Физика плазмы, 2021, T. 47, № 8, стр. 748-755

1. ВВЕДЕНИЕ

Большая часть теоретических и численных работ, посвященных исследованию свойств пылевой плазмы, имеют дело с идентичными пылевыми частицами, поскольку такие системы легче поддаются математическому описанию и наиболее просты для понимания [1–3]. Тем не менее в реальных условиях плазменно-пылевые структуры редко содержат одинаковые частицы. Исследования условий энергетического обмена в системах неидентичных частиц (различных размеров, зарядов и температур) вызывает значительный интерес в различных областях науки и техники [3–6].

Большинство лабораторных экспериментов с пылевой плазмой проводится в газовых разрядах различных типов [1–3, 7–12]. Стохастическая кинетическая энергия (кинетическая температура) пылевых частиц в таких условиях может быть значительно выше температуры окружающего их газа, а также изменяться в зависимости от их положения в объеме неоднородной плазмы [7–13]. Основными источниками высоких кинетических температур и неравномерного разогрева системы пылевых частиц в такой плазме являются флуктуации их зарядов, вызванные случайной природой ионных и электронных токов зарядки [14–16], или же пространственные изменения зарядов пыли [13, 17–19].

Образование квазидвумерных структур, состоящих из нескольких протяженных слоев пылевых частиц, часто наблюдается в условиях лабораторной плазмы ВЧ-разряда [9–12]. Критерии формирования таких слоев для одинаковых частиц, взаимодействующих с разнообразными попарными потенциалами, исследовались в различных численных и теоретических работах [20–24]. Для неидентичных частиц с разными массами в наземных экспериментах разделение их различных фракций по слоям происходит за счет баланса внешних электрических сил и силы тяжести.

В настоящей работе речь идет о механизме переноса тепла, который не связан с процессами массопереноса и возникает за счет передачи стохастических колебаний отдельных частиц вблизи их равновесного положения, благодаря взаимодействию между заряженными частицами системы. При этом не рассматривается влияние тепловой диффузии частиц и их случайные “скачки” между слоями системы [1, 25]. Особенности энергетического обмена в ансамблях неидентичных частиц анализируются для параметров близких к условиям экспериментов в газоразрядной плазме. Для последующих теоретических оценок и численных расчетов предполагается, что плотность материала частиц одинакова и отношение их масс M₁/M₂ ∝ (a_d1/a_d2)³, где a_di – радиус частицы. Заряды частиц задаются в приближении ограниченных орбит: Q_i ∝ a_di [1, 2], а их коэффициенты трения согласно свободномолекулярному приближению: ν_i ∝ $a_{{di}}^{2}{\text{/}}{{M}_{i}}$ [26].

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим систему линеаризованных уравнений движения, описывающих отклонения N неидентичных частиц (с зарядами Q_i, массой M_i, коэффициентом трения ν_i и попарным взаимодействием) от их положения равновесия, χ_i, в выделенном направлении в поле внешних сил под действием случайной силы F_bi, которая является источником стохастической (тепловой) энергии частиц

где i = 1, 2…, N, χ_i и V_i = dχ_i/dt – смещение и скорость частицы на одну степень свободы, а коэффициенты a_ij зависят от физики решаемой задачи и рассматриваемой степени свободы.

Для поиска баланса энергии для системы (1) отметим, что корреляторы случайной силы F_bi подчиняются уравнениям $\left\langle {{{F}_{b}}_{i}} \right\rangle = 0$, $~\left\langle {{{F}_{b}}_{i}{{F}_{b}}_{j}} \right\rangle = 0$, $\left\langle {{{F}_{b}}_{i}{{V}_{j}}} \right\rangle = 0$, $\left\langle {{{F}_{b}}_{i}{{\chi }_{j}}} \right\rangle = 0$, $\left\langle {{{F}_{b}}_{i}{{\chi }_{i}}} \right\rangle = 0$, где $j = {\text{ }}1,2,...,N$ и j ≠ i. Здесь и далее угловые скобки обозначают усреднение по времени при t → ∞. При движении частиц по ограниченным траекториям $\left\langle {{{\chi }_{i}}{{V}_{i}}} \right\rangle = 0$, а $\left\langle {{{V}_{i}}{{F}_{b}}_{i}} \right\rangle = {{n}_{i}}T_{i}^{0}$, где $T_{i}^{0}$ – температура тепловых источников для частицы i, т.е. энергия источников, которая при численном моделировании задачи соответствует их заданной (начальной) температуре [27–29]. Тогда уравнения баланса энергии для корреляторов скоростей и смещений частиц можно представить в виде [27–29]

