}_{1}}(kr)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{1}}(kr)} k}} \right. \kern-0em} k}$, где${{J}_{1}}$ – функция Бесселя первого порядка. В результате можно получить

$\begin{gathered} U(r,z,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{U}_{n}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{d}_{n}}{{\psi }_{n}}} (z){{q}_{n}}(r,t), \\ {{\psi }_{n}}(z) = \cos ({{b}_{n}}z),\,\,\,\,{{d}_{n}} = {{b}_{n}}{{a}_{n}}, \\ {{q}_{n}}(r,t) = \int\limits_0^\infty {A(k){{J}_{1}}} (kr){{\omega }_{n}}(k)\sin ({{\omega }_{n}}(k)t)dk. \\ \end{gathered} $(3)

В безразмерных переменных $r* = {{r\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{r\pi } H}} \right. \kern-0em} H}$, z* = = ${{z\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{z\pi } H}} \right. \kern-0em} H}$, $k* = {{k\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{k\pi } H}} \right. \kern-0em} H}$, $\tau = Nt$ (знак “*” далее опускается) выражения (1)–(3) можно представить в виде

(4)
$\begin{gathered} {{g}_{n}}(r,\tau ) = \int\limits_0^\infty {A(k)k{{J}_{0}}} (kr)\cos ({{\omega }_{n}}(k)\tau )dk, \\ {{p}_{n}}(r,\tau ) = - \int\limits_0^\infty {A(k)k{{J}_{0}}} (kr){{\omega }_{n}}(k)\sin ({{\omega }_{n}}(k)\tau )dk, \\ {{q}_{n}}(r,\tau ) = \int\limits_0^\infty {A(k){{J}_{1}}} (kr){{\omega }_{n}}(k)\sin ({{\omega }_{n}}(k)\tau )dk, \\ {{\varphi }_{n}}(z) = \sin (nz),\,\,\,\,{{a}_{n}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^0 {\Pi (z)\sin (nz)dz} , \\ {{\psi }_{n}}(z) = \cos (nz),\,\,\,{{d}_{n}} = n{{a}_{n}},\,\,\,\,{{\omega }_{n}}(k) = {k \mathord{\left/ {\vphantom {k {\sqrt {{{k}^{2}} + {{n}^{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{k}^{2}} + {{n}^{2}}} }}. \\ \end{gathered} $

2. АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

В заданном начальном распределении возвышения изопикн ${{\eta }_{0}}(r,z)$ будем считать, что функции $\Phi (r),\Pi (z)$ нормированы на свои максимальные (по модулю) значения. Далее, в качестве модельного, рассмотрим следующее радиальное распределение начального возмущения: $\Phi (r) = {{\exp ({{ - {{r}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{r}^{2}}} 4}} \right. \kern-0em} 4})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\exp ({{ - {{r}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{r}^{2}}} 4}} \right. \kern-0em} 4})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ (множитель 1/2 используется для простоты выкладок). Тогда из (1) имеем: $A(k) = \exp ( - {{k}^{2}})$. Интегралы (4) при больших значениях $r \gg 1,\tau \gg 1$ можно вычислить с помощью метода стационарной фазы. С этой целью необходимо заменить функцию Бесселя на ее асимптотику: ${{J}_{0}}(kr) \approx \sqrt {{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {\pi kr}}} \right. \kern-0em} {\pi kr}}} \cos (kr - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4})$ [19, 20]. Подставляя это выражение в (4), можно получить

$\begin{gathered} {{g}_{n}}(r,\tau ) = \sqrt {{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {\pi r}}} \right. \kern-0em} {\pi r}}} \int\limits_0^\infty {\exp ( - {{k}^{2}})\sqrt k \cos (kr - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4})} \times \\ \times \,\,\cos ({{\omega }_{n}}(k)\tau )dk = I_{n}^{ + } + I_{n}^{ - }, \\ I_{n}^{ \pm } = \sqrt {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2\pi r}}} \right. \kern-0em} {2\pi r}}} )\int\limits_0^\infty {\exp ( - {{k}^{2}})\sqrt k \cos (kr \pm {{\omega }_{n}}(k)\tau - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4})dk} . \\ \end{gathered} $

