Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2022, T. 58, № 5, стр. 504-511

Вертикальный обмен в океане играет ключевую роль в функционировании экосистемы, поэтому исследования механизмов обмена является актуальной задачей. Традиционно процессы переноса по вертикали связывают с мелкомасштабной турбулентностью. Механизмы ее генерации самые разнообразные: обрушение поверхностных и внутренних волн, гидродинамическая неустойчивость течений и приливов, донное трение. Внутренние волны вследствие гидродинамической неустойчивости могут передавать энергию более мелкомасштабным внутренним волнам [1], которые, в свою очередь, вследствие нелинейных взаимодействий передают ее еще в более мелкие масштабы и в конце концов в турбулентность. Так реализуется каскадный механизм передачи энергии от внутренних волн в мелкомасштабную турбулентность. В натурном эксперименте это проявляется в присутствии пятен турбулентности в областях с пониженным числом Ричардсона, меньшим критического [1–5]. Однако турбулентность может поддерживаться внутренними волнами и при отсутствии гидродинамической неустойчивости за счет действия сдвига скорости течения [6]. Это более мягкий режим поддержания турбулентности без обрушения внутренних волн. Захват внутренних волн горизонтальными неоднородностями стратификации и течений приводит к фокусировке внутренних волн, амплитуда волны подрастает вплоть до проявления нелинейных эффектов и диссипации энергии в турбулентность [7]. Аналогичный эффект имеет место при захвате внутренних волн на шельфе, когда волна распространяется в область уменьшения глубины.

Плотностная стратификация в пикноклине сильно подавляет мелкомасштабную турбулентность, в то время как пикноклин является волноводом для внутренних волн. Поэтому актуальным является исследование вклада внутренних волн в вертикальный обмен. Нелинейные эффекты при распространении пакетов внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений [8, 9]. Вертикальная составляющая этих течений на переднем и заднем фронте пакета имеет разные знаки, поэтому интегрального вертикального переноса не происходит. В стратифицированной среде мелкомасштабная турбулентность имеет перемежаемый характер и можно говорить об “эффективном” коэффициенте турбулентного обмена.

Внутренние волны при учете турбулентной вязкости и диффузии затухают [10–13]. Вертикальные волновые потоки импульса $\overline {uw} $, $\overline {vw} $ при этом отличны от нуля [14]. При учете вращения Земли и среднего течения, у которого компонента скорости, перпендикулярная направлению распространения волны зависит от вертикальной координаты, вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля даже при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии [15]. При этом мнимая часть частоты волны отлична от нуля и может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от частоты волны и номера моды [15]. В настоящей работе рассматривается влияние турбулентной вязкости и диффузии на эти эффекты. Для этого используется аналитически разрешимая модель однородной стратификации с постоянным сдвигом скорости течения и постоянными коэффициентами турбулентного обмена. Без учета турбулентной вязкости и диффузии ранее было получено в [16], что уравнение для амплитуды вертикальной скорости имеет комплексные коэффициенты, собственная функция комплексная, а частота волны действительная в случае, когда волна распространяется нормально к потоку. Вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля. Компонента скорости стоксова дрейфа, перпендикулярная направлению распространению волны также отлична от нуля [16]. Ниже будет рассматриваться влияние турбулентной вязкости и диффузии на эти эффекты, т.к. турбулентная вязкость и диффузия без учета среднего течения также приводит к вертикальному переносу импульса [14]. Поскольку коэффициенты горизонтального турбулентного обмена на три-четыре порядка больше коэффициентов вертикального турбулентного обмена, то последними пренебрегается.

Постановка задачи. Рассматриваются свободные инерционно-гравитационные внутренние волны на плоскопараллельном стратифицированном течении с вертикальным сдвигом скорости в безграничном бассейне постоянной глубины при учете горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии. Коэффициенты горизонтальной турбулентной вязкости $K$ и диффузии $M$ предполагаются не зависящими от пространственных координат и времени. Горизонтальным изменением поля средней плотности и скорости течения на рассматриваемых масштабах пренебрегается. Скорость течения ${{V}_{0}}(z)$ зависит от вертикальной координаты. В линейном приближении решается краевая задача для амплитуды вертикальной скорости и находится дисперсионное соотношение. Во втором порядке по амплитуде волны определяются скорость стоксова дрейфа и вертикальные потоки импульса. Система уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска для волновых возмущений имеет вид:

где $x,y,z$ – две горизонтальные и вертикальная координаты, ось $z$ направлена вертикально вверх, $u,\,\,v,\,\,w$ – соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой скорости течения, $P$ и $\rho $ – волновые возмущения давления и плотности, ${{\rho }_{0}}(z)$ – профиль невозмущенной средней плотности, ${{V}_{0}}\left( z \right)$ – скорость среднего течения, направленная вдоль оси $y$, $g$– ускорение свободного падения, $f$ – параметр Кориолиса; действие оператора $\frac{D}{{Dt}}$ раскрывается по формуле $\frac{D}{{Dt}} = \frac{\partial }{{\partial t}} + u\frac{\partial }{{\partial x}} + (v + {{V}_{0}})\frac{\partial }{{\partial y}} + w\frac{\partial }{{\partial z}}$.

Граничные условия на поверхности моря ($z = 0$) – условие “твeрдой крышки”, которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных волн [17] и отсутствие тангенциальных напряжений [15, 18]

Граничные условия на дне – условие непротекания и отсутствие тангенциальных напряжений (условие “гладкого скольжения” [9]):

где $H$ – глубина моря.

Линейное приближение. Решения в линейном приближении представляются в виде:

где ${\text{c}}{\text{.c}}{\text{.}}$ – комплексно сопряженные слагаемые, A – амплитудный множитель, $\theta $ – фаза волны; $\partial \theta {\text{/}}\partial x = k,\,\,\,\,\partial \theta {\text{/}}\partial t = - \omega $, $k$ – горизонтальное волновое число, $\omega $ – частота волны. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси $x$.

Подставляя (10) в систему (1)–(5) находим связь амплитудных функций ${{u}_{{10}}},\,\,{{v}_{{10}}},\,\,{{\rho }_{{10}}},\,\,{{P}_{{10}}}\,$ с ${{w}_{{10}}}$ в линейном приближении

Функция ${{w}_{{10}}}$ удовлетворяет уравнению

где $a(z) = \frac{{ifk \cdot \frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}}}}{{\omega + i{{k}^{2}}K}}{{\left[ {\omega + i{{k}^{2}}K - \frac{{{{f}^{2}}}}{{\left( {\omega + i{{k}^{2}}K} \right)}}} \right]}^{{ - 1}}},$здесь ${{N}^{2}} = - \frac{g}{{{{\rho }_{0}}(0)}}\frac{{d{{\rho }_{0}}}}{{dz}}$ – квадрат частоты Брента–Вяйсяля.

Граничные условия для ${{w}_{{10}}}$ следуют из (6), (8):

Граничные условия (7), (9) выполняются автоматически.

Нелинейные эффекты. Скорость стоксова дрейфа частиц жидкости определяется по формуле [19]:

где ${\mathbf{u}}$ – поле волновых эйлеровых скоростей; черта сверху означает осреднение по периоду волны. Горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа, направленная вдоль волнового вектора, с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны, имеет вид где ${{A}_{1}} = A\exp (\delta \omega \cdot t)$, $\delta \omega = \operatorname{Im} (\omega )$ – мнимая часть частоты.

Поперечная к направлению распространения волны горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа определяется по формуле

Используя (10) найдем вертикальные волновые потоки импульса $\overline {uw} $ и $\overline {vw} $.

При учете горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии волновые потоки импульса (20), (21) и поперечная к направлению распространения волны компонента скорости стоксова дрейфа (19) отличны от нуля.

