Физика плазмы, 2022, T. 48, № 10, стр. 910-913

Пылевые ионизационные и пылевые акустические волны в газовом разряде постоянного тока при низком давлении в условиях микрогравитации

Д. И. Жуховицкий^a, *

^a Объединенный институт высоких температур РАН
Москва, Россия

Поступила в редакцию 07.06.2022
После доработки 01.07.2022
Принята к публикации 01.07.2022

EDN: XYIOCK
DOI: 10.31857/S0367292122600650

Аннотация

Предложена единая теория пылевых ионизационных волн (ПИВ), обнаруженных в недавнем эксперименте, и пылевых акустических волн (ПАВ). ПИВ возникают из-за осцилляций скорости электронно-ионной рекомбинации на поверхности пылевых частиц. Теоретический подход основан на уравнениях движения и непрерывности для пылевых частиц, уравнении баланса для холодных ионов, распределении Больцмана для горячих электронов и уравнении Пуассона. Получено единое дисперсионное соотношение, позволяющее интерпретировать закономерности ПИВ и ПАВ, наблюдаемые экспериментально.

Ключевые слова: пылевые ионизационные волны, пылевые акустические волны, закон дисперсии, микрогравитация, комплексная плазма

1. ВВЕДЕНИЕ

Низкотемпературную плазму, содержащую микрочастицы с размером от долей микрона до сотен микрон, называют комплексной плазмой. Различные реализации комплексной плазмы можно встретить в лабораторных установках, технологических приложениях и астрофизике [1, 2]. Микрочастицы могут образовывать протяженные облака с упорядоченной структурой, аналогичной присутствующей в жидкости или в твердом теле [3–5]. Облака микрочастиц могут быть достаточно однородными в условиях микрогравитации, которых можно достичь на борту Международной космической станции (МКС) [6, 7].

Колебания с участием микрочастиц имеют частоты до десятков герц. Пылевые акустические волны (ПАВ) рассматривались в первом теоретическом исследовании [8], а затем в [9]. Недавно сообщалось об открытии пылевых ионизационных волн (ПИВ) на установке ПК-4 на борту МКС [10]. В этом эксперименте микрочастицы инжектировались в разряд аргона или неона низкого давления постоянного тока с переключением полярности. Эти частицы образовывали облако, вытянутое в направлении оси разрядной трубки. Бегущие волны ПИВ возбуждались в этом облаке осциллирующим полем специального электрода. Фазовая скорость ПИВ оказалась очень высокой по сравнению со скоростью ПАВ, а волновое число практически не зависело от частоты. Целью данной работы является демонстрация того, что ПИВ и ПАВ являются длинноволновыми и коротковолновыми пределами осцилляций с участием микрочастиц. С этой целью находится точное решение линеаризованных уравнений гидродинамического приближения [11]. Полученное решение определяет единое дисперсионное соотношение для ПИВ и ПАВ.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в бесконечном слабонеоднородном облаке микрочастиц в газовом разряде низкого давления постоянного тока. Предположим, что микрочастицы определяют скорость рекомбинации. Тогда полная система уравнений для ПИВ включает уравнение импульса

(1)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - \frac{{c_{a}^{2}}}{{{{n}_{d}}}}\frac{{\partial {{n}_{d}}}}{{\partial x}} + \frac{{Ze}}{M}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} - \nu u + A\frac{{n_{d}^{'}}}{{{{n}_{{d0}}}}},$

где u – поле скоростей частиц; ${{c}_{a}}$ – скорость ПАВ; ${{n}_{d}}$ – концентрация микрочастиц; Z – заряд частицы в единицах заряда электрона $ - e$; φ – потенциал электрического поля ПИВ; M – масса микрочастицы, $\nu = \left( {8\sqrt {2\pi } {\text{/}}3} \right)\delta {{m}_{a}}{{n}_{a}}{{v}_{{{{T}_{a}}}}}{{a}^{2}}{\text{/}}M$ – обратное время торможения частицы в газе [12], $\delta \simeq 1.4$ – коэффициент аккомодации, соответствующий случаю диффузного отражения нейтралов от поверхности микрочастиц при сохранении модуля скорости; ${{m}_{a}}$ – масса молекулы газа; ${{n}_{a}}$ и ${{v}_{{{{T}_{a}}}}} = ({{T}_{a}}{\text{/}}{{m}_{a}}{{)}^{{1{\text{/}}2}}}$ – плотность и тепловая скорость молекул газа соответственно, ${{T}_{a}} = 300$ K – температура газа; a – радиус микрочастицы. Первое слагаемое справа соответствует уравнению состояния пылевого облака с постоянной скоростью ПАВ, значения которой, как правило, находятся в пределах от 2 до 3 см/с. В последнем члене в правой части уравнения (1), который учитывает действующие на микрочастицу силу ионного увлечения и силу со стороны амбиполярного поля, $n_{d}^{'} = {{n}_{d}} - {{n}_{{d0}}}$ представляет собой отклонение концентрации микрочастиц от ее стационарного значения ${{n}_{{d0}}}$, а A – коэффициент неустойчивости. Параметр A пропорционален градиенту концентрации частиц, поэтому он может быть как положительным, так и отрицательным. Анализ дисперсионного соотношения для ПАВ показывает, что амплитуда ПАВ увеличивается в случае распространения волны в направлении градиента концентрации частиц [13]. В уравнении (1) не учитывается изменение силы ионного увлечения, связанное с появлением поля волны $ - \partial \varphi {\text{/}}\partial x$. Это допустимо, если данное поле много меньше амбиполярного поля, когда изменение силы ионного увлечения оказывается величиной второго порядка малости.

Другие уравнения представляют собой уравнение баланса микрочастиц

(2)

$\frac{{\partial {{n}_{d}}}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}(u{{n}_{d}}) = 0,$

уравнение Больцмана для электронов

(3)

$\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = \frac{{{{T}_{e}}}}{{e{{n}_{e}}}}\frac{{\partial {{n}_{e}}}}{{\partial x}},$

где ${{n}_{e}}$ – концентрация электронов и уравнение баланса для ионов

(4)

$\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {D\frac{{{{T}_{e}}}}{{{{T}_{i}}}}\frac{{{{n}_{i}}}}{{{{n}_{e}}}}\frac{{\partial {{n}_{e}}}}{{\partial x}} + D\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial x}}} \right) = R{{n}_{i}}{{n}_{d}} - K{{n}_{e}}{{n}_{a}},$

где D – коэффициент диффузии ионов в газе нейтралов, R – коэффициент рекомбинации на поверхности микрочастиц, K – коэффициент ионизации электронным ударом. Уравнение (4) получено с использованием соотношения Эйнштейна между коэффициентом диффузии и подвижностью. Первое слагаемое в левой части учитывает дрейф ионов в электрическом поле, а второе – их диффузию в плазмообразующем газе. Данные уравнения дополняются уравнением Пуассона

(5)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = 4\pi e(Z{{n}_{d}} + {{n}_{e}} - {{n}_{i}}),$

из которого следует, что при выполнении условия ${{r}_{{De}}}{{k}_{d}} \ll 1$, где $r_{{De}}^{2} = {{T}_{e}}{\text{/}}4\pi {{n}_{{e0}}}{{e}^{2}}$ – электронный дебаевский радиус, ${{k}_{d}}$ – характерное для ПИВ волновое число, можно использовать условие локальной квазинейтральности $Z{{n}_{d}} + {{n}_{e}} = {{n}_{i}}$.

Из линеаризованных уравнений (1)–(5) можно получить волновое уравнение, предполагающее постоянство всех входящих в него коэффициентов,

(6)

$\begin{gathered} k_{d}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}n_{e}^{'}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{d}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}n_{e}^{'}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{4}}n_{e}^{'}}}{{\partial {{t}^{2}}\partial {{x}^{2}}}} + vk_{d}^{2}\frac{{\partial n_{e}^{'}}}{{\partial t}} + v\frac{{{{\partial }^{3}}n_{e}^{'}}}{{\partial t\partial {{x}^{2}}}} + \\ \, + Ak_{d}^{2}\frac{{\partial n_{e}^{'}}}{{\partial x}} + A\frac{{{{\partial }^{3}}n_{e}^{'}}}{{\partial {{x}^{3}}}} - \omega _{a}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}n_{e}^{'}}}{{\partial {{x}^{2}}}} - c_{a}^{2}\frac{{{{\partial }^{4}}n_{e}^{'}}}{{\partial {{x}^{4}}}} = 0, \\ \end{gathered} $

где $v_{d}^{2} = {{T}_{e}}{\text{/}}M$, $n_{{e,i}}^{'} = {{n}_{{e,i}}} - {{n}_{{e0,i0}}}$ – отклонения концентраций электронов и ионов от их стационарных значений ${{n}_{{e0}}}$ и ${{n}_{{i0}}}$ соответственно,

(7)

$k_{d}^{2} = \frac{H}{{1 + H}}\frac{{{{T}_{i}}}}{{{{T}_{e}}}}\frac{{R{{n}_{{d0}}}}}{D},$

(8)

$\omega _{d}^{2} = Zv_{d}^{2}\frac{{1 + 2H}}{{1 + H}}\frac{{{{T}_{i}}}}{{{{T}_{e}}}}\frac{{R{{n}_{{d0}}}}}{D},$

– масштабы, обратные длине волны и периоду ПИВ, $H = Z{{n}_{{d0}}}{\text{/}}{{n}_{{e0}}}$ и ${{\omega }_{a}} = {{c}_{a}}{{k}_{d}}$. Характерный масштаб скорости ПИВ есть ${{c}_{d}} = {{\omega }_{d}}{\text{/}}{{k}_{d}}$,

(9)

$c_{d}^{2} = Zv_{d}^{2}\frac{{1 + 2H}}{H}.$

Уравнение (6) имеет решение $n_{e}^{'} \sim {{e}^{{i(\omega t - kx)}}}$ при выполнении следующего дисперсионного соотношения [11]:

(10)

${{\tilde {\omega }}^{2}} - i2\tilde {v}\tilde {\omega } - {{q}^{2}} + i2\beta \tilde {k} = 0,$

где

(11)

${{q}^{2}} = {{\alpha }^{2}}{{\tilde {k}}^{2}} + 1 + \frac{1}{{{{{\tilde {k}}}^{2}} - 1}},$

$\tilde {k} = k{\text{/}}{{k}_{d}}$, $\tilde {\omega } = \omega {\text{/}}{{\omega }_{d}}$, $\alpha = {{\omega }_{a}}{\text{/}}{{\omega }_{d}} = {{c}_{a}}{\text{/}}{{c}_{d}}$, $\tilde {v} = v{\text{/}}2{{\omega }_{d}}$, и коэффициент неустойчивости $\beta = A{\text{/}}2{{c}_{d}}{{\omega }_{d}}$ – безразмерные параметры.

Из уравнения (10) зависимость $\tilde {\omega }(\tilde {k})$ можно записать явно в виде $\tilde {\omega } = \omega _{{}}^{'} + i\omega _{{}}^{{''}}$, где

(12)

$\omega _{{}}^{'} \simeq \sqrt {{{q}^{2}} - {{{\tilde {v}}}^{2}}} $

(13)

$\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \simeq \tilde {v} - \frac{{\beta \tilde {k}}}{{\sqrt {{{q}^{2}} - {{{\tilde {v}}}^{2}}} }}.$

Из (12) фазовая скорость равна

(14)

${{c}_{{{\text{ph}}}}} = {{c}_{d}}\frac{{\omega {\kern 1pt} '}}{{\tilde {k}}} = {{c}_{d}}\sqrt {{{\alpha }^{2}} + \frac{{1 - {{{\tilde {v}}}^{2}}}}{{{{{\tilde {k}}}^{2}}}} + \frac{1}{{{{{\tilde {k}}}^{2}}({{{\tilde {k}}}^{2}} + 1)}}} ,$

а групповая скорость может быть выражена как

(15)

${{c}_{{{\text{gr}}}}} = {{c}_{d}}\frac{{d\omega {\kern 1pt} '}}{{d\tilde {k}}} = \frac{{c_{d}^{2}}}{{{{c}_{{{\text{ph}}}}}}}\left[ {{{\alpha }^{2}} - \frac{1}{{{{{({{{\tilde {k}}}^{2}} - 1)}}^{2}}}}} \right].$

Поскольку ${{c}_{{{\text{gr}}}}}$ обращается в нуль для волнового числа $\tilde {k} = {{\tilde {k}}_{0}} = \sqrt {1 + {{\alpha }^{{ - 1}}}} $, минимальная частота $\omega _{{\min }}^{'}$, при которой возможно распространение волны, есть

(16)

$\omega _{{\min }}^{'} = \sqrt {{{{(1 + \alpha )}}^{2}} - {{{\tilde {v}}}^{2}}} = \sqrt {{{\alpha }^{2}}\tilde {k}_{0}^{4} - {{{\tilde {v}}}^{2}}} .$