При больших значениях $r,\tau $ интеграл $I_{n}^{ + }$ экспоненциально мал, так как стационарных точек на интервале интегрирования нет. С помощью метода стационарной фазы можно получить уравнение для нахождения стационарных точек: $\omega _{n}^{'}(k) = \rho ,\,\,\,\rho = {r \mathord{\left/ {\vphantom {r \tau }} \right. \kern-0em} \tau }$. Решение этого уравнения имеет вид: ${{k}_{n}}(\rho ) = n\sqrt {{{{(\rho n)}}^{{ - 2/3}}} - 1} $. Окончательно можно получить

(5)
$\begin{gathered} {{g}_{n}}(r,\tau ) \approx {{G}_{n}}(r,\tau )\cos ({{\Phi }_{n}}(r,\tau )), \\ {{G}_{n}}(r,\tau ) = \frac{{{{n}^{2}}\exp ({{n}^{2}}(1 - {{{(n\rho )}}^{{ - 2/3}}}))}}{{\sqrt 3 \tau {{{(n\rho )}}^{{4/3}}}}}, \\ {{\Phi }_{n}}(r,\tau ) = \tau {{(1 - {{(n\rho )}^{{2/3}}})}^{{3/2}}}. \\ \end{gathered} $

Аналогично, с помощью метода стационарной фазы имеем

$\begin{gathered} {{p}_{n}}(r,\tau ) \approx {{P}_{n}}(r,\tau )\sin ({{\Phi }_{n}}(r,\tau )), \\ {{P}_{n}}(r,\tau ) = - {{(1 - {{(n\rho )}^{{2/3}}})}^{{1/2}}}{{G}_{n}}(r,\tau ), \\ {{q}_{n}}(r,\tau ) \approx {{Q}_{n}}(r,\tau )\cos ({{\Phi }_{n}}(r,\tau )), \\ {{Q}_{n}}(r,\tau ) = \frac{{\exp ({{n}^{2}}(1 - (n\rho )_{{}}^{{ - 2/3}}))}}{{\sqrt 3 \rho \tau }}. \\ \end{gathered} $

Полученные асимптотические формулы для функций ${{g}_{n}}(r,\tau ),{{p}_{n}}(r,\tau ),{{q}_{n}}(r,\tau )$ позволяют соответственно рассчитывать пространственно-временные характеристики возвышения изопикн, вертикальной и горизонтальной (радиальной) компонент скорости ВГВ вдали от вспыхнувшего в начальный момент времени источника возмущений.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

На рис. 1 изображено начальное распределение возмущения – функция ${{\eta }_{0}}(r,z)$, где функция $\Pi (z)$ имеет один максимум. Для численных расчетов было использовано следующее представление этой функции: $\Pi (z) = {{z}^{\alpha }}(1 - {{z}^{\beta }})$, значения параметров были следующие: $\alpha = 33,\,\,\beta = 57$. Все численные расчеты произведены с помощью вычислительной системы “Математика”. Использованные пространственные масштабы и характер изменчивости начального возмущения изопикн соответствуют типичным горизонтальным и вертикальным масштабам нелокальных источников возбуждения ВГВ в океане [2, 6, 7, 10–14]. На рис. 2 представлены результаты расчетов функции ${{g}_{1}}(r,\tau )$ (первая мода возвышения) при значениях $\tau = 30$ (левый рисунок) и $\tau = 70$ (правый рисунок). Сплошная линия – результаты точных численных расчетов по формуле (1), штриховая линия – расчеты по методу стационарной фазы (5). Из представленных результатов видно хорошее совпадение точных и асимптотических формул при больших значениях $r,\tau $. Как показывают численные расчеты, на временах порядка десяти и более периодов Брента–Вяйсяля метод стационарной фазы позволяет достаточно точно рассчитывать дальние волновые поля. На рис. 3 представлены результаты расчетов функций ${{g}_{1}}(r,\tau )$ (первая мода возвышения), ${{p}_{1}}(r,\tau )$ (первая мода вертикальной компоненты скорости), ${{q}_{1}}(r,\tau )$ (первая мода горизонтальной (радиальной) компоненты скорости) при $\tau = 30$ (левый рисунок) и $\tau = 70$ (правый рисунок). На рис. 4 приведены результаты расчетов первых трех мод вертикальной компоненты скорости ${{p}_{n}}(r,\tau ),\,\,\,\,n = 1,2,3$ и суммы мод $\Sigma = {{p}_{1}} + {{p}_{2}} + {{p}_{3}}$ при $\tau = 70$. Как показывают численные расчеты, основной вклад в полное волновое при больших временах поле вносят несколько низших мод. [5, 9, 13, 18]

Рис. 1.