где $k = 1,2,...,N$. Здесь ${{M}_{i}}\left\langle {{{V}_{i}}^{2}} \right\rangle \equiv {{T}_{i}} = {{T}_{i}}^{0} + d{{T}_{i}}$ – температура частиц для равновесного состояния системы, а δT_i – приращение температуры в процессе установления равновесия.

Для ансамбля идентичных частиц (Q_i = Q, M_i = M, ν_i = ν) полная кинетическая энергия системы будет сохраняться [27–29]:

где $T_{i}^{{0(x)}}$, $T_{i}^{{0(y)}}$, $T_{i}^{{0(z)}}$ и $T_{i}^{{(x)}}$, $T_{i}^{{(y)}}$, $T_{i}^{{(z)}}$ – заданная и установившаяся (равновесная) температуры частиц на каждую степень свободы. (Отметим, что причиной неравномерного распределения источников стохастической энергии по степеням свободы могут являться флуктуации зарядов частиц во внешнем электрическом поле при их смещениях вдоль или поперек силы тяжести [14–16].) В случае неидентичных частиц указанное соотношение строго не выполняется, однако имеет весьма незначительные отклонения при различии масс частиц менее чем в два раза [27].

Остановимся на анализе энергетического обмена для системы из двух и трех частиц, расположенных вертикально (параллельно силе тяжести), в линейном электрическом поле E(r, z) цилиндрической ловушки с радиальной составляющей ${{E}^{r}} = {{\beta }^{r}}r$ и вертикальной составляющей ${{E}^{z}} = E_{0}^{z} + {{\beta }^{z}}z$, см. рис. 1. Здесь r ≡ (x² + y²)^1/2 – радиальная координата, z – вертикальная координата в направлении силы тяжести, β^r и β^z – величины градиентов электрического поля, а значение $E_{0}^{z}$ определяется балансом сил, действующих в системе. Для рассматриваемых задач значения коэффициентов a_ij зависят от величины градиентов ловушки, параметров частиц, их потенциала взаимодействия и направления передачи энергии (степени свободы смещения частицы); соответствующие выражения можно найти в работах [27–31].

Для двух частиц с разной массой, M₁ ≠ M₂, и зарядами, Q₁ ≠ Q₂, в условиях наземных экспериментов уравнения баланса сил дают [27, 32]

где F₁₂ – сила взаимодействия между частицами, а d – расстояние между ними, см. рис. 1.

Для трех неидентичных частиц с зарядами Q_i и массой M_i (i = 1, 2, 3), соотношение между параметрами частиц и величиной градиента β^z электрического поля ловушки можно найти путем решения системы уравнений

где ${{Е}_{0}} \equiv E_{0}^{z}$ – величина внешнего электрического в месте равновесия второй (средней) частицы, F₁₂, F₁₃, F₂₃ – силы взаимодействия между соответствующими частицами, а d₁, d₂ – расстояние между ними, см. рис. 1.

Аналитические соотношения для δT_i могут быть получены путем совместного решения уравнений баланса энергии (2а), (2б) и баланса сил (4), или (5а)–(5в). Однако для неидентичных частиц формулы для δT_i имеют весьма громоздкий вид уже для случая двух частиц; смотри работу [27], где было представлено аналитическое соотношение для этого случая и выполнена проверка его соответствия результатам численного моделирования.

Для вертикальной конфигурации двух одинаковых частиц (Q₁₍₂₎ = Q, M₁₍₂₎ = M, ν₁₍₂₎ = ν) можно записать [27–29]

где $\Delta {{T}_{{21}}} = T_{2}^{0} - T_{1}^{0}$, а параметр b₁ = f(a_ij). При ${{\nu }^{2}}{{b}_{1}} \ll 2$ величина |δT₁₍₂₎| → |△T|/2, т.е. энергия равномерно распределяется между частицами системы; а при ν → ∞ величина |δT₁₍₂₎| → 0.

Для конфигурации трех идентичных частиц решение системы уравнений можно представить в виде [28]

где $\Delta {{T}_{{23}}} = T_{2}^{0} - T_{3}^{0}$, $(d{{T}_{1}} - d{{T}_{3}}) \propto \Delta {{T}_{{13}}}$ = $T_{1}^{0} - {\text{ }}T_{3}^{0}$, а b₂ = f(a_ij). Легко увидеть, что в этом случае равномерное распределение энергии между частицами невозможно даже при ν → 0.

Напомним, что коэффициенты b₁ = f(a_ij) и b₂ =  f(a_ij) в соотношениях (6), (7) являются функциями от a_ij и зависят от направления передачи энергии (радиальное или вертикальное), поскольку значения a_ij различны для выбранной степени свободы. Поэтому даже для идентичных частиц с температурой тепловых источников одинаковой по степеням свободы ($\delta T_{i}^{{0(x)}} = dT_{i}^{{0(y)}} = $ $ = dT_{i}^{{0(z)}}$) приращение температуры в процессе установления равновесия в общем случае различно в радиальном и вертикальном направлении ($\delta T_{i}^{{0(x)}} = dT_{i}^{{0(y)}} \ne dT_{i}^{{0(z)}}$). Таким образом, равновесная температура частиц $\delta T_{i}^{{(x)}} = dT_{i}^{{(y)}} \ne dT_{i}^{{(z)}}$. Исключение составляет случай, когда ν → 0.

Для количественного сравнения интенсивности передачи энергии в системах частиц с разными массами выберем случай с одинаковыми межчастичными расстояниями ${{d}_{1}} \cong {{d}_{2}} \cong d$ = const, не зависящими от числа частиц (см. рис. 1). В этом случае величина ${{\beta }^{z}}$ будет различна для разных параметров частиц, см. (4), (5а)–(5в). Тогда корректное сравнение будет возможно только для анализа перераспределения энергии в радиальном направлении при одинаковой величине градиента ${{\beta }^{r}}$ электрического поля ловушки.

Иллюстрация зависимостей δT₂/ΔT от ξ ≡ ≡ ω₁/ν₁ ≈ ω₂/ν₂ ≈ ω₃/ν₃, где ${{\omega }_{i}} = {{({{Q}_{i}}^{2}{\text{/}}{{d}^{3}}{{М}_{i}})}^{{1/2}}}$, которые описывают перераспределение энергии в радиальном направлении для двух и трех вертикально расположенных частиц разных размеров показана на рис. 2. Кривые представлены для частиц с кулоновским взаимодействием при d₁ = = d₂ = d ≅ 0.1 см и ${{\beta }^{r}} = 5.2{{Q}_{1}}{\text{/}}{{d}^{3}}$. Зависимости δT₂(ξ) были получены путем численного решения системы (2а), (2б) с использованием уравнений баланса (4), (5а)–(5в) при поиске величины ${{\beta }^{z}}$ для конфигурации частиц с межчастичными расстояниями d₁ = d₂ = d.

Легко увидеть, что количество перераспределяемой энергии заметно падает с ростом различия частиц по массе, а ее равномерное распределение между частицами системы становится невозможным даже в случае двух частиц при ξ → ∞. Отметим, что для трех частиц перераспределение энергии достигает своего постоянного равновесного состояния несколько раньше (при ξ > 10), чем в случае двух частиц (при ξ > 40).

Выбор равных межчастичных расстояний (d₁ = = d₂ = d) для иллюстрации перераспределения стохастической энергии, см. рис. 2, позволяет использовать одинаковый параметр ξ для анализа рассматриваемых процессов в системах из двух и трех частиц с заданными массами. Это также удобно для сравнения поведения отдельных частиц с процессами в протяженных слоистых структурах, которые наблюдаются в численных экспериментах (где расстояния, l_p, между частицами соседних слоев были практически одинаковы при неизменном значении ${{\beta }^{z}}$, см. раздел 3). Тем не менее функции δT₂(ξ) для частиц с заданными массами, включая их асимптотику при ξ → ∞, могут существенно измениться при выборе постоянного градиента ${{\beta }^{z}}$ с дальнейшим расчетом межчастичных расстояний из условий баланса сил, которые в этом случае могут быть различны для цепочки из двух и трех частиц.

Численное моделирование, выполненное для случаев двух и трех отдельных частиц в работах [27–29], показало хорошее согласие с описанной здесь теорией. Результаты моделирования процессов перераспределения стохастической энергии в двух- и трехслойных структурах частиц приведены в следующем параграфе. Такие структуры нельзя исследовать при помощи системы уравнений (2а), (2б) из-за отсутствия корректных условий баланса сил для частиц в протяженных слоистых системах, что не позволяет определить коэффициенты a_ij, а также отсутствия в ней корреляторов скоростей и смещений частиц между разными степенями свободы. Сравнение процессов перераспределения энергии в двухслойных и трехслойных протяженных системах с такими процессами для двух и трех вертикально расположенных частиц позволяет выяснить их основные черты, сходство и различие, а также соответствие результатов моделирования рассматриваемой теории. В ходе такого сравнения были проверены: условие сохранения энергии (3); асимптотика функций приращения энергии, δT_i(ξ), с ростом величины ξ; пропорциональность δT_i разнице температур источников ΔT; зависимость приобретаемой энергии δT_i от степени свободы. (Здесь и далее i – номер слоя, содержащий частицы массы M_i.)

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Численное исследование процессов энергетического обмена выполнялось методом молекулярной динамики Ланжевена для частиц, взаимодействующих с кулоновским потенциалом в анизотропном электрическом поле ловушки с цилиндрической симметрией. Техника моделирования подробно описана в работах [1, 2].

Моделирование проводилось для двухслойных (N = 2) и трехслойных (N = 3) ансамблей с фракциями неидентичных частиц разных размеров и температур в поле тяжести. Число частиц в каждой из фракций (N₁ = N₂ = N₃) варьировалось от 60 до 210. Отношения масс (M₂/M₁, M₃/M₁) изменялись от 1.15 до 1.6, что соответствовало изменению отношения радиусов частиц от ~1.05 до ~1.17. Заряды и коэффициенты трения задавались как Q_i ∝ a_di и ν_i ∝ $a_{{di}}^{{ - 1}}$ соответственно. Здесь и далее i = 1, 2, 3.

Величина ξ = ω₁/ν₁ изменялась от ~0.5 до ~100, где ${{\omega }_{i}} = {{(Q_{i}^{2}{\text{/}}l_{p}^{3}{{М}_{i}})}^{{1/2}}}$, а ${{l}_{p}} \approx {{(d_{p}^{2} + r_{p}^{2}{\text{/}}4)}^{{1/2}}}$ – среднее расстояние между частицами соседних слоев. Здесь d_p – расстояние между слоями частиц разных фракций, а r_p – среднее расстояние между заряженными частицами в радиальном направлении (в плоскости слоев). Отношение ${{\beta }^{z}}{\text{/}}{{\beta }^{r}}$ варьировалось от ~6 до 12. При выбранных параметрах численного моделирования величина d_p составляла от ~0.05 см до 0.1 см, а r_p – изменялось от ~0.04 см до 0.08 см.

Температура тепловых источников $T_{i}^{0}$ варьировалась в пределах от ~0.05 до ~0.5 эВ. Во всех случаях параметр неидеальности $\Gamma = {{({{Q}_{i}})}^{2}}{\text{/}}({{T}_{i}}^{0}{{r}_{p}})$ был более 100, а $\left\langle {\chi _{i}^{2}} \right\rangle \ll \min [r_{p}^{2};d_{p}^{2}]$, чтобы избежать заметного влияния процессов диффузии в плоскости слоя [1–3] и/или случайных “скачков” частиц между слоями системы [1, 25] на перераспределение тепловой энергии при помощи механизма, рассматриваемого в настоящей статье.

Во всех рассмотренных случаях

с точностью до ~2%, что примерно соответствовало ошибкам численного моделирования. Здесь $T_{i}^{{0(x)}}$, $T_{i}^{{0(y)}}$, $T_{i}^{{0(z)}}$ и $T_{i}^{{(x)}}$, $T_{i}^{{(y)}}$, $T_{i}^{{(z)}}$ – заданная и установившаяся (равновесная) температура частиц слоя i на каждую степень свободы. (Отметим, что результаты численного анализа процессов энергетического обмена практически не зависели от количества частиц при N_i ≥ 60.)

Для иллюстрации результатов расчетов, представленных далее на рис. 3–7, был выбран случай N_i = 125, ${{\beta }^{z}}{\text{/}}{{\beta }^{r}} \cong 9$ и M₂/M₁ = 1.3, M₃/M₁ = 1.6 при одинаковом электрическом поле ловушки для двух- и трехслойных систем (${{\beta }^{z}} \cong 0.16$ СГСЭ). Положения частиц разной массы в моделируемых системах показаны на рис. 3: d₁ = d₂ ≅ 0.085 см, d ≅ 0.09 см (в обоих случаях l_p ≈ 0.093 ± 0.001 см). Парные корреляционные функции g(r) для частиц в каждом из слоев при тех же параметрах задачи приведены на рис. 4, здесь r – расстояние между частицами.

Представленные исследования включали две задачи: 1) изучение процессов перераспределения стохастической кинетической энергии между различными фракциями частиц с разной температурой; 2) анализ перераспределения стохастической энергии по степеням свободы.

Для изучения процессов перераспределения стохастической кинетической энергии между различными фракциями частиц с разной температурой температура тепловых источников задавалась одинаковой по степеням свободы (${{T}_{i}}^{{0(x)}} = {{T}_{i}}^{{0(y)}} = {{T}_{i}}^{{0(z)}} \equiv {{T}_{i}}^{0}$). Отношения температур тепловых источников, ${{T}_{i}}^{0}{\text{/}}{{T}_{1}}^{0}$ (или ${{T}_{1}}^{0}{\text{/}}{{T}_{i}}^{0}$), для частиц различных фракций изменялись от 1 до 4. В процессе моделирования начальная стохастическая кинетическая энергия (энергия источников) перераспределялась от более “горячих” частиц к менее “горячим”. Во всех случаях наблюдаемые распределения скоростей частиц были близки к максвелловским функциям, а их температура была практически однородна в пределах каждого слоя.

Аналогично задаче о двух и трех отдельных частицах во всех рассмотренных случаях (60 ≤ N_i ≤ ≤ 210, 0.5 ≤ r_p/d_p ≤ 1) величина перераспределяемой энергии определялась величиной ξ и была пропорциональна ΔT; здесь $\Delta T = (T_{2}^{0} - {{T}_{1}}^{0})$ для двухслойных структур, а $\Delta T = (\delta {{T}_{{21}}} + \delta {{T}_{{23}}}) \equiv $ $ \equiv 2{{T}_{2}}^{0}--({{T}_{1}}^{0} + {{T}_{3}}^{0})$ для трехслойных структур. При этом δT₂ ≅ –δT₁ (для двухслойной системы), а δT₂ ≅ – (δT₁ + δT₃) (для трехслойной) с точностью до 3%.

Зависимости |δT₂/ΔT | от ξ для двухслойной (|δT₂/ΔT | ≅ |δT₁/ΔT|) и трехслойной (|δT₂/ΔT| ≅ ≅ |(δT₁ + δT₃)/ΔT|) систем неидентичных частиц при одинаковом электрическом поле ловушки приведены на рис. 5. Символами показаны усредненные численные данные при различных величинах температуры источников: $T_{1}^{0}$, $T_{2}^{0}$, $T_{3}^{0}$.

Аппроксимация полученных численных данных дает соотношение

где с и α – некоторые коэффициенты, которые при заданных потенциале взаимодействия между частицами и отношениях их масс зависят только от градиентов внешнего электрического поля ловушки, а n – суммарное число источников и стоков тепловой энергии. Для задачи 1, рассмотренной в настоящем разделе ($T_{i}^{{0(x)}} = T_{i}^{{0(y)}} = T_{i}^{{0(z)}}$), величина δT = |δT₂|; n = 2 для двухслойной системы частиц, а n = 3 для трехслойной системы. Отметим, что отношение ΔT/n = |ΔT|/n равно количеству перераспределяемой кинетической энергии, которая необходима для установления равномерного распределения температур в анализируемой системе. Для примера, предлагаемого для иллюстрации результатов расчетов в данном разделе: с ≅ 14.5 и α ≅ 0.81, см. рис. 5.

Предлагаемая аппроксимация (8) не имеет корректного аналитического обоснования и является полуэмпирической, однако позволяет достаточно точное описание условий энергетического баланса, полученных в результате численного моделирования. Так, с ростом ξ кинетическая энергия частиц выравнивается и распределяется практически равномерно при ξ → ∞, когда величина ${{T}_{i}} \to {{T}_{m}} = \frac{1}{N}\sum\nolimits_{i = 1}^N {{{T}_{i}}^{0}} $ между частицами различных слоев системы, см. рис. 5 и 6. Здесь T_m – средняя температура источников для рассматриваемой системы. Подчеркнем также, что при одинаковом электрическом поле ловушки, интенсивность перераспределения энергии была одинакова для двухслойных и трехслойных систем, поскольку коэффициенты с и α в аппроксимации (8) имели равные значения для обоих рассмотренных случаев.

В отличие от случая отдельных частиц, фиксировалось примерно равномерное перераспределение энергий по степеням свободы для каждого из слоев исследуемых структур: $T_{i}^{{(x)}} \cong T_{i}^{{(y)}} \cong T_{i}^{{(z)}}$; а асимптотика |δT₂/ΔT| при ξ → ∞ для отдельных частиц той же массы заметно отличалась от случая протяженных систем, см. раздел 2 и рис. 5.

Наблюдаемые различия в поведении отдельных частиц и слоистых систем могут быть связаны как с отличием характерных частот, отвечающих за взаимодействие частиц в протяженных системах, от величин ω_i [33], так и с перераспределением стохастической кинетической энергии по степеням свободы (т.е. с перераспределением между вертикальными и радиальными смещениями частиц). Такое перераспределение невозможно в случае отдельных частиц, или же в монослое, если отклонения этих частиц от их положения равновесия много меньше среднего межчастичного расстояния (Γ > 100, $\left\langle {\chi _{i}^{2}} \right\rangle \ll $ $ \ll \min [r_{p}^{2};d_{p}^{2}]$). В противоположном случае, систему частиц нельзя описать при помощи линеаризованных уравнений движения (1).

Для анализа процессов перераспределения стохастической энергии по степеням свободы для различных фракций частиц температура тепловых источников задавалась как $T_{i}^{{0(x)}} = T_{i}^{{0(y)}} \equiv {{T}^{{0(r)}}}$, $T_{i}^{{0(z)}} \equiv {{T}^{{0(z)}}}$, где T^0(z) > T^0(r). Отношения температур источников T^0(z)/T^0(r) изменялись от 1.2 до 4.

Также, как и в предыдущем случае, начальная стохастическая кинетическая энергия (энергия источников) перераспределялась по степеням свободы от высоких температур к более низким температурам, наблюдаемые распределения скоростей частиц были близки к функциям Максвелла, а их температура по степеням свободы была практически однородна в пределах каждого слоя.

При всех рассмотренных параметрах моделирования значения $\delta {{T}^{{(z)}}} = T_{i}^{{(z)}} - T_{i}^{{0(z)}}$ и $\delta {{T}^{{(x)}}} = $ $ = T_{i}^{{(x)}} - T_{i}^{{0(x)}} = \delta {{T}^{{(y)}}}$ практически не менялись в зависимости от слоя (от i). Величины δT^(z) и δT^(x) = δT^(y) были пропорциональны разнице температур ΔT = 2(T^0(z) – T^0(x)) ≡ 2(T^0(z) – T^0(y)) и определялись параметром ξ. При этом δT^(z) ≈ – (δT^(х) + + δT^(y)) с точностью до 3%.

Усредненные результаты численных расчетов |δT/ΔT| в зависимости от ξ, где |δT | = |δT^(z) – δT^(х) – – δT^(y)|/2, для двухслойной и трехслойной систем показаны на рис. 7. Там же представлены аппроксимации (8) при n = 3, α ≅ 0.81, и с ≅ 34 (два слоя), с ≅ 44 (три слоя). Напомним, что с ростом ξ соотношение (8) обеспечивает выравнивание температур по степеням свободы. Так, при ξ → ∞, значения $T_{i}^{{(x)}} \cong T_{i}^{{(y)}} \cong T_{i}^{{(z)}}$ будут стремиться к величине $\frac{1}{{3N}}\sum\nolimits_{i = 1}^N {(T_{i}^{{0(z)}}} + T_{i}^{{0(x)}} + T_{i}^{{0(y)}})$, которая равняется средней температуре источников рассматриваемой системы.

Легко увидеть, что интенсивность перераспределения энергии по степеням свободы для трехслойных систем была несколько меньше, чем для двухслойных структур (см. рис. 7), что вероятно связано с участием в процессе передачи энергии более массивных частиц. При этом отличия усредненных значений |δT/ΔT|, полученных при численном моделировании двух- и трехслойных структур, составляли менее 20% для всех ξ при максимальном отклонении расчетов ±7% при различных значениях ΔT.

В заключение отметим, что в типичных условиях экспериментов в газоразрядной плазме при давлениях буферного газа (аргона) больше 10^–2 Торр, параметр ξ находится в диапазоне от ~1 до 10 [1, 2, 10–12]. (При этом для ξ < 10 передается менее 50% энергии необходимой для полного выравнивания температур, а для ξ < 100 – не более 90%, см. рис. 5, 7). Это практически исключает полное выравнивание температур как по слоям частиц, так и по их степеням свободы за счет механизма передачи стохастической кинетической энергии, рассмотренного в статье.

Увеличить значение ξ можно как за счет снижения давления, так и за счет выбора более легкого буферного газа (например, водорода). Можно предположить, что процесс передачи энергии будет более эффективным для частиц равной массы (M_i = const). Однако расчеты для идентичных частиц в двухслойной системе, выполненные для исследования перераспределения стохастической кинетической энергии по степеням свободы [32], не подтверждают данного предположения. Анализ экспериментов в лабораторной плазме ВЧ-разряда позволяет предположить, что наиболее эффективное перераспределение стохастической энергии между пылевыми частицами может возникать в случае снижения параметра неидеальности Γ системы за счет роста кинетической температуры частиц [12].

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено численное исследование процессов энергетического обмена в диссипативных системах неидентичных взаимодействующих частиц с неоднородным распределением источников тепла и/или любых других источников стохастической кинетической энергии. Рассмотрена теоретическая модель для анализа энергетического баланса в таких системах. Моделирование выполнялось для частиц с кулоновским взаимодействием.

Изучены условия энергетического обмена в двухслойных и трехслойных ансамблях с различными фракциями частиц. Представленные исследования включали две задачи: изучение процессов перераспределения стохастической кинетической энергии между различными фракциями частиц с разной температурой; и анализ перераспределения стохастической энергии по степеням свободы.

Полученные результаты не зависели от числа частиц в слое N_i (при N_i ≥ 60). Величина перераспределяемой энергии была пропорциональна количеству стохастической кинетической энергии, которая необходима для установления равномерного распределения температур в рассматриваемой системе, и определялась отношением ее характерных частот, ξ. Предложена полуэмпирическая аппроксимация, зависящая от температуры тепловых источников и характерных частот системы, которая хорошо описывает процессы энергетического обмена во всех рассмотренных случаях.

Результаты настоящей работы применимы для систем с любым типом попарных (взаимных) взаимодействий и могут быть полезны для анализа энергетического обмена в неоднородных системах, которые представляют интерес в физике пылевой плазмы, включая лабораторные эксперименты с пылевыми частицами в плазме газовых разрядов.