Физика металлов и металловедение, 2021, T. 122, № 9, стр. 908-916

ВВЕДЕНИЕ

Если в классической электронике для передачи информации используются зарядовые токи, то в спинтронике для этой цели используются спин-поляризованные токи [1]. Тепло, генерируемое в процессе использования спин-поляризованных токов, может быть нежелательным побочным эффектом. Сверхпроводящая спинтроника базируется на идее использования сверхпроводников в магнитных наноструктурах. Это может значительно уменьшить нагрев, увеличивая энергоэффективность спинтронных устройств.

Взаимодействие сверхпроводящего (С) и ферромагнитного (Ф) дальних порядков в гибридных структурах через эффект близости приводит к ряду необычных физических явлений [2, 3]. Например, проникая в ферромагнетик в результате эффекта близости, куперовская пара приобретает ненулевой импульс, что приводит к пространственным осцилляциям коррелляционной функции [4, 5].

Теоретически было показано, что неколлинеарная намагниченность в гетероструктурах сверхпроводник–ферромагнетик (СФ) может привести к созданию спин-триплетных сверхпроводящих корреляций с ненулевой проекцией полного спина на ось квантования [2, 3]. Магнитный эффект, создаваемый триплетными сверхпроводящими корреляциями, представляется весьма привлекательным для различных физических приложений, в том числе для создания чувствительных датчиков и элементной базы для квантовых вычислений [3, 6–11]. Сложность состоит в том, что при разработке новых сверхпроводящих спинтронных устройств с высокой энергоэффективностью нужно контролировать магнитный момент дальнодействующей триплетной корреляции [7].

Магнитный момент, индуцированный в сверхпроводнике СФ бислоя, был зарегистрирован экспериментально [12, 13] в соответствии с предсказаниями, сделанными ранее в работе [14]. К сожалению, эксперименты, проведенные в [13, 15, 16], не позволяют оценить величину наведенной намагниченности с достаточной точностью, в отличие от экспериментов с ферромагнитными диэлектриками [17–19]. Точные эксперименты требуют использования сложной техники, например, на основе рассеяния нейтронов или мюонов [20]. Если новые данные будут получены, это позволит лучше оценить феноменологические параметры модели [21].

Ранее было показано, что обратный эффект близости между ферромагнетиком и сверхпроводником приводит к индуцированию намагниченности в слое сверхпроводника [14]. Данная индуцированная намагниченность влияет на плотность состояний в С-слое. Это является одной из причин зависимости критической температуры и Джозефсоновского тока от взаимной ориентации Ф-слоев в многослойных структурах. В недавнем теоретическом исследовании [22] было показано, что система Ф1/С1/Ф2/С2 может выступать в роли управляемого джозефсоновского 0–π-контакта или инвертированного спинового клапана.

Индуцированная намагниченность была обнаружена в экспериментах с использованием ядерного магнитного резонанса [12], нейтронного рассеяния [16] и полярного эффекта Керра [13]. Кроме того, недавно в структуре СФ с изолятором в качестве Ф-слоя было экспериментально исследовано изменение вида температурной зависимости сопротивления сверхпроводника, на которое влияла взаимная ориентация тока в сверхпроводнике и плоскостной намагниченности в диэлектрике [23]. Весьма вероятно, что индуцированная намагниченность в данной структуре вносила свой вклад в наблюдаемые эффекты.

В работе исследуется намагниченность, наведенная в С-слое в структурах с сильно поляризованными ферромагнитными металлами. Рассматриваемая модель основана на квазиклассическом приближении с использованием уравнений Узаделя с граничными условиями, подходящими для случая сильно спин-поляризованного ферромагнетика [24, 25]. Эти уравнения применимы в грязном пределе сверхпроводника, в котором длина свободного пробега электрона намного меньше длины когерентности куперовской пары.

МОДЕЛЬ

Рассмотрим модель бислоя, состоящего из сверхпроводящего слоя и слоя из ферромагнитного металла в качестве магнитного элемента (см. рис. 1). Рассматривается случай сильно спин-поляризованного ферромагнетика, когда обменная магнитная энергия сравнима с энергией Ферми, здесь имеется в виду стонеровское расщепление энергетических подзон по спину. Это означает, что период пространственных колебаний параметра порядка в Ф-слое и его длина затухания мала в масштабах толщины слоя. Аномальная функция Грина описывает сверхпроводящие корреляции, которые также проникают в слой Ф благодаря эффекту близости. Среднее значение короткодействующих компонент аномальной функции Грина пренебрежимо мало из-за колебаний функции около нуля при быстром затухании в сильном ферромагнетике, где период колебаний и коэффициент затухания соразмерны ферромагнитной длине когерентности ${{\xi }_{H}} = \sqrt {\frac{{\hbar {{D}_{{\text{f}}}}}}{H}} ,$ здесь H – стонеровское расщепление, ${{D}_{{\text{f}}}}$ – коэффициент диффузии электронов в ферромагнетике, $\hbar $ – приведенная постоянная Планка.

Таким образом, в рамках используемой модели можно предположить, что короткодействующие компоненты аномальной функции Грина равны нулю, а значение нормальной функции Грина в ферромагнетике не зависит от координаты. В этом случае мы можем считать ферромагнетик полубесконечным и сосредоточить наше внимание на С-слое с соответствующими граничными условиями на границе раздела СФ.

Пусть ферромагнетик занимает полупространство x > L (см. рис. 1). Предположим, что для исследуемой структуры можно пренебречь эффектом Мейснера, который разворачивается на длинах порядка глубины проникновения Лондона λ [26], т.е. толщина С-слоя $L\sim \xi \ll {{\lambda }}{\text{.}}$ В пределе сильного рассеяния длина свободного пробега в сверхпроводнике $l \ll \xi ,$ длина когерентности $\xi = \sqrt {\frac{{\hbar {{D}_{{\text{s}}}}}}{{2\pi {{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{{\text{c}}}}}}} ,$ где ${{D}_{{\text{s}}}}$ – коэффициент диффузии электронов в сверхпроводнике, ${{T}_{{\text{c}}}}$ – критическая температура. Мы также рассматриваем температурный предел, при котором температура С-слоя близка к критической температуре, что допускает использование линеаризованных уравнений Узаделя:

где g – нормальная функция Грина, ω_n = πk_BT(2n + + 1) – мацубаровские частоты в энергетических единицах, n – целое число, T – температура, ${{f}_{{\text{s}}}}$ и ${{f}_{{\text{t}}}}$ – синглетная и триплетная компоненты аномальной функции Грина соответственно, ${{{\mathbf{f}}}_{{\text{t}}}}$ = = (${{f}_{{tx}}},{{f}_{{ty}}},{{f}_{{tz}}}$) является вектором, ${{\Delta }}$ – скалярный параметр порядка сверхпроводника, который считаем действительным и пропорциональным энергетической щели в сверхпроводнике.

Для ферромагнитного металла граничное условие [24] на границе раздела ($x = L$) в линейном приближении можно записать в простой форме:

где e – заряд электрона, $A$ – площадь контакта между слоями, ${{\sigma }_{{\text{S}}}}$ – проводимость материала сверхпроводника в несверхпроводящем состоянии, $t = {{t}_{{ \uparrow ~}}} + {{t}_{ \downarrow }}$ – вероятность проникнуть через границу раздела слоев для электронов с магнитным моментом вдоль ($ \uparrow )~$ или против ($ \downarrow $) направления намагниченности в Ф-слое, ${{\varphi }}$ – угол спинового смешивания, о котором подробнее будет сказано ниже. Элементы матрицы вероятности перехода для каждого спинового канала ${{n}_{ \uparrow }}$ или ${{n}_{ \downarrow }}$ имеют вид ${{t}_{ \uparrow }} = \sum\nolimits_{n \uparrow } {{{{\left| {{{t}_{{ \uparrow \uparrow n}}}} \right|}}^{2}}} ,$ $~{{t}_{ \downarrow }} = \sum\nolimits_{n \downarrow } {{{{\left| {{{t}_{{ \downarrow \downarrow n}}}} \right|}}^{2}}} $ [27]. Мы предполагаем, что на поверхности раздела слоев не происходит рассеяние с переворотом спина, поэтому матрица рассеяния имеет диагональную форму. В ферромагнетике имеется разное количество каналов для частиц со спином вверх и вниз, поэтому ${{n}_{ \uparrow }} \ne {{n}_{ \downarrow }}.$

Мнимое слагаемое $i{{\varphi }}$ в уравнении (2) возникает за счет спинового расщепления в ферромагнетике. Угол спинового смешивания ${{\varphi }}$ характеризует разность фаз, приобретаемую электронами со спином вверх и вниз при отражении от границы раздела сверхпроводник–ферромагнетик. В данной работе он полагается малым, ${{\varphi }} \ll 1$ [24]. Угол спинового смешивания количественно определяет, насколько большим становится относительный фазовый сдвиг между электронами куперовской пары после отражения от поверхности СФ. Такое различие фаз электронов со спином вверх и со спином вниз в куперовской паре приводит к спиновой асимметрии сверхпроводящего конденсата вблизи границы слоев, а значит, к возникновению триплетной сверхпроводящей компоненты. Также это приводит к расщеплению плотности состояний электронов с разными спинами, что ведет к появлению наведенной намагниченности. Фазовый сдвиг связан с величиной обменной энергии в Ф-слое неоднозначным образом. Можно только сказать, что в отсутствие ферромагнетизма ${{\varphi }} = 0.$ При малых ${{\varphi }}$ можно предположить, что рост обменной энергии приводит к росту угла спинового смешивания.

Для структуры без токовых состояний, когда параметр $\Delta $ можно считать действительным, $\left( {{{f}_{{\text{s}}}} - {{f}_{{{\text{t}}z}}}} \right)$ = $\left( {{{f}_{{\text{s}}}} + {{f}_{{{\text{t}}z}}}} \right){\text{*}}.$ Ранее расчеты эффекта близости сверхпроводника и сильного ферромагнетика [28, 29] были выполнены только для очень тонкого Ф-слоя, L ~ ξ_H. В этом случае граничные условия на границе раздела слоев [29] имели вид, похожий на условия из работы [24] с комплексным коэффициентом между функциями $\left( {{{f}_{{\text{s}}}} \pm {{f}_{{{\text{t}}z}}}} \right)$ и их производными, причем эти коэффициенты осциллировали с толщиной ферромагнетика.

На свободной границе (x = 0) граничное условие имеет вид:

Отметим, что природа изучаемой здесь наведенной намагниченности связяна с появлением сверхпроводимости и является следствием обратного эффекта близости. Наведенная намагниченность в сверхпроводнике появляется благодаря тому, что синглетные куперовские пары на границе слоев преобразуются в триплетные. В отсутствие сверхпроводящих куперовских пар данный механизм не может реализовываться. При температуре, большей критической, обратный эффект близости не будет возникать и $\delta M$ = 0.

Рассмотрим далее проекцию вектора наведенной намагниченности на ось намагниченности в ферромагнетике, предполагая, что она имеет нулевые компоненты вдоль осей x, y, и только z-компонента не равна нулю. Тогда величину вектора наведенной намагниченности $\delta M$ можно найти по формуле [30]:

где ${{\mu }_{{\text{B}}}}$ – магнетон Бора, ${{N}_{0}}$ – плотность состояний на уровне Ферми, ${{g}_{{{\text{t}}z}}}\left( {x,{{\omega }_{n}}} \right)$ – компонента нормальной функции Грина вдоль оси z.

В качестве сверхпроводника возьмем ниобий. Дальнейшие расчеты будем проводить, используя следующие параметры: количество каналов проводимости на единицу площади СФ границы ${N \mathord{\left/ {\vphantom {N A}} \right. \kern-0em} A} = 1.238 \times {{10}^{{19}}}\,\,{\text{мк}}{{{\text{м}}}^{{ - 2}}},$ ${{T}_{{\text{c}}}}$ = 9.2 К, проводимость $\sigma = 6.25 \times {{10}^{6}}\,\,{\text{О}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}}\,\,{{{\text{м}}}^{{ - 1}}},$ ${{D}_{{\text{s}}}} = 9.48 \times {{10}^{{ - 4}}}$ ${{{\text{c}}}^{{ - 1}}}\,\,{{{\text{м}}}^{2}},$ $\xi = {\text{\;}}1.12 \times {{10}^{{ - 8}}}{\text{\;}}\,\,{\text{м}}$ [31].

Далее рассматриваем модели для двух случаев, допускающих аналитическое решение уравнений Узаделя: случай слабого эффекта близости и случай температуры, близкой к критической. Получены выражения для функций Грина, параметра порядка и намагниченности, представлены зависимости этих величин от координаты, толщины С-слоя и температуры. При этом каждая из этих моделей имеет свои преимущества и недостатки. Например, случай температуры, близкой к критической, позволяет нам найти величину наведенной намагниченности при больших значениях прозрачности, чего нельзя делать в пределе слабого эффекта близости. Однако недостатоком этого предельного случая является весьма узкий диапазон допустимых температур. Модель слабого эффекта близости лишена данного недостатка.

ПРЕДЕЛ СЛАБОГО ЭФФЕКТА БЛИЗОСТИ

Предположим, что прозрачность границы между слоями мала и поэтому функции Грина слабо отличаются от своих объемных значений $g = {{g}_{{\text{s}}}} = \frac{{ - i{{\omega }_{n}}}}{{\sqrt {\omega _{n}^{2} + {{\Delta }^{2}}} }},$ ${{g}_{{\text{t}}}} = 0,$ ${{f}_{{\text{s}}}} = \frac{\Delta }{{\sqrt {\omega _{n}^{2} + {{\Delta }^{2}}} }}.$ Конверсия синглетных пар в триплетные на СФ границе, а именно, возникновение ${{f}_{{{\text{t}}z}}}$ из ${{f}_{{\text{s}}}}$ определяется граничным условием (2). В этом случае можно рассматривать температуры во всем диапазоне ниже Т_с, а линеаризация уравнений Узаделя (1) обеспечивается постоянством нормальной функции g.

Поправки к объемным значениям функций Грина ${{g}_{{\text{s}}}}$ и ${{f}_{{\text{s}}}}$ появляются только во втором порядке по ${{f}_{{{\text{t}}z}}}$ и ими можно пренебречь. Решение уравнения Узаделя (1), удовлетворяющее граничному условию на свободной границе, имеет вид ${{f}_{{{\text{t}}z}}} = C\operatorname{ch} {{k}_{{\text{S}}}}\left( {x - L} \right),$ где $k_{{\text{S}}}^{2} = {{2\sqrt {\omega _{n}^{2} + {{\Delta }^{2}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\sqrt {\omega _{n}^{2} + {{\Delta }^{2}}} } {\hbar {{D}_{{\text{s}}}}}}} \right. \kern-0em} {\hbar {{D}_{{\text{s}}}}}}.$ Константа C может быть найдена из граничного условия на интерфейсе сверхпроводник–ферромагнетик (2):

Как и ожидали, амплитуда C триплетной составляющей пропорциональна фазовому сдвигу ${{\varphi ,}}$ который аномальная функция Грина испытывает на границе с ферромагнетиком в результате конверсии синглетной коррелляции в триплетную.

Подставив гриновские функции в выражение для индуцированной намагниченности (4), его можно записать в виде:

Для толстого сверхпроводника при $L \gg \xi $ мы можем записать это выражение в виде

Средняя наведенная намагниченность

с ростом толщины сверхпроводящего слоя убывает (рис. 2 ). Если данное уменьшение величины средней наведенной намагниченности будет наблюдаться и на аналогичном графике, построенном для случая температуры, близкой к критической, то можно будет сделать вывод о том, что этот результат не зависит от используемого предельного случая. В данном случае это может быть связано с тем, что большая часть наведенной намагниченности сосредоточена у границы сверхпроводника и ферромагнитного металла. Тогда чем больше толщина С-слоя, тем больший вклад будут давать области сверхпроводящего слоя, намагниченность которых меньше намагниченности приграничной области. Подобное поведение наблюдали и в эксперименте с ферродиэлектриками [18]. Для обоснования этого предположения рассмотрим далее зависимость наведенной намагниченности от координаты.

Как и следовало ожидать, средняя наведенная намагниченность падает с увеличением температуры во всем диапазоне температур, вместе с подавлением сверхпроводимости (рис. 3). Она растет с увеличением параметра φ, который обеспечивает спиновую асимметрию и конверсию синглетных куперовских пар в триплетные. При этом в пределе слабого эффекта близости не учитывается уменьшение числа синглетных пар в приграничной области во втором порядке по ${{f}_{{{\text{t}}z}}}.$

Из рис. 4 можно видеть, что наведенная намагниченность также растет с увеличением прозрачности границы, обеспечивающей как прямой, так и обратный эффект близости, вызванный синглетно-триплетной конверсией Однако, как будет показано в дальнейшем, такая корелляция выполняется не всегда.

СЛУЧАЙ ТЕМПЕРАТУРЫ, БЛИЗКОЙ К КРИТИЧЕСКОЙ

Обратный эффект близости приводит к подавлению сверхпроводящего параметра порядка вблизи границы раздела СФ. Если толщина слоя L ~ ξ, то параметр порядка и аномальная функция Грина могут быть определены анзацем [29]:

Здесь ${{\Delta }_{0}}$ – амплитуда параметра порядка сверхпроводника. Этот анзац удовлетворяет уравнению Узаделя (1) с граничным условием на свободной границе (3). Для этого случая зависимости всех интересующих нас величин мы будем строить только при толщинах порядка длины когерентности, поскольку параметр порядка в этом пределе аппроксимируется косинусом, а при больших толщинах такое приближение работать не будет. Анзац (5) работает и для малых толщин из-за подавления параметра порядка на границе.

Значение k находится из граничного условия (2), которое приводит к уравнению

Отметим, что здесь k зависит от значений L, t и φ и не зависит от ω. Используя полученное значение k, можно рассчитать свойства исследуемой структуры как функции параметров прозрачности границы t и угла спинового смешивания φ.

Зависимость сверхпроводящего параметра порядка на границе слоев при температуре, близкой к критической, от толщины сверхпроводника представлена на рис. 5.

Из уравнения (6) видно, что при росте толщины С-слоя параметр k уменьшается, поэтому параметр порядка на границе тоже уменьшается до определенного предела, в котором работает анзац (5). При одинаковой толщине параметр порядка уменьшается с ростом граничного параметра φ. Т.е. конверсия синглетных куперовских пар в триплетные подавляет параметр сверхпроводящего упорядочения, обеспечиваемый синглетным спариванием.

Выражения, связывающие различные компоненты аномальной функции Грина, имеют вид:$~{{f}_{{\text{s}}}} = \frac{{{{f}_{{ \uparrow \downarrow }}} - {{f}_{{ \downarrow \uparrow }}}}}{2},$ ${{f}_{{{\text{t}}z}}} = \frac{{{{f}_{{ \uparrow \downarrow }}} + {{f}_{{ \downarrow \uparrow }}}}}{2}.$ В расчетах использованы именно компоненты ${{f}_{{ \uparrow \downarrow }}},$ ${{f}_{{ \downarrow \uparrow }}},$ но для удобства изложения теории в работе используются компоненты ${{f}_{{\text{s}}}},$ ${{f}_{{{\text{t}}z}}}.$ Графики зависимости компонент аномальных функций Грина от координаты приведены на рис. 6.

Используя выражение (4), мы рассчитали среднюю наведенную намагниченность в зависимости от толщины сверхпроводника L. Как мы и предполагали выше, она уменьшается с ростом толщины сверхпроводника (рис. 7). Аналогично получили и ожидаемое подавление средней наведенной намагниченности в слое сверхпроводника с ростом температуры (рис. 8).

Средняя наведенная намагниченность в зависимости от толщины уменьшается, так как высокая наведенная намагниченность по большей части сосредоточена на небольшом расстоянии от границы сверхпроводника и ферромагнитного металла (рис. 9), как и в случае слабого эффекта близости (см. рис. 4).

Причина подавления средней наведенной намагниченности в слое сверхпроводника с ростом температуры заключается в том, что наведенная намагниченность напрямую связана со сверхпроводимостью и является следствием обратного эффекта близости. Чем выше температура, тем меньше куперовских пар в сверхпроводнике, и, следовательно, тем меньше наведенная намагниченность данной природы в слое сверхпроводника.

Следует отметить, что рост прозрачности приводит к уменьшению намагниченности по причине того, что увеличивается подавление сверхпроводимости ферромагнетиком и количество куперовских пар, учавствующих в создании намагниченности, снижается. С точки зрения модели это происходит из-за того, что прозрачность границы входит в выражение (2) для граничного условия, причем прозрачность влияет на коэффициент между функцией Грина и ее производной. Это приводит к уменьшению как синглетной, так и происходящей от нее триплетной функции (см. рис. 6). Поэтому при больших значениях прозрачности намагниченность снижается. Т.е. чем сильнее эффект близости, (выше прозрачность границы, обеспечивающая утечку куперовских пар из С), тем слабее обратный эффект близости и связанная с ним наведенная намагниченность.

Из сравнения рис. 4 и 9 можно сделать вывод о том, что зависимость наведенной намагниченности от прозрачности границы С–Ф t для двух приведенных предельных случаев различна. В модели слабого эффекта близости наведенная намагниченность не спадает с ростом параметра порядка, так как мы не учитываем здесь подавление синглетной компоненты аномальной функции Грина. Можно предположить, что если бы мы учли данное подавление, наведенная намагниченность демонстрировала бы иное поведение при достаточной прозрачности границы. Т.е. прозрачность границы является важным параметром, приводящим к неоднозначным следствиям при обратном эффекте близости, как и в эффекте Джозефсона через ферромагнитную прослойку [8].

Случай, когда t равно нулю, рассматривали в [32]. Он соответствует бислою, в котором вместо ферромагнитного металла со сверхпроводником граничит ферромагнитный изолятор. По-видимому, именно в таких структурах можно ожидать наиболее сильный обратный эффект близости. Было проведено сравнение наведенной намагниченности для сверхпроводников из ниобия и алюминия при толщинах, равных двум длинам когерентности. Для ниобия показаны большие значения наведенной намагниченности. Из анализа формул (5) и (4) видно, что наведенная намагниченность возникает в результате сверхпроводящих корреляций и еe величина прямо пропорциональна сверхпроводящему параметру порядка. А значит, для материалов с более высокой Т_с величина наведенной намагниченности будет больше при том же значении Т/T_c.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены зависимости параметра порядка сверхпроводника, функции Грина и наведенной намагниченности от координаты, толщины С-слоя, температуры и угла спинового смешивания в двух случаях, допускающих аналитическое решение: слабого эффекта близости и вблизи T_c. Средняя наведенная намагниченность в обоих случаях убывает с ростом толщины С-слоя в диапазоне толщин, порядка длины когерентности. Основной вклад в намагниченность дает слой сверхпроводника, близкий к границе раздела. С ростом толщины этого слоя становится больше размер областей, слабо намагниченных из-за обратного эффекта близости. Наведенная намагниченность убывает с ростом температуры, так как пропорциональна параметру сверхпроводящего порядка. Она растет с ростом угла спинового смешивания, отвечающего за спиновую асимметрию и конверсию синглетных куперовких пар в триплетные.

Показано, что зависимость наведенной намагниченности от прозрачности может быть как убывающей, так и немонотонной. Вблизи T_c при учете подавления параметра порядка, рост эффекта близости приводит к подавлению обратного эффекта близости.

Расчет в пределе, близком к Т_с, был поддержан Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, Мегагрант № 075-15-2019-1934. Расчет для случая малой прозрачности границы выполнен при поддержке гранта РФФИ проект N 19-02-00316-a. Расчет сверхпроводящего параметра порядка выполнен в рамках проекта “Зеркальные лаборатории” НИУ ВШЭ и БГПУ им. М. Акмуллы г. Уфа.