Начальное распределение возвышения изопикн.

Рис. 2.

Возвышение первой моды: точное решение и асимптотика стационарной фазы.

Рис. 3.

Возвышение, вертикальная и радиальная компоненты скорости первой моды.

Рис. 4.

Вертикальная компонента скорости первых трех мод и их сумма.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, для заданного начального возмущения изопикн, обладающего радиальной симметрией и вертикальным распределением с одним максимумом с помощью метода стационарной фазы построены асимптотические решения, описывающие динамику пакетов ВГВ на больших временах. Использованное в качестве начального модельное распределение возвышения может адекватно описать различные физически обоснованные механизмы генерации пакетов ВГВ, в том числе волны больших амплитуд [6, 7, 10–13]. Полученные результаты позволяют аналитически представить как возвышение, так и все компоненты скоростей возбуждаемых ВГВ. Показано, что асимптотики стационарной фазы хорошо описывают волновые поля ВГВ на больших временах и расстояниях. Полученные асимптотические результаты с различными значениями входящих в них физических параметров дают возможность в дальнейшем провести оценку основных характеристик начального возмущения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект № 20-01-00111А.

Список литературы

  1. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 598 с.

  2. Коняев К.В., Сабинин К.В. Волны внутри океана. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. 272 с.

  3. Pedlosky J. Waves in the ocean and atmosphere: introduction to wave dynamics. Berlin–Heildelberg: Springer, 2010. 260 p.

  4. Sutherland B.R. Internal gravity waves. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. 394 p.

  5. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Волны в стратифицированных средах. М.: Наука, 2015. 735 с.

  6. Morozov E.G. Oceanic internal tides. Observations, analysis and modeling. Berlin: Springer, 2018. 317 p.

  7. Velarde M.G., Tarakanov R.Yu., Marchenko A.V. (Eds.). The ocean in motion / Springer Oceanography. Springer International Publishing AG, 2018. 625 p.

  8. Гущин В.А., Матюшин П.В. Моделирование и исследование течений стратифицированной жидкости около тел конечных размеров // Журн. вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56. № 6. С. 1049–1063.

  9. Матюшин П.В. Процесс формирования внутренних волн, инициированных начальным движением тела в стратифицированной вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2019. № 3. С. 83–97.

  10. Беляев М.Ю., Десинов Л.В., Крикалев С.К., Кумакшев С.А., Секерж-Зенькович С.Я. Идентификация системы океанских волн по фотоснимкам из космоса // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 1. С. 117–127.

  11. Morozov E.G., Tarakanov R.Yu., Frey D.I., Demidova T.A., Makarenko N.I. Bottom water flows in the tropical fractures of the Northern Mid-Atlantic Ridge // J. Oceanography. 2018. V. 74. № 2. P. 147–167.

  12. Khimchenko E.E., Frey D.I., Morozov E.G. Tidal internal waves in the Bransfield Strait, Antarctica // Russ. J. Earth. Science. 2020. V. 20. ES2006.

  13. Voelker G.S., Myers P.G., Walter M., Sutherland B.R. Generation of oceanic internal gravity waves by a cyclonic surface stress disturbance // Dynamics Atm. Oceans. 2019. V. 86. P. 116–133

  14. Haney S., Young W.R. Radiation of internal waves from groups of surface gravity waves // J. Fluid Mech. 2017. V. 829. P. 280–303.

  15. Wang J., Wang, S., Chen X., Wang W., Xu Y. Three-dimensional evolution of internal waves rejected from a submarine seamount // Physics Fluids. 2017. V. 29. P. 106601.

  16. Свиркунов П.Н., Калашник М.В. Фазовые картины диспергирующих волн от движущихся локализованных источников // Успехи физических наук. 2014. Т. 184. № 1. С. 89–100.

  17. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Аналитические решения уравнения внутренних гравитационных волн, генерируемых движущимся нелокальным источником возмущений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2021. Т. 61. № 4. С. 572–579.

  18. Bulatov V., Vladimirov Yu. Generation of internal gravity waves far from moving non-local source // Symmetry. 2020. V. 12(11). P. 1899.

  19. Watson G.N. A treatise on the theory of Bessel functions (Reprint of the 2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 804 p.

  20. Froman N. Physical problems solved by the phase-integral method / N. Froman, P. Froman. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 214 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Физика атмосферы и океана

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал