Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2023, T. 59, № 2, стр. 242-244

В 1977 г. Б. Мандельброт [Mandelbrot, 1977] ввел понятие фракталов для стохастических процессов, в частности, для характеристики стохастических плоских фигур было предложено использовать отношение площади к периметру.

В 1982 г. Ш. Лавджой [Lovejoy, 1982] проанализировал это соотношение для размеров облаков от 1 до $12 \times {{10}^{5}}\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{2}}$ и обнаружил, что показатель фрактала для них $\beta = 1.35$ близок к 4/3, разница составляет всего 1/60, что может свидетельствовать о близости к теории турбулентности Колмогорова-Обухова 1941 г. (далее КО41 [Monin & Yaglom, 1975; Kolmogorov, 1934; Obukhov, 1959]). Еще в начале этого века найдено подтверждение этого соотношения для горизональных масштабов облаков по спутниковым данным [Wood & Field, 2011; Guillaume et al., 2018]. Аналогичное распределение было обнаружено и для областей ясного неба. Это еще одно подтверждение действия KO41 для больших масштабов. В [von Savigny et al., 2011] дается значение $\beta = 1.35$ для серебристых облаков ледяных частиц на высотах 80–90 км. Это говорит о том, что формы облаков описываются тем же универсальным законом, что и для стохастических плоских форм.

Более 40 лет эта проблема привлекает внимание и анализ экспериментальных данных, представленных здесь и в других работах, показывает повторяемость этих результатов на самых разных примерах.

На основе теории КО41 поясним их смысл. Лавджой представил свой результат на рис. 1 [Lovejoy, 1982], для связи площади с периметром облаков: $A = B{{P}^{\alpha }},$ в то время как в [Mandelbrot, 1977] имеем $P = C{{R}^{\beta }},$ $R = {{A}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ где $B$ и $C$ являются предфрактальными множителями с соответствующими необходимыми размерностями, не представленными Лавджоем. Объединяя эти два выражения, получаем $A = B{{\left( {C{{A}^{{{\beta \mathord{\left/ {\vphantom {\beta 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right)}^{\alpha }},$ ${{\alpha \beta } \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha \beta } 2}} \right. \kern-0em} 2} = 1,$ $B{{C}^{\alpha }} = 1.$ Согласно последнему соотношению выведем эмпирические статистические соотношения.

Перестроив все 77 точки данных (см. рис. 1 в [Lovejoy, 1982]) для нахождения статистических отношений между ними, с $95\% $ достоверностью найдем, что ${{\alpha }_{1}} = 1.48$ и ${{\alpha }_{2}} = 1.50$ с отклонением $ \pm 0.03$ для каждого ${{\alpha }_{i}},$ где индекс 1 относится к спутниковым облакам, а 2 – к радарным дождевым облакам (черные точки). Отсюда получим ${{\beta }_{1}} = 1.35$ и ${{\beta }_{2}} = 1.33...$ с той же $95\% $ точностью для обоих ${{\beta }_{i}}.$ Для сокращения и простоты используем для них $\alpha = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и $\beta = {4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}.$ Из анализа графика (см. рис. 1 в [Lovejoy, 1982]) находим $B = 0.15\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ что дает $C = {{B}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \alpha }} \right. \kern-0em} \alpha }}}} = 3.5{\text{4}}\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$

Используя теорию KO41, можно получить ряд следствий из законов для моментов, позволяющих понять связи между фрактальной размерностью облака и турбулентностью.

Структурная функция для поля скоростей с нулевыми или малыми начальными условиями, спектр которой ${{\varepsilon }^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{k}^{{ - {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ ($k$ – волновое число, $\varepsilon $ – скорость генерации/рассеивания кинетической энергии турбулентности), $\left\langle {{{u}^{2}}} \right\rangle = \varepsilon \tau = \varepsilon {{\left( {{{{{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}^{2}}} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} = {{\left( {\varepsilon R} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},$ где $\left\langle {x_{i}^{2}} \right\rangle = \varepsilon {{\tau }^{3}} = {{R}^{2}},$ $\tau $ – время, $\tau = {{\left( {{{{{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}^{2}}} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ [Obukhov, 1959; Голицын, 2021]. С учетом уравнений вторых моментов получаем закон турбулентной диффузии Ричардсона-Обухова [Monin & Yaglom, 1975; Obukhov, 1959], и спектр ${{\omega }^{{ - 4}}}$ ($\omega = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \tau }} \right. \kern-0em} \tau }$) – аналогичный частотному спектру ветрового морского волнения [Голицын, 2021]. Отсюда легко получить нелинейное дисперсионное уравнение [Голицын, 2021]: $\omega = {{\left( {\varepsilon {{k}^{2}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},$ которое наглядно демонстрирует сложность турбулентности и ее нелинейность.

Общее выражение для масштаба длины $L = {{(Kt)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Здесь $K$ является коэффициентом диффузии. Для площади мы принимаем $A = Kt.$ Однако периметр растет быстрее, чем масштаб $L,$ как $P = {{({{K}_{P}}\tau )}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Отсюда, записав безразмерное соотношение для отношения периметра к квадрату скорости, можно сделать следующие выводы.

Единицы времени для периметра гораздо короче, чем для площадей, или, другими словами, отношение коэффициента $a = \left( {{{{{K}_{P}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{P}}} K}} \right. \kern-0em} K}} \right)$ должно расти со временем как ${{t}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Скорость генерации кинетической энергии оценивается как ${{\varepsilon }^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 6}} \right. \kern-0em} 6}}}}.$ Оценив эту величину по статистике общей атмосферной циркуляции А. Оорта [Oort, 1964], обнаружим, что общая скорость кинетической энергии/рассеяния составляет 2.3 Вт м^–2. Масса атмосферного столба М = 10⁴ кг м^–2. А для единицы массы воздуха получаем $\varepsilon = 2.{\text{3}}\,\,{{{\text{м}}}^{2}}\,\,{{{\text{с}}}^{{ - 3}}} = 230 \times {{10}^{{ - 12}}}\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{2}}\,\,{{{\text{с}}}^{{ - 3}}}$ и ${{\varepsilon }^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 6}} \right. \kern-0em} 6}}}} = 40.{\text{4 }}{{{\text{с}}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$ По теории размерностей для масштаба длины имеем $L = {{\left( {Kt} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ С использованием соотношения ${{\left( {{a \mathord{\left/ {\vphantom {a {{{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}t}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}t}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ и вышеуказанного значения ${{\varepsilon }^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 6}} \right. \kern-0em} 6}}}} = 40.{\text{4}}\,\,{{{\text{с}}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},$ по данным наблюдений, оцениваем ${{\left( {{{{{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}t} a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} = 0.28\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} \approx $ $ \approx 0.3\,\,{\text{к}}{{{\text{м}}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$ Это константа для диапазона размеров облаков от 1 до 1000 км, на основе которой можем дать грубую оценку безразмерного отношения $a = \left( {{{{{K}_{P}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{P}}} K}} \right. \kern-0em} K}} \right).$ Поскольку $\varepsilon $ можно более или менее оценить как $\left( {{t \mathord{\left/ {\vphantom {t a}} \right. \kern-0em} a}} \right) = {{c}_{1}},$ где ${{c}_{1}}$ – постоянная, то $a \approx 0.0077t,$ т.е. $\left( {{{{{K}_{P}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{P}}} K}} \right. \kern-0em} K}} \right)$ со временем растет как $t,$ значит, периметры на границах облаков должны расти быстрее, чем общая площадь. Фрактальный характер отношения площади к периметру отражает динамику процесса образования облаков.

Напомним весь способ вывода этих результатов: мы начинаем с уравнения Фоккер-Планка-Колмогорова с марковским приближением для ускорения частиц, т.е. 6-мерное пространство с дельта-временной корреляцией для сил (ускорений), которое дает вторые моменты для распределения вероятностей. Отсюда получаем шкалу времени ${{\left( {{A \mathord{\left/ {\vphantom {A \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$ Особенности самоподобия заключаются в появлении фракталов размерностью 4/3. Эти значения мы можем оценить или измерить из наблюдений. Приближенными инвариантами являются произведения показателей степени разрушения и предфрактальных множителей вместе с комбинацией ${{\left( {{{{{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}t} a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ С общей точки зрения весь процесс иллюстрирует случайное блуждание жидкой частицы в 6-мерном фазовом пространстве скоростей и координат, где может оказаться важным прямой численный расчет границ облаков с большим разрешением, в котором $\beta = 1.35 \pm 0.1.$

Таким образом, в статье объясняется фрактальный показатель отношения площади облаков к периметру 4/3 с использованием работы Колмогорова 1934 г. [Kolmogorov, 1934] и Обухова 1959 г. [Obukhov, 1959]. Связь между периметром и площадью облачных образований для случайных блужданий частиц жидкости в 6-мерном фазовом пространстве позволяет провести прямой численный расчет границ облаков с большим разрешением.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 20-17-00200).

Благодарим В.П. Маслова, Д.Д. Соколова, Е.Б. Гледзера, Ю.И. Троицкую за полезные обсуждения этих результатов.

Это краткое содержание статьи “Clouds and turbulence theory: peculiar self-similarity, 4/3 fractal exponent and invariants”, полный текст опубликован в “Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics”, 2022. Vol 58. No 6. P. 668–671. DOI: 10.1134/ S0001433822060081