Физика плазмы, 2022, T. 48, № 1, стр. 19-26

1. ВВЕДЕНИЕ

Интерес к изучению вращающихся газовых сред и плазмы в различных областях науки и технологии постоянно растет. Это связано с разработкой термоядерных реакторов [1, 2], астрофизическими проблемами устойчивости аккреционных дисков [3–5], задачами переработки отработавшего ядерного топлива в плазме [6–8], преобразования тепловой энергии в электрическую [9], усовершенствованием газовой центрифуги [10–12]. Важное значение уделяется также разработке плазменных центрифуг, предназначенных для разделения изотопов элементов, не имеющих удобных газообразных соединений при комнатных температурах [13–15].

При изучении газодинамических процессов во вращающихся потоках необходимо исследовать взаимодействие среды с ограничивающими поверхностями. В настоящей работе рассмотрим вращение плазмы вблизи вращающегося диэлектрического диска при наличии внешнего вращательного потока. Как правило, такие задачи исследуются в предположении постоянства плотности среды вдоль радиальной координаты [16]. В настоящей работе предпринята попытка учесть радиальный градиент плотности, связанный с центробежными силами при наличии ограничивающей цилиндрической поверхности.

2. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ СЖИМАЕМОГО СЛАБОИОНИЗОВАННОГО ГАЗА ВБЛИЗИ ПРОТЯЖЕННОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИСКА

Рассмотрим вращающийся с постоянной угловой скоростью ${{\omega }_{1}}$ столб газа, ограниченный по радиусу вращающейся стенкой. Отвлечемся от причин возбуждения вращения среды. Это могут быть как различного рода электромагнитные силы (плазменная центрифуга), так и вязкие силы, связанные с действием вращающейся боковой стенки (обычная механическая центрифуга). Существенным моментом в этом случае является зависимость давления газа P от радиальной координаты r. Во вращающемся с угловой скоростью ${{\omega }_{1}}$ столбе газа в равновесном состоянии возникает уравновешивающий центробежную силу радиальный градиент давления

где ${{\rho }_{1}}$ – массовая плотность среды в столбе. Будем считать, что имеется нижний торцевой диск, который вращается с угловой скоростью ${{\omega }_{0}}$, отличной от скорости вращения основного потока ${{\omega }_{1}}$. Различие скоростей приводит при достаточно быстром вращении к возникновению вблизи поверхности торца тонкого пограничного слоя, в котором угловая скорость среды изменяется от ${{\omega }_{1}}$ во внешнем потоке до ${{\omega }_{0}}$ на торцевом диске. В силу того, что градиент давления (1) постоянен по толщине пограничного слоя, а центробежная сила изменяется с осевой координатой, равновесие, имеющее место для основного потока, в пограничном слое нарушается, и возникает вторичное течение. Оно носит характер наложенных на основной азимутальный поток радиального и осевого движений газа. Для характеристики соотношения между угловыми скоростями ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{0}}$ введем параметр $m = {{\omega }_{1}}{\text{/}}{{\omega }_{0}}$. В зависимости от величины m направление радиального потока и связанное с ним осевое движение среды изменяют знак. Торцевые элементы, таким образом, определяют направление и интенсивность вторичного циркуляционного течения, налагающегося на одномерный вращательный поток. Если диск вращается медленнее внешнего потока (m > 1), вследствие действия вязких сил азимутальная скорость газа вблизи диска меньше, чем во внешнем потоке, градиент давления превышает центробежную силу, и радиальное течение вблизи диска направленно к оси. В силу неразрывности потока имеет место отток газа от диска. Если диск вращается быстрее внешнего потока (m < 1), возникает обратная ситуация и радиальное течение в пограничном слое направлено к периферии, а осевой поток имеет характер подсоса к диску. На рис. 1 показаны линии тока для случаев m > 1 (рис. 1a) и m < 1 (рис. 1б).

Если среда является проводящим газом и имеется осевое магнитное поле, динамика приторцевых течений усложняется. Помимо вязких сил и инерционных эффектов, важную роль начинают оказывать электромагнитные силы, связанные с протеканием электрического тока. На рис. 2a показана качественная картина распределения угловых скоростей ламинарного газового потока в пограничном слое вблизи протяженного диэлектрического диска. Введем цилиндрическую систему координат $r,\;\varphi ,\;z,$ плоскость $z = 0$ которой совпадает с поверхностью диска (рис. 2а). Внешнее однородное магнитное поле $B$ направим вдоль оси вращения. Если, например, радиальное течение в пограничном слое направлено к оси, как показано на рис. 1б, то в силу взаимодействия азимутального тока ${{j}_{\varphi }}$ с внешним магнитным полем ${{B}_{z}}$ возникает объемная электромагнитная сила Ампера ${{F}_{r}} = {{j}_{\varphi }}{{B}_{z}}$, которая тормозит радиальный поток и, в силу неразрывности потока, осевой перенос плазмы. Рассмотрим случай слабоионизованной плазмы.

В рамках стационарного магнитогидродинамического изотермического приближения в пределе малых магнитных чисел Рейнольдса, когда можно пренебречь влиянием индуцированных магнитных полей и влиянием сжимаемости на вязкость, стационарные уравнения магнитной гидродинамики запишутся в виде [17]

где V – скорость среды, j – плотность электрического тока, $\nabla $ – векторный оператор набла, η – коэффициент динамической вязкости среды, ${{\rho }}\left( r \right)$ – ее массовая плотность.

Для вектора плотности электрического тока используем закон Ома в пренебрежении холловскими явлениями

где σ – проводимость плазмы, E – напряженность электрического поля. Выражение (5) справедливо при выполнении условия ${{\beta }_{e}} \ll 1$, где ${{\beta }_{e}}$ – параметр замагниченности электронов. В заключение мы оценим справедливость этого допущения. В рамках предположения о слабой ионизации среды данная модель соответствует обычному газу, на который дополнительно действуют силы Ампера.

В осесимметричном приближении справедливы следующие из (5) уравнения для компонент плотности электрического тока в пограничном слое

где ${{v}_{r}}$ и ${{v}_{\varphi }}$ – радиальная и азимутальная компоненты скорости, ${{E}_{r}}$ – радиальная компонента электрического поля. Очевидно, что азимутальные токи замыкаются в силу геометрической конфигурации и ${{E}_{\varphi }} = 0$ (см. уравнение (6)).

Предполагая, что внешняя цепь в основном потоке разомкнута, из условия отсутствия радиального тока (${{j}_{r}} = 0$) получим выражение для радиального электрического поля в пограничном слое

Отметим, что электрическое поле $E_{r}^{1}$ не является внешним, а связано с разделением зарядов в основном объеме плазмы при ее вращении поперек магнитного поля. Это поле подобно генерируемому в плазме гидромагнитного конденсатора [18]. Предположим, следуя [19], что поле ${{E}_{r}}$ в области пограничного слоя на диэлектрическом диске не изменяется с координатой и совпадает с полем $E_{r}^{1}$. При этом плотность радиального тока в пограничном слое не равна нулю, а изменяется в соответствии с (7) и зависимостью $v_{\varphi }^{{}}\left( z \right)$. Выполнение неразрывности тока связано с его замыканием через внешнюю цепь [19].

Используя (1), (6)–(8), запишем уравнения пограничного слоя для безграничного диска в проекции на оси r и φ для сжимаемого проводящего газа

где ${{v}_{z}}$ – осевая компонента скорости. Поскольку уравнения (9), (10) записаны без учета влияния сжимаемости на вязкие силы в дальнейшем ограничимся случаем умеренных градиентов плотности.

Система (9)–(11) не содержит уравнения движения в проекции на ось z, так как последнее служит лишь для определения зависимости давления от осевой координаты [16, 20].

В случае независимости плотности от радиуса ($\rho (r) = {\text{const}}$) нелинейные уравнения пограничного слоя допускают известное автомодельное решение, в котором толщина пограничного слоя не зависит от радиальной координаты [21, 22] (рис. 2а). В случае $\rho (r) \ne {\text{const}}$ задача усложняется.

В общем случае скоростей вращения газа, сравнимых со скоростью звука, имеет место перераспределение плотности по радиусу, определяемое в случае совершенного газа как

где $\rho {\kern 1pt} *$ – плотность на оси, $\alpha = \frac{{\mu \omega _{1}^{2}{{R}^{2}}}}{{2\Re T}}$ – параметр сжимаемости, μ – молекулярный вес, $y = \frac{r}{R}$, $\Re $ – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. В этом случае автомодельное решение МГД-уравнений отсутствует. Предпримем попытку найти решение задачи, максимально приближенное к действительности. Для этого аппроксимируем реальное распределение плотности степенной функцией где ${{r}_{0}} = \sqrt {\eta {\text{/}}{{\rho }_{0}}{{\omega }_{0}}} $; ${{\rho }_{0}}$ – постоянная; p – параметр, характеризующий радиальный градиент плотности. Найдем приближенное соотношение между α и p из условия равенства плотностей ${{\rho }_{1}}$ на боковой стенке при $r = R$ в случае обоих распределений.

Введем плотность наполнения $\left\langle \rho \right\rangle $, определяемую из условия

где L – высота столба газа.

Тогда из реального распределения (12) имеем

Аналогично из модельного распределения (13) получим

Приравнивая плотности из (15) и (16), найдем

Связь между α и p позволяет, например, определить, что при $\alpha = 2$ параметр $p = 2.62$, а при $\alpha = 3$ величина $p$ = 4.31. На рис. 3а и 3б приведены зависимости плотности от безразмерного радиуса y для этих двух случаев соответственно. Отметим, что наибольшее расхождение точных и модельных кривых распределения плотности имеет место при малых радиусах, которые, как показано ниже, вносят наименьший вклад в раскручивающее или тормозящее воздействие диска в силу заметной зависимости от r момента вязких сил.

Предположим, что проводимость плазмы изменяется с радиальной координатой по следующему закону

В этом случае возможно получение автомодельного решения системы (9)–(11). В конце статьи мы обсудим влияние возможных отклонений от зависимости (18) для реальной газоразрядной плазмы.

Введем следующие преобразования

которые сводят систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений где $S = {{{{\sigma }_{0}}{{B}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{0}}{{B}^{2}}} {{{\rho }_{0}}{{\omega }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{0}}{{\omega }_{0}}}}$ – магнитный параметр, а штрих означает дифференцирование по переменной $\xi $. Следует отметить, что аналитическое решение данной системы уравнений отсутствует даже при $p = 0$ и $S = 0$. Поэтому в целях демонстрации метода найдем решение системы в приближении Слезкина–Тарга [23]. Усредним левые части в уравнениях (20), (21) по толщине пограничного слоя с учетом уравнения неразрывности (22), а также граничных условий для радиальной и азимутальной компонент скорости где ${{\xi }_{1}} = \frac{{{{\delta }_{1}}}}{{{{r}_{0}}}}{{\left( {\frac{r}{{{{r}_{0}}}}} \right)}^{{\frac{p}{2}}}}$, ${{\delta }_{1}}$ – зависящая от радиальной координаты размерная толщина пограничного слоя. Используя (20), (21), получим

Интегрируя (26), (27) с учетом граничных условий (23), получим

При этом (24), (25) сводятся к соотношениям

где $Z = {\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{\xi }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\xi }_{1}}}}$.

Отметим, что в отличие от случая пренебрежения зависимостью плотности среды от радиальной координаты (${{\delta }_{1}} = {\text{const}}$), когда толщина пограничного слоя не зависит от r ((рис. 2), пунктирная кривая), в рассматриваемом случае ${{\delta }_{1}} \approx \gamma {{r}^{{ - p/2}}}$, где γ – постоянная, подлежащая определению. На рис. 2а сплошной линией качественно проиллюстрирована зависимость толщины пограничного слоя от радиуса ${{\delta }_{1}}\left( r \right)$.

Интегрируя (31), (32) с учетом (28), (29) найдем

При $S = 0$ решение системы (33), (34) совпадает с известными решениями, полученными методом Слезкина–Тарга в работах [21–23].

На рис. 4 и 5 приведены зависимости безразмерной толщины пограничного слоя ${{\xi }_{1}}$ на вращающемся диске и величины A, характеризующей интенсивность радиального потока в пограничном слое, от параметра p в случае $S = 0.5$ для значений m меньших и больших 1. Обращает на себя тот факт, что толщина пограничного слоя больше при меньших значениях параметра m. Это явление обусловлено несимметричным действием нелинейных инерционных членов в уравнении движения в проекции на ось r. При m < 1 осевой поток направлен к диску, а при m > 1 – в противоположном направлении.

Вычислим модуль момента сил сопротивления, действующих на одну сторону диска с радиусом R. Отметим, что величина момента изменяет знак в зависимости от того, вращается среда быстрее или медленнее диска

Так как толщина пограничного слоя падает с уменьшением радиуса диска R, осевой градиент азимутальной скорости увеличивается с возрастанием R и, следовательно, момент сил трения при p, отличном от нуля, должен возрастать быстрее, чем ${{R}^{4}}$. Используя (29) и (35), в общем случае получим

Коэффициент сопротивления определим как

где $\left\langle \nu \right\rangle = \eta {\text{/}}\left\langle \rho \right\rangle $.

Используя (36), (37), получим

На рис. 6 приведена зависимость величины ${{С}_{M}}$ от параметра p.

Как видно из результатов расчета, увеличение радиального градиента плотности приводит к заметному возрастанию азимутальных сил трения в пограничном слое.

Предполагая осевую симметрию течения для потока подсоса к нижнему диску ${{Q}_{0}} = \int_0^R {\rho {{v}_{z}}} 2\pi rdr$, имеем

Введем безразмерный осевой поток

На рис. 7 приведены результаты расчета безразмерного осевого потока плазмы в зависимости от параметра m при $p = 2$ и $S = 0$. При m > 1 поток положителен, так как имеет место отток плазмы от поверхности диска. При m < 1 наблюдается приток, вызванный радиальным переносом к периферии вследствие преобладания центробежной силы над радиальным градиентом давления.

На рис. 8 представлена зависимость осевого потока от магнитного поля при различных значениях параметра p в условиях преобладания центробежных сил над градиентом давления (m < 1, q < 0). Замедление вторичного течения связано с действием электромагнитной силы Ампера при радиальном течении плазмы поперек осевого магнитного поля. С увеличением радиального градиента плотности скорость циркуляции уменьшается, что связано с возрастанием радиальных вязких сил в пограничном слое. Оценим величину осевого подсоса к вращающемуся диску для ксеноновой слабоионизованной плазмы при следующих параметрах: $m = 0.6,$ $S = 0.5,$ $p = 2$. Положим среднюю массовую плотность $\left\langle \rho \right\rangle $ = = 0.2 кг/м³, температуру нейтралов ${{T}_{n}} = 1000$ К, радиус $R = 0.5$ м. Учитывая, что при этих параметрах расчетные величины равны ${{\xi }_{1}} = 2.141,$ $А = - 0.145$, $\left| q \right| = 0.448$, получим для потока $Q = 5 \times {{10}^{{ - 2}}}$ кг/c.

Оценим справедливость при данных условияx однокомпонентного гидродинамического приближения в случае плазмы $Хe$. Полагая электронную температуру ${{T}_{e}} = 5$ эВ, степень ионизации 1% и принимая, согласно [24] эффективное поперечное сечение упругого рассеяния электронов на нейтральных частицах ${{\sigma }_{{en}}} \approx 3 \times {{10}^{{ - 19}}}$ м² , кулоновское сечение электрон-ионного взаимодействия ${{\sigma }_{{ei}}} \approx 3 \times {{10}^{{ - 18}}}$ м² , магнитную индукцию внешнего поля $B = 0.1$ Тл, получим для параметра замагниченности электронов ${{\beta }_{e}} \approx 3 \times {{10}^{{ - 2}}}$.

Отметим, что при больших магнитных полях интенсивность вторичных МГД-потоков во внешнем осевом магнитном поле существенно уменьшается и можно пренебречь в уравнениях движения нелинейными инерционными силами, зависящими от радиальной скорости [25]. Решение задачи в случае больших S при граничных условиях

имеет вид

Уменьшение скорости радиального потока с возрастанием магнитного поля связано с эффектом Гартмана, приводящим к изменению профилей электромагнитных сил в пограничном слое.

Сравним производную $\frac{{dg}}{{d\xi }}(0)$, которая характеризует силу вязкого трения на поверхности диска при $S = 8$ и $m = 0.6$ в случае точного и приближенного решений. Из (43) получим $\frac{{dg}}{{d\xi }}(0) = 1.13$. Результат расчета с учетом приближенной формулы (29) дает $\frac{{dg}}{{d\xi }}(0) = 0.93$.

Отметим, что справедливость соотношения для зависимости проводимости реальной газоразрядной плазмы от радиальной и осевой координат (13), без использования которой нельзя получить автомодельное решение, требует более серьезного рассмотрения. Представляется, что отклонение от зависимости (18) в сторону уменьшения показателя степени в реальной газоразрядной плазме приведет к некоторому увеличению радиального течения в пограничном слое в силу уменьшения момента эффективной тормозящей электромагнитной силы ${{F}_{r}} = {{j}_{\varphi }}{{B}_{z}} = \sigma {{v}_{r}}B_{z}^{2}$ при больших r, но слабо повлияет на полный момент сил вязкого трения на диске, поскольку последний пропорционален ${{r}^{{4 + p/2}}}$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе автомодельного преобразования и метода Слезкина–Тарга в рамках уравнений магнитной гидродинамики выполнен расчет пограничного слоя сжимаемого плазменного потока над вращающимся с угловой скоростью диэлектрическим диском при наличии внешнего квазитвердого потока и осевого магнитного поля. Определена зависимость сил сопротивления, действующих на протяженный диск, от значений параметра сжимаемости p, отношения угловых скоростей внешнего потока $m = {{{{\omega }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{1}}} {{{\omega }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{0}}}}$ и магнитного параметра S. Показано, что увеличение радиального сжатия плазмы приводит к возрастанию действующего на диск момента сил сопротивления вязкого потока. Как следует из результатов расчета, увеличение магнитного поля приводит к замедлению радиального течения вблизи диска независимо от соотношения между ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{0}}$. С точки зрения применимости используемой при получении автомодельного решения степенной зависимости проводимости от радиальной координаты отметим, что отклонение от нее в сторону уменьшения показателя степени в реальной газоразрядной плазме приведет к некоторому увеличению радиального течения в пограничном слое в силу уменьшения момента эффективной тормозящей электромагнитной силы при больших r, но слабо повлияет на полный момент сил вязкого трения на диске.