Если турбулентную вязкость и диффузию не учитывать, то при $\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}} \ne 0$ волновой поток импульса $\overline {uw} $ и поперечная к направлению распространения компонента скорости стоксова дрейфа ${{{v}}_{s}}$ при учете вращения Земли отличны от нуля. Поток импульса $\overline {vw} $ при этом отличен от нуля и при отсутствии течения, но при учете вращения Земли.

Если не учитывать ни вращение Земли, ни турбулентную вязкость и диффузию, то при $\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}} \ne 0$ волновые потоки импульса (20), (21) нулевые, а поперечная к направлению распространения компонента скорости стоксова дрейфа V_s(19) отлична от нуля.

Нормирующий множитель $\left| {{{A}_{1}}} \right|$ находится по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений. Для этого выразим вертикальное смещение $\zeta $, используя соотношение $\frac{{d\zeta }}{{dt}} = w$:

Отсюда следует

где ${{\omega }_{0}} = \operatorname{Re} (\omega )$.Таким образом, амплитуда вертикальных смещений пропорциональна $\left| {{{w}_{{10}}}{\text{/}}\omega } \right|$.

Результаты расчетов. Уравнение (14) допускает точное аналитическое решения для частного случая однородной стратификации и постоянного сдвига скорости, который мы и рассмотрим. В этом случае $N = {\text{const}}$, $\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}} = {{V}_{{00}}} = {\text{const}}$, ${{V}_{0}}(z) = {{V}_{{00}}}(z + H)$, $H > 0$ Уравнение (14) упрощается к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами:

где ${{a}_{1}} = \frac{{fk{{V}_{{00}}}}}{{{{{\left( {\omega + i{{k}^{2}}K} \right)}}^{2}} - {{f}^{2}}}}$, ${{b}_{1}} = {{k}^{2}}\left( {\omega + i{{k}^{2}}K} \right) \times $ $ \times \,\left[ {\frac{{{{N}^{2}}}}{{\omega + i{{k}^{2}}M}} - \left( {\omega + i{{k}^{2}}K} \right)} \right]{{\left[ {{{{\left( {\omega + i{{k}^{2}}K} \right)}}^{2}} - {{f}^{2}}} \right]}^{{ - 1}}}$.

Решение краевой задачи (15), (16), (22) имеет вид:

При этом справедливо дисперсионное уравнение, вытекающее из граничного условия (16) при $z = - H$: где $n$ – номер моды. При $K \to 0,\,\,M \to 0$ из (24) следует дисперсионное соотношение, полученное в работе [16]:

При ${{V}_{{00}}} \to 0$ дисперсионное соотношение (25) переходит в известное соотношение для однородной стратификации [10, 17]:

Коэффициент горизонтальной диффузии $M$ зависит от масштаба явления по закону “4/3” [20, 21]:

Здесь под масштабом $l$ подразумевается длина волны.

Дисперсионное уравнение (24) решается численно для фиксированного волнового числа и номера моды. Находится действительная и мнимая часть частоты волны при $N = 5$ цикл/ч, $H = 70$ м, ${{V}_{{00}}} = 1{\text{/}}140$ с$^{{ - 1}}$, ${{C}_{1}} = 0.01\,\,{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{{\text{2/3}}}}}{{{\text{с}}}^{{ - 1}}}$. Число Ричардсона ${\text{Ri}} = N{}^{2}/V_{{00}}^{2}$ равно 1.5. При турбулентном числе Прандтля ${{\Pr }_{T}} = 2$ из соотношения (7) работы [22] следует, что параметр анизотропии $R = 0.95$, что соответствует рассматриваемому случаю, когда горизонтальный масштаб турбулентности много больше вертикального [22]. Коэффициент турбулентной вязкости $K$ связан с коэффициентом турбулентной диффузии $M$ соотношением $K{\text{/}}M = {{\Pr }_{T}}$, отсюда $K = 2M$. Зависимость действительной части частоты ${{\omega }_{0}} = \operatorname{Re} (\omega )$ от волнового числа $k$ для первых двух мод показана на рис. 1. На этом же рисунке показаны дисперсионные кривые первых двух мод, когда турбулентная вязкость и диффузия не учитываются, т.е. при $K = M = 0$. Из рис. 1 следует, что учет турбулентной вязкости и диффузии на дисперсионные влияния практически не оказывает. Зависимость мнимой части частоты волны $\delta \omega = \operatorname{Im} (\omega )$ от волнового числа для первых двух мод показана на рис. 2. Мнимая часть частоты волны при учете турбулентной вязкости и диффузии отрицательная, т.е. волна затухает, а $\delta \omega $ – декремент затухания волны. У второй моды декремент затухания по модулю выше, чем у первой при фиксированной действительной части частоты волны.

Сравнение волновых потоков импульса $\overline {uw} $ (20), $\overline {vw} $ (21) приводится на рис. 3 для внутренней волны низшей моды при $k = 0.01$ рад/м, ${{\zeta }_{{\max }}} = 0.5$ м. Волновой поток $\overline {vw} $ превышает по абсолютной величине поток $\overline {uw} $. На рис. 4 делается сопоставление волнового потока импульса $\overline {uw} $ (20) при учете (сплошная кривая) и без учета турбулентной вязкости и диффузии при одной и той же максимальной амплитуде волны низшей моды ${{\zeta }_{{\max }}} = 0.5$ м при $k = 0.01$ рад/м. Из рис. 4 следует, что при учете турбулентной вязкости и диффузии волновой поток $\overline {uw} $ больше.

На рис. 5 делается сопоставление волнового потока импульса $\overline {vw} $ при учете (сплошная кривая) и без учета турбулентной вязкости и диффузии для низшей моды при $k = 0.01$ рад/м, ${{\zeta }_{{\max }}} = 0.5$ м. Волновой поток импульса $\overline {vw} $ при учете турбулентной вязкости и диффузии преобладает над потоком без их учета в верхнем 40-метровом слое. Глубже, наоборот, преобладает поток без учета турбулентной вязкости и диффузии.

Вертикальные профили скорости стоксова дрейфа ${{u}_{s}}$ показаны на рис. 6 при учете турбулентной вязкости и диффузии (сплошная кривая) и без их учета для внутренних волн низшей моды при $k = 0.01$ рад/м. Из рис. 6 следует, что компонента скорости стоксова дрейфа ${{u}_{s}}$ практически не зависит от турбулентной вязкости и диффузии.

Вертикальные профили компоненты скорости стоксова дрейфа ${{v}_{s}}$ показаны на рис. 7 при учете турбулентной вязкости и диффузии (сплошная кривая) и без их учета. Сравнение компоненты скорости стоксова дрейфа ${{v}_{s}}$, поперечной к направлению распространения волны при учете и без учета турбулентной вязкости и диффузии показывает, что отличие очень слабое. Для исследования влияния турбулентной вязкости и диффузии на скорость стоксова дрейфа увеличим коэффициенты горизонтального турбулентного обмена в 5 раз, т.к. имеет смысл говорить об интервале значений коэффициентов обмена. Вертикальные профили компонент скорости стоксова дрейфа при учете (сплошная линия) и без учета турбулентной вязкости и диффузии показаны на рис. 8, 9. Из рис. 8 следует, что учет турбулентной вязкости и диффузии при увеличенных коэффициентах обмена несколько уменьшает максимумы модуля скорости стоксова дрейфа ${{u}_{s}}$. Вертикальные профили поперечной к направлению распространения волны компоненты скорости стоксова дрейфа ${{v}_{s}}$ при учете увеличенных коэффициентах турбулентного обмена и без их учета показаны на рис. 9. Сплошная линия соответствует случаю учета турбулентной вязкости и диффузии. Сравнение поперечной к направлению распространения волны компоненты скорости стоксова дрейфа ${{v}_{s}}$ при учете увеличенных коэффициентов турбулентного обмена и без их учета показывает, что учет турбулентной вязкости и диффузии уже более значительно уменьшает максимальные по модулю значения этой компоненты скорости, чем у ${{u}_{s}}$.