Физика плазмы, 2023, T. 49, № 2, стр. 175-185

1. ВВЕДЕНИЕ

Наиболее полная информация, необходимая для описания плазменных процессов может быть получена из функции распределения электронов (ФРЭ), которая рассчитывается в результате решения кинетического уравнения (КУ) [1] или методом Монте-Карло (МК) [2]. Однако численное моделирование непосредственно на основе КУ или метода МК требует больших вычислительных ресурсов. Эффективнее моделирование в приближении сплошной среды на основе системы уравнений для моментов ФРЭ [3]. Чаще всего при моделировании газовых разрядов транспорт электронов рассчитывается на основе уравнения баланса концентрации электронов в рамках диффузионно-дрейфового приближения. Недостатком данного подхода является неспособность описать энергетическое распределение электронов, в том числе кинетику убегающих электронов. Кроме того в сильных электрических полях диффузионно-дрейфовое приближение для концентрации электронов становится неприменимым в связи с появлением большого числа быстрых электронов. Так результаты МК-расчетов развития в однородном электрическом поле лавины электронов показывают, что в гелии диффузионно-дрейфовое приближение для концентрации электронов становится неприменимым в полях больших ≈150–200 Тд [4].

С целью сокращения требования к вычислительным ресурсам, с одной стороны, и необходимостью учета кинетики быстрых электронов, с другой стороны, развиваются гибридные модели расчета транспорта электронов в газах [5–9]. Наиболее приближенной к КУ является модель с многогрупповым описанием кинетики электронов на основе гидродинамических уравнений для моментов ФРЭ [10]. В [10] получена система многогрупповых уравнений для трех первых моментов функции распределения релятивистских электронов, т.е. электронов с энергией большей порядка 10 кэВ. Система включает уравнения баланса концентрации, уравнения движения и уравнения баланса полной релятивистской энергии. Как показывают результаты численных расчетов, многогрупповая модель с хорошей точностью описывает пространственное и энергетическое распределение релятивистских электронов [11, 12].

Цель данной работы – расширить область применимости многогрупповой модели. Используя дифференциальное разложение интеграла упругих столкновений электронов, полученное в [13], и процедуру, развитую в [10], в данной работе выполнен вывод системы многогрупповых уравнений, которая справедлива начиная с энергий электрона ~100 эВ. Система включает уравнения баланса концентрации, плотности потока и плотности потока импульса электронов.

2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Здесь будем рассматривать случай слабоионизованного газа, когда столкновениями электронов друг с другом и с ионами можно пренебречь. Учитываются только упругие и неупругие столкновения электронов с нейтральными атомами или молекулами газа. Кроме того полагается, что плазма однородна в направлении перпендикулярном относительно вектора напряженности внешнего электрического поля E. Это значит, что ФРЭ в пространстве импульсов зависит только от модуля импульса электрона p, косинуса μ угла θ между вектором импульса p и единичным вектором в направлении электрической силы e = –E/E и не зависит от азимутального угла φ. Направим ось OZ в координатном пространстве вдоль вектора e, в этом случае ФРЕ будет зависеть только от переменных $(z,p,\mu ,t)$ и ее эволюция будет подчиняться кинетическому уравнению:

где q_e – заряд электрона, ${\text{S}}{{{\text{t}}}_{{{\text{el}}}}}{\text{,}}\;{\text{S}}{{{\text{t}}}_{{{\text{ex}}}}},\;{\text{S}}{{{\text{t}}}_{{{\text{ion}}}}}$ компоненты интеграла столкновений электронов, отвечающие за изменение ФРЭ в упругих столкновениях, в процессах возбуждения и ионизации атомов или молекул соответственно.

Далее для упрощения выкладок мы будем рассматривать однокомпонентный газ, хотя предложенная модель может быть легко обобщена на случай многокомпонентных систем. Кроме того полагается, что кинетическая энергия электронов много больше энергии теплового движения атомов (молекул) и последние можно считать неподвижными. В этом случае интеграл упругих столкновений имеет следующий вид [14, 15]:

где N₀ – концентрация атомов, σ_el – дифференциальное сечение упругого рассеяния, dω' – элемент телесного угла в пространстве импульсов, ψ – угол рассеяния. В дальнейших наших вычислениях мы будем использовать дифференциальное разложение интеграла упругих столкновений St_el, полученное в [13] где M – масса атома; $\sigma _{{tr}}^{{(l)}}(p)\;\; \equiv \;\;2\pi \;\; \times $ $ \times \;\int_{ - 1}^1 {{{{(1 - \xi )}}^{l}}{{\sigma }_{{el}}}(p,\xi )} d\xi $, $\xi = \cos \psi $.

Рассмотрим теперь интеграл, отвечающий за возбуждения электронных уровней атома [14, 15]

здесь суммирование ведется по всем уровням возбуждения, $\sigma _{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}$– дифференциальное сечение возбуждения уровня i с энергией $\varepsilon _{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}$ и $p{\kern 1pt} ' = p + \varepsilon _{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}{\text{/}}v$. Предположим теперь, что электрон в процессе возбуждения атома не меняет направление своего движения. Это упрощение не существенно, поскольку в большинстве газов угловое распределение электронов в основном определяется упругим рассеянием. Таким образом, полагая в (4) $\sigma _{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}(p,\psi ) = q_{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}(p)\,{{\delta }}(\psi )$, где $q_{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}(p)$ – полное сечение возбуждения, получаем

Далее мы будем рассматривать область энергий электрона $\varepsilon \gg \max \left\{ {\varepsilon _{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}} \right\}$, в этом случае можно разложить (5) в ряд по степеням величины ${{\Delta }}p = \varepsilon _{{{\text{ex}}}}^{{(i)}}{\text{/}}{v}$ и в первом приближении получим для St_ex следующее дифференциальное выражение:

В предположении, что процесс ионизации можно рассматривать как рассеяние электрона на свободном электроне в [14], получено следующее выражение для ионизационного интеграла:

здесь суммирование ведется по всем ионизационным оболочкам с энергией ионизации $\varepsilon _{{{\text{ion}}}}^{{(i)}}$, $\sigma _{{{\text{ion}}}}^{{(i)}}$ и $q_{{{\text{ion}}}}^{{(i)}}$ – дважды дифференциальное и полное сечение ионизации, γ – релятивистский фактор, а связь между величинами μ и μ' задается уравнением [14] где ${{\mu }_{0}} = \sqrt {\frac{{\varepsilon \left( {\varepsilon {\kern 1pt} ' + 2{{m}_{{\text{e}}}}{{c}^{2}}} \right)}}{{\varepsilon {\kern 1pt} '\left( {\varepsilon + 2{{m}_{{\text{e}}}}{{c}^{2}}} \right)}}} $– косинус угла рассеяния электрона, m_e – масса электрона, c – скорость света в вакууме. Формально выражение (7) справедливо, когда энергия первичного и вторичного электронов много больше энергии ионизации [14]. Однако, поскольку для большинства газов дважды дифференциальные по углу и энергии сечения ионизации не известны, и кроме того как говорилось выше, угловое распределение электронов в основном определяется упругим рассеянием, далее мы будем полагать, что выражение (7) справедливо во всей рассматриваемой области энергий электрона.

Ионизационный интеграл (7) также частично может быть представлен в дифференциальном виде [14]

Первый член данного выражения описывает рождение вторичных электронов, второй и третий отвечают за изменения импульса первичных электронов. Выражение (9) получено в предположении, что энергия электрона $\varepsilon \gg \varepsilon _{{{\text{ion}}}}^{{(i)}}$ и вторичные электроны в основном рождаются с энергией ε_s близкой к нулю.

Интеграл по переменной α в выражениях (7), (9) можно выразить в виде ряда, аналогичного (3)

Определим величину средних энергетических потерь электрона на единице пути F_D:

Запишем теперь кинетическое уравнение в области энергий электрона $\varepsilon \gg \varepsilon _{{{\text{ion}}}}^{{}}$ с учетом явного вида всех столкновительных членов

Отметим, что поскольку мы изначально предположили, что ФРЭ не зависит от азимутального угла φ в пространстве импульсов, то полученная далее на основе уравнения (12) система многогрупповых уравнений для моментов ФРЭ не будет описывать диффузию электронов в направлении, ортогональном вектору напряженности поля.

Для того чтобы получить систему групповых уравнений разобьем интересуемый нас интервал значений импульса $\left[ {{{p}_{{\min }}},{{p}_{{\max }}}} \right]$ на N частей ${{\Delta }}{{p}_{{{\text{k}} + 1{\text{/}}2,{\text{k}} - 1{\text{/}}2}}} = {{p}_{{{\text{k}} + 1{\text{/}}2}}} - {{p}_{{{\text{k}} - 1{\text{/}}2}}}$, k = 1, …, N.

Определим величину концентрации электронов в k-й группе

Определим величину плотности потока электронов в k-й группе

Кроме того определим величину направленной скорости электронов

Величина плотности потока импульса определяется так

Ниже в процессе вывода групповых уравнений для моментов ФРЭ будут использоваться следующие равенства

3. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА КОНЦЕНТРАЦИИ

Для того чтобы найти уравнения для величин концентрации n_k необходимо кинетическое уравнение (12) умножить на величину p² и проинтегрировать по переменным p, μ, φ на отрезках $p \in [{{p}_{{k - 1{\text{/}}2}}},{{p}_{{k + 1{\text{/}}2}}}]$, $\mu \in [ - 1,1]$ и $\varphi \in [0,2\pi ]$.

Интегрируя, таким образом, первый член в левой части кинетического уравнения, получаем

Далее интегрируем второй член

Интегрирование третьего члена дает

Интегралы от четвертого члена в левой части уравнения (12), а также первых трех членов в правой части равны нулю. Таким образом, объединяя выражения (18)–(20), получаем уравнения баланса концентрации электронов

Вычислим теперь ионизационный член $S_{{{\text{ion,k}}}}^{{}}$, для этого проинтегрируем последний член в правой части кинетического уравнения (12)

где j_k это номер интервала импульса электронов [p_{j – 1/2}, p_{j + 1/2}], в котором лежит значение p(2ε_k + ε_ion). Здесь при получении последнего равенства в (22) мы учли соотношение $d\varepsilon {\kern 1pt} ' = {v}{\kern 1pt} 'dp{\kern 1pt} '$, и что по определению ${{n}_{{\text{j}}}} \equiv 2\pi \int_{{{p}_{{{\text{j}} - {\text{1/2}}}}}}^{{{p}_{{{\text{j + 1/2}}}}}} {{{p}^{2}}dp} \int_{ - 1}^1 {f\left( {z,p,\mu ,t} \right)d} \mu $.

4. УРАВНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА

Для того чтобы найти уравнения для величин  j_k необходимо уравнение (12) умножить на величину $\mu {v}{{p}^{2}}$ и проинтегрировать по переменным p, μ, φ.

Интегрируя первый член в левой части кинетического уравнения, получаем

Далее интегрируем второй член

Интегрирование третьего члена дает

Здесь мы учли соотношение $\frac{1}{{v}}\left( {\frac{{d{v}}}{{dp}}} \right) = \frac{1}{{{{\gamma }^{2}}p}}$.

Интегрируем четвертый член уравнения

Интегрируя первый член в правой части уравнения (12) получаем

где введено обозначение $\nu _{{tr}}^{{}}(p) \equiv {{N}_{0}}{v}\sigma _{{tr}}^{{(1)}}(p)$.

Интеграл от второго члена в правой части равен нулю, а интеграл от третьего члена

здесь введено обозначение $F_{{{\text{el}}}}^{{(2)}}(p) \equiv \frac{{{{N}_{0}}{{p}^{2}}\sigma _{{tr}}^{{(2)}}(p)}}{M}$.

Объединяя выражения (23)–(28) получаем следующее уравнение для плотности потока электронов в k-й группе

Вычислим ионизационный член

При выводе данного выражения мы учли, что ${{j}_{{\text{j}}}} \equiv 2\pi \int_{{{p}_{{{\text{j}} - {\text{1/2}}}}}}^{{{p}_{{{\text{j + 1/2}}}}}} {{v}{{p}^{2}}dp} \int_{ - 1}^1 {\mu f\left( {z,p,\mu ,t} \right)d} \,\mu $.

5. УРАВНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИМПУЛЬСА

Для того чтобы найти уравнения для величин π_k необходимо кинетическое уравнение (12) умножить на величину ${{\mu }^{2}}{{{v}}^{2}}{{p}^{2}}$ и проинтегрировать.

Интегрируя первый член в левой части кинетического уравнения, получаем

Далее интегрируем второй член

Здесь мы величину ${{\left\langle {{{\mu }^{3}}} \right\rangle }_{{\text{k}}}}$, которая является моментом третьего порядка, заменили на произведение ${{\left\langle {{{\mu }^{2}}} \right\rangle }_{{\text{k}}}}{{\left\langle \mu \right\rangle }_{{\text{k}}}}$, для того чтобы разорвать цепочку уравнений моментов.

Интегрируя третий член в левой части (12), получаем

Проинтегрируем четвертый член в левой части кинетического уравнения

Теперь проинтегрируем первый и второй члены в правой части уравнения (12)

здесь введено обозначение $\nu _{{tr}}^{{(2)}}(p) \equiv {{N}_{0}}v \times $ $ \times \;\left( {\sigma _{{tr}}^{{(1)}}(p) - \frac{{\sigma _{{tr}}^{{(2)}}(p)}}{2}} \right)$.

Интегрируем четвертый член в правой части

здесь мы ввели обозначение $F_{{{\text{el}}}}^{{(3)}}(p) \equiv $ $ \equiv \frac{{{{N}_{0}}{{p}^{2}}}}{M}\left( {\sigma _{{tr}}^{{(2)}}(p) - \frac{{\sigma _{{tr}}^{{(3)}}(p)}}{2}} \right)$.

Объединяя выражения (31)–(36) получаем уравнения для плотности потока импульса

Вычислим ионизационный член

6. СИСТЕМА МНОГОГРУППОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОМЕНТОВ ФРЭ

Выпишем теперь полную систему многогрупповых уравнений для трех первых моментов ФРЭ: баланса концентрации, плотности потока и плотности потока импульса электронов

где ${{s}_{{{\text{jk}}}}} = {{N}_{0}}{{v}_{{\text{k}}}}{{\Delta }}{{p}_{{{\text{k}} + 1{\text{/}}2,{\text{k}} - 1{\text{/}}2}}}\sum\nolimits_i {\sigma _{{{\text{ion}}}}^{{(i)}}({{\varepsilon }_{{\text{j}}}},{{\varepsilon }_{{\text{k}}}})} $.

Рассмотрим также упрощенную систему групповых уравнений, состоящую только из уравнений баланса концентрации и плотности потока электронов. Для того чтобы получить данную систему предположим, что $\left\langle {{{\mu }^{2}}} \right\rangle _{{\text{k}}}^{{}} = {{\left\langle \mu \right\rangle }_{{\text{k}}}}{{\left\langle \mu \right\rangle }_{{\text{k}}}}$ или эквивалентно ${{\pi }_{{\text{k}}}} = {{\left\langle \mu \right\rangle }_{{\text{k}}}}{{{v}}_{{\text{k}}}}{{j}_{{\text{k}}}}$. Данное предположение справедливо в области больших энергий электрона, поскольку с ростом энергии угловое распределение электронов становится все более вытянутым вдоль вектора e, и следовательно для высокоэнергичных электронов будут выполняться условия $\left\langle {{{\mu }^{2}}} \right\rangle \approx 1$ и $\left\langle \mu \right\rangle \approx 1$. Упрощенная система многогрупповых уравнений имеет вид

При решении системы уравнений (39) или (40) необходимо вычислять величины n_{k – 1/2} и n_{k + 1/2}, для этого используется следующая процедура

Аналогично рассчитываются величины j_k – 1/2, j_k + 1/2 и π_{k – 1/2,} π_{k + 1/2}. Величина ${{\left\langle \mu \right\rangle }_{{k + 1/2}}}$ вычисляется путем линейной интерполяции величин ${{\left\langle \mu \right\rangle }_{k}}$ и ${{\left\langle \mu \right\rangle }_{{k + 1}}}$.

Ниже при проведении расчетов мы также будем полагать, электроны в импульсном пространстве не выходят за границы рассматриваемого диапазона, т.е.

7. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАВИНЫ ЭЛЕКТРОНОВ В ГЕЛИИ. СРАВНЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ РАСЧЕТОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Для того чтобы продемонстрировать точность метода групповых уравнений, был выполнен расчет развития лавины электронов в гелии в однородном электрическом поле с напряженностью E/N = 500 и 1000 Тд, концентрация атомов гелия полагалась равной N₀ = 2.69 × 10²⁵ м^–3. Величины $\sigma _{{tr}}^{{(1)}}(p),\;\sigma _{{tr}}^{{(2)}}(p),\;\sigma _{{tr}}^{{(3)}}(p)$ были рассчитаны на основе дифференциальных сечений упругого рассеяния, для которых использованы те же зависимости, что и в работе [16]. Полные сечения возбуждения электронных уровней, а также дифференциальное и полное сечения ионизации, также взяты из работы [16]. Система уравнений (39) решалась численно в диапазоне энергий от 1 эВ до 10 кэВ. Данный энергетический диапазон был разбит на N_ε = 100 групп, таким образом, что все интервалы ${{\Delta }}{{p}_{{{\text{k}} + 1{\text{/}}2,{\text{k}} - 1{\text{/}}2}}}$ равны.

Расчеты выполнялись в следующей постановке: в начальный момент времени в точке z = 0 задавалось максвелловское распределение электронов по энергиям f_M со средней энергией 10 эВ (выбор данного значения не влияет на конечные результаты, поскольку равновесная средняя энергия электронов много больше этого значения)

Данная постановка задачи близка к постановке принятой в численном моделировании лавины электронов в гелии методом МК [4], что позволяет выполнять прямое сравнение результатов.

На риc. 1 представлены нормированные на единицу энергетические и пространственные распределения электронов в лавине в моменты времени t = 0.034 нс (E/N = 500 Тд) и t = 0.021 нс (E/N = 1000 Тд), рассчитанные по полной и упрощенной многогрупповой модели (МГМ), а также методом МК [4]. Видно, что наблюдается очень хорошее согласие между собой пространственных распределений, полученных по полной МГМ и методом МК. Для случая E/N = 500 Тд пространственное распределение, рассчитанное по упрощенной МГМ, заметно отличается от них, но для E/N = 1000 Тд результаты упрощенной МГМ уже близки к результатам МК-расчета. Также отметим, что для случая E/N = 1000 Тд вычисленное по полной МГМ значение коэффициента ионизации k_ion равно 1.46 × 10^–14 м³/с, что очень близко к значению из МК-расчета 1.45 × 10^–14 м³/с. Для случая E/N = 500 Тд относительная разница в значениях коэффициента не превышает 6%: k_ion = = 8.82 × 10^–15 ⋅ м³/с – МК, k_ion = 9.32 × 10^–15 ⋅ м³/с – полная МГМ. В области энергий электрона 1–100 эВ энергетические распределения, рассчитанные по упрощенной МГМ, существенно отличаются от полученных в МК-расчетах, в то время как распределения, вычисленные по полной МГМ ближе к результатам МК-расчетов, но в области малых энергий также наблюдается заметная разница. Значения средней энергии электронов, полученные по полной МГМ равны 433 и 112 эВ, для E/N = 1000 Тд и 500 Тд, результаты МК-расчетов: 468 и 136 эВ. На рис. 1 также показана зависимость среднего косинуса угла между вектором импульса электрона и вектором e от энергии электрона. Можно видеть, что значения среднего косинуса, вычисленные по упрощенной МГМ, заметно отличаются от результатов МК-расчетов и расчетов по полной МГМ, особенно в области низких энергий, этим и объясняются плохие результаты упрощенной МГМ.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из кинетического уравнения, получена система одномерных многогрупповых уравнений для трех первых моментов функции распределения электронов (ФРЭ). Система включает уравнения баланса концентрации электронов, плотности потока и плотности потока импульса электронов. Система предназначена для расчета кинетики электронов в области энергий электрона $\varepsilon \gg {{\varepsilon }_{{{\text{ion}}}}}$. Для демонстрации точности полученной системы групповых уравнений для моментов ФРЭ выполнено численное моделирование развития лавины электронов в гелии в однородном электрическом поле с напряженностью 500 и 1000 Тд. Рассчитанные пространственные распределения электронов вдоль оси симметрии лавины, а также энергетические распределения хорошо согласуются с результатами расчетов методом Монте-Карло (МК). Полученная система может быть использована при построении гибридных моделей расчета транспорта электронов в газовых разрядах. В данных моделях транспорт электронов в области $\varepsilon \gg {{\varepsilon }_{{{\text{ion}}}}}$ рассчитывается из представленной многогрупповой модели (МГМ), а в области меньших энергий из диффузионно-дрейфового уравнения или системы групповых уравнений, полученных в области малых энергий в рамках приближения Лоренца [17].