На рис. 1 показаны зависимости волнового числа от действительной части частоты в безразмерных переменных для разных α и фиксированной $\tilde {v}$. Как видно, единое дисперсионное соотношение имеет гиперболический вид с асимптотами $\tilde {k} = 1$ и $\tilde {k} = \omega {\kern 1pt} '{\text{/}}\alpha $ при $\omega \to \infty $. Первая асимптота соответствует режиму ПИВ, вторая – ПАВ. Линия минимума соединяет точки минимально допустимых $\omega {\kern 1pt} '$ и соответствующих им волновых чисел $\tilde {k} = {{\tilde {k}}_{0}}$.

Рис. 1.

Единое дисперсионное соотношение для ПИВ и ПАВ (12) в безразмерных величинах для различных $\alpha $. Ветви ПИВ и ПАВ обозначены разными линиями. Пунктиром показана высокочастотная асимптотика ПАВ $\tilde {k} = \omega {\kern 1pt} '{\text{/}}\alpha $, а штрихпунктирной линией, разделяющей ветви ПИВ и ПАВ, соединены точки минимумов $\omega {\kern 1pt} '$ при различных α и фиксированном ${{\tilde {\nu }}^{2}} = 0.33$.

3. ОБСУЖДЕНИЕ

Для оценки параметров ПИВ ${{k}_{d}}$ (7) и ${{\omega }_{d}}$ (8) достаточно вычислить $R{{n}_{{d0}}}$. Поскольку $R{{n}_{{i0}}}$ – скорость рекомбинации на одной микрочастице, поток электронов на микрочастицу можно аппроксимировать выражением $\sqrt {8\pi } {{n}_{{e0}}}{{v}_{{Te}}}{{a}^{2}}{{e}^{{ - \Phi }}}$, где ${{v}_{{Te}}} = \sqrt {{{T}_{e}}{\text{/}}{{m}_{e}}} $ . Поэтому

(17)

$R{{n}_{{d0}}} = \sqrt {8\pi } \frac{{{{v}_{{Te}}}{{n}_{{d0}}}{{a}^{2}}}}{{1 + H}}{{e}^{{ - \Phi }}}.$

Коэффициент диффузии ионов, необходимый для расчета параметров ${{k}_{d}}$ и ${{\omega }_{d}}$, оценивается как $D = \sqrt {8{\text{/}}9\pi } {{v}_{{Ti}}}{\text{/}}{{n}_{a}}{{\sigma }_{{ia}}}$, где ${{v}_{{Ti}}} = ({{T}_{i}}{\text{/}}{{m}_{i}}{{)}^{{1{\text{/}}2}}}$ – тепловая скорость ионов; ${{T}_{i}} = {{T}_{a}}$ и ${{m}_{i}}$ – температура и масса иона соответственно; ${{n}_{a}} = {{p}_{{{\text{gas}}}}}{\text{/}}{{T}_{a}}$; ${{p}_{{{\text{gas}}}}} = $ = 11.5 Па и ${{T}_{a}}$ – давление и температура атомов аргона соответственно; ${{\sigma }_{{ia}}} \simeq 2 \times {{10}^{{ - 14}}}$ см² – сечение столкновения иона с атомом аргона. В условиях эксперимента [10], для которых характерны значения параметров ${{n}_{{i0}}}{{ = 10}^{8}}$ см^–3, ${{n}_{{d0}}} = 7 \times $ × 10⁴ см^–3, $2a = 3.38 \times {{10}^{{ - 4}}}$ см, ${{T}_{e}} = 3$ эВ, и ${{T}_{a}} = $ = 300 К, получаем ${{\omega }_{d}}{\text{/}}2\pi = 6.27$ Гц, $\omega _{{\min }}^{'}{\text{/}}2\pi = $ = 6.08 Гц, ${{k}_{d}} = 2.02$ см^–1, ${{c}_{d}} = 19.5$ см/с и ${{\tilde {\nu }}^{2}} = $ = 0.276. Несмотря на некоторый сдвиг частоты отсечки, теория и эксперимент демонстрируют удовлетворительное качественное и количественное соответствие.

Для режимов ПИВ и ПАВ длина затухания может быть оценена как $\delta l = {{c}_{{{\text{ph}}}}}{\text{/}}{{\omega }_{d}}\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$. Для ПИВ ${{c}_{{{\text{ph}}}}} \simeq \omega {\text{/}}{{k}_{d}}$, а из уравнения (13) ${{\omega }_{d}}\omega {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \simeq \nu {\text{/}}2$. Следовательно, $\delta l = 2\omega {\text{/}}\nu {{k}_{d}} \to \infty $ при $\omega \to \infty $. Таким образом, $\delta l = 2{{c}_{d}}{\text{/}}\nu \simeq 1$ см, что достаточно велико. Для ПАВ, напротив, ${{c}_{{{\text{ph}}}}} \simeq {{c}_{a}}$, ${{\omega }_{d}}\omega _{{}}^{{''}} \simeq \nu {\text{/}}2 - $ $ - \;\beta {{\omega }_{d}}{\text{/}}\alpha $, и длина затухания $\delta l \simeq 2{{c}_{a}}{\text{/}}\nu \simeq 0.1$ см становится очень малой. Таким образом, можно заключить, что возбуждение ПИВ возможно, но самовозбуждение ПИВ невозможно. В то же время, при надлежащих условиях ПАВ могут самовозбуждаться, но невозможно возбудить протяженные ПАВ.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе предлагается теоретическая интерпретация ПИВ, экспериментально наблюдавшихся на установке ПК-4 на борту МКС. Использовано одномерное гидродинамическое приближение для протяженного облака микрочастиц, образующегося в разряде постоянного тока при низком давлении аргона. Решение линеаризованных уравнений дает единое дисперсионное соотношение для ПИВ и ПАВ. Его важным свойством является существование некоторой граничной частоты $\omega _{{\min }}^{'}$, ниже которой распространение волны невозможно и которая является точкой слияния мод.

Показано, что затухание ПИВ определяется только трением микрочастиц о нейтралы, и самовозбуждение ПИВ невозможно. Однако из-за высокой фазовой скорости длина затухания ПИВ достаточно велика, в отличие от ПАВ. Оценки, выполненные для экспериментальных условий [10], демонстрируют соответствие теории и эксперимента.

Список литературы

Complex and Dusty Plasmas: From Laboratory to Space. Series in Plasma Physics / Eds. V.E. Fortov and G.E. Morfill. CRC Press: Boca Raton, FL, 2010.
Goertz C.K. // Rev. Geophys. 1989. V. 27. P. 271. https://doi.org/10.1029/RG027i002p00271
Chu J.H., Lin I. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 4009. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.4009
Thomas H., Morfill G.E., Demmel V., Goree J., Feuerbacher B., Möhlmann D. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 652. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.73.652
Hayashi Y., Tashibana S. // Jpn. J. Appl. Phys. 1994. V. 33. P. L804. https://doi.org/10.1143/JJAP.33.L804
Morfill G.E., Thomas H.M., Konopka U., Rothermel H., Zuzic M., Ivlev A., Goree J. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 1598. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.83.1598
Schwabe M., Zhdanov S.K., Thomas H.M., Ivlev A.V., Rubin-Zuzic M., Morfill G.E., Molotkov V.I., Lipa-ev A.M., Fortov V.E., Reiter T. // New J. Phys. 2008. V. 10. P. 033037. https://doi.org/10.1088/1367-2630/10/3/033037
Rao N.N., Shukla P.K., Yu M.Y. // Planet. Space Sci. 1990. V. 38. P. 543. https://doi.org/10.1016/0032-0633(90)90147-I
D’Angelo N. // J. Phys. D: Appl. Phys. 1995. V. 28. P. 1009. https://doi.org/10.1088/0022-3727/28/5/024
Naumkin V.N., Zhukhovitskii D.I., Lipaev A.M., Zob-nin A.V., Usachev A.D., Petrov O.F., Thomas H.M., Thoma M.H. // Phys. Plasmas. 2021. V. 28. P. 103704. https://doi.org/10.1063/5.0064497
Zhukhovitskii D.I. // Phys. Plasmas. 2022. V. 29. P. 073701. https://doi.org/10.1063/5.0094038
Epstein P. // Phys. Rev. 1924. V. 23. P. 710. https://doi.org/10.1103/PhysRev.23.710
Zhukhovitskii D.I. // Phys. Plasmas. 2021. V. 28. P. 073701. https://doi.org/10.1063/5.0053178

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Физика плазмы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал